广东省汕头市潮南区陈店实验学校九年级上学期12月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份广东省汕头市潮南区陈店实验学校九年级上学期12月月考数学试题（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
内容包括：第二十四章
一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知的半径是，则中最长弦长是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（ 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．利用圆的直径为圆中最长的弦求解．
【详解】解：∵的半径是，
∴中最长弦长是．
故选：C．
2. 如图所示，表示圆心角的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了圆心角的判断，根据定义解答即可.顶点在圆心，角的两边与圆周相交的角，叫作圆心角．
【详解】解：图D中是圆心角．
故选：D．
3. 用反证法证明“等腰三角形的底角小于90°”时，第一步应假设（ ）
A. 底角大于90°B. 底角等于90°C. 底角小于90°D. 底角大于等于90°
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反证法，解此题，关键要懂得反证法的意义和步骤，在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
【详解】解：用反证法证明“等腰三角形的底角小于90°”时，第一步应假设底角大于等于90°，
故选： D．
4. 如图，为直径，点，在上，如果，那么的度数为（ ）
A. 20°B. 30°C. 35°D. 70°
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查圆周角定理,掌握直径所对的圆周角为直角以及同弧所对的圆周角相等成为解题的关键．
由直径所对的圆周角为直角可得，进而得到，最后根据同弧所对的圆周角相等即可解答．
【详解】解：∵为直径，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
5. 如图，是直径，，，则度数是（ ）
A. B. C. 60°D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，根据等边对等角求角度，熟练掌握在同圆或等圆中，等弧对等角是解题的关键．根据得出，利用平角的定义求出，根据等腰三角形的性质即可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
6. 在平面直角坐标系中，已知点 ，若以原点O为圆心、5为半径画圆，则点 P与的位置关系是（ ）
A. 点P在上B. 点P在外
C. 点P在内D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据点，得，恰好等于圆的半径，从而得到点P在圆上即可．
本题考查了两点间距离公式，点圆的位置关系，熟练掌握公式和点圆位置关系是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得点，得，恰好等于圆的半径，从而得到点P在圆上，
故选：A．
7. 如图，直角坐标系中，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，则点M的坐标为（ ）
A. B. 1,0C. 2,0D. 2,1
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理、坐标与图形．
由网络可得出线段和的垂直平分线的交点，这个交点即为圆心M，进而可得点M的坐标．
【详解】解：如图，作线段AB和的垂直平分线，它们的交点为圆心M，则点M坐标为2,0，
故选：C
8. 如图，正六边形内接于，若的面积等于，则正六边形的边长为（ ）
A. B. 3C. 6D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正多边形为圆、等边三角形的判定与性质，连接、，由题意得出的半径为，证明为等边三角形，得出，即可得解．
【详解】解：如图，连接、，

∵的面积等于，
∴设的半径为，则，
∴，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，即正六边形的边长为，
故选：B．
9. 如图，点是的内心，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查三角形内角和、三角形的内心、角平分线的定义等知识点，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
由题意易得分别是的角平分线，然后可得，进而根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵点O是的内心，
∴分别是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选B．
10. 已知是圆内接等腰三角形，它的底边长是8，若圆的半径是5，则的面积是（ ）
A. 32或16B. 32或8C. 8或16D. 24或32
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形的外接圆，等腰三角形的性质和勾股定理等知识的综合应用，分类讨论是解答本题的关键；已知是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，若过A作底边的垂线，则所在直线必过圆心O；在中，由勾股定理可求出的长，进而可求出的面积，需注意本题的分锐角和钝角三角形两种情况．
【详解】解：如图①，过A作于D，则必过点O，连接，
在中，，
由勾股定理得：，则，
；
如图②，
同（1）可求得，则，
，
综上，的面积是32或8，
故选：B．
二、填空题（本大题共5小题）
11. 如图，四边形是的内接四边形，其中，则的度数为_________．
【答案】##80度
【解析】
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
根据圆内接四边形的对角互补，列式计算即可．
【详解】解：∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
故答案为： ．
12. 如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，圆心到水面AB的距离为4米，则该圆的半径为_________．
【答案】5米##
【解析】
【分析】本题考查垂径定理和勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．如图，作 于点E，交⊙O于点D，设圆的半径为r米，利用勾股定理构建求解即可．
【详解】解：如图，过点O作交于点E， 交⊙O于点D，如图，
∵，
∴米，
根据题意得：米，
设圆的半径为r米，
∵，
∴米，
故答案为：5米．
13. 如图，在正方形中，，以为圆心，为半径作圆弧，交的延长线于点，连结．则图中阴影部分的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形的面积计算方法，将不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差成为解题的关键．
根据进行计算即可解答．
【详解】解：∵在正方形中，，，
，，，
，
∴
．
故答案为．
14. 如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，C在弧AB上，过C的切线分别交PA、PB于点D、E．若PB＝10，则△PDE的周长为_____．
【答案】20．
【解析】
【分析】根据切线长定理求出AP＝BP，DA＝DC，CE＝BE，代入求出△PDE的周长为2PB即可．
【详解】解：∵PA、PB、DE是圆O的切线，切点分别是A、B、C，
∴AP＝BP，DA＝DC，CE＝BE，
∴△PED的周长是：PD+DE+PE＝PD+DC+CE+PE＝PD+DA+PE+BE＝PA+PB＝2PB＝20．
即△PDE的周长是20．
故答案为：20．
【点睛】本题考查了切线长定理的应用，解此题的关键是求出AP＝BP，DA＝DC，CE＝BE，把△PDE的周长转化成含有PB的式子，题型较好，难度适中．
15. 如图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2的机械设备，磨盘半径，用长为的连杆将点与动力装置相连（大小可变），点在轨道上滑动，并带动磨盘绕点转动，，．若磨盘转动过程中，则点到的最小距离为_______．
【答案】##60厘米
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理应用，由当点运动到时，点到的距离最小，结合勾股定理计算即可得解．
【详解】解：如图，当点运动到时，点到的距离最小，
，
由题意得：，，，
∴，
由勾股定理可得：，
故答案为：．
三、解答题（一）（本大题共3小题）
16. 如图，是的直径，弦交于点．连接、．已知．
（1）求的度数；
（2）若点为的中点，求的度数．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）根据圆周角定理求出，进而求出，再根据圆周角定理求出答案即可；
（2）先根据“弧，弦，圆心角”之间的关系得，即可求出，再根据三角形外角的性质得出答案．
【小问1详解】
解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵是的外角，
∴．
17. 如图，四边形是的内接四边形，为直径，是切线，且的延长线于点．
（1）求证：平分；
（2）若，，则的半径为_____________．
【答案】（1）见解析；
（2）5
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）连接，根据切线的性质可得，再利用角平分线和等腰三角形的性质可证，然后利用平行线的性质求出，即可解答；
（2）过点O作，垂足为F，根据垂径定理可得，再利用（1）的结论可得四边形是矩形，从而可得，，然后在中，利用勾股定理求出答案．
【小问1详解】
证明：连接，
∵是切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
【小问2详解】
解：过点O作，垂足为F，
∵，，
∴，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
在中，根据勾股定理得：
，
∴，
∴，
∴半径为5．
18. 如图，的直径的长为10，弦的长为6，的平分线交于点D，求弦的长．
【答案】
【解析】
【分析】过点作交于点，连接，．由是的直径，结合是的平分线，得，，则、的长度可求，进而可得的长度，根据，可求出的长．
【详解】解：过点作交于点，连接，．
是的直径，
．
是的平分线，
，，
，，
，，
，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
四、解答题（二）（本大题共3小题）
19. 如图，，是的半径，且，弦，分别经过，的中点，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查圆的性质，全等三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，过点作直径，先得出，，证明，得出，进而得出，根据是的直径，得出，进而得出答案．
【详解】证明：过点作直径，如图，
∵，，是的半径，，
∴，
∵点，分别是，的中点，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴.
20. 如图，为的直径，C为上一点，D为的中点，过C作的切线交的延长线于E，交AB的延长线于F，连．
（1）求证：与相切；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查垂径定理、切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关定理并能利用等面积法解决问题是关键．
（1）连接，由垂径定理得，根据垂直平分线的性质可得，证明，利用全等三角形的性质可得即可；
（2）先利用勾股定理求得，设，再根据等面积法列即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，连接，

是的切线，
，
为的中点，，
，则垂直平分，
，
，，
，
，
与相切；
【小问2详解】
解：，，
，
由（1）可知，，
，
设，
，
，
，
解得，
故的半径为．
21. 如图1所示，有一种单层绒布料子的台灯灯罩，灯罩的下面是空的．把这个灯罩抽象成一个几何体时，我们称之为圆台，它可以理解为把大的圆锥沿着平行于底面的圆面裁切掉上面的小圆锥得到的．如图2所示，现在要制作这种灯罩，若已知的直径，的直径，点、、共线，与、都垂直，，，请问制作一个这样的台灯的灯罩需要多少平方厘米的绒布？（接缝处的布料忽略不计，，结果保留整数）
【答案】制作一个这样的台灯的灯罩大约需要的绒布
【解析】
【分析】本题主要考查了圆锥侧面积公式，圆的面积公式，勾股定理，熟练掌握圆锥侧面积公式是解题关键．先运用勾股定理分别求出两个圆锥的母线长，将两个圆锥的侧面积相减即可得到灯罩的侧面积，再运用圆的面积公式求出灯罩上底面的面积，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
又，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴制作一个这样的台灯的灯罩大约需要的绒布.
五、解答题（三）（本大题共2小题）
22. 利用以下素材解决问题．
【答案】任务一：方案一、；方案二、
任务二：方案一、货船能顺利通过；方案二、货船不能顺利通过
【解析】
【分析】任务一：方案一，设圆心为O，连接，根据，得，结合，知直线过点O，根据，得，得，得是等边三角形，得；方案二，根据顶点C坐标为，设桥拱的函数解析式为，将代入即可求解；
任务二：方案一，连接，设交于I，根据矩形性质得，得，得，结合半径为10得到，得，即可判断；方案二，当H点的横坐标为5时，，即可判断．
【详解】解：任务一：方案一，设圆的圆心为O，连接．
∵，
∴．
∵，
∴，直线过点O．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴是等边三角形．
∴．
故半径为．
方案二，
∵顶点C坐标为，
∴设桥拱的函数解析式为．
∵，
∴．
代入得．
解得．
故函数解析式为．
任务二：
方案一，
如图，连接，设交于I．
由上知，
∵矩形中，，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
故货船能顺利通过．
方案二，
如图，∵，
∴H横坐标为5．
∴．
故货船不能顺利通过．
【点睛】本题考查了二次函数和圆的实际应用．熟练掌握待定系数法示解析式，二次函数的图象和性质，弧弦的关系，垂径定理，等腰三角形性质，等边三角形减和性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理解直角三角形，矩形性质，是解题关键．
23. 已知四边形内接于，且于点．
（1）如图1，过圆心作于点．
①若半径为5，，求长；
②试判断与的数量关系，并写出证明过程．
（2）如图2，记，，，的面积分别为，，，，当时，求证：．
【答案】（1）①3； ②，证明见详解
（2）见详解
【解析】
【分析】（1）①连接，则，由垂径定理得，由勾股定理即可求得的长；
②延长，与交于点，连接．由三角形中位线定理得；设，则；由可得，从而得；
（2）通过面积关系，利用根式及完全平方公式运算，得到，再用两平行线间距离相等，得到，进而．
【小问1详解】
解：①连接，则，
∵于点，
∴，
∴．
②．
证明：延长，与交于点，连接．
∵为直径，
∴．
在中，
∵O，H分别为，的中点，
∴，即，
设，则．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：由两边同时平方化简得：
∵（等高，面积之比等于底之比）
∴
∴，即，
∴，，即
因为和共底，则它们高相等，由平行线之间的距离处处相等
，
∴，
∴，
，
∴．
【点睛】本题是圆的综合，考查了圆周角定理，直径对的圆周角是直角，垂径定理，弧、弦、圆心角及圆周角的关系，三角形中位线定理，勾股定理，完全平方公式等知识，涉及较多的知识点，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．
问题驱动
十一假期时，我校初三年级进行了“我是桥梁专家——探秘桥洞形状”的数学活动，某小组探究的一座拱桥如图1，图2是其桥拱的示意图，测得桥拱间水面宽AB端点到拱顶点C距离，拱顶离水面的距离
设计方案
方案一：圆弧型
方案二：抛物线型
任务一
设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径．
设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数表达式．
任务二
如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．请你通过计算说明货船能否分别顺利通过这两种情况的桥梁．