湖南省常德市安乡县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份湖南省常德市安乡县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析），共26页。试卷主要包含了5 毫米黑色墨水签字等内容，欢迎下载使用。

考试注意事项：
1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考
生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、
姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用 0.5 毫米黑色墨水签字
笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．一元二次方程的一次项系数是（ ）
A．3B．C．5D．0
2．已知的三边长分别为，与它相似的的最长边长为20，则的面积为（ ）
A．12B．24C．48D．96
3．在中，，则下列结论正确的为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，为的直径，弦于点，已知，则的半径为（ ）
A．5B．4C．8D．6
5．对一组数据：，描述正确的是（ ）
A．中位数是B．平均数是5C．众数是6D．方差是7
6．如图，已知反比例函数与矩形的对角线相交于点，若，矩形的面积为，则等于（ ）
A．4B．6C．12D．16
7．如图，在矩形中，点是的三等分点，，垂足为，则的值是（ ）
A．B．C．D．
8．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，且经过点.下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则；⑤对任意实数，都有（其中）其中正确的结论有（ ）个
A．2B．3C．4D．5
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．在中，，若，则的值为 ．
10．已知2是方程的一个根，则另一根为
11．已知二次函数，当时，随的增大而增大，而的取值范围是
12．如图，点三点在上，，则
13．如图，为平行四边形边上一点，分别在上，且，梯形、的面积分别为，若，则
14．随着人口负增长，新建住房数量增加，许多城市商品房的价格不断下降，某城市新建商品房价格连续两年降低了，则这两年平均降价率为
15．如图，在边长为的正的边上有两个动点，它们从处同时出发，沿着三角形的三边顺时针运动，若点的速度为每秒的速度为每秒，则最少经过 秒，与相似．
16．如图，中，，顶点，分别在反比例函数与的图象上，则的度数为 ．
三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）
17．计算：．
18．解方程：．
四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）
19．如图，一次函数图象与轴，轴分别相交于两点，与反比例函数的图象相交于点，已知点，点．
(1)求一次函数的表达式；
(2)求的面积．
20．如图，在中，分别是上的点，是等边三角形，

(1)求证：；
(2)求的长
五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）
21．第十九届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行.为了解学生最喜欢的运动项目，学校从全校随机抽取了部分学生，进行了问卷调查（每个被调查的学生在5种最受学生欢迎的运动项目中只选择最喜欢一种），5种最受学生欢迎的运动项目是：“游泳、田径、球类、艺术体操、举重”；将数据进行整理并绘制成如图两幅统计图（未画完整）
(1)这次调查中，一共调查了_____________名学生，请补全条形统计图；
(2)若全校有2000名学生，请估计该校最喜欢“球类”的学生数；
(3)学校想要从最喜欢艺术体操的4名学生中随机抽取2名同学谈谈观感，已知这4名学生中1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率.
22．某水果店销售甲、乙两种水果，如果用800元可购买20千克甲种水果和16千克乙种水果，用1000元可购买40千克甲种水果和8千克乙种水
(1)求甲、乙两种水果每千克的价格分别为多少元？
(2)已知该水果店在12月共售出甲种水果500千克、乙种水果300千克.春节将近，1月份水果店将甲种水果每千克的售价提高元，乙种水果的价格不变，结果与12月相比甲种水果销量下降了千克，乙种水果销量上升千克，但甲种水果的销量仍高于乙种水果，销售总额比12月多出3000元，求m的值
六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）
23．如图，、是的两条弦，点是的中点，连接并延长、，分别交、的延长线于点、．且
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
24．常德市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中都与地面平行，车轮半径为，坐垫与点的距离为．（结果精确到，参考数据：）
(1)求坐垫到地面的距离；
(2)根据经验，当坐垫到的距离调整为人体腿长的时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫调整至坐骑舒适高度位置，求的长．
七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）
25．如图1，在正方形中，为边上的动点（与点不重合），点在的外接圆上，且在正方形内部，是的中点，圆的半径为．
(1)证明为等腰直角三角形
(2)如图2，连接过点作于，求的长
(3)如图3，若为的一个四等分点，点在的外接圆上，，求的长
26．如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，顶点为D．
(1)求二次函数的解析式；
(2)点P是抛物线的对称轴上一个动点，连接，，当的长度最小时，求出点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，若点E是x轴上一动点，在直线BP上是否存在点F，使以B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．B
【分析】本题考查了一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
根据一元二次方程的一般形式写出一次项系数即可．
【详解】解：由题意知，一元二次方程的一次项系数是，
故选：B．
2．D
【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理及相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积比等于相似比的平方是解答此题的关键．根据勾股定理的逆定理可知为直角三角形，根据三角形的面积公式求出的面积，再根据相似三角形的性质可求出的面积．
【详解】解：，
是直角三角形，
，
与的相似比为，面积比为，
故．
故选：D．
3．C
【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，根据三角函数定义，勾股定理逐项判断即可．
【详解】解：如图，在中，，
，
故选项A，B错误，不符合题意；
，故选项C正确，符合题意；
，故选项D错误，不符合题意．
故选：C．
4．A
【分析】本题考查的是垂径定理、勾股定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
连接，设的半径为，根据垂径定理求出，根据勾股定理列式计算，得到答案．
【详解】解：连接，设的半径为，则，
由勾股定理得，，
即，
解得，
则的半径为5，
故选A．
5．C
【分析】本题主要考查了求方差，中位数，平均数和众数，根据方差，中位数，平均数和众数的定义进行求解判断即可．
【详解】解：把这组数据从小到大排列为，处在最中间的数为6，
∴中位数为6，故A不符合题意；
∵数字6出现的次数最多，
∴众数是6，故C符合题意；
平均数为，故B不符合题意；
方差为，故D不符合题意；
故选：C．
6．A
【分析】本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，理解矩形的面积与反比例函数的解析式之间的关系是解决本题的关键；
设的坐标是，则的坐标是，根据矩形的面积即可求得的值，把的坐标代入函数解析式即可求得的值；
【详解】解： ，
设的坐标是，则的坐标是．
矩形的面积为．
把的坐标代入函数解析式得：．
故选：A．
7．C
【分析】本题考查了求一个角的正切值，证得可推出、；设，则，根据勾股定理可得，即可求解．
【详解】解：∵点是的三等分点，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
设，则，
∵，
∴
∴
故选：C
8．B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质，从图象中获取正确的信息是解题的关键．
图象可知，，，当时，随着的增大而增大，则，即，可判断①的正误；由轴对称的性质可知，图象经过，当时，，可判断②的正误；当时，，可判断③的正误；由关于对称轴对称的点坐标为，可知，可判断④的正误；由题意知，当时，，即，进而可得，可判断⑤的正误．
【详解】解：由图象可知，，，当时，随着的增大而增大，
∴，
∴，①错误，故不符合要求；
∴，
由轴对称的性质可知，图象经过，
当时，，②正确，故符合要求；
当时，，③正确，故符合要求；
∵关于对称轴对称的点坐标为，
∴，④错误，故不符合要求；
由题意知，当时，，
∴，
∴，即，⑤正确，故符合要求；
故选：B．
9．
【分析】根据勾股定理以及锐角三角函数的定义进行计算即可．
【详解】解：在中，、、所对的边分别为、、，
∵，，
设，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义和勾股定理，理解和掌握三角函数的定义和勾股定理是解题的关键．
10．3
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，设方程的另一个根为m，由题意得，，解方程即可得到答案；对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．
【详解】解：设方程的另一个根为m，
由题意得，，
∴，
∴方程另一根为3，
故答案为；3．
11．##
【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键．根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于1列式计算即可得解．
【详解】解：依题意，得，
解得：，
故答案为：．
12．##50度
【分析】此题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用；
由，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，求得的度数．
【详解】解：
故答案为：．
13．25
【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，三角形的面积公式，证明三角形相似是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，为上的点，
．
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设这两年平均降价率为x，则两年后的价格为原价的，再根据连续两年降低了列出方程求解即可．
【详解】解；设这两年平均降价率为x，
由题意得，，
解得或（舍去），
∴这两年平均降价率为，
故答案为：
15．2
【分析】本题考查了相似三角形的性质，等边三角形的性质．根据题意得到也是等边三角形，推出，据此列式计算即可求解．
【详解】解：∵是等边三角形，∴，，
∵与相似，
∴也是等边三角形，
∴，如图，
设最少经过秒，与相似，
此时，，
依题意得，解得，
∴最少经过秒，与相似．
故答案为：．
16．##度
【分析】过作轴于点，过作轴于，根据的几何意义得出，，证明，根据面积比得出相似比，根据正切的定义以及特殊角的三角函数值即可求解．
【详解】解：如图，过作轴于点，过作轴于，
则，
顶点，分别在反比例函数与的图象上，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故本题答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，已知特殊角的三角函数值求角度，一次函数与反比例函数综合，综合运用以上知识是解题的关键．
17．3
【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，实数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：
．
18．
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：
，
，
，
或，
解得：．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，坐标与图形面积，熟练的求解一次函数的解析式是解本题的关键．
（1）利用反比例函数新求解，的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；
（2）先求解B的坐标为，再利用割补法求解三角形的面积即可．
【详解】（1）解： 点在反比例函数的图象上，
，
解得，
∴点的坐标为，
又点也在反比例函数的图象上，
，
解得，
∴点的坐标为，
又点在一次函数的图象上，
，解得：
一次函数的表达式为：
（2）直线与轴的交点为，
令，得：，即B的坐标为
．
20．(1)证明见解析
(2)3
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形对应边长成比例是解决问题的关键．
（1）由可得，又，可证明；
（2）根据相似三角形的性质得，代入数值，即可求解．
【详解】（1）是等边三角形，
∵，
∴
又∵，
；
（2）由（1）得：，
∴，
又，
即，
解得：，
又是等边三角形，
，即．
21．(1)60
(2)500
(3)
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图，画条形统计图，样本估计总体，画树状图求概率．
（1）由田径项目人数及其所占百分比可得样本容量；用样本容量减去其他三个项目的人数可得球类项目人数，进而补全条形统计图；
（2）用总人数乘样本中球类人数所占比例即可
（3）画树状图得出所有等可能的结果数以及抽到的2名学生来自不同年级的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：本次调查的学生共有（名）
最喜欢“球类”的学生数为（名）
补全条形统计图如下：
故答案为：60；
（2）解：（人）
即估计该校最喜欢“球类”的学生人数为500人；
（3）解：用表示七年级学生，用表示八年级学生，用和分别表示九年级学生，画树状图如下：
共有12种等可能的情况数，其中抽到的2名学生来自不同年级的情况有10种，
抽到的2名学生来自不同年级的概率是．
22．(1)甲种水果的价格为20元，乙种水果的价格为25元．
(2)15
【分析】本题主要考查二元一次方程组及一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；
（1）设每千克甲种水果的价格为元，乙种水果的价格为元，由题意易得，然后问题可求解；
（2）由题意易得，然后求解即可．
【详解】（1）解：设每千克甲种水果的价格为元，乙种水果的价格为元，
依题意得：，
解得：，
答：每千克甲种水果的价格为20元，乙种水果的价格为25元．
（2）解：依题意得：，
整理得：，
解得：，
又，
，
．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先说明,，再证，则，，再证明，即可得到结论；
（2）连接，先证明得到，则是的直径，在中，由勾股定理求得，令，在中，由勾股定理求得，即，在中，由勾股定理求得，即可得到的半径．
【详解】（1）证明：∵点是的中点，
∴,，
∵，，
∴，
∴，，
∵,
∴,
∵，
∴，
∴；
（2）连接，
，
，
点是的中点，
，
，
，
，
是的直径，
，
又，
在中，，
令，在中，由，
得，
解得，即，
在中，，
的半径为．
【点睛】本题属于几何综合题，考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识点，灵活运用所学知识是解答本题的关键．
24．(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键．
（1）如图1，过点作于点，由题意知，，，则，根据单车车座到地面的高度约为，计算求解即可；
（2）如图2，过点作于点，则，，根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：如图1，过点作于点，
图1
由题意知，，，
∴，
∵，
∴单车车座到地面的高度约为；
（2）解：如图2，过点作于点，
图2
由题意知，
∴，
∴，
∴的长为．
25．(1)证明见解析
(2)2
(3)
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质求出，然后根据等弧对等弦得出，即可得证；
（2）延长交于点，利用证明，可得出，，进而得出，则为的中垂线，得出，根据为等腰直角三角形可求出，即可求出；
（3）解：如图，设正方形边长为，则可求，，，在中，利用勾股定理可求出，证明，然后利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：如图1，点在的外接圆上，
，
又是正方形的一个内角，，
又是中点，
，
是等腰直角三角形；
（2）解：如图，延长交于点，
，四边形为正方形，
，
即，
，
，
，
，
又是等腰直角三角形，，
，
，
，
即，
，
四边形为矩形，
，
为的中垂线，，
是等腰直角三角形，
为圆的直径，
又圆的半径为，
，
，即
（3）解：如图，设正方形边长为
为的一个四等分点，
，
由（2）知，
，
在中，，
即解得，
，
为直径，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，弧与弦的关系，圆内接四边形对角互补，直角所对的弦是直径，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正确理解题意，综合掌握各知识点是解题的关键．
26．(1)；
(2)；
(3)存在，，或．
【分析】（1）设二次函数的解析式为，化为一般式对照条件中的解析式可求出，从而得解；
（2）当A，P，C三点共线时，的长度最小，用待定系数法求出直线的解析式，求出抛物线对称轴，然后计算直线与抛物线对称轴交点坐标即可；
（3）先求出直线的解析式，然后设出点F、E的坐标，根据平行四边形的对角线互相平分，分情况列等式计算即可．
【详解】（1）解：根据题意，设二次函数的解析式为，
化为一般式得，
∴，
∴，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：∵点A与点B关于抛物线的对称轴对称，
∴当A，P，C三点共线时，的长度最小，
此时点P坐标为直线AC与抛物线对称轴交点，
令，代入得，
∴点，
设直线AC的解析式为，将点A、C坐标代入得，
，
解得，
则直线AC的解析式为，
由题意可得，抛物线的对称轴为直线，
将代入得，
∴点P的坐标为；
（3）解： 由题可知点，点，
设直线的解析式为，将点，点代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
∵点F在直线BP上，
则设点的坐标为，点
已知以B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，点，点，
当为对角线时，，解得，
点的坐标为；
当为对角线时，，解得
点的坐标为；
当为对角线时，，解得，
点的坐标为；
综上可得，在直线BP上存在点F，使以B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了求二次函数解析式、抛物线对称性、最短路径问题、平行四边形存在性问题，灵活运用相关知识，采用数形结合的思想是解题关键．