广东省梅州市兴宁市宋声学校九年级上学期11月期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份广东省梅州市兴宁市宋声学校九年级上学期11月期中考试数学试题（解析版）-A4，共20页。试卷主要包含了考试范围等内容，欢迎下载使用。
1．考试范围：第一章1.1～第四章4.5．
2．考试时间120分钟，满分120分．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 一元二次方程 的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了一元二次方程的解法．首先移项，将方程右边移到左边，再提取公因式，可得，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”，即可求得方程的解．
【详解】解：，
移项得：，
∴，
∴，，
故选：D．
2. 已知，则下列比例式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据比例的性质分别对每一项进行判断即可得出答案．
【详解】A.变成等积式是：，故不符合题意；
B.变成等积式是：，故符合题意；
C.变成等积式是：，故不符合题意；
D.变成等积式是：，故不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
3. 在两个不透明的口袋中，各自装有编号为1，2，3的三个球，球除编号外无其他区别，则在两个口袋中各取一个球，两球上的编号的和为偶数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】从两个口袋中各取一个球，一共有9种情况，找出其中相加是偶数的情况，就可以得到概率．
【详解】从两个口袋中各取一个球，一共有（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（3，1）、（3，2）、（3，3）9种情况
两个球上的编号加起来和为偶数的一共有5种情况
∴两球上的编号的和为偶数的概率=．
故选：C．
【点睛】本题考查概率的计算．熟练掌握事件发生的情况是解决本题的关键．
4. 制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（ ）
A. 360元B. 720元C. 1080元D. 2160元
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可．
【详解】3m×2m=6m2，
∴长方形广告牌的成本是120÷6=20元/m2，
将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，
则面积扩大为原来的9倍，
∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2，
∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20=1080元，
故选C．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
5. 已知是一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根是（ ）
A B. 2C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．设另一根为，则有，即可解得另一根．
【详解】设另一根为，则根据根与系数的关系得，
解得，
故选：B．
6. 某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是( )
A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B. 掷一个质地均匀的正方体骰子，落地时面朝上的点数是6
C. 一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上
D. 用2，3，4三个数字随机排成一个三位数，排出的数是偶数
【答案】B
【解析】
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.15到0.20之间波动，即：这个实验的概率大约为0.17，分别计算四个选项的概率，大约为0.17即为正确答案．
【详解】A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，故本选项不符合题意；
B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率为0.17，故本选项符合题意；
C．一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上的概率是=0.25，故本选项不符合题意；
D．由于用2，3，4三个数字排成一个三位数，等可能的结果有：234，243，324，342，423，432；且排出的数是偶数的有：234，324，342，432，
∴排出的数是偶数的概率为：．故本选项不符合题意．
故选B．
【点睛】本题是利用频率估计概率，主要考查了学生的观察频数（率）分布折线图，利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
7. 如图，在中，点分别在边，，上，且，．下列四个判断中，不正确的是（ ）

A. 四边形是平行四边形
B. 如果，那么四边形是矩形
C. 如果平分平分∠BAC，那么四边形 AEDF 是菱形
D. 如果AD⊥BC 且 AB＝AC，那么四边形 AEDF 是正方形
【答案】D
【解析】
【详解】由DE∥CA,DF∥BA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形；
又有∠BAC=90°，根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形
故A. B正确；
如果AD平分∠BAC,那么∠EAD=∠FAD,又有DF∥BA，可得∠EAD=∠ADF，
∴∠FAD=∠ADF，
∴AF=FD，那么根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形故C正确；
如果AD⊥BC且AB=AC，那么AD平分∠BAC，同上可得四边形AEDF是菱形，故D错误.
故选D
8. 开学初，学校进行黑板报的评比检查．在设计黑板报时，小菲同学恰好用长为6米的彩色丝带，在黑板上围成一个长方形的边框，其中最上面利用黑板自带的边框（黑板边框的最大可用长度为3.8米），不用粘贴丝带．长方形最下面的边，为了设计绘画空间，需要留出两个0.6米宽的地方，并且黑板中间也需要用丝带粘贴以分成两部分书写关于庆祝教师节的内容．如图，设丝带的长为米，丝带所围成的长方形面积为4.2平方米，则可列方程（）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
根据各边之间的关系，了得出平行于黑板上沿的一边长为米，结合丝带所围成的长方形面积为4.2平方米，即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】∵彩色丝带的总长度为6米，且米，
∴平行于黑板上沿的一边长为米．
根据题意得：．
故选：B．
9. 有一题目：“如图，在四边形的中，，，，，．当与相似时，求的长．”
嘉嘉的结果为：或4．
而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，还应有另一个不同的值．”，下列判断正确的是（ ）

A. 淇淇说的对，且的另一个值是B. 淇淇说的不对，就等于3或4
C. 嘉嘉求的结果不对，应等于3或5D. 两人都不对，应有4个不同值
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，设，则，分类讨论：当时，则；当时，则，利用相似比即可求解，熟练掌握相似三角形的判定及性质，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
【详解】解：设，则，
当时，
，
，
，
，
，
解得，，
或4；
当时，
，
，
，
，
，
解得，
综上所述，或4或，
故选A．
10. 如图，在正方形中，，与交于点，是的中点，点在边上，且，为对角线上一点，当对角线平分时，的值为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查正方形的性质和三角函数的定义；过点作于点，设，易得，，，，由，得，分两类情况：①当点在线段上时，②当点在线段上时，分别列出方程，求出的值，进而求出答案
【详解】解：过点作于点，设，
在正方形中，
，即：和是等腰直角三角形，
，，
，，
，
是的中点，
，
对角线平分，
，
，
①当点在线段上时，如图，
，
解得：（舍去），
②当点在线段上时，如图，
，
解得：，
，，
，
，
，
故选：A．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 已知α，β是一元二次方程的两根，则_______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据一元二次方程的根与系数的关系可得，即可求解．
【详解】解：∵α，β是一元二次方程的两根，
∴，
故答案为：4．
12. 实验小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得的数据如下表：
由此可以估计任意抛掷一枚图钉，钉尖朝上的概率为_____．(精确到0.1)
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，首先通过实验得到事件的频率，然后用频率估计概率即可解决问题．观察表格的数据求出每次试验得到的频率可以得到图钉钉尖朝上的频率，然后用频率估计概率即可求解．
【详解】解：表中图钉钉尖朝上的频率分别为：
，
图钉钉尖朝上频率逐渐稳定在左右，
估计任意抛掷一枚图钉，图钉钉尖朝上的概率约为；
故答案为：．
13. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐，如图，A，B，C为直线与五线谱横线相交的三个点，若，则的长为_____．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理．过点作于，交于，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【详解】解：作于，交于，
，
，
，
，
故答案为：10．
14. 如图，已知电流在一定时间段内正常通过电子元件“ ”的概率是 ，在一定时间段内，， 之间电流能够正常通过的概率为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了并联电路的知识和等可能事件的概率，概率=所求情况数与总情况数之比．根据题意，这是一个并联电路，只要一个电子元件能够正常通过电流，则， 之间电流就能够正常通过，用树状图法或列表法都比较简单．
【详解】解：两个电子元件分别记为元件和元件，可用下表列举出所有可能情况．
由表可得，共有种情况，并且它们出现的可能性相等．
∵这是一个并联电路，只要一个电子元件能够正常通过电流，则， 之间电流就能够正常通过，
∴， 之间电流能够正常通过的情况有种，即（通电，断电）、（通电，通电）、（断电、通电）．
∴， 之间电流能够正常通过的概率为．
故答案为： ．
15. 如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边，上动点，P是线段的中点，，，G，H为垂足，连接．若，，，则的最小值是______．
【答案】7.5
【解析】
【分析】连接、、，由勾股定理求出，再由直角三角形斜边上中线性质得，然后证四边形是矩形，得，当A、P、C三点共线时，即可求解．
【详解】连接、、，如图所示：
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵P是线段的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
当A、P、C三点共线时，
，
∴的最小值是7.5，
故答案为：7.5．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，求出的最小值是解题的关键．
三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16. 、、、四名选手参加赛跑，赛场共设1，2，3，4四条跑道，选手以随机抽签方式决定各自的跑道，请用画树状图或列表的方法，求、两位选手抽中相邻跑道的概率．
【答案】，详见解析．
【解析】
【分析】本题考查了树状图法或列表法求概率等知识点，画树状图得出两位选手抽中赛道的所有等可能的结果数以及两位选手抽中相邻跑道的结果数，再利用概率公式可得出答案，熟练掌握树状图法或列表法以及概率公式是解答本题的关键．
【详解】画树状图表示两位选手抽中赛道的情况如下：
由图可知，共有12种等可能结果，其中两位选手抽中相邻跑道的结果有，共6种，
∴两位选手抽中相邻跑道的概率为．
17. 如图，在中，D，E，F分别是，上的点，且，，，，求和的长．
【答案】，
【解析】
【分析】此题考查平行线分线段成比例，利用得到，求出，，根据得到，由此求出．
【详解】解：∵，
，
∵，
∴，，
∵，
，
∴．
18. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．
（1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为______；
（2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等可能结果，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
小问1详解】
解：共有4张卡片，
从中随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为；
【小问2详解】
解：根据题意画图如下：
共有16种等可能的结果数，其中抽取到的两张卡片内容一致的结果数为4，
所以抽取到的两张卡片内容一致的概率为．
四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19. 如图，矩形和矩形有公共顶点A 和C，与相交于点G，与相交于点H．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）连接，若 求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质：
（1）过点作，过点作，先证明是平行四边形，根据等积法求出，即可得证；
（2）根据菱形的面积公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：过点作，过点作，
∵矩形和矩形，
∴，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵
∴，
∵，
∴，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
由（1）知：四边形是菱形，
∴四边形的面积．
20. 如图，在中，，，；
求证：
（1）；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）4
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似是解题的关键．
（1）根据等边对等角，以及两组对应角对应相等的三角形相似，即可得证；
（2）根据，推出，再根据，利用对应边对应成比例，求出，进而求出，再利用勾股定理即可得解．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：∵，
∴设，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，．
∵，
∴．
在中，
．
21. 如图，的顶点与线段的端点，均在边长为的正方形网格的格点上．

（1）请找一个格点，使得，并画出；
（2）①与的相似比是________；②．
【答案】（1）图见解析（答案不唯一）
（2），
【解析】
【分析】（1）利用相似三角形的判定方法，找到格点，即可；
（2）由（1）即可得出相似比，根据相似三角形的对应角相等，得到，即可得出结果．
本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握三边对应成比例的两个三角形相似，是解题的关键．同时考查了勾股定理．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；

由图可知：，，，，
∴，
∴；
【小问2详解】
由（1）知与的相似比是；
∵，
∴，
∴，
由图可知：，
∴；
故答案为：，．
五、解答题(三)：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22. 杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，8月份的销售量为256件，10月份的销售量为400件．设9月份、10月份这两个月销售量的月平均增长率不变．
（1）求该款吉祥物8月份到10月份销售量的月平均增长率．
（2）经市场预测，11月份的销售量将与10月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销的方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，当该吉祥物的售价为多少元时，月销售利润为8400元?
【答案】（1）该款吉祥物8月份到10月份销售量的月平均增长率为
（2）该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该款吉祥物8月份到10月份销售量的月平均增长率为x，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为元，利用月销售利润每件的销售利润月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【小问1详解】
解：设该款吉祥物8月份到10月份销售量的月平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）
答：该款吉祥物8月份到10月份销售量的月平均增长率为；
【小问2详解】
解：设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为元，月销售量为
件，
根据题意得：，
整理得：
解得：（不符合题意，舍去）．
答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元．
23. 如图，四边形中，平分，，E为的中点，与交于点F.

（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，，求的长.
【答案】（1）见详解 （2）见详解
（3）
【解析】
【分析】（1）由平分，得，又，然后问题可求证；
（2）由点是的中点，得，有，而，即得，从而问题可求证；
（3）由，可得，即得，而，故，，设，则，由，，有，然后问题可求解．
【小问1详解】
证明：平分，
，
，
；
【小问2详解】
证明：点是的中点，，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：，
，，
，
，
，
，
，
，
设，则，
由（1）知；
，
，
，即，
∴（负根舍去），
，
．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及平行线的判定与性质、直角三角形的性质及应用，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理和性质定理．
重复试验次数
100
500
1000
5000
…
钉尖朝上次数
50
150
380
2000
…
元件1
元件2
通电
断电
通电
（通电，通电）
（断电，通电）
断电
（通电，断电）
（断电，断电）