广东省深圳市罗湖区深圳中学八年级上学期期末考试数学试题（解析版）-A4

这是一份广东省深圳市罗湖区深圳中学八年级上学期期末考试数学试题（解析版）-A4，共23页。试卷主要包含了考生必须在答题卷上按规定作答等内容，欢迎下载使用。
八年级数学试卷
说明：
1．答题前，务必将自己的姓名、学号等填写在答题卷规定的位置上．
2．考生必须在答题卷上按规定作答：凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效．
3．全卷共6页，考试时间90分钟，满分100分．
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1. 下列各式中，与是同类二次根式的是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的化简、同类二次根式的定义，熟练掌握以上知识点是解题关键，根据同类二次根式的定义“化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式是同类二次根式”逐项判断即可求解．
【详解】解：由题意可得，
，，，，
∴与是同类二次根式，
故选：B．
2. 在平面直角坐标系内有一点P，若点P位于第四象限，并且点P到x轴和y轴的距离分别为3，4，则点P的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了点在第四象限时点的坐标的符号，解题的关键是熟练掌握点到轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到轴的距离为点的横坐标的绝对值．
已知点P在第四象限内，那么横坐标大于0，纵坐标小于0，进而根据到坐标轴的距离判断坐标．
【详解】解：因为点P在第四象限，所以其横、纵坐标分别为正数、负数，
又因为点P到轴的距离为3，到轴的距离为4，
所以点P的坐标为．
故选：B．
3. 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，书中有“折竹抵地”问题，今有竹高一丈，末折抵地，去本六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），一阵风将竹子折断、竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查列方程解决古代问题，涉及勾股定理，读懂题意，熟记勾股定理是解决问题的关键．
设折断处离地而高尺，由勾股定理列方程即可得到答案．
【详解】解：设折断处离地而高尺，则，
在中，，即，
故选：D．

4. 如图，在同一平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于、的方程组的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，首先将点A的横坐标代入求出点A，再结合一次函数与二元一次方程组的关系即可得到答案．
【详解】解：∵直线与直线交于点，
∴，
∴的解为，
故选：C．
5. 为了铸牢学生的安全意识，近期某校举行了“防溺水”演讲比赛，记分员小丽将位评委给某位选手的评分进行整理，并制作成如下表格，若去掉一个最高分和一个最低分后，表中数据一定不发生变化的统计量是（ ）
A. 中位数B. 众数C. 平均数D. 方差
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了统计量的选择，关键是掌握中位数定义．根据中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数可得答案．
【详解】解：如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是中位数，
故选：A．
6. 下列各命题的逆命题是真命题的是（ ）
A. 全等三角形的对应角相等B. 两直线平行，同位角相等
C. 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等D. 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了逆命题的真假性，正确掌握逆命题的真假性是解题的关键．
写出各个选项的逆命题，再判断真假．
【详解】解：A、原命题的逆命题是：如果三角形的三个角对应相等，则这两个三角形是全等三角形，是假命题，不合题意；
B、原命题的逆命题是：同位角相等，两直线平行，是真命题，符合题意；
C、原命题的逆命题是：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等，是假命题，不合题意；
D、原命题的逆命题是：如果两个角相等，则这两个角是对顶角，是假命题，不合题意．
故选B．
7. 如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点M和点N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，下列结论：
①是的平分线；②；③分别连接、，则判定的依据是“”；④边上任意一点到边和边上的距离都相等；其中正确的结论共有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】根据作图判定是的平分线，结合，得到，，根据三角形外角性质可得；根据作图可知：的依据是“”；根据角平分线性质可得出边上任意一点到边和边上的距离都相等．
【详解】解：根据作图判定是的平分线，故①正确；
因为，
所以，
所以，
所以，故②正确；
根据作图可知：，，
因，
所以，故③错误；
根据角平分线的性质可知：边上任意一点到边和边上的距离都相等，故④正确；
综上分析可知：正确的有3个．
故选：B．
【点睛】本题考查了角的平分线的基本作图，三角形外角的性质，角平分线的性质，三角形全等的判定，熟练掌握上述相关的知识是解题的关键．
8. 2024年3月5日，第十四届全国人民代表大会第二次会议在北京开幕，政府工作报告中一个新关键词“人工智能”引发热议，随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图①是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为、，，与的函数图象如图②所示，则下列说法不正确的是（ ）
A. 客人距离厨房门口；B. 慧慧比聪聪晚出发；
C. 聪聪的速度为；D. 从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大值为；
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的运用，理解图象，掌握行程问题的数量关系，一次函数图象的性质是解题的关键．根据图象分别求出聪聪的解析式，结合图象的性质，即可求解．
【详解】解：聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，
∴表示的是聪聪行走的时间与路程的关系，
设的解析式为，图象经过点，
∴，
解得，，
∴的解析式为，
由图象知，慧慧从出发到送餐结束用时为，
∴A、客人距离厨房门口，正确，不符合题意；
B、慧慧比聪聪晚出发，正确，不符合题意；
C、∵，
∴聪聪的速度为，正确，不符合题意；
D、当时，聪聪与慧慧的距离逐渐增大，
∴当时，，
当时，聪聪与慧慧的距离先减小，再增加，
当时，，
∴，
当时，聪聪与慧慧的距离逐渐减小到，
∵,
∴D选项不正确，符合题意 ；
故选：D ．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
9. 如图，圆柱底面圆的周长为，、分别是上、下底面的直径，高，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平面展开最短路线问题和勾股定理的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．把立体图形展开成平面图形，依题意，从到缠绕了一圈半，则，，根据两点之间线段最短求出长即可解决问题．
【详解】解：如图所示，
无弹性的丝带从至，绕了1.5圈，
展开后，，
由勾股定理得：
故答案为：．
10. 设的整数部分是a，小数部分是b，则____．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查与无理数整数有关的计算，先利用夹逼法求出，原数减去得到，再进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
11. 平面直角坐标系中，已知点，直线轴，且，则点B坐标为_______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查直角坐标系的知识，设出B点的坐标，根据轴，可确定B点横坐标，根据可确定B点的纵坐标．
【详解】解：设点B的坐标为，
∵轴，A3,2，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴或-2，
∴点B的坐标为或，
故答案为：或．
12. 已知点，在一次函数的图像上，当时，有，则的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一次函数的性质，根据时，得到，即可得到答案．
【详解】解：∵时，，
∴，解得：，
故答案为：．
13. 四边形纸片，，与不平行，将四边形纸片沿折叠成如图所示的形状，点落在点处，点落在点处，若，，____________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了折叠的性质，四边形内角和，解题的关键是掌握以上知识点．
如图所示，延长交于点H，首先求出，然后根据折叠求出，，然后求出，进而求解即可．
【详解】如图所示，延长交于点H
∵
∴
由折叠可得，
∴
∵
∴
由折叠可得，
∴
∴．
故答案为：．
三、解答题（共7小题，共61分）
14. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了实数的混合运算，立方根和算术平方根等运算，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）首先计算立方根和算术平方根，然后计算乘法，最后计算加减即可；
（2）首先计算立方根和算术平方根，化简绝对值，然后计算加减即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
15. 解方程组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）；
【解析】
【分析】本题考查代入消元法及加减消元法解二元一次方程组：
（1）将①代入②求出y，再反代回①求出x即可得到答案；
（2）消去x，求出y，再反代回①求出②即可得到答案；
【小问1详解】
解：将将①代入②得，
，解得：，
将代入①得，
，
∴方程组的解为：；
小问2详解】
解：得，
，解得：，
将代入②得，
，解得：，
∴方程组的解为：．
16. 如图，，点B在x轴负半轴上，且．
（1）求点B的坐标；
（2）将A，B，C三点的横坐标分别乘以，纵坐标保持不变，得到点，， ，请在平面直角坐标系中画出，并直接写出与的位置关系；
（3）在y轴上是否存在点P，使以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为2？若存在，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）
（2）见解析，关于y轴对称
（3）存在，或
【解析】
【分析】（1）根据题意可直接得，求出点B坐标为．
（2）根据题意可得点，， ，的坐标，再描点连线即可，可知与关于y轴对称．
（3）设点P的坐标为0,m，根据题意可列方程为，求出m的值，即可得出答案．
本题考查作图﹣轴对称变换、三角形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【小问1详解】
解：设B的坐标为，
∵点B在x轴负半轴上，且．
∴，
解得，
∴点B的坐标为．
【小问2详解】
解：由，将A，B，C三点的横坐标分别乘以，纵坐标保持不变，得，画图如下：
则即为所求．
根据题意，得与关于y轴对称．
【小问3详解】
解：存在．
设点P的坐标为0,m，
根据题意可列方程为，
解得或，
故点或点．
17. 为了解甲、乙两所学校八年级学生综合素质整体情况，对两校八年级学生进行了综合素质测评，并对成绩作出如下统计分析．
【收集整理数据】分别从两所学校各随机抽取了a名学生的综合素质测试成绩（百分制，成绩都是整数且不低于分）．将抽取的两所学校的成绩分别进行整理，分成A，B，C，D，E，F六组，用x表示成绩，A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，F组：，其中乙校E组成绩如下：，，，，，，，，，，，，，，．
【描述数据】根据统计数据，绘制出了如下统计图．
【分析数据】两所学校样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1） ， ；
（2）补全条形统计图；
（3）甲校共有人参加测试，若测试成绩不低于80分的为优秀，估计甲校测试成绩优秀的约有 人；
（4）从平均数、中位数、众数、方差中，任选一个统计量，解释其在本题中的意义．
【答案】（1），
（2）见解析 （3）
（4）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图，用样本估计总体，平均数、中位数、众数、方差的意义等等：
（1）根据抽取的乙校中E组人数及其对应的百分比可求a的值，根据中位数的概念求b的值；
（2）先求出甲校中组别C的人数，进而补全统计图即可；
（3）用乘以甲校样本中成绩为优秀的人数占比即可得到答案；
（4）根据平均数、中位数、众数、方差的意义求解即可．
【小问1详解】
解：，
在乙校共抽取50名学生，其第名和第名学生成绩的平均数为中位数，
∵乙校的F组中有人，E组中有15人，
∴乙校的第名和第名学生成绩在E组中，
将E组成绩从小到大排列为
∴第名和第名学生成绩分别为和，
∴，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：甲校中C组人数为（人），
补全条形统计图如下：
【小问3详解】
解：（人）
故答案为：；
【小问4详解】
解：平均数表示两个学校抽取的人成绩的平均成绩；
众数表示两个学校抽取的人中得分在某个分数的人数最多；
中位数表示两个学校抽取的人中，将成绩从小到大排列后，位于中间位置的成绩；
方差表示两个学校抽取的人的成绩稳定性．
18. 根据以下素材，探索完成任务一：
【答案】任务：场馆门票的单价为元，场馆门票的单价为元；
任务：此次购买门票所需总金额的最小值为元；
任务：购买张场馆门票，张场馆门票，张场馆门票或购买张场馆门票，张场馆门票，张场馆门票
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量或不等关系，正确列出等式或不等式．
任务：设场馆门票为元，场馆门票为元，根据题意列二元一次方程组求解即可；
任务：设购买场馆门票张，则购买场馆门票张，先利用“到场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数”确定的取值范围，设此次购买门票所需总金额为元，列出关于的一次函数，利用一次函数增减性求解即可；
任务：设购买场馆门票张，场馆门票张，则购买场馆门票张，列出和的二元一次方程，解不定方程即可．
【详解】解：任务：
设场馆门票为元，场馆门票为元，
由题意得：，
解得：，
答：场馆门票的单价为元，场馆门票的单价为元；
任务：
设购买场馆门票张，则购买场馆门票张，
依题意，得：，
解得：，
设此次购买门票所需总金额为元，
则，
，
随的增大而减小，
，且为整数，
当时，取得最小值，最小值元，
答：此次购买门票所需总金额的最小值为元；
任务：
设购买场馆门票张，场馆门票张，则购买场馆门票张，
依题意得，，
∴，
又∵均为正整数，
∴或或，
当，时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不合题意，舍去；
∴购买张场馆门票，张场馆门票，张场馆门票或购买张场馆门票，张场馆门票，张场馆门票．
19. 定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出特殊四边形中是勾股四边形的两种图形名称_______，_______．
（2）如图1，请你在图中画出以格点为顶点，、为勾股边，且对角线相同所有勾股四边形．
（3）如图2，在四边形中，，，，连接，探究、和三者之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）正方形，长方形（答案不唯一）
（2）图见详解； （3），证明见详解；
【解析】
【分析】（1）利用含有直角的四边形找出特殊四边形中是勾股四边形的两种图形即可；
（2）根据勾股四边形结合对角线相等即可得到答案；
（3）将旋转得到，连接，，先根据旋转得到是等边三角形，再证明，得到，再结合勾股定理即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意可得，
正方形，长方形，直角题型均为勾股四边形，
故答案为：正方形，长方形（答案不唯一）；
【小问2详解】
解：∵四边形对角线相同，
∴四边形如图所示，
【小问3详解】
解：将旋转得到，连接，，
∵旋转得到，
∴，是等边三角形，
∴，，
∵， ，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
．
【点睛】此题主要考查勾股定理，三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是作出辅助线得到手拉手三角形全等．
20. 如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点A，．
【探索发现】（1）以线段为边向上作正方形，求点的坐标；
【综合应用】（2）如图2，将直线绕点逆时针旋转得到直线，请你画出直线并求直线的函数解析式；
【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，直线交轴于点，若点是直线上且位于第三象限图像上的一个动点，点是轴上的一个动点，当以点、、为顶点的三角形为等腰直角三角形时，直接写出点和点的坐标．
【答案】（1）；（2），图见详解；（3）点和点或点和点或和．
【解析】
【分析】（1）先证明，得到，即可得到答案；
（2）根据正方形的对角线平分一组对角得到，即可得到旋转后的线与平行，设出解析式代入点求解即可得到答案；
（3）根据（2）求出点，分三种情况，设出两动点，根据等腰直角三角形性质结合全等三角形性质列方程求解即可得到答案；
【详解】解：（1）∵四边形是正方形，
∴，，
∵
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
当时，，当时解得：，
∴，，
∴点的坐标为：；
（2）过作轴于，
同理可得：，
∴，，
，
∴，，，
设直线为，将点，代入得，，
解得：，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵直线绕点逆时针旋转得到直线，
∴，
，
∴设直线的解析式为，
将点代入得：，
∴；
（3）由（2）得，
当时，，
解得：，
∴点，
设点，，
∵、、为顶点的三角形为等腰直角三角形，
当为直角顶点时，过作轴于，
，
同理可得，
∴，，
∴，
解得：，
∴点和点，
当为直角顶点时，如图，
同理可得：
，
解得：，
∴点和点；
当为直角顶点时，
同理可得：，解得：，
∴，，
综上所述：点和点或点和点或，．
【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了点的坐标、待定系数法、等腰直角三角形的性质以及全等三角形等相关知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行计算，需要考虑的多种情况，解题时注意分类思想的运用．
平均数
中位数
众数
方差
学校
平均数
中位数
众数
方差
甲校
乙校
b
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如何设计购买方案？
素材
某校名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为，，三个场馆，且购买张场馆门票和张场馆门票共需元，购买张场馆门票和张场馆门票共需元．场馆门票为每张元
素材
由于场地原因，要求到场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买张场馆门票就赠送张场馆门票．
问题解决
任务
确定场馆门票价格
求场馆和场馆的门票价格．
任务
探究经费的使用
若购买场馆门票赠送的场馆门票刚好够参观场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值．
任务
拟定购买方案
若参观场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需购买部分门票，且让去场馆的人数尽量的多，最终购买三种门票共花费了元，请你直接写出购买方案．