湖南常德市安乡县2025-2026学年七年级上学期期末考试数学试题（试卷+解析）

这是一份湖南常德市安乡县2025-2026学年七年级上学期期末考试数学试题（试卷+解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意．）
1. 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．月球表面的白天平均温度零上记作，夜间平均温度零下应记作（ ）
A. B. C. D.
2. 著名的数学家苏步青被誉为“数学大王”，为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约的行星命名为“苏步青星”，数据218000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列四个立体图形中，是圆柱的是（ ）
A B. C. D.
4. 如图所示，在下列四个生活现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. 3x﹣2x=1D.
6. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数几何？”意思是现有几个人共买一件物品，每人出钱．多出钱；每人出钱，差钱．问人数是多少？若设有人，则可方程为（ ）
A B. C. D.
7. 有理数，，2，3在数轴上位置，离原点最近的数是（ ）
A. B. C. 2D. 3
8. 已知与是同类项，则和的值分别为( )
A. 5和1B. 1和5C. 和5D. 和1
9. 已知线段，在线段上有一点C，且，点M为线段的中点，则线段的长是（ ）．
A. 3B. 5C. 8D. 3或5
10. 在同一平面内，点O在直线上，与互补，，分别为与平分线，若，则（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）
11. 的系数是______．
12. 比较大小：________．(填“”“”或“”)
13. 已知一个锐角为30°51'，则它余角的度数为___________.
14. 对于任意两个有理数，，规定，若，则的值为________．
15. 已知，则______．
16. 程大位《直指算法统宗》中记载了这样一个问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？意思是：有100个大小和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．则大和尚为______人．
17. 一副三角尺按如图所示的方式摆放，且，则的度数为________．
18. 如图，∠AOB＝75°，∠BOC＝15°，OD是∠AOC的平分线，则∠BOD的度数为______．
三、解答题（本大题8个小题，共66分）
19. 计算：
（1）
（2）
20. 解方程组：
21. 先化简，再求值，其中．
22. “卡塔尔世界杯”期间，某工厂接到一批紧急订单，要按期生产两种款式的球衣共万套，已知名工人能按期生产一万套款球衣，名工人能按期生产一万套B款球衣．工厂通过调度，安排名工人按期同时完成了两种款式球衣的生产任务．
（1）生产款球衣和款球衣的工人各多少人？
（2）工厂生产一套款球衣的利润是元，生产一套款球衣的利润是元，工厂完成该订单的总利润是多少？
23. 定义一种新运算“”，规则为：，例如：，解答下列问题：
（1）；
（2）．
24. 随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元．
（1）求A，B两种头盔的单价各是多少元；
（2）若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？
25. 已知，．
（1）如图，①若， ，②若， ；
（2）由（1）猜想：与的数量关系，并说明理由；
26. 我们定义∶如果线段上的一个点将这条线段分成长度分别是a，b的两部分，并且满足，那么这个点叫做这条线段的“三高四新点”．
（1）如图1，点C是线段的“三高四新点”，且，则__________；
（2）若点D也是(1)中线段的“三高四新点”(不同于C点)，求与的数量关系；
（3）如图2，点O是数轴原点，点D对应的数是3，点E对应的数是12，在点E处有一挡板．小球P从点O出发以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，小球Q从点D同时出发，以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，碰到挡板后立即以每秒3个单位长度的速度向左运动．Q追上P时，两小球同时停止运动．设运动时间为t秒，当P、D、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的“三高四新点”时，请求出t的值．
七年级数学质量监测卷
时量120分钟 满分120分
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意．）
1. 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．月球表面的白天平均温度零上记作，夜间平均温度零下应记作（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查正负数的实际应用，关键是明确“零上温度记为正，零下温度记为负”的表示规则．
【详解】解：∵零上温度用正数表示，
∴零下温度用负数表示，
因此夜间平均温度零下应记作；
故选：B．
2. 著名的数学家苏步青被誉为“数学大王”，为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约的行星命名为“苏步青星”，数据218000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法，进行解答即可．
【详解】解：218000000用科学记数法表示为．
故选：B．
3. 下列四个立体图形中，是圆柱的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】逐一判断出各选项中的几何体的名称即可得答案．
【详解】解：A、是棱柱，不符合题意；
B、是棱锥，不符合题意，
C、是球体，不符合题意；
D、是圆柱，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了几何体的识别，熟练掌握常见几何体的图形特征是解题的关键．
4. 如图所示，在下列四个生活现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了基本事实：两点确定一条直线；两点之间，线段最短．理解基本事实的实际应用是解题的关键．根据基本事实逐一判断即可．
【详解】解：木板上弹墨线，建筑工人砌墙，两根钉子固定木条是“两点确定一条直线”实际应用，符合题意，
弯曲河道改直是“两点之间，线段最短”的实际应用，不符合题意，
故选：C．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. 3x﹣2x=1D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项的法则：系数相加字母部分不变，可得答案．
【详解】A．，错误；
B．原式不能合并，错误；
C．3x﹣2x=x，错误；
D．，正确．
故选：D．
6. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数几何？”意思是现有几个人共买一件物品，每人出钱．多出钱；每人出钱，差钱．问人数是多少？若设有人，则可方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意找出数量关系和等量关系列方程即可．
【详解】解：设有人，则可得，
∴每人出钱．多出钱：，
每人出钱，差钱：；
可得方程为：．
故选．
【点睛】本题考查了列一元一次方程，审清题意找出等量关系是解题的关键．
7. 有理数，，2，3在数轴上的位置，离原点最近的数是（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查数轴上点到原点的距离，关键是明确“数轴上点到原点的距离等于该数的绝对值”，通过比较绝对值的大小确定离原点最近的数．
【详解】解：计算各数的绝对值：
，，，．
比较绝对值大小：，
因此的绝对值最小，离原点最近；
故选：B．
8. 已知与是同类项，则和的值分别为( )
A. 5和1B. 1和5C. 和5D. 和1
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查同类项的定义，关键是根据同类项“相同字母的指数相等”这一性质，列出方程求解、的值．
【详解】解：∵与是同类项，
∴对于字母：，解得；
对于字母：，解得；
因此和的值分别为5和1；
故选：A．
9. 已知线段，在线段上有一点C，且，点M为线段的中点，则线段的长是（ ）．
A. 3B. 5C. 8D. 3或5
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查线段中点与线段长度的计算，关键是根据“点在线段上”确定的长度，再利用中点定义求．
【详解】解：如图所示：
∵线段，点在线段上且，
∴，
∵点为线段的中点，
∴；
故选：A．
10. 在同一平面内，点O在直线上，与互补，，分别为与的平分线，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了利用角平分线求角度，几何图形中的角度计算，补角的定义，由题意，得到，然后进行分类讨论：①当点B、O、C三点共线时；②当点B、O、C三点不共线时，；③当点B、O、C三点不共线时，；结合角平分线的定义，即可求出答案．解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的画出图形，运用分类讨论的思想进行分析．
【详解】解：∵与互补，
∴，
∵，分别为，的平分线，
①当点B、O、C三点共线时，
则；
∵，
∴点B、O、C三点共线时，不符合题意；
②当点B、O、C三点不共线时，，如下图：
则，
∵，
∴；
③当点B、O、C三点不共线时，，如下如：
则，
∵，
∴；
综上所述，；
故选：D．
二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）
11. 的系数是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查单项式的系数定义，关键是明确单项式的系数是指单项式中的数字因数，包括前面的符号．
【详解】解：单项式可变形为，其数字因数为，
故该单项式的系数为；
故答案为：．
12. 比较大小：________．(填“”“”或“”)
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了负数的大小比较，关键是掌握“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”这一规则，先将分数通分，再比较绝对值的大小．
【详解】解：∵，，，，
∴根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”，得，
即；
故答案为：．
13. 已知一个锐角为30°51'，则它的余角的度数为___________.
【答案】59°9'
【解析】
【分析】根据互余的两角之和为即可求解．
【详解】解：，
因此它的余角的度数为．
故答案为：．
【点睛】本题考查求一个角的余角，解题的关键关键是掌握互余的两角之和为，．
14. 对于任意两个有理数，，规定，若，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的求解，关键是根据给定的运算规则将新运算转化为常规方程，再求解．
【详解】解：根据规定的运算，
将，代入，得，
去括号得，
合并同类项得，
解得；
故答案为：．
15. 已知，则______．
【答案】2026
【解析】
【分析】本题主要考查代数式的值，熟练掌握代数式的值是解题的关键；由已知方程变形得到的值，然后代入所求表达式中进行计算即可．
【详解】解：因为，所以，
则；
故答案为2026．
16. 程大位《直指算法统宗》中记载了这样一个问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？意思是：有100个大小和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．则大和尚为______人．
【答案】25
【解析】
【分析】根据题意可得大和尚有x人，则小和尚（100-x）人，根据题意可得等量关系：大和尚分的馒头数+小和尚分的馒头数=100，根据等量关系列出方程即可．
【详解】解：设大和尚有x人，则小和尚（100-x）人，
由题意得：3x+（100-x）=100，
解得x=25，
所以，大和尚有25人．
故答案为：25．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
17. 一副三角尺按如图所示的方式摆放，且，则的度数为________．
【答案】##18度
【解析】
【分析】本题考查三角板中的角度计算，关键是发现两个三角尺的直角与、组成平角，从而得到角度和的关系，再结合已知条件列方程求解．
【详解】解：由图可知，两个三角尺的直角与、组成平角，
∴，
即．
又∵，设，则，
代入得，
解得，
即；
故答案为：．
18. 如图，∠AOB＝75°，∠BOC＝15°，OD是∠AOC的平分线，则∠BOD的度数为______．
【答案】45°
【解析】
【分析】先计算出∠AOC和∠COD的度数，再进行计算即可．
【详解】解：∵∠AOB＝∠AOC+∠BOC，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝75°﹣15°＝60°，
又∵OD是∠AOC的平分线，
∴∠COD＝∠AOC＝×60°＝30°，
∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝15°+30°＝45°，
故答案为：45°．
【点睛】 本题考查角平分线的应用，熟练掌握角平分线的意义和角度的几何计算是解题关键．
三、解答题（本大题8个小题，共66分）
19. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）0 （2）
【解析】
【分析】本题考查了有理数的混合运算和整式的加减运算．有理数混合运算的关键是遵循“先算乘方、绝对值，再算乘除，最后算加减”的运算顺序；整式加减的关键是正确去括号并合并同类项．
（1）先计算乘方，除法，绝对值，再计算乘法，最后计算加法即可．
（2）先去括号，再合并同类项即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
20 解方程组：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，关键是先将分数形式的方程化为整式方程，再通过加减消元法求解方程组．
【详解】解：原方程组为，
先对第二个方程去分母，两边同乘4得，
去括号得，整理得，
此时方程组化为，
方程①得，解得，
将代入方程②得，解得，
故方程组的解为．
21. 先化简，再求值，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了整式的化简求值，关键是先通过去括号、合并同类项化简代数式，再代入数值计算．
【详解】解：
；
将，代入，得原式．
22. “卡塔尔世界杯”期间，某工厂接到一批紧急订单，要按期生产两种款式的球衣共万套，已知名工人能按期生产一万套款球衣，名工人能按期生产一万套B款球衣．工厂通过调度，安排名工人按期同时完成了两种款式球衣的生产任务．
（1）生产款球衣和款球衣的工人各多少人？
（2）工厂生产一套款球衣的利润是元，生产一套款球衣的利润是元，工厂完成该订单的总利润是多少？
【答案】（1）安排人生产款球衣，人生产款球衣
（2）订单总利润为万元
【解析】
【分析】(1)根据题意找数量关系和等量关系列方程求解；
(2)根据题意列出式子计算即可．
【小问1详解】
解：设安排人生产款球衣，人生产款球衣，则
，
解得
答：安排人生产款球衣，人生产款球衣．
【小问2详解】
解：∵生产一套款球衣的利润是元，生产一套款球衣的利润是元，
∴（万元），
答：订单总利润为万元．
【点睛】本题考查了一元一次方程与实际问题，审清题意找出等量关系是解题的关键．
23. 定义一种新运算“”，规则为：，例如：，解答下列问题：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题结合新定义运算考查了有理数的混合运算，关键是准确把握新运算的运算规则，严格按照有理数的运算顺序和运算法则进行计算．
（1）直接将、代入新运算的表达式中，按照“先乘方，再乘法，最后加减”的有理数运算顺序依次计算，即可求出结果；
（2）需遵循“先算括号内，后算括号外”的运算顺序，先将、代入新运算表达式求出的结果，再将此结果作为新的值，保持不变，再次代入新运算表达式进行计算，即可得到最终结果．
【小问1详解】
解：根据新运算规则，
将，代入得：
；
【小问2详解】
解：先计算括号内的，
将，代入得：，
再计算，将，代入得：．
24. 随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元．
（1）求A，B两种头盔的单价各是多少元；
（2）若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？
【答案】（1）A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元
（2）共有2种购买方案，最大利润是220元
【解析】
【分析】（1）设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，根据某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元；列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购进A种头盔m个，B种头盔n个，根据该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题．
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
【小问1详解】
解：设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，
由题意得：，
解得：，
答：A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元．
【小问2详解】
解：设购进A种头盔m个，B种头盔n个，
由题意得：，
整理得：，
、n均为正整数，
或，
该商店共有2种购买方案：
①购进A种头盔2个，B种头盔10个，利润为元；
②购进A种头盔4个，B种头盔5个，利润为元；
，
最大利润是220元．
25. 已知，．
（1）如图，①若， ，②若， ；
（2）由（1）猜想：与的数量关系，并说明理由；
【答案】（1）①；②
（2）猜想：与互补，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了角和差关系，关键是通过角的组成分析，发现与的和等于与的和，从而推导出数量关系．
（1）先根据角的和差，用减去得到，再用减去得到．
（2）通过角的和差拆分与，结合已知角度，整体代换得出数量关系．
【小问1详解】
解：①∵，
∴，
又∵，
∴；
②∵，
∴，
又∵，
∴；
故答案为：①；②．
【小问2详解】
解：猜想，理由如下：
∵，，
∴，
又∵，，
∴．
26. 我们定义∶如果线段上的一个点将这条线段分成长度分别是a，b的两部分，并且满足，那么这个点叫做这条线段的“三高四新点”．
（1）如图1，点C是线段的“三高四新点”，且，则__________；
（2）若点D也是(1)中线段的“三高四新点”(不同于C点)，求与的数量关系；
（3）如图2，点O是数轴原点，点D对应的数是3，点E对应的数是12，在点E处有一挡板．小球P从点O出发以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，小球Q从点D同时出发，以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，碰到挡板后立即以每秒3个单位长度的速度向左运动．Q追上P时，两小球同时停止运动．设运动时间为t秒，当P、D、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的“三高四新点”时，请求出t的值．
【答案】（1）7 （2）
（3）t=1，，，，，
【解析】
【分析】（1）根据“三高四新点”的定义，列出方程即可得到答案；
（2）根据“三高四新点”的定义，计算即可得到答案；
（3）将分成三种情况，并且根据“三高四新点”的定义列出方程即可求解
【小问1详解】
解：C是线段的“三高四新点”，且，
，
，
；
【小问2详解】
解：∵点也是（1）中线段“三高四新点”（不同于点）．
，
，
，
；
【小问3详解】
解：①当时，点Q向右运动，点D是线段“三高四新点”
此时D表示的数为， P表示的数为，Q表示的数为 ，
，，
由 有 解得；
由 有解得 ；
②当时，点Q遇到挡板后向左运动，点D是线段的“三高四新点”
此时D表示的数为3，P表示的数为，Q表示的数为 ，

由有， 解得；
由有 解得；
③当时，点Q在D左侧，点Q是线段PD“三高四新点”
此时D表示的数为3，P表示的数为，Q表示的数为 ，
，
由有 解得
由 有解得
综上所述， t=1，，，，，．
【点睛】本题主要考查一元一次方程，有理数的运算，掌握“三高四新点”是解题的关键．