数学八年级上册（2024）4.6 线段的垂直平分线习题

这是一份数学八年级上册（2024）4.6 线段的垂直平分线习题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.尺规作图作∠AOB的平分线如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于 12CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，连结CD，则下列结论一定正确的个数有（ ）个．
①∠AOP=∠BOP；②OC=PC；③OA∥DP；④OP是线段CD的垂直平分线．
A . 1 B . 2 C . 3 D . 4
2.直角梯形的两个直角顶点到对腰中点的距离（ ）
A . 相等
B . 不相等
C . 可能相等也可能不相等
D . 无法比较
3.如图，y轴垂直平分线段 AB ， C为y轴正半轴上一点，D是线段 OC上一点，且 AD⊥BD ， 若 C(0,4) ， AC=5 ， 则阴影部分的面积是（ ）
A . 32 B . 2 C . 52 D . 3
4.如图，直线 m是 △ABC中 BC边的垂直平分线，点 P是直线 m上一动点，若AB=7，AC=6，BC=8，则 △APC周长的最小值是（ ）
A . 13 B . 14 C . 15 D . 13.5
5.如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是点A（－3，0）、点B（－1，2）、点C（3，2）．则到△ABC三个顶点距离相等的点的坐标是（ ）
A . （0，－1）
B . （0，0）
C . （1，－1）
D . （1，－2）
6.墨墨在如图所示的△ABC的基础上作图，步骤如下：①分别以点A和点B为圆心，以a（a＞ 12AB）为半径，在边AB的两侧画弧，分别相交于点E，F；②连接EF；③分别以点B和点C为圆心，以b（b＞ 12BC）为半径，在边BC的两侧画弧，分别相交于点M，N；④连接MN，直线EF与直线MN相交于点O；⑤连接AO，BO，CO．下列说法中正确的是（ ）
A . AO=BO=CO
B . 点O是△ABC的重心
C . ∠AOB=∠BOC
D . CO平分∠ACB
7.如图，等腰三角形 ABC的底边 BC的长为4，面积是12平方单位，腰 AB的垂直平分线 EF交 AB于 E ， 交 AC于 F ， 若 D为 BC边的中点， M为线段 EF上的一动点，则 △BDM周长的最小值为（ ）
A . 12 B . 10 C . 8 D . 6
8.下列命题：①如果a＞b，那么a+c＞b+c；②如果a≥0，b＜0，那么ab≤0；③直角三角形有两个锐角.
其中原命题与其逆命题都是真命题的有（ ）
A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 0个
二、填空题
1.江苏苏州的重元寺有着国内最高的水上观音阁，图①为观音阁的俯瞰图，图②为其抽象出的示意图，已知该图形是轴对称图形，则它的对称轴一共有 ________ 条.
2.若﹣2a＞﹣2b，则a＜b，它的逆命题是 ________
3.命题“在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上”的逆命题是： ________
4.如图，∠AOB＝60°，点M，N分别是射线OA，OB上的动点，OP平分∠AOB，OP＝8，当△PMN周长取最小值时，△OMN的面积为 ________ ．
5.对于平面直角坐标系 xOy中的点 P与图形 M ， N给出如下定义：点 P到图形 M上的各点的最小距离为 m ， 点 P到图形 N上各点的最小距离为 n ， 当 m＝ n时，称点 P为图形 M与图形 N的“等长点”．如：点 E（﹣2，0）， O（0，0）， F（2，0）中，点 O就是点 E与点 F的“等长点”，已知点 A（2，0）， B（2，2）， C（2，﹣2），连接 BC ， 若点 P既是点 O与点 A的“等长点”，也是线段 OA与线段 BC的“等长点”，则点 P的坐标为 ________ ．
三、作图题
1.如图，已知点M，N和∠AOB，求作一点P，使P到M，N的距离相等，且到∠AOB的两边的距离相等．（要求尺规作图，并保留作图痕迹）
2.作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹）
（1） 如图，已知点M.N和∠AOB，求作一点P，使P到点M.N的距离相等，且到∠AOB的两边的距离相等．
（2） 要在河边修建一个水泵站，分别向张村.李庄送水（如图）． 修在河边 l什么地方，可使所用水管最短？试在图中确定水泵站的位置．
3.作图：
（1） 在图1中，画出△CDE关于直线AB的对称图形△C'D'E'
（2） 在图2中，已知∠AOB和C、D两点，在∠AOB内部找一点P，使PC=PD，且P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等．
4.如图，校园有两条路 OA、OB ， 在交叉口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你用尺规作出灯柱的位置点P．（请保留作图痕迹）
5.如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置.（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，要写明结论）
四、综合题
1.我们知道命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是我们所学习的一个定理．
（1） 请写出该命题的逆命题：​ ________
（2） 请判断该命题的真假性，并给出相应的证明．
2.已知点E是正方形ABCD的边CD上的动点，连接AE，过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F.
（1） 如图1，求证：FB＝ED；
（2） 点G为正方形ABCD的对角线BD上一点，连接AG，GC，GF，且GC＝GF.
①如图2，求∠GFA的度数；
②如图3，过点G作MH // AE，分别交AF，AB，DC于点M，N，H.若AB＝3，BF＝1，求MH的长.
3.（如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点 M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P， 连接EP．
（1） 如图②，若M为AD边的中点，①求△AEM的周长；②求证：EP=AE+DP；
（2） 随着落点M在AD边上取遍所有的位置（点M不与A、D重合），△PDM的周长是否发生变化?请说明理由．
4.（1）如图1，在四边形 ABCD中， AB=AD ， ∠ABC+∠ADC=180° ． E、F两点分别是 BC、 CD上的点，且 EF=BE+FD ， 试探究图中 ∠EAF与 ∠BAD的数量关系．
小王同学探究此题的方法是作辅助线：延长 FD到点G，使 DG=BE ， 连接 AG ． 然后顺利的完成了此题的解答．请你按照他的方法写出解答过程．
（2）如图2，在四边形 ABCD中， ∠ABC+∠ADC=180° ， AB=AD ． 若E、Ｆ分别在 CB、 CD的延长线上，且仍然满足 EF=BE+FD ， 请直接写出 ∠EAF与 ∠BAD的数量关系．
五、解答题
1.已知点 E，F，M，N 分别在矩形 ABCD 的边 DA，AB，BC，CD 上.
（1） 如图 1，若 EM 垂直平分 BD，求证：四边形 BMDE 是菱形；
（2） 如图 2，若 ∠MAN=∠NMC=45° ， 求证： MC2=ND2+BM2；
（3） 如图 3，若四边形 EFMN 是平行四边形， AB=4 ， BC=8 ， 求四边形 EFMN 周长的最小值.
2.数学课上，王老师布置如下任务：如图，△ABC中，BC>AB>AC，在BC边上取一点P，使∠APC=2∠ABC．
小路的作法如下：
① 作AB边的垂直平分线，交BC于点P，交AB于点Q；
② 连结AP．
请你根据小路同学的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；并完成以下推理，注明其中蕴含的数学依据：
∵ PQ是AB的垂直平分线
∴ AP= ， （依据： ）；
∴ ∠ABC= ， （依据： ）．
∴ ∠APC=2∠ABC．
3.已知甲村和乙村靠近公路a、b，为了发展经济，甲乙两村准备合建一个工厂，经协商，工厂必须满足以下要求：
（1）到两村的距离相等；
（2）到两条公路的距离相等．你能帮忙确定工厂的位置吗？
4.请写出“全等三角形的对应角相等”的逆命题，判断此逆命题的真假性，并给出证明．
5.已知命题“若a＞b，则a 2＞b 2”．
（1）此命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例；
（2）写出此命题的逆命题，并判断此逆命题的真假；若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例．
六、阅读理解
1.（1）阅读理解：
如图1，在 △ABC中，若 AB=5 ， BC=3 ． 求 AC边上的中线 BD的取值范围．
某同学是这样思考的：延长 BD至点 E ， 使 DE=BD ， 连接 CE ． 利用全等将边 AB转化到 CE ， 在 △BCE中利用三角形三边关系即可求出中线 BD的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等，用到的全等判定方法是 .中线 BD的取值范围是 ．
（2）问题解决：
如图2，在 △ABC中，点 D是 AC边的中点，点 M在 AB边上，点 N在 BC边上，若 DM⊥DN ． 求证： AM+CN>MN ．
（3）问题拓展：
如图3，在 △ABC中，点 D是 AC边的中点，分别以 AB ， BC为直角边向 △ABC外作等腰直角三角形 ABM和等腰直角三角形 BCN ， 其中 ∠ABM=∠NBC=90° ， 连接 MN ， 探索 BD与 MN的数量关系和位置关系，并说明理由．

2.阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
小芸的作法如图：
请你回答：
（1）作图第一步为什么要大于 12AB的长？
（2）小芸的作图是否正确？请说明理由．