甘肃省天水市甘谷县2024-2025学年高一下学期开学摸底考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份甘肃省天水市甘谷县2024-2025学年高一下学期开学摸底考试数学试题（原卷版+解析版），共19页。
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区．
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. “”是“”的什么条件（ ）
A 充分条件B. 必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 某公司每个月的利润（单位：万元）关于月份的关系式为，则该公司12个月中，利润大于100万元的月份共有（ ）
A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个
4. 若，则函数的最小值为
A. B. C. D.
5. 已知函数，则=（ ）
A. -1B. 0C. 1D. 2
6. 已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（ ）
A （0，1）B. （0，）C. [，）D. （，）
7. 定义两种运算：，，则函数为（ ）
A. 奇函数B. 偶函数
C. 奇函数且为偶函数D. 非奇函数且非偶函数
8. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（ ）
A. B.
C D.
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 是第三象限角
B. 若角的终边过点，则
C. 若角为锐角，那么是第一或第二象限角
D. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为
11. 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是
（参考数据：lg3≈0.48）
A. 1033B. 1053
C. 1073D. 1093
12. 已知定义在上的函数（ ）
A. 若恰有两个零点，则取值范围是
B. 若恰有两个零点，则的取值范围是
C. 若的最大值为，则的取值个数最多为2
D. 若的最大值为，则的取值个数最多为3
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 命题，的否定是______________.
14. 函数定义域是___________.
15. 若，则________.
16. 若是三角形的一个内角，且函数对任意实数均取正值，那么所在区间是________
四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 不用计算器求下列各式的值
（1）；
（2）.
18. 已知，且，求下列各式的值．
（1）
（2） .
19. 已知函数是上的奇函数，当时，.
（1）求的解析式；
（2）用定义证明：函数在为减函数.
20. 已知函数（且）在上的最大值与最小值之差为
（1）求实数的值；
（2）若，当时，解不等式．
21. 已知函数
（1）求的单调递增区间及最小正周期；
（2）若，且，求．
22. 已知是偶函数.
（1）求的值;
（2）已知不等式对恒成立,求实数的取值范围.
2024-2025学年下学期高一年级开学摸底考试
数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．考试结束后，将答题卡交回．
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区．
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先由补集的概念，求出，再和集合求交集，即可得出结果.
【详解】由，得.
又，所以.
故选：C.
【点睛】本题主要考查集合的交集与补集的运算，熟记概念即可，属于基础题型.
2. “”是“”的什么条件（ ）
A. 充分条件B. 必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可得结论.
【详解】若，则由“”不能推出“”，故充分性不成立；
若，则由“”不能推出“”，故必要性不成立；
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
3. 某公司每个月的利润（单位：万元）关于月份的关系式为，则该公司12个月中，利润大于100万元的月份共有（ ）
A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个
【答案】C
【解析】
【分析】解关于的一元二次不等式，再根据的取值确定即可.
【详解】解：由题意得：，解得或，
故、、、、、，共个月；
故选：C.
4. 若，则函数的最小值为
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造两式之积是个定值，再用基本不等式求解．
【详解】∵，∴（当且仅当时，即时，取“=”），故选B.
【点睛】本题考查了构造思想，基本不等式的性质的运用，属于基础题．
5. 已知函数，则=（ ）
A. -1B. 0C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据分段函数的解析式，依次代入变量的数值，即可求解.
【详解】.
故选：B
6. 已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（ ）
A. （0，1）B. （0，）C. [，）D. （，）
【答案】C
【解析】
【分析】根据分段函数的递减性可知两个函数段上的函数为减函数,且交界处也满足递减的关系列式即可.
【详解】由分段函数为减函数可知.
故选：C
【点睛】本题主要考查了根据分段的增减性求参数范围的问题.属于基础题.
7. 定义两种运算：，，则函数为（ ）
A. 奇函数B. 偶函数
C. 奇函数且为偶函数D. 非奇函数且非偶函数
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：根据新定义运算可得；
由得：，
所以
所以是奇函数.
考点：1.创新意识；2.函数的奇偶性
8. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可.
【详解】设g（x）＝x2﹣ax+1，
则要使f（x）＝ln（x2﹣ax+1）在区间（2，+∞）上单调递增，
由复合函数单调性可得：
满足，即，
得a，
即实数a的取值范围是，
故选C．
【点睛】本题主要考查复合函数单调性的应用，结合二次函数的单调性是解决本题的关键，注意真数大于0的条件的应用，属于易错题型.．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根据反比例函数及三角函数的奇偶性及单调性逐一判断即可.
【详解】解：对于A，函数在上单调递减，故A不符题意；
对于B，函数是偶函数，故B不符题意；
对于C，函数是奇函数且在上单调递增，故C符合题意；
对于D，函数是奇函数且在上单调递增，故D符合题意；
故选：CD．
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 是第三象限角
B. 若角的终边过点，则
C. 若角为锐角，那么是第一或第二象限角
D. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为
【答案】BD
【解析】
【分析】利用象限角的定义可判断A选项；利用三角函数的定义可判断B选项；取可判断C选项；利用扇形的弧长与面积公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，，因为为第四象限角，故是第四象限角，A错；
对于B选项，若角的终边过点，则，B对；
对于C选项，当，则既不是第一象限角，也不是第二象限角，C错；
对于D选项，若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的半径为，
因此，该扇形的面积为，D对.
故选：BD.
11. 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是
（参考数据：lg3≈0.48）
A. 1033B. 1053
C. 1073D. 1093
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：设 ，两边取对数，，所以，即最接近，故选D.
【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含，，.
12. 已知定义在上的函数（ ）
A. 若恰有两个零点，则的取值范围是
B. 若恰有两个零点，则的取值范围是
C. 若的最大值为，则的取值个数最多为2
D. 若的最大值为，则的取值个数最多为3
【答案】AC
【解析】
【分析】对选项A和B，根据的图象性质可知，然后解出不等式即可；对选项C和D，对的最大值取值点进行分类讨论，并利用的单调性和图象特点即可
【详解】令，
若恰有两个零点，则有：
解得的取值范围是：
若的最大值为，分两种情况讨论：
①当，即时，根据正弦函数的单调性可知，
解得：
②当，即时，根据正弦函数的单调性可知，在上单调递增
则有：
结合函数与在上的图象可知，如下图：
故存在唯一的，使得
综上可知，若的最大值为，则的取值个数最多为2
故选：
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 命题，的否定是______________.
【答案】，
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定形式写出即可.
【详解】命题的否定为.
故答案：.
14. 函数的定义域是___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据正切函数的定义域求解即可得出答案.
【详解】函数的定义域为：
即：函数的定义域为：
故答案为：
15. 若，则________.
【答案】
【解析】
【分析】利用诱导公式即可求出.
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
16. 若是三角形的一个内角，且函数对任意实数均取正值，那么所在区间是________
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，对二次函数系数分类讨论,确定二次函数开口向上，即可满足条件.
【详解】①时，，不满足对任意实数均取正值,舍去；
②时，，二次函数开口向下，不满足对任意实数均取正值,舍去；
③时，，需满足，
故，
所以，
所以，
所以，
所以或，
又，
所以，
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 不用计算器求下列各式的值
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用指数幂的运算性质即可求解.
（2）利用对数的运算性质即可求解.
【详解】解（1）原式
=
（2）原式
【点睛】本题考查了指数的运算性质、对数的运算性质，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
18. 已知，且，求下列各式的值．
（1）
（2） .
【答案】（1）0； （2）2.
【解析】
【分析】（1）由同角三角函数的关系可得tan α＝－2，再应用商数关系化简求值即可.
（2）应用诱导公式化简求值.
【小问1详解】
因为且，
所以sin α＝－，则tan α＝－2.
＝0；
【小问2详解】
＝＝－tan α＝2.
19. 已知函数是上的奇函数，当时，.
（1）求的解析式；
（2）用定义证明：函数在减函数.
【答案】（1）（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）令则，将代入，可得函数在的解析式，又，综合可求得的解析式；
（2）设，为区间上的任意两个值，且，计算为正值，即可证明函数在为减函数.
【详解】（1）令则，
因为函数是上的奇函数，所以
因为函数是上的奇函数，所以所以
；
（2）设，为区间上的任意两个值，且
因为所以，，
，
所以函数在为减函数.
【点睛】本题考查奇函数解析式的求法，注意不要漏掉，以及考查函数单调性的证明，考查学生计算能力，是基础题.
20. 已知函数（且）在上的最大值与最小值之差为
（1）求实数的值；
（2）若，当时，解不等式．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数的单调性，求函数的最值，结合条件，即可求解；
（2）首先求函数的解析式，再根据函数的性质，化解不等式，即可求解.
【小问1详解】
当时，，，
则，解得
当时，，，
则，解得
综上得：或
【小问2详解】
当时，由（1）知，
为奇函数且在上是增函数，
∴ 即，
，得或，
所以，不等式的解集为.
21. 已知函数
（1）求的单调递增区间及最小正周期；
（2）若，且，求．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）首先利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据三角函数的性质，即可求解；
（2）根据（1）的结果，以及，求得，再根据角的变换求的值.
【小问1详解】
，
令，
得，
所以函数的单调递增区间为，
函数的最小正周期为.
【小问2详解】
，且，，
即，因为，，
所以，
故
.
22. 已知是偶函数.
（1）求的值;
（2）已知不等式对恒成立,求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据偶函数定义得，利用对数性质以及指数性质化简可得的值；
（2）先根据函数单调性化简不等式为，再变量分离得，最后根据基本不等式求最小值，即得实数的取值范围.
【详解】（1）,，即,
所以对恒成立,所以；
（2）由题意得对任意的恒成立,
因为单调递增，所以对恒成立，即对恒成立，
因为，当且仅当，即时等号成立，所以,
又因为，所以，即的取值范围是.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.