高二数学期中仿真模拟试卷01（江苏专用）-2024-2025学年高二数学下学期（原卷版+解析版）

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1. 某同学逛书店，发现3本喜欢的书，决定至少买其中一本，则有（ ）种购书方法
A. 3B. 6C. 7D. 9
2.下列求导结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3.若的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为（ ）
A. B. C. D.
4. 在四面体中，点E满足F为BE的中点，且则实数λ=（ ）
A. B. C. D.
5.设函数在R上可导，其导函数为 ，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A. 函数有极大值 和极小值
B. 函数有极大值 和极小值
C. 函数有极大值 和极小值
D. 函数有极大值 和极小值
6. 某校A，B，C，D，E，F六名同学参加了中学生地球科学奥林匹克竞赛，均在比赛中取得优异成绩，现这6名同学和他们的主教练共7人站成一排合影留念，则主教练和A站在两端，B、C相邻，B、D不相邻的排法种数为（ ）
A. 36B. 48C. 56D. 72
7. 已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（ ）
A. 函数在处存在导数为2，则2
B. 设函数的导函数为，且，则
C. 函数的单调递减区间为
D. 函数有两个极值点
10.若，则下列说法正确的是（ ）
A. 的展开式中奇数项的二项式系数之和为
B.
C.
D. 的展开式中二项式系数最大项为
11.如图，在边长为1的正方体中，是的中点，是线段上的一点，则下列说法正确的是（ ）

A. 当点与点重合时，直线平面
B. 当点移动时，点到平面的距离为定值
C. 当点与点重合时，平面与平面夹角正弦值为
D. 当点为线段中点时，平面截正方体所得截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知，，则向量在向量上的投影向量是________.
13. 如图所示，积木拼盘由五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色（如：与为相邻区域，与为不相邻区域），现有五种不同的颜色可供挑选，则不同的涂色方法的种数是__________.

14.已知函数有两个零点，则实数a的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 现有编号为，，的3个不同的红球和编号为，的2个不同的白球.
（1）若将这些小球排成一排，要求球排在正中间，且，不相邻，则有多少种不同的排法？
（2）若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则有多少种不同的放法？（注：请列出解题过程，结果用数字表示）
16. 在的展开式中，前三项的二项式系数之和等于.
（1）求的值；
（2）若展开式中的常数项为，试求展开式中系数最大的项.
17. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若恒成立，求正实数的取值范围.
18.如图1，是边长为3的等边三角形，点，分别在线段，上，，，沿将折起到的位置，使得，如图2，
（1）求证：平面平面；
（2）若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求；
（3）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
19. 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数， 是的导函数，则曲线在点处的曲率
（1）求曲线在的曲率；
（2）已知函数，求曲率的平方的最大值；
（3）函数，若在两个不同的点处曲率为0，求实数m的取值范围.