【数学】甘肃省天水市甘谷县多校联考2026届高三上学期1月期末考试试题（学生版+解析版）

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一、单项选择题
1. 下列说法不正确的是（ ）
A. 命题p：，，则命题p的否定：，
B. 若集合中只有一个元素，则
C. 若，，则
D. 已知集合，且，满足条件的集合N的个数为4
【答案】B
【解析】对于A，由全称命题的否定知，命题p：，，的否定为，，故A正确；
对于B，若集合中只有一个元素，
当时，，符合题意，
又，解得，也符合题意，故B不正确；
对于C，因为，，
所以，，则，故C正确.
对于D，由，故集合N的个数为，故D正确.
故选：B.
2. 设是两个不同的平面，，是异于的一条直线，则“”是“且”的（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，可能在内或者内，故不能推出且，所以充分性不成立；
当且时，设存在直线，且，
因为，所以，根据直线与平面平行的性质定理，可得，所以，即必要性成立，
故“”是“且”的必要不充分条件．
故选：A．
3. 已知数列中，，，则（ ）
A. 1B. C. －1D. －2
【答案】D
【解析】因为，，
所以，，，
所以是以3为周期的数列，
所以.
故选：D.
4. 已知双曲线C的焦点在y轴上，其渐近线方程为，则C的离心率为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】因为双曲线C的焦点在y轴上，则其渐近线方程为，
又已知双曲线C的渐近线方程为，
则，所以双曲线的离心率．
故选：D.
5. 若为任一非零向量，是模为1的向量，下列各式：①；②；③；④，其中正确的是（ ）.
A. ①④B. ③④C. ①②③D. ②③
【答案】B
【解析】在①中，的大小不能确定，故①错误，
在②中，两个非零向量是否平行取决于两个向量的方向，故②错误，
在③中，为任一非零向量，则，故③正确，
在④中，由题意可知，故④正确.
故选：B.
6. 已知四面体ABCD的四个顶点都在同一球面上，，，平面平面当该球的体积最小时，四面体ABCD体积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为平面平面BCD，所以点A在平面BCD的射影E落在BD上，
当点E为BD的中点时，AE最大，此时四面体ABCD的体积取最大，
如图所示：
在中，设其外接圆的圆心为O，取BC的中点F，连接DF，则点O在DF的直线上，
由余弦定理得，，
且，则，
设外接圆的半径为r，则，得，
当四面体ABCD的外接球的体积最小时，此时球心应为点O，
则，且，
得，，
此时四面体ABCD体积的最大值为：
故选：B.
7. 不透明的布袋里装有不同编号且大小完全相同的红色，白色，黑色，蓝色的球各两个，从中随机选4个球，则在已有两个球是同一颜色的条件下，另外两球不同色的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】记至少有两个球颜色相同为事件，两球颜色不同为事件，
则，
，
所以在已有两个球是同一颜色的条件下，另外两球不同色的概率为
,
故选：B.
8. 若关于的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】解集为，
当时，的解集为，
因为关于的不等式组的整数解只有，
所以，即，
当时，的解集为空集，不满足题意，
当时，的解集为，不满足题意，
综上，的取值范围.
故选：D.
9. 如图所示，将绘有函数部分图象的纸片沿轴折成钝二面角，此二面角的平面角为，此时，之间的距离为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】过分别作轴的垂线，垂足分别为，在平面内作轴，轴交于点，
连接，则是二面角的平面角，即，
则，由轴垂直于，平面，
得轴垂直于平面，又轴，则平面，而平面，因此，
又函数的周期，即，
由勾股定理得，即，解得，
而函数的图象过点，则，即，
又，且0在的递减区间内，所以.
故选：B.
二、多项选择题
10. 已知复数，则（ ）
A. 的虚部为
B.
C.
D. 复数在复平面内对应的点位于第四象限
【答案】AD
【解析】由题意可得，
则的虚部为，，，
复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，
综上：A正确，B错误，C错误，D正确.
故选：AD.
11. 已知，，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】对A选项：由，，且，
故，
当且仅当时等号成立，
即，故A正确；
对B选项：由，，且，
故，
当且仅当时等号成立，
即，故B错误；
对C选项：由，，且，
故，
当且仅当时等号成立，
即，故C正确；
对D选项：由，，且，
故
，
当且仅当，即、时等号成立；
即，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
12. 已知直线与圆交于A，B两点，若a，b，c是等差数列中的连续三项，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】因为a，b，c是等差数列中的连续三项，所以，
所以，则直线l的方程为，即，
故直线过定点．由题意可知圆的圆心为，半径，
设圆心到直线的距离为，因为直线恒过圆内的定点，
所以的取值范围是，即，弦长是的减函数，
故的最小值为当时取得，即，
的最大值为当时取得，即，
故的取值范围是．
故答案为：.
13. 数列{an}的通项公式，前n项和为Sn，则S2012=___________.
【答案】3018
【解析】
.
14. 若关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围为_______________.
【答案】
【解析】由题意有：，又，
所以，
令，即，
又，由，
所以在上单调递增，
所以在上单调递增，
由，所以，令，即，
所以，
所以当时，，所以在单调递减，
所以，所以，又，
所以，
故答案为：.
四、解答题
15. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且.
（1）求角的值；
（2）若，的面积为，求，的值．
解：（1）由及正弦定理，
得．
因为，
所以，
所以．
因为，所以，即．
因为，所以，
所以，．
（2）由（1）得，
因为的面积为，即，
所以．
由余弦定理，得．
因为，所以，所以．
所以，所以；
又，所以．
所以．
16. 近年来，轻食作为餐饮的一种创新形态，广受消费者青睐．某公司为了获得轻食消费者行为数据，对一地区消费者进行抽样调查．统计其中300名消费者（表中3个年龄段的人数各100人）食用轻食的频数与年龄得到如下的频数分布表．
（1）已知该地区25岁以下、25岁到50岁、50岁及以上三个年龄段的人数比例为，用频率估计概率，求从该地区随机抽取一人，其为高频消费者的概率．
（2）从以上样本的轻食高频消费者（每周4-6次及以上）中，采用按比例分配的分层随机抽样抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记这3人中年龄在25岁以下与25岁到50岁的人数分别为，，记，求的分布列与期望．
解：（1）记从该地区中任抽一人，其年龄在25岁以下、25岁到50岁、50岁及以上分别为事件，，，其为高频消费者为事件B，则，，，
由表中数据估计概率，，，
所以
，
即从该地区中任抽一人，其为高频消费者的概率为．
（2）由表知，利用分层抽样的方法抽取的6人中，年龄在25岁以下与25岁到50岁的人数分别为3和2，依题意，的所有可能取值分别为0、1、2、3．
所以，
，
，
．
所以的分布列为：
所以的数学期望为．
17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，为棱的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，
（i）求平面与平面的夹角的正弦值；
（ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
（1）证明：取PD中点N，连接MN，AN，
因为M，N分别为PC，PD中点，所以，且，
因为，且，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）解：（i）因为平面平面，平面平面，
平面，，
所以平面，
因为平面，所以，，
因为，
所以，即，所以两两垂直，
以D为原点，为x，y，z轴正方向建系，如图所示，
则，
所以，
因为平面，为棱的中点，
所以即为平面的法向量，
设平面的法向量，
则，即，
令，则，所以，
所以，
则，
所以平面与平面的夹角的正弦值.
（ii）假设线段上存在点满足条件，设，，
则，
所以点到平面的距离，
解得，则，
所以存在，使得点到平面的距离是.
18. 在数列中，.
（1）求证：是等比数列；
（2）若等比数列满足.
（i）求的值；
（ii）记数列的前项和为.若，求的值.
（1）证明：因为，所以，
又，所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列.
（2）解：（i）由（1）可得，所以，所以，
则，
因为数列为等比数列，所以，即，
化简得，解得或，又，所以，
当时，，此时为定值，符合题意；
（ii）由（i）可知，
当为偶数时，，
当为奇数时，，
所以，易知，所以，所以为偶数，
因为，所以，
化简得，解得或（舍去），所以．
19. 已知函数.
（1）若，求函数的单调递减区间；
（2）若存在实数b，使得函数有三个不同的零点.
①求a的取值范围；
②若成等差数列，求证：.
（1）解：，定义域为，
，
令得，
故的单调递减区间为；
（2）①解：，即，故，
有三个不同的零点，故有3个不同的正根，
令，定义域为，则需有两个极值点，
则需有两个不同的变号零点，
令，则，
令得，
令得，令得，
故在上单调递减，在上单调递增，
又，，故当时，，
又时，恒成立，
故要想有两个不同的变号零点，需满足，
此时存在实数b，使得有3个不同的正根，
a的取值范围为；
②证明：，即，，
两式相加得，
即，
成等差数列，故，故，
，
故，即，
又，故，
故，即，
，
下面推导对数平均不等式，，，
只需证，即证，
令，只需证，
令，，
则恒成立，
故在上单调递增，又，故，证毕，
，又，故等号取不到，
所以，即，
所以，由①知，，
故，证毕.
年龄
食用频数
25岁以下
（）
25岁到50岁
50岁及以上
（）
轻食低频消费者（每周次）
15
35
50
轻食中频消费者（每周2-3次）
55
45
40
轻食高频消费者（每周4-6次及以上）
30
20
10
0
1
2
3
P