寒假作业08 反比例函数及其应用14大题型巩固提升+能力培优+创新题型（巩固培优）九年级数学北师大版（原卷版+解析版）

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作业08 反比例函数及其应用
知识点一、反比例函数的定义
如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数.
一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.
特别说明：（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点.
（2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.
（3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式.
知识点二、确定反比例函数的关系式
确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式.
用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
（1）设所求的反比例函数为： ()；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；
（3）解方程求出待定系数的值；
（4）把求得的值代回所设的函数关系式 中.
知识点三、反比例函数的图象和性质
1.画反比例函数的图象的基本步骤：
（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；
（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；
（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；
（4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．
2.反比例函数的图象特征：
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴.
特别说明：（1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；
（2）在反比例函数(为常数，) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴．
3.反比例函数的性质
（1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小；
（2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大；
特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号.
知识点四、反比例函数(k≠0)中的比例系数k的几何意义
过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.
过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.
要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.
知识点五、利用反比例函数解决实际问题
1.基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决题.
2.一般步骤如下：（1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示.
（2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数.
（3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围.
（4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题.
3.反比例函数在其他学科中的应用
（1）当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数；
（2）当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数；
（3）在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数；
（4）电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数.
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
题型一 反比例函数概念
1．（25-26九年级上·山东日照·月考）在下列函数的解析式中，均表示自变量：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是的反比例函数的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（25-26九年级上·全国·期末）下列关系式中：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，是的反比例函数的共有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
3．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）函数是反比例函数，则m=（ ）．
A．B．C．D．2或
4．（25-26九年级上·四川达州·期中）函数 是反比例函数，则m的值是 ．
5．（25-26八年级上·上海·期中）下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）（5），其中表示是的反比例函数的是 （填入序号）．
题型二 反比例函数的自变量与值
6．（24-25八年级下·山东泰安·期末）若点是反比例函数图象上一点，那么下列各点一定不在其图象上的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·广东·模拟预测）关于反比例函数，下列说法错误的是（ ）
A．反比例函数图象经过点
B．当时，
C．该反比例函数图象与函数的图象没有交点
D．若点在该反比例函数的图象上，则点也在其图象上
8．（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象与坐标轴的交点个数是（ ）
A．0B．1C．2D．4
9．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，若反比例函数（）的图象经过点和，则的值是 ．
10．（24-25九年级上·湖南常德·期中）已知函数为反比例函数．
(1)求的值．
(2)判断点是否在该反比例函数图象上．
题型三 反比例函数解析式
11．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，已知反比例函数的图象经过的顶点B，的面积为3，则反比例函数的表达式为 ．
12．（25-26九年级上·山东枣庄·月考）点和点是反比例函数图象的上两点，则的值为 ．
13．（25-26九年级上·辽宁鞍山·月考）在平面直角坐标系中，已知点在第二象限，且m为整数，则过点A的反比例函数的解析式为 ．
14．（2025·贵州·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点，，都在反比例函数的图象上，比较m，n，p的大小，并说明理由．
15．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）已知：如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，以，为邻边构造．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求的面积．
题型四 画反比例函数图象
16．（25-26九年级上·河北·阶段练习）（）画出函数的图象．
①列表：
②描点并连线．
（）从图象可以看出，曲线从左向右______（填“上升”或“下降”），当由小变大时随之______．（填“变大”或“变小”）
17．（25-26九年级上·全国·阶段练习）在下面的平面直角坐标系中画出反比例函数的图象．
(1)完成下列表格：
(2)描点、连线画图：
18．（25-26九年级上·全国·阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中画出反比例函数和的图象，并解答下列问题：
反比例函数的图象叫做_______．因为自变量x与函数y的值都不能取_______，所以反比例函数的图象与x轴、y轴_______(填“有”或“无”)交点．
19．（24-25九年级上·山东济南·期中）小光根据学习函数的经验，探究函数的图象与性质．
(1)刻画图象
①列表：下表是，的几组对应值，其中 ， ；
②描点：如图所示；
③连线：请用平滑的曲线顺次连接．
(2)认识性质
观察图象，完成下列问题：
①当时，随的增大而 ；
②函数的图象的对称中心是 ．（填写点的坐标）
(3)类比探究
①小光发现，函数的图象可以由反比例函数的图象经过平移得到．请结合图象说明平移过程；
②函数的图象经平移可以得到函数的图象，请说明平移过程．
20．（2024·宁夏中卫·一模）小欣在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其研究过程如下：

(1)绘制函数图象．
①列表：上表是x与y的几组对应值，其中______；
②描点：根据表中的数值描点，请补充描出点；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整．
(2)探究函数性质．
判断下列说法是否正确（正确的填“√”，错误的填“×”）．
①函数图象关于原点对称；（ ）
函数图象与直线没有交点；（ ）
②请写出该函数图象的变化趋势 ．
题型五 由反比例函数图象的对称性求点的坐标
21．（2025·广东江门·三模）若正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于A，B两点，如果点A的坐标是，那么点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
22．（2025·云南·模拟预测）如图所示，双曲线 与直线 相交于A，B两点，若A 点坐标为，则 B 点坐标为（ ）
A．B．C．D．
23．（24-25八年级下·山西长治·期中）已知一条过原点的直线与双曲线的一个交点为，则它们的另一个交点坐标是（ ）
A．B．C．D．
24．（2025·陕西西安·模拟预测）已知A，B两点分别在反比例函数和的图象上，若点A与点B关于x轴对称，则a的值是 ．
25．（24-25八年级下·上海嘉定·开学考试）如图，正比例函数（）与反比例函数的图象交于点和点．求点的坐标．

题型六 已知双曲线分布的象限求参数范围
26．（25-26九年级上·福建福州·月考）若反比例函数的图象经过第一、三象限，则k的值可能是（ ）
A．3B．2C．1D．0
27．（25-26九年级上·湖南·月考）若反比例函数的图象位于一、三象限，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
28．（25-26九年级上·全国·期末）已知函数是反比例函数，图象在第二、四象限，则m的值是 ．
29．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）已知反比例函数（为常数）．
(1)若该反比例函数的图像位于第二、四象限，求的取值范围；
(2)当时，随值的增大而减小，求的取值范围．
30．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）已知反比例函数，其中是常数．
(1)若反比例函数的图象分别位于第二、四象限，求的取值范围；
(2)当取什么值时，在每个象限内随的增大而减小？
题型七 反比例函数的增减性
31．（25-26九年级上·山东威海·期中）已知反比例函数，y随x增大而增大，则a的取值范围（）
A．B．C．D．
32．（25-26九年级上·湖南益阳·期中）在每一象限内的双曲线上，y都随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
33．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）已知反比例函数的图象在每个象限内，随x的增大而减小，则k的取值范围是 ．
34．（24-25九年级上·广西北海·月考）函数是反比例函数，且当时，随的增大而减小，则的值为 ．
35．（25-26九年级上·陕西西安·月考）已知反比例函数的图象所在的每个象限内，y随x的增大而增大．
(1)求k的取值范围；
(2)若点在该函数的图象上，求k的值．
题型八 比较反比例函数或自变量的大小
36．（25-26九年级上·内蒙古·期末）已知点都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．当时，D．当时，
37．（25-26九年级上·重庆江北·月考）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
38．（25-26九年级上·江西九江·月考）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是 （用“”连接）．
39．（25-26九年级上·河南濮阳·月考）已知点、、均在反比例函数（为常数，且）的图象上，且，则与的大小关系为 ．（填“”“”或“”）
40．（25-26九年级上·河北邯郸·月考）已知反比例函数
(1)若，写出反比例函数的图像所在的象限；
(2)当时，y随x的增大而增大，求k的取值范围；
(3)若点与点均在双曲线上，请比较m与n的大小．
题型九 反比例函数的k值意义
41．（25-26九年级上·山东日照·月考）如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为8，则的值是（ ）
A．6B．8C．10D．12
42．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴，轴的正半轴上，双曲线分别与边，相交于点，，且点，分别为，的中点，连接，若的面积为5，则的值是（ ）
A．20B．40C．D．
43．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点，且与反比例函数的图象交于点，，以为对角线作矩形，则矩形的面积为 ．
44．（25-26九年级上·山西晋中·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，轴交反比例函数的图象于点B，点P在x轴上，若，则k的值为 ．
45．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，反比例函数图象的一支位于第一象限．
(1)该函数图象的另一支在第______象限，k的取值范围是_____；
(2)点A在反比例函数的图象上，点A关于x轴的对称点为点B，点A关于原点O的对称点为点C，若的面积为6，求k的值．
题型十 一次函数与反比例函数的交点问题
46．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，若正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过点A作轴，垂足为C，且，则不等式的解集为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
47．（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）如图，一次函数的图象过点，且与反比例函数的图象相交于B、C两点．若，则的值为 ．
48．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）若函数与的图象交于点，则的值为 ．
49．（25-26九年级上·浙江·月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于M、N两点，观察图象知，不等式的解集为 ．
50．（25-26九年级上·内蒙古包头·月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点A、B，且点A的横坐标为，点B的横坐标为4，一次函数的图象与y轴交于点C．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)观察图象直接写出当x取何范围时，有？
(3)若点P在y轴上，且的面积为6，求出点P的坐标；
题型十一 一次函数与反比例函数图象的综合判断
51．（25-26九年级上·广东深圳·月考）函数与在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
52．（25-26九年级上·陕西西安·期中）在同一直角坐标系中，函数和的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
53．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）如图，已知为直线上一点，过点作交反比例函数于点．若，则的值是 ．
54．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，直线与双曲线交于点A和点B，已知点A的坐标是，则关于x的不等式的解集是 ．
55．（2025九年级·江西·专题练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．
(1)求，，的值；
(2)观察图象，直接写出不等式的解集．
题型十二 一次函数与反比例函数的实际应用
56．（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）我省某化工厂2025年1月的利润为200万元，若设2025年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2025年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）．
(1)分别求出在新技术改造阶段及新技术改造后，y与x之间的函数表达式；
(2)若设第3个月时该厂的利润为，第4个月时该厂的利润为，第7个月时利润为，则、和的大小关系为：________（用“>”连接）；
(3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？
57．（25-26九年级上·云南昆明·月考）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降，在水温开始下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示．
(1)求当时，与之间的函数表达式；
(2)加热一次，水温不低于的时间有多长．
58．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）为预防冬季传染病，学校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段（图中段），室内每立方米空气中的含药量y（）与释放时间x（）成一次函数关系；释放完毕，y与x成反比例关系（图中段），如图所示，其中点A、B的坐标分别为和点．
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)当时，求x的值；
(3)如果教室内每立方米空气中的含药量不低于，且时间持续不低于1小时，才能达到有效消毒，这次“药熏消毒”是否是有效消毒？请说明理由．
59．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）为了做好校园“甲流”防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．已知消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量y（单位：）与时间x（单位：）成正比例函数关系，药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，函数图像如图所示．
(1)直接写出m，n的值；
(2)求本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间：
(3)从消毒开始，至少需要多长时间学生才能回到教室？
60．（25-26九年级上·山东东营·月考）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题：
(1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？
(3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由．
题型十三 实际问题与反比例函数
61．（甘肃省白银市2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数随时间（分）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题：
(1)点的注意力指标数是________．
(2)当时，求注意力指标数随时间（分）的函数解析式；
(3)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于？请说明理由．
62．（25-26九年级上·河南信阳·月考）（1）京剧以其独特的艺术魅力和深厚的文化底蕴闻名于世，京剧的角色有生、旦、净、丑等．现有张不透明卡片，正面分别印有“生”、“旦”、“净”、“丑”四种角色的卡通人物，卡片除正面图案外其余都相同．将这张卡片背面朝上洗匀，先随机抽取一张，再从剩下的张中随机抽取一张．利用画树状图或列表的方法表示所有可能出现的结果，并求抽取到的两张卡片中有“生”的概率．
（2）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，．
①求密度关于体积的函数解析式；
②若，则二氧化碳密度的变化范围为______．
63．（25-26九年级上·山东聊城·月考）一般情况下，中学生完成数学家庭作业时，注意力指数随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中、为线段，为双曲线的一部分）．
(1)求出注意力指数y与时间x（分钟）的函数关系式；
(2)若学生的注意力指数不低于40为高效时间，根据图中信息，求出一般情况下，完成一份数学家庭作业的高效时间是多少分钟?
64．（25-26九年级上·山西太原·月考）通过查阅资料，发现近视眼镜的度数（度）是关于镜片焦距（米）的反比例函数，其函数图象如图所示，已知500度近视眼镜的镜片焦距为0.2米．
(1)求出度数（度）关于镜片焦距（米）的反比例函数解析式．
(2)为了保护视力，医生建议镜片焦距不宜低于0.25米，通过计算判断近视眼镜度数在什么范围内符合医生的建议．
65．（25-26八年级上·全国·假期作业）为预防冬季传染病，学校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段（图中段），室内每立方米空气中的含药量与释放时间成一次函数关系；释放完毕，y与x成反比例关系（图中段），如图所示，其中点A、B的坐标分别为和点．
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)当时，求x的值；
(3)如果教室内每立方米空气中的含药量不低于，且持续时间不低于，才能达到有效消毒．这次“药熏消毒”是否是有效消毒？请说明理由．
题型十四 反比例函数与几何综合
66．（25-26九年级上·广东梅州·月考）如图，在中，，轴，垂足为A．反比例函数的图象经过点C，交于点D．已知，．
(1)若，求的值；
(2)连接，若，求的长．
67．（25-26九年级上·辽宁铁岭·期末）如图，在矩形中，，，反比例函数的图象与，分别交于，两点，且．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)设点为线段上一点，若，求点的坐标．
68．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数交于点和点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)请直接写出当时的取值范围；
(3)在反比例函数图象上，是否存在一点使得为直角三角形，且，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
69．（25-26九年级上·广东江门·月考）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)直接写出使反比例函数值小于一次函数值的的取值范围．
(3)直接写出的面积．
70．（25-26九年级上·山东日照·月考）如图，反比例函数的图象经过线段的端点，把线段沿轴正方向平移个单位得到线段，与上述反比例函数的图象相交于点，点的横坐标为 ．
(1)求的值和直线的解析式；
(2)求的面积
1．（25-26九年级上·山东日照·月考）关于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．点在它的图象上
B．它的图象在第二、四象限
C．当时，随的增大而增大
D．当时，
2．（25-26九年级上·河北唐山·期末）【新情境·区间测速】如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度与行驶时间是反比例函数关系（如图2），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过，最低车速不得低于，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间可能是（ ）
A．B．C．D．
3．（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，点，在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上．若轴，轴，且，则的长为（ ）
A．B．C．D．
4．（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限内的点B在反比例函数的图象上，且，，，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（25-26九年级上·天津南开·月考）如图，在平面直角坐标系中，在函数的图象上有一点，过作轴于点为点关于轴的对称点，若的面积为7，则 ．
6．（25-26九年级上·辽宁铁岭·期末）如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，点在轴的正半轴上，，点在轴的负半轴上，，连接，过点作交轴于点，点在上，连接，．则的面积为 ．
7．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，在中，，边在轴上，边，与反比例函数的图象分别相交于点，，连接，若，且的面积为，则的值为 ．
8．（25-26九年级上·辽宁铁岭·月考）如图，在中，，轴，垂足为，反比例函数的图象经过点，交于点．若，则 ．
9．（25-26九年级上·内蒙古通辽·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点A、B，且点A的横坐标为，点B的横坐标为4，一次函数的图象与y轴交于点C．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)观察图象，直接写出满足的x的取值范围；
(3)连接，求的面积．
10．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，一次函数与反比例函数的图象交于和两点．
(1)求一次函数的解析式：
(2)连接，，求面积．
11．（25-26九年级上·宁夏银川·月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C，D两点，与坐标轴交于A、B两点，连接，（O是坐标原点）．
(1)利用图中条件，求反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)在轴上是否存在一点P，使得是等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
12．（25-26九年级上·山东日照·月考）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是直线的一部分；当时，图象是反比例函数图象的一部分．
(1)第分钟的注意力指标值为___________；
(2)求y与x之间的函数关系式；
(3)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于？请说明理由．
1．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点A、B在反比例函数的图像上，点A坐标为，点B坐标为，点P为直线上一动点，连接PA、PB，则的最小值为（ ）
A．B．5C．D．
2．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，过原点O，轴，双曲线过A，B两点、过点C作轴交双曲线于点D，连接．若的面积为16，则k的值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
3．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，，，…，都是一边在轴上的等边三角形，顶点，，…，都在反比例函数的图象上，则（为正整数）的坐标是 ．
4．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，，分别为轴、轴正半轴上的点，以，为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，点的对应点落在第四象限，过点的反比例函数的图象与线段交于点，并且，则点的坐标为 ．
5．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且．
(1)填空：_________，_________，点的坐标是_________，点的坐标是_________；
(2)点是轴上的动点，连接，，则的最小值是_________；
(3)是坐标轴上的点，是平面内一点，是否存在点，，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（25-26九年级上·辽宁辽阳·期末）在平面直角坐标系中，对任意点的阶映射变换（为常数）定义如下：若点的横坐标满足，则变换后对应点为；若，则变换后对应点为．如：点的1阶映射变换对应点为；点的4阶映射变换对应点为．请根据变换规则解答下列问题：
(1)点的5阶映射变换对应点落在反比例函数的图象上，求的值；
(2)点的0阶映射变换对应点落在直线的图象上，求的值；
(3)点在直线的图象上，且点是点的1阶映射变换对应点．
①设点，求关于的函数关系式；
②若点在①的关于的函数图象上，点在的图象上，且，求的值．x
…
2
3
4
6
…
y
…
2
3
6
…
…
…
…
…
x
…
0
1
2
…
y
…
3
2
m
…
信息窗
1．药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为．
2．空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室．
3．当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效．