拓展寒假作业 计算题专项训练（巩固提升13大题型+能力培优+创新题型）（巩固培优）七年级数学新教材北师大版练习+答案

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拓展寒假作业 计算题专项训练
一、有理数的运算
1 ．法则：
（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．
（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ．
（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．
（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ．
（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．
(6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；
③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
2．运算律：
（1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a；②乘法交换律:ab=ba；
（2）结合律: ①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc)
（3）分配律：a(b+c)=ab+ac
二、整式的加减
1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项．
要点诠释：辨别同类项要把准“两相同，两无关”：
（1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；
（2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关．
2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
要点诠释：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变．
3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变．
4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变．
5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项．
三、一元一次方程的解法
解一元一次方程的一般步骤：
(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数．
(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．
(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．
(4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式．
(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)．
(6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解．
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
题型一 有理数的四则混合运算
1．计算下列各小题．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)30
【分析】本题考查了有理数的混合运算．
（1）利用加法交换律和结合律合并同类项，再分别计算带分数部分，最后相加即可；
（2）按照先算乘方、绝对值，再算乘除，最后加减的顺序计算．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
2．计算：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查有理数的加减乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解决本题的关键．
（1）先将小数转为分数，然后按照有理数混合运算法则计算即可；
（2）根据有理数混合运算法则计算即可解答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
3．计算：
【答案】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，理清运算顺序是解决问题的关键；先算乘除后算加减，按顺序计算即可．
【详解】解：
4．计算下列各题：
(1)
(2)；
(3)；
(4)．
(5)．
【答案】(1)9
(2)27
(3)11
(4)
(5)7
【分析】本题考查了有理数四则运算，掌握其运算方法是解题关键．
（1）原式利用乘法分配律计算即可得到结果；
（2）原式化为假分数再计算即可得到结果；
（3）原式利用乘法分配律计算即可得到结果；
（4）原式利用乘法分配律计算即可得到结果；
（5）原式化为假分数再利用乘法分配律，计算即可得到结果．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式，
，
，
．
（5）解：原式
．
5．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
9
【分析】本题考查有理数的混合运算．
（1）把小数化为分数，按照运算法则计算即可；
（2）先计算各部分，再进行加减计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
6．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键．
（1）先根据乘法分配律计算，再算加减法即可；
（2）先算乘方，再算乘除法，最后算加减法即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）
7．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了有理数的四则运算、运算律（加法交换律与结合律、乘法分配律）的应用，熟练掌握有理数的运算规则和运算律的使用方法是解题的关键．
（1）按照有理数加减运算的顺序，从左到右依次计算．
（2）利用加法交换律和结合律，将同分母分数、小数分别结合后再计算．
（3）运用乘法分配律，将括号内的每一项分别与相乘，再进行加减运算．
（4）先将带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，最后按照有理数乘法法则计算．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
题型二 有理数的简便运算
8．简便运算：
(1)
(2)
【答案】(1)7
(2)
【分析】本题考查有理数四则混合计算．
（1）先将括号内通分，再除以括号外的数即可；
（2）先将括号内带分数整理成两个数相加的形式，再去括号，让整数和整数合并计算，分数和分数合并在一起计算等．
【详解】（1）解：，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
．
9．利用简便方法计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握乘法运算律是解此题的关键．
（1）先将原式中的除法运算转化为乘法运算，再利用乘法分配律提取公因数，合并括号内的项后进行计算即可；
（2）先将式子变形为，再利用乘法运算律进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：
（2）
10．阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题．
①．
解：原式
．
上述这种方法叫作拆项法．
②仿照上面的方法计算：．
【答案】
【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用拆项法将原式变形，然后利用加法的交换律与结合律计算即可．
【详解】解：原式
．
11．阅读下列的计算方法，解决问题：
(1)．
解：原式．
上面这种方法叫拆项法．按这种方法，可将拆为_____，拆为______．
(2)类比上述计算方法，请计算：．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了有理数的加减运算，正确理解题意、掌握解答的方法是关键；
（1）根据有理数的加法作答即可；
（2）按照题干中的拆项法结合有理数的加减混合运算法则求解即可．
【详解】（1）解：可将拆为，拆为；
故答案为：，；
（2）解：
．
12．阅读下面的材料，并完成相应任务．
任务：
(1)上述材料中，序号①的内容为________．
(2)试用上述方法计算：
①________；
②．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】本题考查有理数的加法运算，解题的关键是掌握拆项法，将带分数拆成整数和分数两部分，再分别相加．
（1）根据拆项法的规则，将带分数拆分为整数17和分数；
（2）①利用拆项法把带分数拆成整数和分数，然后分别对整数部分和分数部分进行计算；
②运用拆项法拆分带分数，再分别结合整数与整数、分数与分数进行计算。
【详解】（1）解：由拆项法可知，．
（2）解：①
②
．
13．项目式学习
【答案】
【分析】本题考查了倒数、有理数的除法、乘法分配律，理解“倒数法”是解题的关键．
仿照题意的“倒数法”进行计算即可．
【详解】解：原式的倒数：
，
故原式．
14．阅读理解：
计算时，若把与分别各看作一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下：
解：设为，为，
则原式．
请用上面的方法计算：
【答案】
【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握阅读理解中的解题方法是解本题的关键．
根据题意设为A，为B，原式变形后计算即可求出值．
【详解】解：设为A，为B，
则原式
．
题型三 有理数的新定义运算
15．定义新运算“”：，例如：．
(1)计算：；
(2)若，求x的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了新定义运算的应用，解题的关键是根据新运算规则将式子转化为常规运算．
（1）代入新运算公式，计算乘法与加减法；
（2）根据新运算列方程，再解一元一次方程．
【详解】（1）解：
（2）解：由题意得：，
即，
，
．
答：的值为．
16．对于有理数、，定义运算：．
(1)计算的值；
(2)求的值；
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查新定义运算，有理数的混合运算，按照给定的运算规则代入数值计算即可．
（1）根据新定义直接计算；
（2）先计算内层运算，再计算外层运算．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ．
（2）解：∵ ，
∴ ．
．
17．【新定义】有理数的“加乘”运算，记作
例如：；；；．
【观察入微】
（1）_____；_____；
（2）计算：；
【见微知著】
（3）若，求的值；
（4）若整数满足，求、的值．
【答案】（1）0，；（2）；（3）；（4）或，
【分析】本题考查有理数的混合运算，代数式求值，理解题意并列出正确的算式是解题的关键．
（1）根据定义的运算法则计算各式即可；
（2）根据定义的运算法则计算即可；
（3）根据定义的运算法则列得算式并整理，然后将原式变形后代入数值计算即可；
（4）根据定义的运算法则列得算式并整理，然后确定a，b的值即可．
【详解】解：（1），，
故答案为：0；；
（2）
．
（3），
，
．
（4）整数、满足，
当与同号时，
，，
，，
，．
当与异号时，
，，
，
，，
，．
综上，或，．
18．对于实数，，定义关于“”的一种运算：．例如：．
(1)求的值．
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)26
【分析】本题考查了新定义计算问题，主要考查有理数的四则混合运算，掌握有理数四则混合运算法则为解题关键．
（1）根据定义计算即可求解；
（2）根据定义先计算，再计算即得．
【详解】（1）解：；
（2）解：
．
19．对有理数，定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“”．并按照此运算写出了一些式子：
，，，
，，，
，，…
(1)根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整：
两个数相乘加，同号得______，异号得______，并把绝对值______；一个数与0相“乘加”等于______；
(2)根据法则计算：______；______；
(3)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，请计算：
①；②．
【答案】(1)正；负；相加；这个数的绝对值
(2)；
(3)；
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，根据题中给出的例子归纳法则是解题的关键．
（1）根据题中给出的例子归纳出结论即可；
（2）根据（1）中的“乘加法”进行计算即可；
（3）根据（1）中的“乘加法”进行计算即可．
【详解】（1）解：两个数相乘加，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；一个数与0相“乘加”等于这个数的绝对值；
故答案为：正；负；相加；这个数的绝对值；
（2）解：；
；
故答案为：；；
（3）解：①
；
②
．
20．定义一种新的运算“※”：规定有理数a※，如：2※
(1)分别求4※和※的值，并猜想运算“※”是否具有交换律，请说明理由；
(2)求※※的值．
【答案】(1)，，“※”不具有交换律，理由是见解析
(2)
【分析】（1）根据定义的新运算列式计算，然后猜想是否具有交换律并说明理由即可；
（2）根据定义的新运算列式计算即可．
本题考查有理数的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键．
【详解】（1）解：※
，
※
，
则“※”不具有交换律，理由是4※※；
（2）解：※※
※
※
※
21．定义一种新运算：对于任意有理数都满足，例如：，
(1)求的值：
(2)计算：．（有括号先算括号）
【答案】(1)5
(2)2
【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，理解新定义掌握运算法则是解题的关键．
（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）原式利用题中的新定义计算即可求出值．
【详解】（1）
；
（2）
．
题型四 整式的加减运算
22．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（）合并同类项即可；
（）先去括号，再合并同类项即可；
本题考查了整式的加减，掌握去括号和合并同类项法则是解题的关键．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
23．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键．
（1）先去括号，再合并同类项即可；
（2）先去括号，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
24．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查整式的加减；
（1）去括号后合并同类项即可；
（2）去括号后合并同类项即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
25．化简：
(1)
(2)
【答案】(1)；
(2)．
【分析】此题主要考查整式的加减，解题的关键是熟知整式的加减运算法则．
（1）先去括号，再合并同类项即可求解；
（2）按照先去小括号，再去中括号，最后合并同类项即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
．
26．（1）化简：；
（2）化简：．
【答案】（1）
（2）
【分析】本题考查了整式的加减运算，去括号，合并同类项等知识点，解题关键是掌握去括号法则．
（1）先去括号，再合并同类项；
（2）先去括号，再合并同类项．
【详解】（1）解：
（2）
．
27．化简．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了整式的加减，熟练掌握整式加减的混合运算法则是解题的关键．
（1）先去括号，再合并同类项，即可求解；
（2）先去括号，合并同类项，即可求解．
【详解】（1），
，
，
．
（2），
，
，
．
28．计算
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查整式的加减运算，掌握相关知识是解决问题的关键．
(1) 合并同类项即可；
(2) 先去小括号，再去中括号，然后合并同类项；
(3) 合并同类项即可；
(4) 先去括号，再合并同类项．
【详解】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
题型五 整式加减中的化简求值
29．先化简，再求值：，其中．
【答案】，2
【分析】本题考查了整式的加减—化简求值，熟练掌握整式的加法、减法运算法则，掌握绝对值的性质、偶次方的性质，正确化简并求出、的值是解题的关键．先去括号合并同类项，再根据非负数的和为0确定、的值，最后代入求值．
【详解】解：原式，
，，，
，，
，，
原式．
30．先化简，再求值：，其中，．
【答案】；
【分析】本题考查了整式的加减，代数求值等知识点，去括号，合并同类项，再代入求值即可．
【详解】解：
，
当，时，
原式．
31．先化简，再求值：
(1)，其中，．
(2)，其中，满足．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）先去括号，再合并同类项得到化简结果，最后将x、y的值代入计算即可；
（2）先去括号，再合并同类项得到化简结果，利用绝对值及平方的非负性得出，，最后将a、b的值代入计算即可．
【详解】（1）解：
，
当，时，
原式．
（2）
由题意，得，，
解得，．
原式．
32．先化简，再求值：，其中，．
【答案】，3
【分析】根据去括号，合并同类项，正确化简，后转化为代数式的值计算即可．
本题考查了整式的加减的化简求值，正确化简是解题的关键．
【详解】解：
，
当时，
原式．
33．先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】本题主要考查整式的化简求值，将整式化简是解题的关键．
首先利用去括号、合并同类项将整式进行化简，再将x，y的值代入求值即可．
【详解】解：
，
∵，，
∴原式．
34．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了整式加减中的化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键．先去括号，再计算整式的加减，然后将代入计算即可得．
【详解】解：原式
．
将代入得：原式．
35．先化简，再求值：．其中．
【答案】，
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先去括号，然后合并同类项化简，再根据非负数的性质求出x和y的值，代入化简后的式子求值即可．
【详解】解：原式
，
，
，，
，，
原式
．
题型六 整式加减中的无关型计算
36．若多项式化简后不含的三次项和一次项．
(1)求、的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查整式加减中的无关问题与代数式求值，掌握整式的加减运算法则是解题关键．
（1）将该多项式以x为主元，合并同类项后，不含某一项就意味着该项的系数为0，据此进行计算即可．
（2）将m、n的值代入，按照有理数的乘方法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
，
，
∵化简后不含的三次项和一次项，
∴，
解得．
（2）解：∵，
∴．
37．已知．
(1)化简；
(2)若的值与的值无关，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了整式的加减．
（1）将代入计算即可；
（2）将原式化为，根据“值与的值无关”求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：，
∵的值与的值无关，
∴，
解得．
38．已知关于x的多项式，其中，若的结果与x的取值无关，求的值．
【答案】，
【分析】本题考查了整式的加减运算的无关型问题，先理解题意，列式化简得，再结合的结果与x的取值无关，故解得，，即可作答．
【详解】解：∵，
∴
，
的结果与x的取值无关，
．
39．已知，且．
(1)求多项式；
(2)若多项式的值与b的取值无关，求的值；
(3)若a，b满足，且，求（1）中多项式的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或41
【分析】本题考查了整式加减中的化简求值、以及无关型问题，熟练掌握整式加减的运算法则是解题关键．
（1）将代入，先去括号，再计算整式的加减即可得；
（2）根据多项式中含项的系数等于0求解即可得；
（3）先求出或，再分别代入计算即可得．
【详解】（1）解：∵，且，
∴
．
（2）解：由（1）得：，
∵多项式的值与的取值无关，
∴，
∴．
（3）解：∵，
∴，，
∵，
∴或，
由（1）得：，
∴将代入得：；
将代入得：；
综上，（1）中多项式的值为或41．
40．已知．
(1)求；
(2)若的值与的取值无关，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了整式的加减，整式的加减中无关型问题，熟练掌握运算法则，是解题的关键．
（1）先去括号，再合并同类项即可；
（2）将A+mB进行去括号，合并为，代数式的值与y的取值无关，则，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴
；
（2）解：∵，
∴
，
∵的值与的取值无关，
∴，
∴．
41．已知：．
(1)计算：；
(2)当时，求的值；
(3)若的值与 y无关，求 x的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了整式的加减—化简求值，整式加减无关型，掌握去括号法则，合并同类项法则把整式正确化简是解决问题的关键．
（1）把，代入，通过去括号、合并同类项化简即可求解；
（2）再把，代入（1）中结果计算即可；
（3）由（1）知，结合题意得出关于x的等式，即可求出x的值．
【详解】（1）解：
；
（2）解：当，时，
；
（3）解：由（1）知，
因为的值与y无关，
所以中，，
所以．
42．已知，．
(1)化简代数式．
(2)当，时，求代数式的值．
(3)若的值与的取值无关，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查整式的化简求值．
（1）先计算，再将，代入计算即可；
（2）将，代入（1）中结果计算即可；
（3）将原式化为，根据值与的取值无关计算即可．
【详解】（1）解：
（2）解：当，时，
（3）解：
∵值与的取值无关，
∴，
∴
题型七 带有字母的绝对值化简计算
43．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．
(1)用“”“ ”或“”填： 0， 0；
(2)求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了数轴、绝对值的性质、整式的加减，根据点在数轴上的位置判断代数式的正负性并能正确去掉绝对值符号是解题的关键．
（1）根据数轴得出，，即可判断出各式的答案；
（2）根据点在数轴的位置判断各代数式的正负，再利用绝对值的性质去掉绝对值符号，合并同类项即可．
【详解】（1）解：观察数轴得：，
∴，
∴，；
故答案为：，；
（2）解：∵，
∴，，，
∴
．
44．有理数，，在数轴上的位置如图所示．
(1) 0； 0； 0；（填“”“”或“”）
(2)化简：．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】本题考查了数轴、绝对值的意义，合并同类项，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）根据有理数在数轴上的位置，确定它们的正负，进而判断它们的和与差的正负；
（）先确定绝对值内式子的正负，根据绝对值的意义去绝对值，然后化简即可．
【详解】（1）解：由数轴可知，，
∴，，，
故答案为：，，；
（2）解：由（）得，，，，
∴
．
45．已知a，b，c在数轴上的位置如下图所示，则化简代数式．
【答案】
【分析】本题考查了数轴，绝对值的化简，整式的jiajian解题的关键是根据数轴确定、、的符号及绝对值内式子的正负，再利用绝对值的性质去符号化简．
由数轴得，且，判断出、、，再根据绝对值的性质去符号，合并同类项化简．
【详解】解：由数轴知，，且，
∴，，，
原式
．
46．有理数，，在数轴上的位置如图．
(1)比较大小（填“”或“”）：
______，______0，______0；
(2)化简：．
【答案】(1)；；．
(2)
【分析】本题考查了数轴上有理数的大小比较及绝对值的化简，解题的关键是根据数轴确定有理数的符号与绝对值的大小关系．
（1）根据数轴上数的位置确定、、的符号与绝对值大小，进而比较（1）中各式的大小；
（2）依据各式的符号去掉绝对值符号后合并同类项．
【详解】（1）解：由数轴得，且，
∴；；．
故答案为：；；．
（2）解：由数轴知，，，
∴
47．已知有理数，，，且
(1)如图，在数轴上将，，三个数填在相应的括号中；
(2)化简：．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了整式的加减，数轴以及绝对值．
（1）根据、、的范围，即可解答；
（2）根据、、的取值范围，，，，根据绝对值的性质，即可解答．
【详解】（1）解：如图，有理数，，，
；
（2）由（1）数轴图可知，，，
．
48．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．
(1)______0；______0；______（填“>”或“