寒假作业04 概率的进一步认识+投影与视图15大题型（巩固培优）九年级数学北师大版（原卷版+解析版）

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作业04 概率的进一步认识+投影与视图
知识点一、概率
1.概率的概念
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A).
知识点二、概率的计算
（1）公式法
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果,那么事件A发生的概率为P(A)＝
（2）列表法
当一次试验要涉及两个因素(例如掷两个骰子)并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.
（3）画树状图
当一次试验要涉及3个或更多的因素(例如从3个口袋中取球)时，列表就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图.
（4）几何概型
一般是用几何图形的面积比来求概率，计算公式为：P(A)＝,解这类题除了掌握概率的计算方法外，还应熟练掌握几何图形的面积计算.
（5） 游戏公平性
判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相等的前提下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率都相等，则游戏公平，否则不公平.
知识点三、用频率估计概率
1.频率与概率的定义
频率：在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数m与试验总次数n的比值.
概率：事件A的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）.
2.频率与概率的关系
事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.
3.利用频率估计概率
当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.
知识点四、投影
1.投影现象：物体在光线照射下，在地面或其他平面上留下影子的现象，影子所在平面为投影面。
2.中心投影：手电筒、路灯和台灯等光线可看成从一点发出，这样的光线照射物体所形成的投影为中心投影。等高物体垂直地面放置时，离点光源近的影子短，远的影子长；等长物体平行于地面放置时，离点光源越近，影子越长，越远则越短，但不会短于物体本身长度。
3.平行投影：太阳光线可看成平行光线，其形成的投影为平行投影。等高物体垂直地面放置时，在太阳光下影子一样长；等长物体平行于地面放置时，在太阳光下影子一样长且等于物体本身长度。在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例。
4.正投影：当平行光线与投影面垂直时的投影，是特殊的平行投影。
知识点五、中心投影与平行投影的区别与联系
1.区别：太阳光线平行，太阳光下影子长度与物体高度成比例，同一时刻影子方向总是相同；灯光发散，灯光下影子与物体高度不一定成比例，影子方向可能相同也可能不同。
2.联系：都是研究物体投影的方式，平行投影由平行光线形成，如太阳光线、月光等；中心投影由一点发出的光线形成，如灯泡、手电筒的光线等。
五、视图
1.三视图的概念：用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形称为视图。从正面、左面和上面观察物体，分别得到主视图、左视图和俯视图，它们统称为三视图。
2.三视图的关系：位置上，俯视图在主视图下方，左视图在主视图右方；大小上，遵循主视图与俯视图长对正，主视图与左视图高平齐，左视图与俯视图宽相等的原则。
3.画几何体的三视图：先确定主视图位置并画出，再在主视图正下方画出俯视图，保证长对正，在主视图正右方画出左视图，做到高平齐、宽相等，几何体上被遮挡看不见部分的轮廓线画成虚线。
4.由三视图想象几何体的形状：分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面，再综合考虑整体图形，可根据实线和虚线想象看得见和看不见的轮廓线，也可通过熟记简单几何体的三视图来帮助想象复杂几何体的形状。
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
题型一 几何概率
1．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）小明对着一个如图所示的圆盘练习掷飞镖，这个圆盘由两个同心圆组成，被过圆心且互相垂直的两条直线分成了若干部分，则小明掷在空白区域的概率是（ ）
A．B．C．D．
2．（25-26九年级上·江西南昌·月考）如图所示为一组太阳能电池板的简化网格示意图，其中深色区域表示光伏吸收区，若一个小球在板面上自由滚动，并随机停留在某个方格内，那么它最终停留在光伏吸收区的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）小明把如图所示的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在黑色区域的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，点D，E，F分别是各边的中点，连接DE，DF，随机向中掷一粒米，则这粒米落在阴影部分的概率为 ．
5．（25-26九年级上·全国·单元测试）（1）一只小狗在如图所示的方砖上走来走去，求最终停在阴影方砖上的概率；
（2）在中，是两条对角线，现有以下条件：①；②；③；④．从中任取一个作为条件，求可判定是菱形的概率．
题型二 列举法求概率
6．（25-26九年级上·全国·期中）经过某个十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转，假设这 种可能性相同，现有两辆汽车经过这个十字路口，驶向相同方向的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．（2025九年级上·全国·专题练习）有四张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有“乒乓球”、“羽毛球”、“跳水”、“篮球”四种不同的图案，现将这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张卡片，则抽到的两张卡片的正面图案恰好是“乒乓球”和“篮球”的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．（25-26九年级上·河北邯郸·月考）有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着2，3，4，5，随机抽取3张，用抽到的三个数字作为边长，恰能构成三角形的概率是 ．
9．（25-26九年级上·全国·月考）某校举行秋季运动会，甲、乙两人报名参加比赛，预赛分、、三组进行，运动员通过抽签决定分组．则甲、乙两人恰好分到同一组的概率是 ．
10．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）在一个不透明的口袋中装有三个小球，分别标有数字，0，1，每个小球除数字不同其余均相同，每次取出前都先摇匀．
(1)从口袋中随机取出一个小球，取出的小球上的数字不为0的概率是______．
(2)从口袋中随机取出一个小球不放回，记小球上的数字为，摇匀后再从剩下的小球中随机取出一个小球，记小球上的数字为．将有序数对记为点坐标，标记到平面直角坐标系中，求得到的点坐标在第二象限的概率．
题型三 树状图法求概率
11．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）随着科技的飞速发展，AI人工智能应运而生多种AI软件崭露头角，某班级为更好地了解软件，计划举办手抄报展览，确定了“”“豆包”“”三个主题，若小红和小明从中各随机选择其中一个主题，则他们恰好选中同一个主题的概率是（ ）．
A．B．C．D．
12．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，有三张卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗均匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为的值，放回后再从中随机抽取一张，以其正面的数字作为的值，则点在第三象限的概率是（ ）．
A．B．C．D．
13．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，两个转盘分别被分成面积相等的几个扇形，同时转动两个转盘各一次，转盘停止时指针所指扇形的颜色即为转出的颜色（若指针指向两个扇形的分割线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止），则转盘停止时，两个转盘均停在红色区域的概率是 ．
14．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）某一物理实验的电路图如图所示，其中，，为电路开关，、为能正常发光的灯泡．任意闭合开关，，中的两个，那么能让灯泡发光的概率为 ．
15．（2025·安徽·模拟预测）某中学随机抽取九年级部分学生参加冬季山林防火知识测试，将成绩分成A，B，
C，D四个等级，并绘制成如下不完整的统计图表：
(1)抽取的学生人数为_______，扇形统计图中B等级所在扇形的圆心角度数为_______°．
(2)九（1）班有8位同学参加测试，成绩(单位：分)分别为：80，80，70，70，70，70，100，100，则这8位同学成绩的中位数为_______分，众数为_______分；
(3)若从成绩为A，B两个等级的学生中任选两位参加市级测试，求其中至少有一位是A等级的概率．
题型四 游戏的公平性
16．（2025·安徽合肥·二模）五一期间，新上映的一部动漫电影深受中学生的喜爱，爸爸购得此电影票一张，姐姐、哥哥和妹妹三人都想去看，于是爸爸抛出两枚均匀的色子，将两枚色子点数相加后除以3，规定：当正好整除时姐姐去，当余数是1时哥哥去，当余数是2时妹妹去．这个游戏（ ）
A．是公平的B．有利于姐姐C．有利于哥哥D．有利于妹妹
17．（24-25九年级上·湖南长沙·月考）众所周知，“石头、剪刀、布”游戏规则是比赛时双方任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种．石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，若双方出相同手势，则算打平，小明和小红玩这个游戏，他们随机出一种手势，则小明获胜的概率为（ ）
A．B．C．D．
18．（24-25九年级上·湖南衡阳·开学考试）小军和小红用2、3、4三张数字卡片做游戏，如果摆出的三位数是偶数，算小红赢，否则算小军赢，这个游戏规则 （填“公平“或“不公平”）．
19．（24-25九年级下·陕西商洛·月考）甲、乙两人玩转盘游戏，如图转盘被平均分为3个区域，颜色分别为黑、白、红．游戏规则是∶转动转盘，待转盘自动停止后，其指针指向的颜色即为转出的颜色(如果指针指在两区域的分界线上，则重转一次)．两人参与游戏，一人转动两次转盘，另一人对转出的颜色进行猜测．若转出的颜色与猜测的人描述的特征相符，则猜测的人获胜；否则，转动转盘的人获胜．

(1)随机转动转盘一次，指针指向白色的概率是 ；
(2)小明和小丽玩转盘游戏，小丽转动转盘，小明进行猜测，转动转盘前，小明想了两种猜测特征，第一种是猜测“两次转出的颜色相同”；第二种是猜测“转出的一定有黑色”．请你帮小明选择其中一种猜测特征，使他获胜的可能性更大，并说明理由．
（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）某中学九年级有八个班，学校准备从中抽调两个班参加社区公益活动．各个班级都积极参与，由于某种特殊原因，一班必须参加，另外从二至八班中再选一个班参加有人提议用如下的方法随机选择一个班级，具体方案是：在四个相同的乒乓球上分别标上数字1、2、3、4，并放入一个不透明的袋中，摇匀后从中随机摸出一个乒乓球，放回后，再随机摸出一个，摸出的两个数字相加，和是几就选几班．请你求出每一个班级被选中的概率，并判断这种方法是否公平．
题型五 概率在比赛中的应用
21．（24-25九年级·浙江杭州·期中）在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能利通关，两题均有四个选项，此选手只能排除第1题的一个错误选项，第2题完全不会，他还有两次“求助”机会（使用可去掉一个错误选项），为提高通关概率，他的求助使用策略为（ ）
A．两次求助都用在第1题B．两次求助都用在第2题
C．在第1第2题各用一次求助D．两次求助都用在第1题或都用在第2题
22．（2025九年级上·湖南邵阳·竞赛）甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？
答：甲得 元；乙得 元．
23．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）小丽和小亮用10张写有的卡片做游戏，这10张卡片除数字外完全相同，将它们背面朝上混合均匀后，从中任意抽出一张．
(1)抽出卡片上的数字是3的倍数的概率是________；
(2)小丽和小亮规定：小丽从中任意抽出一张卡片，小亮从剩余的卡片中任意抽出一张，谁抽到卡片上的数字大谁就获胜，现在小丽抽到数字6的卡片，然后小亮抽出卡片，那么谁获胜的概率大？
24．（24-25九年级上·广东深圳·期中）小明和小亮利用质地均匀的骰子做游戏，规则如下：
根据下面这个表格中的数据记录回答：
(1)在第一次游戏中，小明的最终得分是________分，小亮的最终得分是________分，所以获胜的是________（填小明或小亮）；
(2)在第二次游戏中，如果小明继续掷第三次，试计算他最终得分为0的概率；
(3)在第二次游戏中，如果你是小亮，在不知道小明最终得分的情况下，你会继续掷第三次吗？请说明你的理由．
25．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图A和图B均是一个均匀的可以自由转动的转盘，A盘被分成了6个面积相等的扇形区域，B盘被分成3个面积相等的扇形区域，在每一个扇形内均标有不同的自然数，分别旋转两个转盘，转盘停止后，将A盘转出的数字记为，B盘转出的数字记为．
(1)若分别转动A盘和B盘一次，求A盘，B盘转出数字“2”的概率；
(2)小华认为，A盘转出的数字大于4的概率与B盘转出数字“4”的概率相同，请你判断他的看法是否正确，并说明理由．
题型六 概率的其他应用
26．（2025九年级上·广东深圳·竞赛）的矩形被分为6个的区域，现在有6种颜色供选择，要求每个区域染一种颜色，并且相邻区域颜色不同，则一共有（ ）种染色方案？
A．13230B．27000C．12300D．14400
27．（2025·湖南长沙·模拟预测）“交通文明，让长沙与我一起白头偕老”．自长沙开展“文明城市创建”以来，我市学生更加自觉遵守交通规则．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个路口，该路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到红灯的概率为（ ）
A．B．C．D．
28．（25-26九年级上·北京·月考）一个袋中装有偶数个球，其中黑球、白球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，先随机将其中一个球放入甲盒．如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是白球，则另一个球放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中．
（1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是 ．
（2）若乙盒中最终有6个黑球，则袋中原来最少有 个球．
29．（2025·福建·模拟预测）在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，男性、女性日常生活中几乎全部领域都支持手机支付．出门不带现金的人数正在迅速增加．中国人民大学和法国调查公司益普素合作，调查了腾讯服务的名用户（男性人，女性人），从中随机抽取了名（女性人），统计他们出门随身携带现金（单位：元），规定：随身携带的现金在元以下（不含元）的为“手机支付族”，其他为“非手机支付族”．
(1)①：根据已知条件，将下列横线表格部分补充完整（其中，）；
②：用样本估计总体，由①可得，若从腾讯服务的女性用户中随机抽取位，求这位女性用户是“手机支付族”的概率．
(2)某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案、
方案一：手机支付消费每满元可直减元：
方案二：手机支付消费每满1000元可抽奖一次，抽奖规则如下：从装有个小球（其中个红球个白球，它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸出个小球（逐个放回后抽取），若摸到个红球则打折，若摸到个红球则打折，若未摸到红球按原价付款．
如果你打算用手机支付购买某样价值元的商品，请从实际付款的平均金额的角度分析，选择哪种优惠方案更划算．
30．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）某学习小组为估计一枚质地不均匀的骰子掷出“6点”的概率，进行了1000次重复掷骰子试验，其中掷出“6点”的次数为180次，则下列说法正确的是（ ）
A．这枚骰子掷出“6点”的概率一定是
B．再做1000次试验，掷出“6点”的次数一定还是180次
C．估计这枚骰子掷出“6点”的概率约为
D．试验次数越少，估计的概率越准确
题型七 用频率估计概率
31．（24-25九年级下·安徽六安·月考）如图，是由边长为个单位长度的小正方形组成的的网格，其中有一“心形”图案．数学小组为了探究“心形”图案的面积，进行了计算机模拟试验，得到如下数据：
根据表中的数据，估计“心形”图案的面积为（ ）
A．B．C．D．
32．（24-25九年级上·安徽宿州·期中）一个不透明的口袋中装有10个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，记为一次摸球试验，经过大量试验发现摸到红球的频率稳定在0.4附近，则口袋中黄球大约有（ ）个
A．15B．8C．16D．18
33．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）如今我们生活在数字时代，很多场合都要用到二维码．小郑帮妈妈打印了一个收款二维码，如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码内随机掷点，经过大量的重复试验发现，点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计该二维码中黑色区域的面积为 ．
34．（2025·安徽·模拟预测）1777年，法国科学家布丰提出了一种计算圆周率的方法－随机投针法，即著名的布丰投针问题．在平面上画有一组间距为的平行线，将一根长度为的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任一条相交的概率，同时也证明了：这个概率是．某数学兴趣小组做了这个实验来估计的近似值．他们取，得到实验数据如下：
由此估计的近似值为 （精确到0.01）．
35．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的黑、白两种球，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据：
(1)当的取值越来越大时，摸到白球的频率将会接近___________．（结果精确到）
(2)若该盒子里装有黑、白两种球共个，试估算白球的个数．
题型八 投影
36．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图是圆桌正上方的灯泡（看作一点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）示意图，已知桌面的直径为，桌面距地面，若灯泡距地面，则地面上的阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
37．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．一个正方形纸板的正投影不可能是（ ）
A．一条线段B．一个与原正方形全等的正方形
C．一个邻边不等的平行四边形D．一个等腰梯形
38．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）皖南皮影戏又称太平戏，被列入安徽省第二批省级非物质文化遗产，皖南皮影戏属于 投影．（填“平行”或“中心”）
39．（24-25九年级上·安徽宿州·月考）如图，和是直立在地面上的两根立柱，某一时刻在太阳光下的投影是．
(1)太阳光下形成的投影属于___________；（填“平行投影”或“中心投影”）
(2)请你在图中画出此时在太阳光下的投影；
40．（24-25九年级上·安徽宿州·月考）如图，电线杆上有盏路灯O，小明身高，他从点F出发，沿直线运动，当他运动到达点D处时（即），测得影长，再前进到达点B处时（即），测得影长．（图中线段，，表示小明的身高，，，均与垂直，且在同一平面上）
(1)请画出路灯O的位置和小明位于F处时的影子；
(2)求路灯O到地面的距离．
题型九 判断三视图
41．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，是收藏于中国国家博物馆的四羊方尊立体图形，有关其三视图说法正确的是（ ）
A．主视图与左视图完全相同B．主视图与俯视图完全相同
C．左视图与俯视图完全相同D．三视图各不相同
42．（2025·安徽·模拟预测）下图中的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
43．（2025·安徽·模拟预测）如图是由6个大小相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
44．（24-25九年级上·广东深圳·期末）如图，是用若干个边长为1的小正方体堆积而成的几何体，该几何体的左视图的面积为
45．（2025·安徽合肥·三模）用8个相同的小正方体搭成一个几何体，其俯视图如图所示，那么左视图一定不是（ ）
A．B．C．D．
题型十 三视图的画法
46．（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图是由若干个完全相同的小正方体堆成的几何体，请你画出这个几何体的三种视图．
47．（24-25九年级上·全国·课后作业）画出这个几何体从正面、左面和上面看到的图形．
48．（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）如图所示是由五个小立方体构成的立体图形，请你分别画出从它的正面、左面、上面三个方向看所得到的平面图形．
49．（24-25九年级上·贵州贵阳·期末）如图是由六个完全相同的小正方体组成的几何体，分别画出从正面、左面、上面看到的形状图．

50．（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图，是由6个大小相同的小立方体块搭建的几何体，在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图．
题型十一 小方块堆砌图形的三视图
51．（24-25九年级上·安徽宿州·月考）用小立方块搭一个几何体，从正面和从上面看到的这个几何体的形状图如图所示，其中从上面看到的图中，小正方形内的字母表示该位置小立方块的个数，试回答下列问题．
(1)求x、z各表示的数；
(2)y可能是多少？并画出当y值最小时，该几何体的左视图．
52．（24-25九年级上·河南开封·月考）如图是由若干个完全相同的棱长为1的小正方体堆成的一个几何体．
(1)请在方格中分别画出它的主视图、左视图和俯视图；
(2)该几何体是由 个小正方体堆成的；
(3)若再添加n个小正方体，使新得到的几何体从正面和左面看到的平面图形不变，则n的最大值为 ．
53．（24-25九年级上·广东深圳·期中）由大小相同的边长为1cm小立方块搭成的几何体如图．
(1)请在方格纸中分别画出这个几何体从左面和上面看到的形状；
(2)这个几何体的表面积为_______．
(3)用相同形状的小立方块重新搭一个几何体，使得它从上面看和从左面看到的与你在上图方格中所画的图一致，这样的几何体最少要_______个立方块，最多要_______个立方块．
54．（24-25九年级上·江苏南京·月考）根据要求完成下列题目．
（1）图中有_____块小正方体．
（2）请在方格纸中分别画出它的左视图和俯视图（画出的图都用铅笔涂上阴影）．
（3）用小正方体搭一几何体，使得它的俯视图和左视图与你在下图方格中所画的图一致，则这样的几何体最少要____个小正方体，最多要____个小正方体．
55．（24-25九年级上·贵州贵阳·开学考试）在平整的地面上，有一个由若干个相同的小立方块搭成的几何体，如图所示．
（1）请依次画出从正面、左面、上面看这个几何体得到的图形；
（2）现在还有一些相同的小立方块，如果要保持从上面和左面看到的图形不变，那么最多可以添加几个这样的小立方块？

题型十二 求三视图的表面积
56．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）已知一个几何体的三视图如图所示，根据所示数据，求该几何体的侧面积和体积．
57．（24-25九年级上·安徽宿州·单元测试）已知下图为一几何体从不同方向看到的图形．
(1)写出这个几何体的名称；
(2)若长方形的高为8，三角形的边长为3，求这个几何体的侧面积．
58．（2025·安徽安庆·一模）一个几何体的三种视图如图所示．求这个几何体的表面积．（结果保留）

59．（24-25九年级上·安徽宿州·单元测试）某几何体的三视图如图：
(1)此几何体是名称叫什么？
(2)求此物体的全面积（结果保留含π）．
60．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，是一个几何体从三个方向看所得到的形状图．
(1)写出这个几何体的名称；
(2)若从正面看长方形的高为，从上面看三角形的边长为，求这个几何体的侧面积．
题型十三 求三视图的体积
61．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）用若干个棱长为1的小正方体搭一个几何体，从上面看到这个几何体的形状如图所示（小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数）．
(1)请在图中画出主视图和左视图；
(2)这个几何体的体积是______．
62．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，这是由两个长方体组合而成的一个立体图形的主视图和左视图，根据图中所标尺寸（单位：）解答下列问题．
(1)直接写出上下两个长方体的长、宽、高分别是多少；
(2)求这个立体图形的体积．
63．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）图2是几个完全相同的小正方体搭成的一个几何体，每个小正方体的棱长为．
(1)请画出从不同方向看该几何体得到的平面图形；（在图1的方格内涂上相应的阴影即可）
(2)请计算出该几何体的体积．
64．（24-25九年级上·山东枣庄·月考）在一个大正方体的角上切去一个小正方体，剩余的几何体如图所示，其中从正面、左面、上面看这个几何体时，看到的形状图如图①②③所示．
(1)该几何体的主视图是 ，左视图是 ；（填序号）
(2)若大正方体的棱长为，小正方体的棱长为，求这个几何体的表面积与体积．
65．（24-25九年级上·陕西榆林·月考）如图是一个几何体从三个方向看所得到的形状图，回答下列问题：
(1)这个几何体是由圆柱和________________组成；
(2)求这个几何体的体积（，结果保留，单位：cm）
题型十四 有三视图判断小立方体的个数
66．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，一个几何体是由几个同样大小的小正方体搭成的几何体．
(1)该几何体由______个小正方形组成；
(2)请分别画出该几何体的主视图、左视图；
(3)若小正方形的边长为1，请求出该几何体的表面积（含下底面）？
67．（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图是由若干个相同的小立方块组成的几何体．
(1)这个几何体由______个小立方块组成；
(2)画出从上面、左面观察所看到的几何体的形状图．
68．（24-25九年级下·贵州贵阳·月考）用小正方体搭一个几何体，使它的左视图和俯视图如图所示，俯视图中的小正方形中字母表示该位置小正方体的个数，试回答下列问题：
(1)各等于几？
(2)当时，画出这个几何体的主视图．
69．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）用多个相同的小立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方形中字母表示该位置小立方块的个数，请解答下列问题：
(1)______，______，______．
(2)这个几何体最少由______个小立方块搭成，最多由______个小立方块搭成．
(3)若，，请画出这个几何体的左视图．
70．（2025九年级上·全国·专题练习）小欣和小悦用一些大小相同的小立方块搭几何体，想要使该几何体从正面和上面看到的形状图如图所示．从上面看到的形状图中小正方形中的字母表示在该位置小立方块的个数．
(1)表示几？
(2)小欣说的值一定为，请问小欣的说法是否正确？请说明理由；
(3)这个几何体最少由几个小立方块搭成？最多呢？
题型十五 已知三视图求最多或最少得小立方体的个数
71．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，是由个大小相同的小正方体搭建的几何体，其中每个小正方体的棱长为1．
(1)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图；
(2)用同样大小的小正方体搭一个新的几何体，使得从左面、上面看到的该几何体的形状图与你在方格中所画一致，则搭这样一个几何体最少要_______个小立方块．
72．（25-26九年级上·四川达州·期中）如图是由棱长都为的6块小正方体组成的简单几何体．
(1)请在方格中画出该几何体的三个视图并求该几何体的表面积（包括底面）；
(2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加 块小正方体．
73．（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图所示的几何体是由若干个相同的小正方体组成的．
(1)画出从正面、左面观察所看到的几何体的形状图；
(2)在不改变此几何体从正面、左面观察所看到的形状图的情况下，最多还可以添加___________个小正方体．
74．（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）如图是由棱长都为的6块小正方体组成的简单几何体．
(1)请在方格中画出该几何体从三个方向看到的形状图．
(2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持从正面看和左面看的形状图形不变，最多可以再添加______块小正方体，
75．（25-26六年级上·山东淄博·月考）把6个相同的小正方体摆成如图所示的几何体．
(1)画出该几何体的主视图、左视图、俯视图；
(2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加_______个小正方体．
(3)已知每个小正方块的棱长为，求出这个几何体的表面积．
1．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏．如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看，此规则（ ）
A．公平B．对小颖有利C．对小亮有利D．公平性不可预测
2．（24-25九年级上·安徽六安·期末）明明和亮亮在一次大量重复试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率
B．掷一枚质地均匀的硬币，出身反面朝上的频率
C．从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到的是偶数的频率
D．从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案的频率
3．（25-26九年级上·安徽·期中）在一个不透明的口袋中装有8个白球和若干个红球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有 个．
4．（2025·安徽蚌埠·三模）一场篮球比赛需要2名裁判员，现从4名（3男1女）裁判员中任意选取2人担任某场篮球比赛的裁判，则这2名裁判员中既有男裁判员，又有女裁判员的概率是 ．
5．（25-26九年级上·安徽淮南·月考）某学校七年级数学兴趣小组组织一次数学活动，在一座有三道环形路的数字迷宫的每个进口处都标记着一个数，要求进入者把自己当作数“1”，进入时必须乘进口处的数，并将结果带到下一个进口，依次累乘下去，在通过最后一个进口时，只有乘积是5的倍数，才可以进入迷宫中心，现让一名5岁小朋友小军从最外环任一个进口进入．
(1)小军能进入迷宫中心的概率是多少？请画出树状图进行说明．
(2)小组两位组员小张和小李商量做一个小游戏，以猜测小军进迷宫的结果比胜负．游戏规则规定：小军如果能进入迷宫中心，小张和小李各得1分；小军如果不能进入迷宫中心，则他在最后一个进口处所得乘积是奇数时，小张得3分，所得乘积是偶数时，小李得3分，你认为这个游戏公平吗？请说明理由；如果不公平，请在第二道环进口处的两个数中改变其中一个数使游戏公平．
6．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）将正面分别写有数字的四张卡片（除数字外卡片完全相同）反面朝上放在桌面上，从中任意抽取一张卡片记下数字后反面朝上放回洗匀，洗匀后再抽取一张．若将第一次抽取的卡片数字记为点的横坐标，第二次抽取的卡片数字记为点的纵坐标．
(1)请用列表法或画树状图法表示两次抽取卡片后所有可能的点的坐标．
(2)小明和小亮玩一个游戏，规则如下：如图，在平面直角坐标系中，这些点若落在以原点为圆心，半径为2的圆内，则小明获胜；若落在圆上或圆外，则小亮获胜．这个游戏公平吗？判断并说明理由．
7．（2026九年级·全国·专题练习）如图，一路灯距离地面5.6米，身高1.6米的小方从距离灯的底部（点）5米的处沿所在直线走了7.5米到达点处，那么小方在点处影子的端点到在点处影子的端点的距离为（ ）
A．5米B．5.5米C．7米D．10.5米
8．（25-26九年级上·全国·期末）如图是由一些相同的小正方体组成的几何体从正面、左面、上面看到的三个平面图形．则组成该几何体的小正方体的个数是 （ ）
A．B．C．D．
9．（24-25九年级下·全国·期末）由相同的小正方体搭成的立体图形的部分视图如图所示，则搭成该立体图形的小正方体的最少个数为 个．
10．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，圆桌正上方的灯泡（看成一个点）发出的光线照射到桌面后，在地面上形成阴影．若桌面的半径，桌面与地面的距离，灯泡到桌面的距离，则地面上阴影部分的面积为 （结果保留）
11．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图是由棱长都为的6块小正方体组成的简单几何体．
(1)请在方格中画出该几何体的主视图和左视图（每个小方格的边长为）；
(2)该几何体的表面积（包含底面）为___________；
(3)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加___________块小正方体．
12．（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图，花丛中有一路灯杆在灯光下，小明在点处的影长米，沿方向行走到达点，米，这时小明的影长米．如果小明的身高为米，求：
(1)直接写出图中两组相似三角形（不能添加新的字母）；
(2)路灯杆的高度．
1．（24-25九年级下·全国·课后作业）在综合与实践课上，同学们想运用数学知识设计一个寻宝游戏．同学们将一张正方形纸片按照图①所示的方式折叠，然后打开，得到如图②所示的图形．同学们按照图②画线，然后沿实线将正方形分割成如图③所示的七块区域并进行编号，随后将一个“宝藏”埋藏在某个区域内．
(1)如果区域⑥对应的周长为3，那么区域⑦的周长为____________．
(2)下列说法正确的是____________．
A．找到宝藏的概率跟所选择区域的形状有关 B．在区域③不可能找到宝藏
C．在区域①一定能找到宝藏 D．在区域④⑥⑦找到宝藏的概率相同
2．（25-26九年级上·山东德州·月考）看了《田忌赛马》的故事后，小杨用数学模型来分析：齐王与田忌的上、中、下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6．若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为 ．
3．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）根据以下材料，完成相应任务
4．（25-26九年级上·广东东莞·期末）由若干个（大于个）大小相同的正方体组成一个几何体，从正面和上面看到的形状图如图所示，则从左面看到的这个几何体的形状图不可能是（ ）
A．B．C．D．
5．（25-26九年级上·江西九江·月考）如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距18米，路灯的高度比路灯的高度低1.6米．夜晚，身高为1.6米的小明以1.5米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为秒．当行走2秒时，他走到了处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为．
(1)求路灯的高度．
(2)当秒时，求影子的长？
6．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距米，路灯的高度比路灯的高度低米．夜晚，身高为米的小明以米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为秒．当行走2秒时，他走到了处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为．
(1)求路灯的高度．
(2)当秒时，求影子的长？
(3)常言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离．
①从路灯走向路灯的过程中，两路灯下的影子总长_______（用含的代数式表示）；
②小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的，请直接写出小明在路灯下的影子的顶端在地面上移动的速度为______米/秒；成绩n/分
等级
频数
A
2
B
C
15
D
6
●两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子．
●当一人掷出的点数和不超过10时，如果决定停止掷，那么此人的得分就是他所掷出的点数之和；当一人掷出的点数和超过10时，必须停止掷，并且得分为0．
●比较两人的得分，谁的得分高谁就获胜．
游戏次序
游戏者
第1次点数
第2次点数
第3次点数
得分
第一次
小明
2
3
2
小亮
3
4
6
第二次
小明
4
1
小亮
3
5
手机支付
非手机支付
合计
男
女
合计
试验总次数
落在“心形线”内部的次数
落在“心形线”内部的频率
实验次数
500
相交频数
149
相交频率
0.298
摸球的次数
摸到白球的次数
摸到白球的频率
下等马
中等马
上等马
齐王
6
8
10
田忌
5
7
9
点球大战
材料一
足球点球决胜法是在比赛踢成平局时，决定胜负的方法．国际足协理事会于1970年决定使用此法．在此之前是用抽签来决定胜负的．具体的方法是：裁判员选择一个球门，抽签决定哪个队先踢，然后双方交替各踢5次点球，进球多者胜．若双方在未踢满5次点球时一方已肯定获胜，裁判员即终止踢点球，宣布获胜队．若踢满5次点球后，进球数相同，则由双方的第6名队员踢点球；依此进行第7名、第8名……队员，踢点球，直至决出胜负．
材料二
在2025年苏超联赛的淘汰赛阶段，甲乙两队进行点球决胜，通过抽签甲队获得先开踢的权利
解决问题
任务一
甲、乙两队抽签决定谁先踢，甲、乙两队要不要争着去抽签？为什么？
任务二
若前三轮过后，甲、乙两队的比分为，若5轮内决出胜负，问乙赢的概率是多少？