期末模拟测试卷04-2022-2023学年高一数学下学期期末模拟测试卷（苏教版2019必修第二册）（原卷版+解析版）

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2022-2023学年高一数学下学期期末考试仿真模拟试卷04一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数满足，则（    ）A.  B. 5 C.  D. 6【答案】A【解析】因为，所以，所以.故选：A2．同时抛掷两颗骰子，观察向上的点数，记事件“点数之和为7”，事件“点数之和为3的倍数”，则（    ）A. 为不可能事件 B. 与为互斥事件C. 为必然事件 D. 与为对立事件【答案】B【解析】同时抛掷两颗骰子，有36个结果，事件“点数之和为7”，包括：，，，，，.事件“点数之和为3的倍数”，包括，，，，，，.所以为“点数之和为7或3的倍数”，不是不可能事件.故A错误；与为互斥事件，故B正确；为不可能事件.故C错误；事件A、B不能包含全部基本事件，故与不是对立事件.故D错误.故选：B3．已知向量，，若与共线，则实数的值为（    ）A.  B. 1 C.  D. 0【答案】C【解析】由已知，，又与共线，所以，解得．故选：C．4．“宝塔有湾湾有塔，琼花无观观无花”，这宝塔即为文峰宝塔，文峰塔是水陆交通进出扬州的标志，此塔最宜登高远眺，俯观塔下殿宇静谧安详，运河流淌，形成动静对比. 某个学生想要测量塔的高度，选取与塔底在同一个水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为（    ）米.A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】在三角形中：，由正弦定理得，在中，米.故选：D5．陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一.如图，一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱，其中总高度为，圆柱部分高度为，已知陀螺的总体积为，则此陀螺圆柱底面的面积为（    ）A  B.  C.  D. 【答案】B【解析】由题，圆锥部分高度为，故，即，可解得，故选：B6．在中，内角的对边分别为.若的面积为，且，，则外接圆的面积为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】由余弦定理得，，所以又，，所以有，即，所以，由正弦定理得，，得所以外接圆的面积为．故选：D7．已知平面向量，，均为单位向量，且，的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】由平面向量，，均为单位向量，且，根据向量的减法的几何意义，可判定，与构成等边三角形，所以，向量夹角为，,所以当与同向时，原式取到最小值；当与反向时，原式取到最大值4.故选：C.8．若，则（    ）A. 0 B.  C. 1 D. 【答案】C【解析】由，可得，又由正弦的倍角公式，可得，即，令，则，解得，所以.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知一组样本数据，，，…，，将这组样本数据中的每一个数加2，得到一组新样本数据，，，…，，则（    ）A. 两组样本数据的中位数相同 B. 两组样本数据的极差相同C. 两组样本数据的标准差相同 D. 两组样本数据的平均数相同【答案】BC【解析】 对于A，设原样本数据的中位数为，则新样本数据的中位数为，故A错误；对于B，不妨设原样本数据最大为，最小为，则原样本数据中，样本数据的极差为，新样本数据中，样本数据的极差为，故B正确．对于D，原样本数据的样本平均数为，新样本数据的样本平均数为，故D错误；对于C，原样本数据的标准差为：，新样本数据标准差为：，故C正确；故选：BC．10．在中各角所对得边分别为a，b，c，下列结论正确的有（    ）A. 则为等边三角形；B. 已知，则；C. 已知，，，则最小内角的度数为；D. 在，，，解三角形有两解.【答案】ABC【解析】对选项A，因为，所以.又因为，所以，即为等边三角形，故A正确.对选项B，因为，所以，所以.又因为，所以，故C正确.对选项C，因为，所以为最小角，，又因为，所以，故C正确.对选项D，因为，所以，故不存在，D错误.故选：ABC11．一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有1~9这9个数字（1张卡片上标1个数），“从中任抽取1张卡片，结果卡片号或为1或为4或为7”记为事件，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号小于7”记为事件，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号大于7”记为事件.下列说法正确的是（    ）A. 事件与事件互斥 B. 事件与事件对立C. 事件与事件相互独立 D. 【答案】AC【解析】样本空间为，因为，所以事件与事件互斥，故A正确；因为，，所以事件与事件不对立，故B错误；，，，即事件与事件相互独立，故C正确；因为，所以事件与事件不互斥，故D错误；故选：AC12．如图，正方体的棱长为2，E，F，G分别为棱BC，，的中点，则下列结论正确的是（    ）  A. 直线EF到平面的距离为2B. 直线AE与直线的夹角的余弦值为C. 点C与点G到平面AEF的距离之比为D. 平面AEF截正方体所得截面面积为【答案】ACD【解析】对于A项，∵平面∥平面，平面，∴直线EF到平面的距离即平面与平面的距离，由正方体的特征可知该两个面距离为2，故A正确；对于B项，如图，取的中点M，连接，易证 ∥，∴是直线AE与直线的夹角，∵，，∴，故B错误；  对于C项，记点C与点G到平面AEF的距离分别为、，∵，，∴，即点C与点G到平面AEF的距离之比为，故C正确；对于D项，连接、，易证∥，即A、、F、E四点共面，∴平面AEF截正方体所得截面为梯形，如图作，垂足为N，  ∵，，，∴，，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．甲、乙两名篮球运动员在随机抽取的12场比赛中的得分情况如下：甲：12，15，20，25，31，31，36，36，37，39，44，49；乙：8，13，14，16，23，26，28，29，31，38，39，51．则运动员甲得分的25百分位数与运动员乙得分的80百分位数的和为______．【答案】60.5【解析】因为，故运动员甲得分的25百分位数为从小到大排列的第3和4个数的平均数，为；又，所以运动员乙得分的80百分位数为从小到大排列的第10个数，为，所以故答案为：60.514.设是虚数单位，复数，，请写出一个满足是纯虚数的复数___________.【答案】（只要满足，且）【解析】由已知可得为纯虚数，则.所以，且，故满足题设条件的复数可以是.故答案为：（只要满足，且）15.锐角中，内角的对边分别为，若，则的面积的取值范围是________【答案】【解析】由余弦定理得，因为，所以，所以，当时，，当时，，因为锐角，所以，所以.故答案为：16．如图，在中，，，，分别为，的中点，为与的交点，且.若，则___________；若，，，则___________.【答案】    ①.     ②. 【解析】连接DF，因为，分别为，的中点，所以是△ABC的中位线，所以，则，所以，所以；，故故答案为：，四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知平面向量，．（1）求的值；（2）若向量与夹角为，求实数λ的值．【答案】（1）    （2）或【解析】（1）因为，，所以， 所以；（2），所以，，又向量与夹角为，所以，即，即，解得或.18．已知，α∈（，π），，β∈（π，）.（1）求cos（α+β）的值；（2）求tan2β的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，所以，又因为，所以，.（2）由（1），则。19．眼睛是心灵的窗户，保护好视力非常重要，某校高一、高二、高三年级分别有学生1200名、1080名、720名.为了解全校学生的视力情况，学校在6月6日“全国爱眼日”采用分层抽样的方法，抽取50人测试视力，并根据测试数据绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）求从高一年级抽取的学生人数；（2）试估计该学校学生视力不低于4.8的概率；（3）从视力在[4.0，4.4)内的受测者中随机抽取2人，求2人视力都在[4.2，4.4）内的概率.【答案】（1）20；（2）；（3）.【解析】（1）高一年级抽取的学生人数为：.所以从高一年级抽取的学生人数为20.（2）由频率分布直方图，得，所以.所以抽取50名学生中，视力不低于4.8的频率为，所以该校学生视力不低于4.8的概率的估计值为.（3）由频率分布直方图，得视力在内的受测者人数为，记这2人为，视力在内的受测者人数为，记这3人为.记“抽取2人视力都在内”为事件A，从视力在内的受测者中随机抽取2人，所有的等可能基本事件共有10个，分别为，则事件A包含其中3个基本事件：，根据古典概型的概率公式，得.所以2人视力都在内的概率为.20．已知在中，内角，，所对的边分别为，，，.（1）求；（2）若，，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，所以.又，所以，即，即.又，所以，则由，得.（2）由正弦定理，得，则由余弦定理得，解得(负值舍去)，所以.21．为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，惠州市某学校组织防疫知识挑战赛，每位选手挑战时，主持人从电脑题库中随机抽出3道题，并编号为，，，并依次展示题目，选手按规则作答．挑战规则如下：①选手每答对一道题目得5分，每答错一道题目扣3分：②选手若答对第题，则继续作答第题：选手若答错第题，则失去第题的答题机会，从第题开始继续答题：直到3道题目回答完，挑战结束：③选手初始分为0分，若挑战结束后，累计得分不低于7分，则选手挑战成功，否则挑战失败．选手甲即将参与挑战，已知选手甲答对题库中任何一题的概率均为，各次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求：（1）挑战结束时，选手甲恰好作答了2道题的概率；（2）选手甲挑战成功的概率．【答案】（1）    （2）【解析】（1）设为选手答对题，其中，2，3设挑战结束时，选手甲恰好作答了2道题为事件，选手甲恰好作答了2道题即选手甲第一题答错或第一题答对且第2题答错，，由概率的加法公式和事件独立性的定义得．即挑战结束时，选手甲恰好作答了2道题的概率为；（2）设选手甲挑战成功为事件，若选手甲挑战成功，则选手甲共作答了3道题，且选手甲只可能作答2道题或3道题， “选手甲闯关成功”是“选手甲恰好作答了2道题”的对立事件，根据对立事件的性质得．所以选手甲挑战成功的概率；22．如图，在四棱锥P－ABCD中，PB＝PD，PA⊥PC，M，N分别为PA，BC的中点底面四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB＝60°，AC交BD于点O．（1）求证：MN∥平面PCD；（2）二面角B－PC－D的平面角为θ，若．①求PA与底面ABCD所成角的大小；②求点N到平面CDP的距离．【答案】（1）证明见解析；    （2）① ②.【解析】（1）取PD得中点E，连接ME，CE，如图，为PA的中点，，为的中点且四边形ABCD为菱形，.，四边形MNCE为平行四边形，,又MN平面PCD, CE平面PCD, MN∥平面PCD.（2）①连接PO，过作于，连接，由PB＝PD，是的中点，，由菱形知，又，平面，平面，平面平面，且交线为，直线在平面上的射影为，即PA与底面ABCD所成角为.平面，，且在平面上的射影为，，又PA⊥PC，，是的中点，是PC的中点，，由知，, ，为二面角B－PC－D的平面角，,即，解得，,， ，，即PA与底面ABCD所成角的大小为.②连接，过作于，由，平面，平面，平面点N到平面CDP的距离即点到平面CDP的距离，，平面，平面平面,且是交线，，平面，在中，，，，由等积法可得，即，即点N到平面CDP的距离为