湖南省常德市澧县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题（解析版）

这是一份湖南省常德市澧县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 下列说法不正确的是（ ）
A. 买一张电影票，座位号为奇数是不确定事件
B. 连续抛5次硬币，至少有一次国徽面朝上
C. 从一个装有2个红球，2个白球的密闭盒子里任取一个球，取出的球的颜色是红球或白球是等可能事件
D. 掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是2的倍数的可能性大于掷出的点数是3的倍数的可能性
【答案】B
【解析】A、买一张电影票，座位号为奇数不确定事件，正确，不符合题意；
B、连续抛5次硬币，至少有一次国徽面朝上，是可能发生也可能不发生的，错误，符合题意；
C、从一个装有2个红球，2个白球的密闭盒子里任取一个球，取出的球的颜色是红球或白球是等可能事件，正确，不符合题意；
D、掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是2的倍数的可能有2，4，6三种结果，掷出的点数是3的倍数的可能性有3，6两种结果，故掷出的点数是2的倍数的可能性大于掷出的点数是3的倍数的可能性，正确，不符合题意；
故选B．
2. 若，则下列不等式中成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变，
∴， ，
故A正确，C错误；
∵不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，
∴，故B错误；
∵不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向变，
∴，故D错误；
故选：A
3. 某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，当指针指向阴影部分时，该顾客可获奖品一份，那么（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵阴影部分占，
∴阴影部分占整个圆面积的：，
该顾客获奖的概率为：，
故选：D．
4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
解不等式①得：
解不等式②得：
在数轴上表示不等式的解集如图，
故选：A．
5. 如图，直线，等边的两个顶点A，分别在直线和上，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图所示，过点C作，
∵直线，，∴，
∵是等边三角形，∴，
∴，
∵直线，，∴，∴，
故选：B．
6. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设有x人，y辆车，
依题意得： ，
故选B．
7. 如图所示，一次函数（k，b是常数，）与正比例函数（m是常数，）的图象相交于点，下列判断错误的是（ ）

A. 关于x的方程的解是
B. 关于x的不等式的解集是
C. 当时，函数的值比函数的值大
D. 关于x，y的方程组的解是
【答案】B
【解析】一次函数是常数与正比例函数是常数，的图象相交于点，
A．关于的方程，的解是，选项A判断正确，不符合题意；
B．关于的不等式的解集是，选项B判断错误，符合题意；
C．当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意；
D．关于的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意．
故选：B．
8. 如图，直线过正方形的顶点，点，到直线的距离分别是1和2，则正方形的面积是（ ）
A. 5B. 4C. D. 3
【答案】A
【解析】如图，∵四边形是正方形，∴，，
又∵，∴，
∴，
∴，∴，，
根据勾股定理，可得：，∴，
∴正方形的面积．
故选：A．
9. 某商场促销，小鱼将促销信息告诉了妈妈，假设某一商品的定价为，并列出不等式为，那么小鱼告诉妈妈的信息是（ ）
A. 买两件等值的商品可减100元，再打三折，最后不到1000元
B. 买两件等值的商品可打三折，再减100元，最后不到1000元
C. 买两件等值的商品可减100元，再打七折，最后不到1000元
D. 买两件等值的商品可打七折，再减100元，最后不到1000元
【答案】C
【解析】由关系式可知：0.7（2x-100）＜1000，
由2x-100，得出两件商品减100元，以及由0.7（2x-100）得出买两件打7折，
故可以理解为：买两件等值的商品可减100元，再打7折，最后不到1000元．
故选C．
10. 如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，与交于点E，分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D．若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由作图过程可知：
AP是EC的垂直平分线，也是∠CAE的角平分线，
∴AE＝AC，∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵∠B＝45°，
∴∠BAD＝45°，
∵∠C＝2∠CAD，
∴3∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝30°，
∴∠EAD＝30°，
∴=45°-30°=15°．
故选：A．
二、填空题
11. 一个口袋中有红球、白球共个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀，从中任意摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了次球，发现次摸到红球，则这个口袋中红球的个数约为______个．
【答案】
【解析】∵共摸了次球，发现次摸到红球，
∴摸到红球的概率约是，
∴这个口袋中红球的个数约为（个），
故答案为：．
12. 如图，直线，，，则的度数为__________．
【答案】
【解析】∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 如图，在中，，，过点作，交边于点，若，则的长为_________．
【答案】6
【解析】，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：6．
14. 《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”译文：“令有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺（1尺）．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？”设绳索长为x尺，则根据题意可列方程为__________．
【答案】
【解析】设绳索长为尺，
可列方程为：，
故答案为：．
15. 若关于的不等式组有且仅有两个整数解，则的取值范围为____________．
【答案】
【解析】依题得：有且仅有两个整数解，
则整数解为，，
．
故答案为：．
16. 如图所示，点，，，……在轴上，点点，，，……在直线上．已知，轴，……，……，，则的坐标为_________．
【答案】
【解析】 ，是等腰三角形，，
又轴，，，
，
，轴
是等腰三角形，且
同理，，，是等腰三角形
当时，
点坐标为
故答案为：．
三、解答题
17. （1）解不等式：；
（2）解不等式组：．
解：（1）
去分母得：，
去括号得：，
移项、合并同类项得：
系数化为1得：；
（2），
由得：，
由得：，
则不等式组的解集为．
18. 解方程组：
（1）；
（2）．
(1)解：
，得：，解得：；
把，代入，得：，解得：；
∴方程组的解为：；
(2)解：，
，得：，解得：；
把，代入①，得：，解得：；
∴方程组的解为：．
19. 在一个不透明的袋子中装有5个红球和10个黄球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球．
（1）求出摸出的球是黄球的概率；
（2）为了使摸出两种球的概率相同，再放进去9个同样的红球或黄球，那么这9个球中，红球和黄球的数量分别应是多少？
(1)解：∵袋子中装有5个红球和10个黄球，
∴将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球，摸出的球是黄球的概率为．
(2)解：设这9个球中红球有x个，则黄球为个，根据题意得：
，
解得：，
黄球个数为：（个），
答：这9个球中红球有7个，则黄球为2个．
20. 中，垂直平分线段，交于点，垂直平分线段，交于点，与的交点恰好在的一边上．
（1）求证：是的中点；
（2）求证：．
(1)证明：连接，
∵垂直平分线段，
∴．
∵垂直平分线段，
∴，
∴，
∴是的中点；
(2)证明：∵，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
21. 某工作室制作工艺品并出售，当该工艺品的数量在60个以内时，该工作室制作的这种工艺品都能全部售完．图中的线段，分别表示该工作室每天的成本（单位：元），收入（单位：元）与销售量（单位；）个）之间的函数关系．求该工作室一天制作工艺品超过多少个时开始盈利？
解：设工作室每天的成本与销售量x之间的函数关系式为
∵该函数图象过点，，∴
解得，∴
设工作室每天的收入与销售量x之间的函数关系式为
∵该函数图象过点，∴，解得，∴，
当时，，
解得，
∴由图可知该工作室一天制作工艺品超过15个时开始盈利．
22. 如图，是由边长为1个单位的正方形组成的小方格平面，线段的两个端点在小方格的格点上（小正方形的顶点），请你在该方格平面内仅用直尺画出一条线段，使且，垂足为点，并证明作图合理的原因．
解：如图，取格点C，连接，则线段BC即为所求．
取格点M和N，
和中，
∴，∴，，
∵，∴，∴，∴．
23. 近年来，电动自行车成为人们短距离出行的重要交通工具，但也存在较大安全隐患，骑行时合理佩戴头盔可有效降低安全隐患．某商店购进甲种头盔30个，乙种头盔20个共花费2700元、已知3个甲种头盔的总钱数与4个乙种头盔的总钱数相等．
（1）求甲、乙两种头盔的单价各是多少元？
（2）商店第一次进货很快售完，决定再次购进两种型号的头盔80个，且所购甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的2倍，求商店第二次购进头盔最少花费多少钱？
(1)解：设甲种头盔的单价为x元，购买乙种头盔的单价为y元，
根据题意，得，解得：，
答：甲种头盔的单价是60元，乙种头盔的单价是45元；
(2)解：设购只甲种头盔，则购只乙种头盔，
则，解得：，
花费的钱数为：，
m越大，费用越高，
∴取时，花费最少，最少为：，
答：商店第二次购进头盔最少花费4410元．
24. 已知中，，，点为直线上的一动点（点不与点、重合），以为边作，使，，连接．
问题发现：
如图1，当点在边上时，
（1）请写出和之间的位置关系为___________，并猜想和、之间的数量关系：__________．
尝试探究：
（2）如图2，当点在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中和之间的位置关系、和、之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由；
拓展延伸：
（3）如图3，当点在边的延长线上且其他条件不变时，，，求线段的长．
（1）解：，
，
即，
又，，
，
，，
中，，，
，
，
，
即，
，
，
，
．
故答案为：，
（2）当点在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中和之间的位置关系仍然成立，和、之间的数量关为：，理由如下：
，
，
即，
又，，
，
，，
中，，，
，
，
，
即，
，
，
，
．
（3），
，
即，
又，，
，
，，
中，，，
，
，
，
，
，
，，
．