广东省汕头市潮南区陈店实验学校2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份广东省汕头市潮南区陈店实验学校2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题（解析版）-A4，共18页。试卷主要包含了2章， 抛物线的顶点坐标是， 一元二次方程配方后变形为， 已知二次函数，则下列说法等内容，欢迎下载使用。
内容包括：第21章——第22.2章
一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了顶点式顶点坐标为，根据顶点式的坐标特点写出顶点坐标即可，熟练掌握顶点式的性质是解答本题的关键．
【详解】解：的顶点坐标为，
故选：．
2. 下列为一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，解题的关键是掌握任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式．也考查了一元二次方程的定义．
根据一元二次方程的定义对各选项进行判断．
【详解】解：A、为一元一次方程，所以该选项不符合题意；
B、为一元二次方程，所以该选项符合题意；
C、为分式方程，所以该选项不符合题意；
D、对于，只有当时，它为一元二次方程，所以该选项不符合题意．
故选：B．
3. 一元二次方程配方后变形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程—配方法，掌握配方法是解题的关键．先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方形式即可．
【详解】解：，
∴，
∴，
即．
故选：B
4. 若点，在抛物线上，则，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的利用二次函数的增减性判断函数值的大小是解本题的关键．
由抛物线，对称轴为直线，可得当时，随的增大而减小，再结合，从而可得答案．
【详解】解：∵抛物线，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小，
，
，
故选：A．
5. 若一元二次方程的一个根为0，则k的值为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义：就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，此题应特别注意一元二次方程的二次项系数不得为零．把代入方程，解得的值．注意：二次项系数不为零．
详解】解：把代入一元二次方程，
得，
解得或1；
又，
即；
所以．
故选：C
6. 如果二次函数的图象如图所示，那么（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，首先根据开口方向确定a的符号，再依据对称轴的正负和a的符号即可判断b的符号，然后根据与y轴的交点的纵坐标即可判断c的正负．
【详解】解：∵图象开口方向向上，
∴，
∵图象的对称轴在x轴的正半轴上，
∴
∴
∵图象与y轴交点在y轴的负半轴上，
∴
故选：C．
7. 电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关密不可分的动人故事，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据平均增长率的等量关系：，列出方程即可．
【详解】解：把增长率记作x，由题意，得：
；
故选D．
8. 将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是（ ）
A. y=x−12−5B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．按照“左加右减，上加下减”的规律进而求出即可．
【详解】解：二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是，即，
故选D
9. 若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，那么抛物线的对称轴为直线（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据方程的两根即可得出抛物线与x轴的两个交点坐标，再利用抛物线的对称性即可得出抛物线的对称轴．
【详解】∵方程x2+bx+c=0的两个根分别为x1=-1，x2=2，
∴抛物线y=x2+bx+c与x轴的交点坐标为(-1，0)、(2，0)，
∴抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x．
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，根据抛物线与x轴的交点横坐标找出抛物线的对称轴是解答本题的关键．
10. 已知二次函数，则下列说法：①其图象开口向上；②其图象的对称轴为直线，③其图象顶点坐标为，④当时，y随x的增大而增大，⑤图象与y轴的交点为，其中说法正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，利用抛物线的顶点式和二次函数的性质分别进行判断即可得；掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线的解析式为，
∴此抛物线的图象的对称轴为直线，顶点坐标为，
∴当时，y随x的增大而增大；
故②错误，③错误，④正确；
∵，
∴此抛物线图象的开口向上，
故①正确；
当时，，
∴图象与y轴的交点为，
故⑤正确；
综上，①④⑤正确，正确的个数有3个，
故选：C．
二、填空题（本大题共5小题）
11. 方程的解是________．
【答案】
【解析】
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：因式分解得，，
∴，，
∴，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
12. 一元二次方程化成一般式为_____．
【答案】
【解析】
【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开，移项，合并同类项，即可得出答案．
【详解】∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了多项式乘以多项式，一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式是解题的关键．
13. 已知关于x的一元二次方程没有实数根，即实数c的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可知，判别式，求解即可．
【详解】解：∵方程没有实数根，
∴，
解得
故答案为
【点睛】此题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系，熟练掌握相关关系是解题的关键．
14. 抛物线 的对称轴是直线，则该函数的最小值是________
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的对称轴和最值。熟练掌握二次函数的对称轴公式是解题的关键．根据对称轴公式得出b的值，再把代入即可得出该函数的最小值．
【详解】解：∵抛物线 的对称轴是直线，
∴，
∴，
∴抛物线 的解析式为，
把代入中，得，
∴则该函数的最小值是1．
故答案为：1．
15. 已知二次函数图象L如图所示，点O是坐标系的原点，点P是图象L对称轴上的动点，图象L与y轴交于点C，则周长的最小值是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点，二次函数图象与性质，求最短路径，解题的关键是：熟练掌握二次函数的图象性质．
把代入，求出解析式，作点关于直线的对称点，计算的长，即可求解．
【详解】解：把代入，则，
解得：，
二次函数解析式为：，
令，则，
故，
∵抛物线的对称轴为直线，
如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则，
，
∴此时的值最小，
∴此时周长有最小值，
，
∴周长的最小值为，
故答案为：．
三、解答题（一）（本大题共3小题）
16. 用合适的方法解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法．利用配方法求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
，．
17. 小颖与小明两位同学解方程过程如下框：
（1）你认为他们的过程是否正确？若正确请在括号内打“√”；若错误请在括号内打“×”：小颖______，小明______；
（2）写出你的解答过程．
【答案】（1）×，× （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
（1）根据因式分解法解一元二次方程判断即可；
（2）根据因式分解法解一元二次方程求解即可．
【小问1详解】
解：由题意知，小颖×，小明×，
故答案为：×，×；
【小问2详解】
解：，
，
，
∴或，
解得，，．
18. 二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在图中画出这个二次函数的图象．
【答案】(1) ;(2)见解析.
【解析】
【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为（-1，-4），则可设顶点式y=a（x+1）2-4，然后把点（0，-3）代入求出a即可；
（2）利用描点法画二次函数图象．
【详解】解：（1）由题意可得二次函数顶点坐标为（，）．
设二次函数的解析式为：
把点（0，-3）代入得
∴.
（2）如图所示：
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
四、解答题（二）（本大题共3小题）
19. 如图是一张长，宽的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖的长方体纸盒．
（1）无盖方盒盒底的长为 ，宽为 （用含x的式子表示）．
（2）若要制作一个底面积是的无盖的长方体纸盒，求剪去的正方形边长．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题关键．
（1）根据图形即可求解；
（2）求解方程即可．
【小问1详解】
由图示可知：无盖方盒盒底的长为，宽为
故答案为：，
【小问2详解】
由题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去）
∴剪去的正方形边长为
20. 已知函数与的交点为A，B（A在B的右边）．
（1）求点A、点B的坐标．
（2）求的面积．
【答案】（1）交点A，B的坐标分别为，
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图像，一次函数与坐标轴的交点，解一元二次方程，联立两个函数得到点，的坐标是解题的关键．
（1）将两个函数的解析式联立组成方程组，求得方程组的解就可得到交点的坐标；
（2）根据题意得到，再利用即可求解．
【小问1详解】
解：由题意得：
解得：或
在的右边
交点，的坐标分别为，−1,1；
【小问2详解】
解：直线与轴交于点
当时，，即点坐标为0,3
又，
点，到的距离分别为3，1
．
21. 【综合与实践】某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察刹车距离．
【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．
【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下：
发现：开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系；汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止．
【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题：
（1）求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若汽车刹车后，行驶了多长距离；
（3）若汽车司机发现正前方处有一辆抛抛锚的车停在路面，立刻刹车，请问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由．
【答案】（1）关于的函数解析式为；
（2）汽车刹车后，行驶了米；
（3）该车在不变道的情况下会撞到抛锚的车，理由见解析．
【解析】
【分析】（）利用待定系数法即可求出关于的函数解析式；
（）将 代入（）中求出的解析式，即可求出行驶了多长距离；
（）求出（）中函数的最大值，与比较，即可解决问题；
本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：设关于的函数解析式为，将，，代入，
，解得：，
∴关于的函数解析式为；
【小问2详解】
解：由（）得关于的函数解析式为，
当时，，
∴汽车刹车后，行驶了米；
【小问3详解】
解：由（）得关于的函数解析式为，
∴，
∴当时，汽车停下，行驶了米，
∵，
∴该车在不变道的情况下会撞到抛锚的车．
五、解答题（三）（本大题共2小题）
22. 已知，是关于的一元二次方程的两实数根．
（1）若，求a的值；
（2）已知等腰的一边长为7，若m，n恰好是另外两边的边长，求的周长．
【答案】（1）
（2）17
【解析】
【分析】（1）根据已知和根与系数的关系得：，解得：，，因为关于的一元二次方程的两实数根，则，列式可得：，所以；
（2）分类讨论：①当或时，即方程有一根为7，把代入方程得的值，并根据三角形三边关系取舍；②当时，即方程有两个相等实根，，则△，，同理根据三角形三边关系舍去．
此题考查了三角形的三边关系、等腰三角形的判定、一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用，（1）时，方程有两个不相等的实数根；（2）时，方程有两个相等的实数根；（3）时，方程没有实数根；（4）；（5）．
【小问1详解】
解：由根与系数关系得：，
依题意得：，
，
，
，
解得：，，
由得：，
，
；
【小问2详解】
解：分两种情况：
①当或时，即方程有一根为7，把代入方程得：，
整理得，解得，，
当时，，解得,，由，则此情况不存在；
当时，，解得，则三角形周长为；
②当时，即方程有两个相等实根，，则，，方程化为，解得，则，故舍去，
∴这个三角形的周长为17．
23. 如图，直线： 与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线 经过B、C两点．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若 M 是直线上方抛物线上的一动点，当 面积最大时，请求出点 M的坐标．
（3）新定义：若 E 是抛物线对称轴上一动点，把绕点 E 旋转 点O 的对应点为G，若点 G 恰好落在抛物线上，则称这样的点 E 为“好点”，请直接写出所有“好点”E 的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）或 或 或
【解析】
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）过点作轴，交于点，进而得到，将三角形的面积转化为二次函数求最值即可；
（3）分顺时针和逆时针旋转，两种情况进行讨论求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴当时，，当时，，
∴，
把代入，得：
，解得：，
∴；
【小问2详解】
解：设点，过点作轴，交于点，则：，
∴，
∴，
∴当时，面积最大，此时；
【小问3详解】
解：∵，
∴对称轴为直线，
设，
①当绕点E逆时针旋转时，设对称轴与x轴交于点H，过点G作于点D．
则：，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
把代入得到，解得，
∴点E坐标为或；
如解图③，当绕点E顺时针旋转时，设对称轴与x轴交于点H，过点G作于点D．
同理可得，把代入得到，解得，
∴点E的坐标为或．
综上所述，存在“好点”E，点E的坐标为或或或．
小颖：
两边同除以，得．
小明：
移项，得，
提取公因式，得．
所以，或，
解得，．
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
5
…
刹车后行驶的时间
刹车后行驶的距离