数学青岛版（2024）4.2 线段的垂直平分线复习练习题

这是一份数学青岛版（2024）4.2 线段的垂直平分线复习练习题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.作一个已知角的平分线的作图依据是（ ）
A . SAS B . AAS C . ASA D . SSS
2.A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在 △ABC的（ ）
A . 三边中线的交点
B . 三边垂直平分线的交点
C . 三条角平分线的交点
D . 三边上高的交点
3.在同一平面内，a、b、c是直线，下列说法正确是（ ）
A . 若a∥b，b∥c 则 a∥c
B . 若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C . 若a∥b，b⊥c，则a∥c
D . 若a∥b，b∥c，则a⊥c
4.如图，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于D，连接AD，若∠CAD=20°，则∠B=（ ）
A . 20° B . 30° C . 35° D . 40°
5.如图，y轴垂直平分线段 AB ， C为y轴正半轴上一点，D是线段 OC上一点，且 AD⊥BD ， 若 C(0,4) ， AC=5 ， 则阴影部分的面积是（ ）
A . 32 B . 2 C . 52 D . 3
6.某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A、B及边CD的中点P处，已知AB=16km，BC=12km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且与A，B等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO，BO，OP．记管道总长为S km．下列说法正确的是（ ）
A . S的最小值是813
B . S的最小值应该大于28
C . S的最小值是26
D . S的最小值应该小于26
二、填空题
1.对顶角相等的逆命题是 ________ 命题（填写“真”或“假”）．
2.在等边△ABC所在的平面内求一点P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，具有这种性质的点P有 ________ 个．
3.如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，以大于 12 AB长为半径作弧，两弧交于点M和点N，在直线MN上取一点C，连接CA，CB，点D是线段AC的延长线上一点，且CD＝ 12 AC，点P是直线MN上一动点，连接PD，PB，若BC＝4，则PD+PB的最小值为 ________ .
4.已知，平行四边形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，点A在x轴上，对角线AC，OB交于点D．分别以点O，点B为圆心，以大于 12BO的长为半径画弧，两弧交于点E，连接DE交BC于点F．若点A（6，0），点C（2，4），则点F的坐标为 ________ ．
5.命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题是 ________ .
6.在某等腰三角形中，一条腰上的中垂线与另一条腰上高所在直线的夹角为40°，则该等腰三角形顶角的度数为 ________ ．
三、作图题
1.根据要求作图．
（1） 如图1，平行四边形 ABCD ， 点 E ， F分别在边 AD ， BC上，且 AE=CF ， 连接 EF ． 求作线段 EF中点（要求尺规作图，保留画图痕迹，不必说明理由）．
（2） 如图2，平行四边形 ABCD ， 点 E在边 AB上，请你在边 CD上找一点 F ， 使得四边形 AECF为平行四边形．（要求尺规作图，保留画图痕迹，并证明四边形 AECF为平行四边形）
2.近年来，国家实施“村村通”工程和农村医疗卫生改革，某县计划在张村、李村之间建一座定点医疗站P，张、李两村座落在两相交公路内(如图所示).医疗站必须满足下列条件：①使其到两公路距离相等，②到张、李两村的距离也相等，请你通过作图确定P点的位置（不写作法，但要保留痕迹）
3.已知：△ABC.
（1） 尺规作图：画出△ABC的重心G.（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
（2） 在（1）的条件下，连结AG，BG.已知△ABG的面积等于5cm 2 ， 则△ABC的面积是 ________ cm 2.
4.作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹）
（1） 如图，已知点M.N和∠AOB，求作一点P，使P到点M.N的距离相等，且到∠AOB的两边的距离相等．
（2） 要在河边修建一个水泵站，分别向张村.李庄送水（如图）． 修在河边 l什么地方，可使所用水管最短？试在图中确定水泵站的位置．
四、综合题
1.【数学初探】
在数学课上，叶老师提出了一个探究型问题：“如图1，你能借助锐角 △ABC 画出一个菱形，使 ∠A 为该菱形的一个内角吗？”雷同学提出了自己的见解：如图2，①作 ∠BAC 的平分线AE，交BC于点E；②作AE的中垂线l分别交AB、AC、AE于点F、G、H；③连接EF，EG，则四边形AFEG是菱形．
（1） 请你帮助雷同学证明四边形AFEG是菱形．
（2） 【深入探究】
雷同学开启大胆尝试，如图3，将 △ABC 的中线BO延长至点D，使 DO=OB ，连接AD，CD，平移图2中的直线l（平移过程中直线l与AB、AC、AE的交点仍为F、G、H），当直线l恰好经过点D时，他通过测量发现了线段OG与线段BF存在特定的数量关系．
请你写出线段OG与线段BF的数量关系，并求证．
（3） 【迁移应用】
如图4，在（2）的条件下，若 ∠BAC=60° ，且 S△DOGS△DBF=38 时，求 ADAB 的值．
2.我们知道命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是我们所学习的一个定理．
（1） 请写出该命题的逆命题：​ ________
（2） 请判断该命题的真假性，并给出相应的证明．
3.如图，将一张矩形纸片 ABCD折叠，使两个顶点 A、 C重合，折痕为 FG ， 若 AB＝4， BC＝8．
求：
（1） 线段 BF的长；
（2） 判断△ AGF形状并证明；
（3） 求线段 GF的长．
4.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF，EF与AD相交于点G.
（1） 求证：AD是EF的垂直平分线；
（2） 若△ABC的面积等于16，AB+AC＝8，求ED.
5.已知：如图， ΔABC 中， AB=BC ， ∠B=120° ．
（1） 用直尺和圆规作出 AB 的垂直平分线，分别交 AC ， AB 于点 M ， N （保留作图痕迹，不写作法）；
（2） 猜想 CM 与 AM 之间有何数量关系，并证明你的猜想．
五、解答题
1.数学课上，王老师布置如下任务：如图，△ABC中，BC>AB>AC，在BC边上取一点P，使∠APC=2∠ABC．
小路的作法如下：
① 作AB边的垂直平分线，交BC于点P，交AB于点Q；
② 连结AP．
请你根据小路同学的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；并完成以下推理，注明其中蕴含的数学依据：
∵ PQ是AB的垂直平分线
∴ AP= ， （依据： ）；
∴ ∠ABC= ， （依据： ）．
∴ ∠APC=2∠ABC．
2.已知（如图），在△ ABC中， D是 BC的中点，过点 D的直线 GF交 AC于点 F ， 交 AC的平行线 BG于点 G ， DE⊥ GF ， 交 AB于点 E ， 连接 EF ．
（1） 求证： BG＝ CF ．
（2） 试判断 BE+ CF与 EF的大小关系，并说明理由．
3.已知甲村和乙村靠近公路a、b，为了发展经济，甲乙两村准备合建一个工厂，经协商，工厂必须满足以下要求：
（1）到两村的距离相等；
（2）到两条公路的距离相等．你能帮忙确定工厂的位置吗？
六、阅读理解
1.（1）阅读理解：
如图1，在 △ABC中，若 AB=5 ， BC=3 ． 求 AC边上的中线 BD的取值范围．
某同学是这样思考的：延长 BD至点 E ， 使 DE=BD ， 连接 CE ． 利用全等将边 AB转化到 CE ， 在 △BCE中利用三角形三边关系即可求出中线 BD的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等，用到的全等判定方法是 .中线 BD的取值范围是 ．
（2）问题解决：
如图2，在 △ABC中，点 D是 AC边的中点，点 M在 AB边上，点 N在 BC边上，若 DM⊥DN ． 求证： AM+CN>MN ．
（3）问题拓展：
如图3，在 △ABC中，点 D是 AC边的中点，分别以 AB ， BC为直角边向 △ABC外作等腰直角三角形 ABM和等腰直角三角形 BCN ， 其中 ∠ABM=∠NBC=90° ， 连接 MN ， 探索 BD与 MN的数量关系和位置关系，并说明理由．

2.阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
小芸的作法如图：
请你回答：
（1）作图第一步为什么要大于 12AB的长？
（2）小芸的作图是否正确？请说明理由．