广东省汕头市潮南区陈店公校2024-2025学年九年级下学期4月月考数学试卷（解析版）

这是一份广东省汕头市潮南区陈店公校2024-2025学年九年级下学期4月月考数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 2024年巴黎奥运会圆满落幕，下列是巴黎奥运会四个运动项目的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选项A，B中的图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项A，B错误，不符合题意；
选项C中的图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项C正确，符合题意；
选项D中的图形不是轴对称图形但是中心对称图形，故选项D错误，不符合题意；
故选C．
2. 抛物线的顶点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】抛物线的顶点是，故选：D．
3. 下列事件中，为必然事件的是（ ）
A. 打雷后会下雨B. 打开电视，正在播放广告
C. 抛掷一枚硬币，正面朝上D. 明天太阳从东方升起
【答案】D
【解析】A、打雷后会下雨，是随机事件，本选项不符合题意；
B、打开电视，正在播放广告，是随机事件，本选项不符合题意；
C、抛掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，本选项不符合题意；
D、明天太阳从东方升起，是必然事件，本选项符合题意.
故选：D.
4. 如图是由5个大小相同的小立方块搭成的几何体，则这个几何体的主视图是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】这个几何体的主视图是：

故选：A．
5. 如图，是的直径，，若，则的大小为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，，
，．
故选：D．
6. 如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴于点，连接．若的面积为3，则的值为（ ）
A. B. 6C. D. 3
【答案】A
【解析】由题意，
设A点坐标为，即，，
∵的面积为3，∴，∴，即，
∵，∴．
故选：A．
7. 如图，在中，于点．若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在中，，∴，
∵，∴，
∴，
故选：B．
8. 下面有关一元二次方程的表述正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若关于x的一元二次方程的一个根为2，则另一个根为
C. 一元二次方程的两实数根之和为1
D. 一元二次方程只有一个实数根
【答案】B
【解析】A：若，则，故A错误；
B：∵关于x的一元二次方程的一个根为2，
∵两根之和为，∴另一个根为，故B正确；
C：∵一元二次方程，
∴判别式，
∴方程无解，故C错误；
D：∵，∴，∴，∴，
∴方程有两个相等的实数根，故D错误．
故选：B．
9. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形与相似的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】在中，，，，
，
，且，
A、图形不是直角三角形，不合题意；
B、虽然图形是直角三角形，但两直角边之比不是，不合题意；
C、图形不是直角三角形，不合题意；
D、图形是直角三角形，且两直角边之比是，符合题意．
故选：D．
10. 如图，直角三角板叠放在量角器上，均落在量角器的外圆弧上，点在量角器上的读数为与圆弧交于点，已知，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】连接，与相交于点H，
,
,,,
,
,
,
,,
,,
故选：B.
二、填空题（本大题共5小题）
11. 点关于原点对称的点的坐标为_____．
【答案】
【解析】点关于原点对称的点的坐标为，
故答案为：．
12. 如图，同一时刻在阳光照射下，树的影子，小明的影子，已知小明的身高，则树高 ________m．
【答案】5.1
【解析】设树高是x米，则，解得：，
∴树高为，
故答案为：5.1．
13. 若双曲线的图象在第二、四象限内，则的取值范围是________．
【答案】m＜8
【解析】由题意得，解得
14. 如图，在中，，则的长为___________．
【答案】
【解析】如图所示，作于，
设，
，，
，，，即，
解得：，
在中，，
即：，，，
故答案为：．
15. 图（1）是一个倾斜角为的斜坡的横截面，，斜坡顶端B与地面的距离为3米．为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，喷头A喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分．设喷出水珠的竖直高度为y（单位：米）（水珠的竖直高度是指水珠与地面的距离），水珠与喷头A的水平距离为x（单位：米），y与x之间近似满足函数关系（a，b是常数，），图（2）记录了x与y的相关数据，则y与x的函数关系式为__________．
【答案】
【解析】在中，，，∴，
∴点B的坐标为．
∵，在抛物线上，
∴，解得，
∴y关于x的函数关系式为，
故答案为：．
三、解答题（一）（本大题共3小题）
16. 计算：．
解：
.
17. 如图，随机闭合开关、、中的两个，求只能让灯泡发光的概率．
解：画树状图如下：
共有6种等可能的情况数，其中只能让灯泡发光的有2种，
则只能让灯泡发光的概率为．
18. 如图，在中，，，C为边的中点，经过点C，与相切于点．
（1）求证：与相切；
（2）若，求的长．
（1）证明：在中，，，，
为边的中点，，，
是的半径，与相切；
（2）解：连接，
与相切于点D，与相切，，
在与中，，，
，，是等边三角形，
．
四、解答题（二）（本大题共3小题）
19. 今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍．
（1）求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？
（2）乙是骑车前往与他家相距8千米目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值．
解：（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，
根据题意得：，解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
（千米小时）．
答：甲开车的平均速度是40千米小时，甲步行的平均速度是4千米小时；
（2）根据题意得：，即，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：的值为．
20. 如图是某种云梯车的示意图，云梯升起时，与底盘夹角为，液压杆与底盘夹角为．已知液压杆米，，当，时．（结果精确到米）（参考数据：，）
（1）求液压杆顶端B到底盘的距离的长；
（2）求的长．
解：（1）液压杆与底盘夹角为β．已知液压杆米，，
在中，，∴，∴米，
即的长为2.55米；
（2）在中，，米，
∴，∴米，
∵，∴，∴米，
∴（米），即的长为米．
21. 如图，一次函数（）图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）根据图象直接写出不等式的解集；
（3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标．
解：（1）将代入得，，∴，
反比例函数的解析式为，
将代入得，，点的坐标为．
将点和点的坐标代入得，，解得，
一次函数的解析式为；
（2）根据所给函数图象可知，
当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即，
不等式解集为：或．
（3）将代入得，，
点的坐标为，，
．将代入得，，
点的坐标为，，解得．
∵点在第三象限，
∴，将代入得，，
点坐标为．
五、解答题（三）（本大题共2小题）
22. 【发现问题】某学习小组发现：三角形一个角的平分线截第三边形成的两条线段的比等于这个三角形中对应的两边之比．
如图1，在中，平分，则．
【猜想验证】下面是“发现问题”的不完整的证明过程．
证明：如图2，过点作，交的延长线于点，……请按照上面的证明思路，补全证明过程；
【拓展应用】如图3，已知中，，，平分，则_____．
解：猜想验证：，，
，
，
平分，
，
，
，
，
；
拓展应用：在中，，，
，
平分，
，
，
即，
解得，，
，
，
，
故答案为：．
23. 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B的坐标是，．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作轴交直线于点Q，求的最大值及此时P点的坐标；
（3）点D是y轴上一动点，若以D、C、B为顶点的三角形与相似，求出符合条件的点D的坐标．
解：（1）∵抛物线与y轴交于点C，
令，得，
∴点C的坐标为，∴，
∵，∴，即点A的坐标为，
∵点，∴，解得：，
∴抛物线的函数表达式是；
（2）过点Q作轴于点H，如图1所示：
∵点B的坐标为，点C的坐标为，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
设直线的解析式为，把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
设点P的坐标为，
∵轴，
∴，
把代入得：，
解得：，
∴，
∴
，
∴当时，有最大值，且最大值为，
∴的最大值为，此时点P的坐标为：
（3）如图2，

设点D的坐标为，
∵，
∴为的锐角三角形，所以也是锐角三角形，
∴点D在点C的上方，∴，∴，
∵，，，
①当时，
∴，即，解得：，即点，
②当时，
∴，即，解得：，即点，
综上所述：符合条件的点D的坐标为或．