寒假作业05 比例线段与平行线分线段成比例8大题型（巩固培优）九年级数学北师大版（原卷版+解析版）

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作业05 比例线段与平行线分线段成比例
知识点一、成比例线段
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。
知识点二、比例的性质
1、比例的重要性质：
基本性质：若，则；反之，也成立。 和比性质：若，则；
更比性质：若，则； 反比性质：若，则；
等比性质：若，则。
2、拓展： eq \\ac(○,1)比例式中，或中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，、叫后项，如果，那么叫做、的比例中项。
eq \\ac(○,2)把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。
知识点三、平行线分线段成比例
平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线与其他两条直线相交，截得的对应线段成比例。
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
题型一 成比例线段
1．（25-26九年级上·山东临沂·月考）已知按顺序排列的四条线段是成比例线段，其中，，，则（ ）
A．B．C．6 cmD．
2．（25-26九年级上·广东深圳·月考）下列四条线段不成比例的是（ ）
A．3，6，2，4B．C．D．
3．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）已知线段，若线段是线段和的比例中项，则线段的长为 ．
4．（24-25九年级上·广东佛山·月考）在比例尺为的地图上，、两地的图上距离是0.15米，那么、两地的实际距离是 米（用科学记数法表示）．
5．（25-26九年级上·安徽六安·期中）已知线段a、b，且满足．
(1)求的值；
(2)若线段c是线段a、b的比例中项，且，求c的值．
题型二 比例的性质
6．（25-26九年级上·河北张家口·月考）已知，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．（25-26九年级上·安徽淮南·月考）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．（25-26九年级上·四川成都·月考）已知，则k的值是 ．
9．（25-26九年级上·山西太原·月考）已知，若，且，则 ．
10．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）已知线段a、b、c，且．
(1)求的值；
(2)若线段a、b、c满足，求a的值．
题型三 黄金分割
11．（25-26九年级上·辽宁辽阳·期末）黄金分割是汉字结构遵循的基本美学规律，如图，汉字“十”端庄稳重、舒展美观，横竖笔画交接处的点C恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
12．（25-26九年级上·山西晋中·期末）2025年9月13日，第五届山西乐器产业博览会在太原市中国煤炭博物馆盛大启幕，为山西演出行业与乐器产业的协同发展注入新活力．如图，乐器上的一根弦长为，两个端点A，B固定在乐器的板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点（即），则支点C到端点B的距离为（ ）

A．B．C．D．
13．（25-26九年级上·陕西西安·月考）黄金分割在生活中处处可见，即使是一片银杏叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，一片飘落的银杏叶主脉可看作线段，是的黄金分割点（）．若这片银杏叶主脉的长度为，则的长为 ．（结果保留根号）
14．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）黄金分割被广泛应用在建筑、艺术等领域，我国早在战国时期就已知道并能应用黄金分割．如图所示的五角星中，，且、两点都是的黄金分割点，若，则的长是 ．（请写准确数）
15．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）【例题呈现】化简：．
思路点拨：将原式的分子、分母同乘一个代数式，使得分母不含根号，实现分母有理化．
解：将分子、分母同乘，得．
【类比应用】
(1)化简：_____；
(2)宽与长的比为的矩形叫做黄金矩形，如图，已知黄金矩形的边，剪掉一个以为边的正方形后，得到新的矩形．
①求的长；
②通过计算说明矩形是否为黄金矩形．
题型四 由平行判断成比例的线段
16．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，，、交于点，则下列比例中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
17．（25-26九年级上·河北衡水·期中）如图，，若，，，则的值为（ ）
A．5B．6C．7D．9
18．（25-26九年级上·山东日照·月考）如图，在正方形中，对角线相交于点O，E是的中点，连接并延长交于点F，若正方形的面积为32，则四边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
19．（24-25九年级上·河南新乡·月考）如图，已知直线，直线 分别与直线交于A、B、C三点，直线 分别与直线交于D、E、F三点，与交于 点O，若，则的长是 ．
20．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，，两条直线与这三条平行线分别交于A，B，C和D，E，F，若，，则的长是（ ）
A．2B．4C．6D．8
题型五 由平行截线求相关线段的长或比值
21．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，在平行四边形中，为上一点，连接、，且、交于点，，则（ ）
A．B．C．D．
22．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，已知，，点分别在边上，，，．则四边形的周长为 ．
23．（24-25九年级上·上海宝山·月考）如图，已知在中，点D、E分别是边、上的点，，，且，则 ．
24．（25-26九年级上·广东河源·期中）如图，点分别在的边上，，，已知是的中点，连接并延长交于点N，则 ．
25．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）（1）如图1，在中，D、E分别在边上，且满足，，则______；
（2）问题探究：如图2，，连接，如果刚好平分，求证：；
（3）结论应用：如图3，已知中，平分，并且，求的值．
题型六 相似图形
26．（25-26九年级上·广东茂名·期中）下列两个图形：①两个等边三角形；②两个等腰直角三角形；③两个正方形；④两个菱形；⑤两个正六边形，一定相似的有（ ）
A．4组B．3组C．2组D．5组
27．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）某物质的分子结构如图所示，所有六边形都是正六边形，用放大镜观察该分子结构，则保持不变的是（ ）
A．的长度B．六边形的周长
C．六边形的面积D．的度数
28．（23-24九年级上·江苏宿迁·月考）圆的外切正四边形与内接正四边形的边长之比是 ．
29．（20-21九年级上·江苏无锡·月考）下列四个结论：①两个正三角形相似；②两个等腰直角三角形相似；③两个菱形相似；④两个矩形相似；⑤两个正方形相似，其中正确的结论是 ．
30．（25-26九年级上·全国·期末）阅读理解：
我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．
如图所示，甲、乙是两个大小不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比．
设，分别表示这两个正方体的表面积，则 ，又设，分别表示这两个正方体的体积，则 ．
(1)下列几何体中，一定属于相似体的是（ ）
．两个球体 ．两个圆锥体 ．两个圆柱体 ．两个长方体
(2)请归纳出相似体的三条主要性质：①相似体的一切对应线段（或弧）的比等于 ；②相似体表面积的比等于 ；③相似体体积的比等于 ．
(3)假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一个人的身体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为，体重为．到了九年级时，身高为，则他的体重是多少（不考虑不同时期人体平均密度的变化）？
题型七 相似多边形
31．（25-26九年级上·山东青岛·期中）下列图形一定相似的是（ ）
A．两个三角形B．两个矩形
C．两个菱形D．两个边数相等的正多边形
32．（24-25八年级下·山东威海·期末）如图，在锐角三角形、矩形、正六边形外加宽度一样的外框，外框边与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的是（ ）
A．正六边形B．矩形和正六边形
C．三角形和矩形D．三角形和正六边形
33．（25-26九年级上·全国·阶段练习）下列各组多边形中，一定相似的是 （填序号）．
①两个正方形；②两个菱形；③两个矩形；④两个正五边形；⑤两个等腰梯形．
34．（22-23九年级上·广东梅州·月考）如图，是矩形内的任意一点，链接，，，，得到，，，，设它们的面积分别是，，，，给出如下结论：
①；
②；
③若，则；
④若，则点在矩形的对角线上．
其中正确的结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
35．（25-26九年级上·江西景德镇·期中）如图，矩形为一块绿地，长为，宽为，现计划在绿地中央建一个矩形花圃．要使矩形花圃的面积是原矩形绿地面积的一半，且矩形花圃四周的绿地等宽．
(1)求花圃四周绿地的宽度；
(2)矩形与矩形相似吗？请说明理由．
题型八 相似多边形的性质
36．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）已知：在矩形中，．将该矩形按如图方式分成三个相同的小矩形，若每个小矩形都和矩形相似，则的长为（ ）
A．B．C．2D．
37．（25-26九年级上·广西梧州·期中）我们手中拿着的试卷是一张纸，将它对折后得到一张的纸．你知道吗？纸和纸是相似的矩形，动手试一试，由此你能得出一张纸的宽与长的比应该是（ ）
A．B．C．D．
38．（25-26九年级上·福建厦门·期末）如图，在矩形中，，，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形的相似矩形，再连接，以对角线为边作矩形的相似矩形，…，按此规律继续下去，则矩形的面积为 ．
39．（25-26九年级上·山西大同·月考）如图，一张矩形绸布的长，宽按照图中方式将它裁成相同的五面矩形彩旗．如果裁出的矩形矩形，则的值等于 ．
40．（2025·山东菏泽·三模）框中是小明对一道题目的解答以及老师的批注：
老师批改时在他的解答中划了一条横线，并打了一个“？”
(1)请指出小明解答中存在的问题，并给出正确的解答过程．
(2)如图，矩形在矩形的内部， ，，且．设与，与，与，与之间的距离分别为，要使矩形矩形，应满足什么条件？请说明理由．
1．（2026·福建泉州·模拟预测）黄金分割点是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值的分割点．已知线段，点是线段的黄金分割点，且，则的长是（ ）
A．B．C．D．
2．（25-26九年级上·辽宁辽阳·期末）如图，直线，直线和被直线，，所截，，，，则的长为（ ）
A．15B．20C．25D．30
3．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，由顶点A射出两条射线，过点E作线段，作的平行线，作的平行线．已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．（25-26九年级上·山东枣庄·期中）如图，在中，平分，按如下步骤作图：第一步，分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，；第二步，过，两点作直线分别交，于点，；第三步，连接，．若，，，则的长是（ ）
A．11B．12C．13D．18
5．（25-26九年级上·全国·期末）如图，矩形 在矩形 内， 与 ， 与 之间的距离都为 ， 与 ， 与 之间的距离都为 ，已知，，当 时，矩形矩形．
6．（2025·四川成都·一模）手机拍照构图，让照片从“随手拍”升级为“摄影作品”最直接、有效的方法，就是利用手机自带的“网格线”功能，将画面中的重要元素放置在黄金分割点上．在拍照前开启手机相机的网格功能，相机取景框会显示出两条水平线和两条垂直线，将画面分成九个部分，这四条线的四个交叉点，就是大家所说的“黄金分割点”或“兴趣点”（黄金比为）．如图，点E、F、G、H为矩形取景框内的四个交叉点，将拍摄物主体的核心部分放在E、F、G、H任意一个交叉点上，这样可以使拍摄物成为画面的视觉焦点，若矩形取景框的画面约为，则矩形的面积为 ．
7．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）已知且，则的值为 ．
8．（25-26九年级上·四川成都·期中）在平行四边形中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点，若，则 ．
9．（25-26九年级上·安徽六安·期中）已知线段a，b，c满足，且．
(1)求a，b，c的值；
(2)若线段x是线段b，c的比例中项，求x的值．
10．（25-26九年级上·山西临汾·期中）黄金分割是几何学中的瑰宝之一，给人以震撼的美感．课本第56页这样定义“黄金分割点”：如图1，点P将线段分成两部分，若，则称点P为线段的黄金分割点，这个比值称为黄金比．
(1)如图1，若，求黄金比的值．（保留根号）
(2)某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，如图2，在中，点D是边上一点，将分割成两个三角形（），当满足，则称为的黄金分割线．
①求证：此时点D是线段的黄金分割点；
②若的面积为4，请直接写出的面积．
11．（25-26九年级上·吉林长春·期末）【知识储备】如图①，在中，点D是的中点，，则与的数量关系为______；
【类比探究】小明同学在学习时遇到这样一个问题：
如图②，在中，点D是边的中点，点E是边上一点，且，、相交于点．求证：．
小明同学发现：如图③，可以过点D作，交边于点F，从而可以得到，再利用线段间的数量关系推出结论．下面是小明同学的部分证明过程：
证明：如图③，过点D作，交于点F．
∵，点D是边的中点，
∴点F是的中点，
∴．
请你补全余下的证明过程．
【拓展迁移】如图④，在中，点D是边的中点，点E是边延长线上一点，且，射线DA与射线相交于点O，则线段和线段的数量关系是_____．
12．（24-25九年级上·河南郑州·期中）某市准备在一块长为，宽为的矩形荒地上建造一个市民休闲广场，如图为广场设计图，阴影部分为宽度相同的甬道，甬道把广场分成三个矩形的休闲区（其中一边为）．
(1)设甬道宽度为，则_______（用含x的代数式表示）；
(2)若休闲区的总面积为，求甬道的宽度；
(3)能否设计出符合题目要求，且矩形A的形状与原矩形荒地的形状相似的休闲区？若能，求出此时甬道的宽；若不能，请说明理由．
1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）黄金分割，又称黄金比、中外比，是一个数学常数，它描述了一种特殊的比例关系：将一条线段分割为两部分，使得较长部分与较短部分的比值，等于全长与较长部分的比值，这个比值就是黄金分割比．自然界中就充满着黄金比，校园里一片小小的树叶，叶筋上一点为恰好为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为 ．（用含的代数式表示）
2．（25-26九年级上·四川眉山·期中）若，则函数一定经过第 象限．
3．（25-26九年级上·山西运城·期中）如图，中，，于点，将沿平移到位置，交于点，交于点．此时为中点，已知，，则 ．
4．（25-26九年级上·江苏南京·月考）三角形的内角平分线定理：
如图1，在中，平分，交于点，则．
(1)如图2，中，是中点，是的平分线，交于．若，，求线段的长；
(2)如图3，中，平分，的延长线交外角角平分线于点．
①找出、、、这四条线段的比例关系，并证明；
②若，，则= ．
5．（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，演出场地的平面图是直角三角形，已知，现规划两个全等的矩形区域作为表演区．工作人员先划出（1）号矩形，然后在剩余的大三角形中划出（2）号矩形，则（1）号矩形的宽为 ．
6．（25-26九年级上·山西晋城·月考）阅读与思考
下面是小悦同学的学习笔记，请阅读下列材料，并完成相应的任务．
任务：
(1)问题中的“▲”处应填 ．
(2)请将问题中的剩余部分的解答过程补充完整．
(3)当矩形的长为，宽为时，是否存在它的“减半”矩形？若存在，求出“减半”矩形的长与宽；若不存在，请说明理由．题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前面内墙保留宽的空地，其他三面内墙各保留宽的通道．当温室的长与宽各是多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是？
解：设矩形蔬菜种植区域的宽度为，则长为．
根据题意，得
解这个方程，得（不合题意，舍去），
所以温室的长为，宽为
答：当温室的长为，宽为时，矩形蔬菜种植区域的面积是．
“减半”矩形【概念理解】在几何中，矩形、菱形、正方形都是特殊的四边形，大家对它们的性质非常熟悉．这里我们介绍一种图形“减半”矩形．
给定一个矩形，若存在另一个矩形，使它的周长与面积分别是给定矩形的周长与面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形的周长为，面积为，矩形ABCD的周长为，面积为，所以矩形是矩形的“减半”矩形．
【解决问题】
问题1：当矩形的长与宽分别是与时，则它对应的“减半”矩形的周长为▲．
问题2：已知矩形的面积为，矩形是矩形的“减半”矩形，且长比宽多，求矩形中的长．
下面是小悦同学的部分解答过程．
解：矩形是矩形的“减半”矩形，
．
设宽，则长．
根据题意可列出方程……