高二数学第一次月考模拟试卷01（江苏专用）-2024-2025学年高二数学下学期（原卷版+解析版）

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1. 若空间向量，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因空间向量，，
则，
因此，.
故选：C.
2.下面导数运算错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 ，故A正确；
故B正确；
故C正确，
故D错误.
故选：
3. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】已知空间向量，，
向量在向量上的投影向量为：
故选：D
4. 函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以，
当时，，单调递减，
当时，令，得，令得，
所以在单调递减，在单调递增，当时，有最小值1，
只有选项B图象符合.
故选：B
5. 已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题设，令，
则，
当或时，，则在和上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
，且时趋向，时趋向，
要使函数既有极大值又有极小值，
即至少有两个变号零点，所以至少有两个变号零点，
所以.
故选：A
6. 已知函数在上有三个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】令，可得，
令，则直线与函数的图象有三个交点，
，令，可得或，列表如下：
如下图所示：
由图可知，当时，即当时，
直线与函数图象有三个交点，
因此，实数的取值范围是.
故选：A.
7. 已知四面体，其中，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】将四面体放在如图所示的长方体中，
因为，，
设长方体的长，宽，高分别为，，，
则，可得，，
以为坐标原点，以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以的中点，
所以，，
所以，
，，
所以．
设直线，所成的角为，,，
所以,．
故选：A．
8. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设，对求导，可得.
令，即，得到，设与交点横坐标为.
当时，，在上单调递增.
当时，，在上单调递减.
因为方程有两个不相等的实数根，所以的最大值.
由可得，即.
而.
设，显然在上单调递增，且，所以.
又因为，当时，.
故选：C.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A. 若空间向量，，则在上的投影向量为
B. 已知，，则点到直线的距离为2
C. 若对空间中任意一点有，则，，，四点共面
D. 若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则
【答案】ABC
【解析】对于A项：在上的投影向量为，故A正确；
对于B项：，故B正确；
对于C项：因为，所以，
所以，即，
所以，，，四点共面，故C正确；
对于D项：因为，
所以，则或，故D错误；
故选：ABC
10. 若函数有两个极值点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则有3个零点
B. 过上任一点至少可作两条直线与相切
C. 若，则只有一个零点
D.
【答案】AD
【解析】根据题意可得，且；不妨设，
当时，易知时，时，；
此时在和上单调递增，在上单调递减；
且当趋近于时，也趋近于；当趋近于时，也趋近于；
利用三次函数性质可知，当，其函数图象如下图所示：
此时由图象可知有3个零点；
同理当时，易知在和上单调递减，在上单调递增；
且当趋近于时，也趋近于；当趋近于时，也趋近于；
利用三次函数性质可知，当，其函数图象如下图所示：
此时由图象可知有3个零点；
所以若，则有3个零点，即A正确；
对B：切线个数
一般地，过三次函数图象的对称中心作切线，则坐标平面被切线和函数的图象分割为四个区域，有以下结论：
（1）过区域内的点作的切线，有且仅有3条；
（2）过区域Ⅱ、Ⅲ内的点以及对称中心作的切线，有且仅有1条；
（3）过切线或函数图象（除去对称中心）上的点作的切线，有且仅有2条.
所以B错误；（即过三次函数的对称中心，有且仅有一条切线）
对C：若，结论都不成立，下面证明：
当时，由选项A易知在处取得极小值，在处取得极大值，且；
若，则，但的正负不确定，
当时，只有一个零点，如图（1），
当时，有两个零点，如图（2），
当时，有三个零点，如图（3）；
所以，零点个数不确定，
同理可证当时，零点个数也不确定，故C不正确.
对D：由三次函数性质可知，函数关于成中心对称，
所以满足，
又是方程的两根，则满足；
所以，即，所以D正确；
故选：AD
11.如图，在棱长为1的正方体中，分别是棱上的动点，且，，，，则（ ）
A. 当时，平面
B. 当时，平面
C. 当时，三棱锥体积的最大值为
D. 当时，的最小值为
【答案】ABD
【解析】以A为原点建立坐标系，则，，,
，，,
时，,故，
,故，
平面，故平面，A正确，
当时，，
由于，故，，
平面,平面,故平面，B正确；
由
当时，，
，故C错误；
当时，则，
，
可将看作是平面内到点的距离之和，
如图：作出关于直线的对称点，
则的最小距离为与点0,1之间的距离，
故，
过与点0,1的直线方程为，令，则，
故当时取等号，D正确．
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 如图，在三棱锥中，是线段AD的中点，则_________.用、、表示
【答案】
【解析由已知，
.
故答案为 ：
13. 已知函数的导函数为，点为函数上任意一点，则在点处函数的切线的一般式方程为__________，该切线在轴上截距之和的极大值为__________．
【答案】 ① ②.
【解析】由函数，可得，
所以，解得，所以，则，
所以在点处的切线方程为，即，
令，可得；令，可得，
设，可得，
令，即，解得，
当或时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，当时，函数取得极大值，极大值为.
故答案为：；.
14. 已知存在实数x，使得不等式成立，则实数t的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由已知，对于两边同时除以得
，
变形得，
设，明显其在上单调递增，
所以由得，
即，
所以原问题转化为存在实数x，使得不等式成立，
又，
所以，解得，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知点
（1）表示出，并求
（2）证明：与四点共面
【答案】（1） （2）证明见解析
【解析】（1）,
所以，故，
（2）设，
解的，
，则共面
又因为为公共点，所以这四个点共面
16. 已知函数．
（1）若是的极值点，求函数的单调性；
（2）在（1）的条件下，当时，求的最值．
【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增．
（2）最小值为，最大值为．
【解析】（1）
因为是的极值点，
所以，可得．
所以，.
因为在上单调递增，且时，，
所以时，，，单调递减；
时， ，，单调递增．
故在上单调递减，在上单调递增．
（2）在（1）的条件下，在上单调递减，在上单调递增．
当时，在上单调递减，在上单调递增．
求，，，
，
∴.
所以，当时，求的最小值为，最大值为．
17. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为福清人喜爱的交通工具.据预测，福清某新能源汽车4S店从2023年1月份起的前x个月，顾客对比亚迪汽车的总需量（单位：辆）与x的关系会近似地满足（其中且），该款汽车第x月的进货单价（单位：元）与x的近似关系是.
（1）由前x个月的总需量，求出第x月的需求量（单位：辆）与x的函数关系式；
（2）该款汽车每辆的售价为185000元，若不计其他费用，则这个汽车4S店在2023年的第几个月的月利润最大，最大月利润为多少元？
【答案】（1），（且）
（2）这个汽车4S店在2023年的第5个月的月利润最大，最大月利润为31250000元
【解析】（1）当时，，
当，且时，
，
当时，符合上式，
故，（且）.
（2）依题意，这个汽车4S店在2023年的第个月的月利润
（且），
，
令，得：或（舍去），
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，取得极大值，也是最大值为.
故这个汽车4S店在2023年的第5个月的月利润最大，最大月利润为31250000元.
18.已知三棱锥中和所在平面互相垂直，求
（1）与所成角的余弦值；
（2）与平面所成角的正弦值；
（3）直线上是否存在点使得二面角为，若存在求出BP的长，不存在说明理由.
【答案】（1） （2） （3）存在，或
【解析】（1）在平面ABC内过B作垂直于BC的直线BE，因为平面ABC与平面BDC垂直，
且平面平面，所以平面，
因为平面，所以，
又，所以BE，BD，BC两两垂直，建立如图空间直角坐标系
则
，
，
所以异面直线与所成角的余弦值为;
（2）平面BCD的法向量，
所以，
则与平面所成角的正弦值为；
（3）假设存，设，
设平面CDP的法向量，
，取，则，，
则，
所以或
则点P存在
所以或.
19. 已知函数.
（1）当时，直线（为常数）与曲线相切，求的值；
（2）若恒成立，求的取值范围；
（3）若有两个零点，求证：.
【答案】（1） （2） （3）证明见解析
【解析】（1）当时，.
设切点，则
消得，解得，代入得.
（2）因为，
所以，
当时，设，则，
所以当时，单调递减；
当时，单调递增.
所以.
又-axe，故恒成立，所以成立.
当时，，
所以当时，单调递减；
当时，单调递增.
故，解得，又，所以，
综上所述，的取值范围为.
（3）因为有两个零点，不妨设，
则，
即，即，
令，则，
所以当时，单调递减；
当时，单调递增.
所以.
令，则单调递增，
又，所以，即.
由的单调性可知.
构造函数.
则，
故上单调递减，
又，所以，则，即，
又，所以，
又在上单调递增，所以.
故.
0,+∞
增
极大值
减
极小值
增