寒假作业02 一元二次方程解法和根与系数的关系10大题型（巩固培优）九年级数学北师大版（原卷版+解析版）

这是一份寒假作业02 一元二次方程解法和根与系数的关系10大题型（巩固培优）九年级数学北师大版（原卷版+解析版），文件包含寒假作业02一元二次方程解法和根与系数的关系10大题型巩固培优原卷版docx、寒假作业02一元二次方程解法和根与系数的关系10大题型巩固培优解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共107页， 欢迎下载使用。
作业02 一元二次方程解法和根与系数的关系
一、一元二次方程的概念
1、一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件:
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2、一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式；
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了；
要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式；
二、一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）．
三、一元二次方程的解法
1、解一元二次方程-直接开平方
形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程；
如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±；
如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±；
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数；
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程；
③方法是根据平方根的意义开平方；
2、解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法；
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解；
3、解一元二次方程-公式法
（1）把（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式；
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法；
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根；
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0；
4、解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法；
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）；
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解；
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
题型一 一元二次方程的相关概念
1．（25-26九年级上·全国·期末）下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（25-26九年级上·贵州毕节·期末）下列关于x的方程①；②；③；④中，一元二次方程的个数是（ ）
A．个B．个C．个D．个
3．（25-26八年级上·上海普陀·期末）下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ）
A．
B．其中、、是常数
C．
D．
4．（25-26九年级上·江西抚州·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围（ ）．
A．B．C．D．
5．（2025·四川广元·一模）关于x的方程是一元二次方程，则 ．
6．（25-26九年级上·河南开封·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ．
7．（25-26九年级上·江苏常州·期中）关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是 ．
8．（25-26八年级上·上海·期中）写出一个一元二次方程，使这个方程的二次项系数为 1 ， 常数项为 3， 且它的一个根为，这个一元二次方程是
9．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）关于x的方程，m取何值时，方程是一元二次方程？
10．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知关于的方程．
(1)当__________时，此方程为一元一次方程，此方程的根为_________．
(2)当为何值时，此方程为一元二次方程？请写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．
题型二 一元二次方程的一般式
11．（25-26九年级上·广西南宁·期中）将方程化成一元二次方程一般式，正确的是（）
A．B．
C．D．
12．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）一元二次方程的一般形式是（ ）
A．B．C．D．
13．（25-26九年级上·四川泸州·月考）把一元二次方程整理成一般形式后，一次项系数的值是（ ）
A．5B．C．2D．
14．（25-26九年级上·河南郑州·月考）关于的一元二次方程化成一般形式后，一次项系数和常数项分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
15．（25-26九年级上·广东梅州·期中）若方程的二次项系数是1，则一次项系数是 ．
16．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）把方程化成一般式（a，b，c为常数且a≠0）的形式后，二次项系数、一次项系数、常数项的和为 ．
17．（2025九年级上·全国·专题练习）一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为正数，则常数项是 ．
18．（25-26九年级上·江西上饶·期中）将一元二次方程 化为一般形式，已知该方程的二次项系数为2，则常数项是 ．
19．（25-26九年级上·河南平顶山·月考）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
20．（24-25九年级上·全国·随堂练习）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)．
(2)．
(3)．
题型三 一元二次方程的解
21．（25-26九年级上·河北唐山·月考）若是关于x的方程的一个根，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
22．（25-26八年级上·上海虹口·期中）关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（ ）
A．B．2C．D．0
23．（25-26九年级上·河南漯河·期中）已知m是一元二次方程的一个根，则的值为（）
A．2023B．2022C．2021D．2024
24．（25-26九年级上·吉林长春·月考）若关于的一元二次方程有一个根为，则一元二次方程有一个根为（ ）
A．B．C．D．
25．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）设关于x的一元二次方程的两根为，记，则的值为（ ）
A．0B．2024C．2025D．2026
26．（25-26九年级上·福建三明·期中）下表是代数式的部分值的情况，根据表格中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．
27．（2025九年级·全国·专题练习）根据关于的二次函数，可列表如下：
方程的正数解满足（ ）
A．解的整数部分是0，十分位是5B．解的整数部分是0，十分位是8
C．解的整数部分是1，十分位是1D．解的整数部分是1，十分位是2
28．（25-26九年级上·北京·期中）已知是关于x的方程的一个根，求代数式的值．
29．（25-26九年级上·山东聊城·期中）定义：若关于x的一元二次方程满足，则称这样的方程为“归零方程”．
(1)一元二次方程_______（填“是”或“不是”）“归零方程”；一元二次方程_______（填“是”或“不是”）“归零方程”；
(2)已知关于x的一元二次方程是“归零方程”，且m是这个“归零方程”的一个根，求m的值．
30．（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）已知、、是的三条边长，若是关于的一元二次方程的根．
(1)是等腰三角形吗？是等边三角形吗？请写出你的结论并证明；
(2)若代数式有意义，且为方程的根，求的周长．
题型四 一元二次方程的四种解法
31．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）用指定方法解下列方程：
(1)；（公式法）
(2)；（配方法）
(3)（因式分解法）
32．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）按照指定方法解下列方程．
(1)（直接开平方法）；
(2)（配方法）；
(3)（公式法）；
(4)（因式分解法）．
33．（24-25九年级上·辽宁锦州·月考）请用指定方法解下列方程：
(1)（直接开平方法）；
(2)（配方法）；
(3)（因式分解法）；
(4)（公式法）．
34．（25-26九年级上·全国·阶段练习）用指定方法解下列方程：
(1)（直接开平方法）．
(2)（配方法）．
(3)（公式法）．
(4)（因式分解法）．
35．（25-26九年级上·甘肃酒泉·月考）用指定方法解下列一元二次方程
(1)（因式分解法）
(2)（配方法）
(3)（公式法）
(4)（合适的方法）
36．（25-26九年级上·江西抚州·期中）用适当的方法解下列方程：
(1)
(2)
37．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期末）解方程：
(1)
(2)．
38．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
39．（25-26九年级上·河北保定·月考）对于解方程，小刚的做法如下：
解：等号右边因式分解，得 ，……步骤①
等号两边同时除以，得，……步骤②
去括号，得，……步骤③
移项、合并同类项，得，……步骤④
系数化为．得．………步骤⑤
(1)已知小刚的解答是错误的，开始出现错误的步骤是_____________（填序号）．
(2)请给出正确的解答过程．
40．（25-26九年级上·甘肃陇南·期末）在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如：解方程．
解：原方程可变形，得，
，
，
直接开平方，得，．我们称这种解法为“平均数法”．
(1)下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程：
解：原方程可变形，得，
，
，
直接开平方，得，．
上述解题过程中，a，b所表示的数分别是_______，_______；
(2)请用“平均数法”解方程：．
题型五 配方法的应用
41．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·月考）不论为何实数，多项式的值一定是（）
A．正数B．负数C．0D．不能确定
42．（2022八年级下·浙江杭州·竞赛）用配方法解方程，将方程变成的形式，则的值分别为（ ）
A．B．
C．D．
43．（2025·安徽黄山·模拟预测）关于的一元二次方程的新定义：若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”如与就是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”那么代数式能取的最小值是（ ）
A．B．C．D．
44．（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（ ）
A．B．2024C．D．1
45．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于的多项式，当时，该多项式的值为，则多项式的值可以是（ ）
A．3.5B．3.25C．3D．2.75
46．（2025九年级上·广东深圳·专题练习）若将一元二次方程化成的形式，则的值为 ．
47．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）已知，，，则M N ．（填 “＞”，“”或“”）
48．（25-26九年级上·广东揭阳·期中）材料阅读：∵，由，得；∴代数式的最小值是4．仿照上述方法求代数式的最小值为 ．
49．（25-26九年级上·四川成都·期中）如果关于的一元二次方程（）有一个根是1，那么我们称这个方程为“和美方程”．已知关于的一元二次方程是“和美方程”，则的最小值为 ．
50．（25-26八年级上·河南南阳·期中）阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用．
（一）用配方法分解因式：．
解：
．
（二）用配方法求代数式的最小值．
解：
，
，
≥－1．
即的最小值为．
请仿照以上例子解答下列问题：
(1)若代数式是完全平方式，则常数的值为_____；（直接写出结果）
(2)用配方法分解因式：；
(3)用配方法求代数式的最小值．
题型六 根据判别式判断一元二次方程根的情况
51．（25-26八年级上·上海·月考）下列关于的方程中有实数根的是（ ）
A．B．
C．D．
52．（25-26九年级上·云南昭通·月考）关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根D．只有一个实数根
53．（25-26九年级上·广东江门·期中）已知关于的方程的根的情况是 ．
54．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）若直线不经过第二象限，则关于的方程的实数根的个数为 ．
55．（2021·黑龙江·二模）对于一元二次方程，下列说法
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则，其中正确的
56．（25-26九年级上·吉林·期末）已知关于x的方程．
(1)求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
(2)若方程的一个根为0，则________．
57．（2026九年级·全国·专题练习）若一次函数（）的图像经过第一、二、四象限，求方程有几个根．
58．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）已知关于的方程．
(1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有一个根为，求的值．
59．（25-26九年级上·北京·月考）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根．
(2)若该方程只有一个根小于2，求的取值范围．
60．（25-26九年级上·贵州铜仁·月考）对于一元二次方程，若满足，则我们把这样的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
(1)判断：________“勾系一元二次方程”；（填“是”或“不是”）
(2)当时，求相应的“勾系一元二次方程”的根；
(3)求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根．
题型七 根据一元二次方程根的情况求参数
61．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．且D．且
62．（23-24九年级上·贵州贵阳·月考）关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．且
C．D．且
63．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（）
A．B．
C．D．
64．（25-26九年级上·河南许昌·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．且B．C．且D．
65．（25-26八年级上·上海杨浦·月考）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
66．（25-26八年级上·上海嘉定·月考）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
67．（25-26九年级上·重庆·期中）若关于的一元二次方程有实数根，且直线经过第一、二、三象限，则满足条件的所有整数的和为 ．
68．（24-25九年级上·广东汕头·月考）已知关于的一元二次方程．
(1)当时，请用适当方法解此方程；
(2)若方程有两个相等的实数根，则的值为______；
69．（25-26九年级上·广西南宁·期中）【阅读理解】
我们将函数的自变量的值与函数值相等时的函数值，称为函数的和谐值，此时的点称为函数的和谐点．例如，对于函数，当时，可得，我们就说1是函数的和谐值，点是函数的和谐点．
【问题解决】
(1)已知函数，求它的和谐点坐标；
(2)若二次函数只有一个和谐点，求实数m的值．
70．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）若方程满足，则称它为“优方程”．
(1)下列方程是“优方程”的是________；
①；②；③；④．
(2)若关于的一元二次方程是“优方程”，求的值．
(3)若“优方程”有两个相等的实数根，下列结论：①；②；③；④．其中，所有正确结论的序号是________．
题型八 换元法解一元二次方程
71．（25-26九年级上·四川攀枝花·期末）已知关于的方程（a、b、c均为常数，且）的解是，，那么方程的解是（ ）
A．B．
C．D．，方程无实数解
72．（2025九年级上·福建厦门·专题练习）已知，则的值为（ ）
A．或2B．或4C．4D．2
73．（25-26九年级上·山东枣庄·月考）已知实数满足，则的值为（ ）
A．或1B．或6C．6D．1
74．（25-26九年级上·福建福州·期中）将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，这种方法称为“降次法”，这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
75．（2025九年级上·河北·专题练习）我们知道方程的解是，，现给出另一个方程，它的解是 ．
76．（25-26八年级上·四川眉山·期中）已知，则的值是 ．
77．（25-26九年级上·河南周口·期中）已知和3是关于的一元二次方程的两根，则关于的方程的根为 ．
78．（24-25九年级上·福建龙岩·月考）【材料】请你先认真阅读材料并解决下面问题．
已知关于、的方程，求的值．
解：设，则方程变形为：
，，即或
(1)【引申】已知，则 ．
(2)【拓展】已知，求的值．
79．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）阅读下面的材料：
换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化．
如：解方程，可将方程变形为，设，则，原方程化为，解得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，∴原方程的解为，．
利用以上学习到的方法解决下列问题：
(1)解方程：；
(2)已知实数x、y满足；求的值．
80．（25-26八年级上·上海虹口·期中）请阅读下列材料：
已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为，则，所以，
把代入已知方程，得，
化简，得，故所求方程为，
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
(1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数．
(2)关于的一元二次方程有一个实数根为2025，则方程一定有实数根_______．
(3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3、-2，求一元二次方程的两根．
题型九 一元二次方程根与系数的关系
81．（25-26九年级上·山东德州·期中）若，是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
82．（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（ ）
A．0B．25C．26D．
83．（25-26九年级上·广东广州·月考）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．若，则的值是（ ）
A．3B．C．3或D．不存在
84．（25-26八年级上·上海静安·期末）方程的根是与，则 ．
85．（25-26九年级上·山东德州·月考）已知，是方程的两个实数根，则的值是 ．
86．（25-26八年级上·上海·期中）已知与是方程的两个不同的根，那么代数式的值为 ．
87．（25-26九年级上·四川内江·期中）若关于x的一元二次方程的两个根为，则，．利用以上关系及所学知识，解决以下问题
①若一元二次方程的两根分别为m，n，则= ．
②若一元二次方程的两个根为，则最小值为
88．（25-26九年级上·江西抚州·期中）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：不论为何实数时，原方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的一根为，求的值及方程的另一根．
89．（25-26九年级上·福建福州·月考）在数学研究课上，小明发现了一个有趣的现象：有些看似和一元二次方程不沾边的问题，只要巧妙构造一元二次方程，利用根与系数的关系就能轻松解决．他随即抛出了两个问题，邀请同学们一起探究．
(1)若实数，满足，，求的值；
(2)若实数，满足，，且，求的取值范围．
90．（25-26九年级上·四川巴中·月考）阅读材料：
材料1：若一元二次方程的两个根为，，
则，
材料2：已知实数，满足，，且，求的值．
解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，
根据材料1得，，
所以．
根据上述材料解决以下问题：
(1)材料理解：
一元二次方程的两个根为，，则______，______．
(2)类比探究：
已知实数，满足，，且，求的值：
(3)思维拓展：
已知实数、分别满足，，且．求的值．
题型十 一元二次方程的新定义运算
91．（2025·陕西汉中·一模）对于任意实数a、b，定义新运算，例如：．若，则的值为（ ）
A．B．4或C．5D．或2
92．（2025·陕西渭南·一模）对于任意实数m、n，定义新运算，，例如：，则方程的根是（ ）
A．B．C．，D．，
93．（25-26九年级上·甘肃甘南·月考）对于任意实数、，定义新运算：．例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
94．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）在实数范围内定义一种运算“®”，其规则为，例如，．根据这个规则，方程的解为 ．
95．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）对于实数，定义一种新运算“”：当时，；当时，．若，则实数 ．
96．（25-26九年级上·江西宜春·月考）新定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且）．根据此定义解决下列问题：
(1)一元二次方程的倒方程是_______．
(2)若是一元二次方程的倒方程的一个根，求该倒方程的另一个根．
97．（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）【阅读理解】
定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．
(1)根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有_______；（只填写序号即可）
①；②；③
(2)关于的一元二次方程与为“同伴方程”，求的值；
(3)若关于的一元二次方程同时满足和，且与互为“同伴方程”，求的值．
98．（24-25九年级上·江苏泰州·月考）定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“根差2方程”；例如：一元二次方程的两个根是，则方程是“根差2方程”．
(1)根据上述定义，下列方程是“根差2方程”的是______（填序号）；
①，②，③；
(2)已知关于x的方程（a是常数）是“根差2方程”，求a的值；
(3)若关于x的一元二次方程和都是“根差2方程”，（）试求m、n间的数量关系．
99．（25-26九年级上·全国·期末）请认真阅读材料
材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根，有如下的关系：，；
材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根；
材料3：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根；
材料4：如果实数、满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个实数根，且此方程一定有、两个实数根．
请根据上述材料解决下面问题：
(1)已知实数、满足、，且，求的值．
(2)已知实数、满足、，且，求的值．
(3)已知实数、、满足、，求的最大值．
100．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．
于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称．请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：
(1)多项式关于 对称；若关于的多项式关于对称，则 ；
(2)关于的多项式关于对称，且当时，多项式的值为5，求关于的方程：的根．
(3)关于的多项式关于对称，且此多项式可取得最小值2，且关于的方程：只有一根大于3，求的取值范围．
1．（25-26九年级上·河南新乡·月考）若是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A．3B．C．D．0
2．（25-26九年级上·河南新乡·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（25-26九年级上·北京昌平·月考）已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为（ ）．
A．或B．或
C．或D．或
4．（25-26九年级上·全国·期末）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖线，记成，并规定，例如，则的根的情况为（ ）
A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．没有实数根
5．（25-26九年级上·河北沧州·期中）小明在解关于x的一元二次方程时，把一次项的符号抄成“”，得到其中一个根是，则方程根的情况，下列判断不正确的是（ ）
A．无实数根B．时，有两个相等的实数根
C．有两个实数根D．有一个根是
6．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）若是方程的根，则 ．
7．（25-26八年级上·上海·月考）如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是 ．
8．（25-26九年级上·四川内江·月考）、是方程的两个根，则 ．
9．（25-26九年级上·湖南邵阳·月考）新定义：关于的一元二次方程：与（均为常数）称为“同类方程”．如与是“同类方程”．若关于的一元二次方程：与是“同类方程”，那么 ．
10．（25-26九年级上·四川内江·期中）已知关于x的一元二次方程两实数根，满足 ，求k的值为 ；
11．（25-26九年级上·甘肃定西·期末）用适当的方法解下列方程：
(1)
(2)
12．（24-25九年级上·全国·期中）已知关于的一元二次方程．
(1)若方程总有两个实数根，则的取值范围是_______．
(2)若方程有一个实数根为1，求的值和另一个实数根．
13．（2025·四川绵阳·一模）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若是方程的两个不相等的实数根，且满足，求k的值．
14．（2025八年级上·全国·专题练习）如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，方程的两个根是和，则方程就是“倍根方程”．
(1)若一元二次方程是“倍根方程”，则________；
(2)若是“倍根方程”，求代数式的值；
15．（25-26九年级上·四川内江·月考）阅读材料：若一元二次方程的两个根为，，则，．
(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则________，________．
(2)类比探究：已知实数，满足，．________．
(3)思维拓展：已知实数、、满足、，且，求的最大值．
1．（2025九年级上·全国·专题练习）关于的一元二次方程的两个实数根，，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（25-26九年级上·广西崇左·月考）规定：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论：
方程是倍根方程；
若关于x的方程是倍根方程，则；
若点在函数的图象上，则关于x的方程是倍根方程．
上述结论中正确的有（ ）
A．B．C．D．
3．（25-26九年级上·北京·月考）已知关于的方程有两个不相等的实数根，，关于的方程的根为，给出下面三个结论：
①；②；③．
上述结论中，所有可能正确的结论的序号是 ．
4．（2025·福建·中考真题）设，是方程的两个根，那么的值为 ．
5．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“好根方程”．
(1)下列方程中，是“好根方程”的是 ______（填序号）．
①；②；③．
(2)若是“好根方程”，求的值．
(3)若一元二次方程（为常数）为“好根方程”，直接写出的数值．
6．（25-26九年级上·四川成都·期中）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“立格方程”．如：一元二次方程的两根为，，因为，，所以一元二次方程为“立格方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
(1)判断一元二次方程是否为“立格方程”，并说明理由；
(2)若关于x的一元二次方程是“立格方程”．且两根，满足．求k的值；
(3)若关于x的一元二次方程是“立格方程”，求m的取值范围．
方程
一般形式
二次项系数
一次项系数
常数项
0
0.5
1
1.1
1.2
1.3
0.84
2.29