【数学】甘肃省天水市清水县多校联考2026届高三上学期1月期末检测试题（学生版+解析版）

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一、单选题
1. 若复数为纯虚数，则（）
A. B. 0C. 2D. 4
2. 在研究变量与之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据利用此样本数据求得的经验回归方程为，现发现数据和误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为，且则（）
A. 8B. 12C. 16D. 20
3. 记等比数列的前项和为，若，则（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
4. 已知第二象限角满足，则（）
A. B. C. D.
5. 定义在R上的奇函数，满足，且当时，不等式恒成立，则函数的零点的个数为（）
A. 0B. 1C. 2D. 3
6. 不等式在上恒成立的一个充分不必要条件是（）
A. B.
C. D.
7. 已知，若正实数m，n满足，则的最小值为（）
A. B.
C. D.
8. 已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，平面平面，，，，，则球的体积为（）
A. B. C. D.
二、多项选择题
9. 已知点，直线，，，平面，，则下列命题正确的是（）
A. 若，，则
B. 若，，，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，，则
10. 已知数列是单调递增的等比数列，且，，则（）
A.
B. ．
C. 与的等比中项为4
D. 数列是公差为的等差数列
11. 已知定义在上的偶函数可导，的导数为是奇函数，则（）
A. B. 的一个周期为8
C. D. 的图象关于对称
三、填空题
12. 平面向量，若，则______.
13. 已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中的系数为___________．
14. 已知函数，若曲线与直线在区间上有且仅有2个交点，则的取值范围为______.
四、解答题
15. 如图，在中，，，，点D在边BC的延长线上.
（1）求的面积；
（2）若，，求CE的长.
16. 如图，在长方体中，，，．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
17. 为普及学生对工具的使用，某校开展了关于运用知识的竞赛活动，经过多轮比拼，甲乙两人进入决赛，在决赛中有两道题：一道为抢答题，且只能被一人抢到，甲、乙两人抢到的概率均为；另一道为必答题，甲、乙两人都要回答，已知甲能正确回答每道题的概率均为，乙能正确回答每道题的概率均为，且甲、乙两人各题是否答对互不影响．
（1）求抢答题被回答正确的概率；
（2）记正确回答必答题的人数为X，求X的分布列和数学期望．
18. 已知各项均为正数的等差数列的公差不等于，，设、、是公比为的等比数列的前三项.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前项和为，
（3）设，求数列的前项和为.
19. 已知函数.
（1）当时，过原点的直线与曲线相切于点，证明：为定值.
（2）已知恰有两个零点恰有两个零点，且.
（i）求的取值范围；
（ii）证明：.