黑龙江省五校联盟2025_2026学年上册期末高二数学检测试卷【含解析】

这是一份黑龙江省五校联盟2025_2026学年上册期末高二数学检测试卷【含解析】，共14页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容， 已知直线l， 已知直线l1等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上；
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效；
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回；
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线l:y=−33x−9的倾斜角为（ ）
A. 5π6B. π6
C. 2π3D. π3
2. 在空间直角坐标系中，点M(−1,3,4)到z轴的距离为（ ）
A.2B. 10
C.1D.4
3. 若{a,b,c}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A. a+b，a，bB. b+c，a，c
C. a+2b，a−2b，aD. a+2b+2c，b+c，a
4. 双曲线x24−y23=1的一条渐近线方程为（ ）
A. 3x+4y=0B. 4x−3y=0
C. 3x−2y=0D. 2x+3y=0
5. 若数列{an}满足a1=2，an+1=1+an1−an，则a985=（ ）
A. -3B. −12
C. 13D.2
6. 某体育场一角看台的座位共有十一排，从第一排到第十一排的座位数成等差数列，且前两排的座位数与后两排的座位数之和为80，则第六排的座位数为（ ）
A.16B.18C.20D.22
7. 已知直线l:3x+4y+12=0及抛物线x2=8y上一动点M(xM,yM)，记M到l的距离为d，则yM+d
的最小值为（ ）
A. 5B.2
C.4D. 5−2
8. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，记载了如图所示的数表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，已知第n行的所有数字之和为2n−1，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前35项和为（ ）
A.996B.995C.1014D.1024
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 如图，直三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长均为1，E，F分别为AB，A1C1的中点，则（ ）
A. EF→=−12AB→+12AC→+AA1→
B. EF→·BC→=14
C. EF→在平面BCC1B1上的投影向量的模长为52
D. EF→在A1B1→上的投影向量为−13A1B1→
10. 已知直线l1:ax+(a−1)y+3=0，直线l2:x−2y+11=0，则下列选项正确的是（ ）
A. 直线l1过定点(−3,3)
B. 直线l2在x轴上的截距为11
C. 若l1⊥l2，则a=2
D. 若l1∥l2，则a=−13
11. 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=32，且2anan+1−3an+9an+1=0，则（ ）
A. a2=10a4
B. 1an+43是等比数列
C. 数列lg33an+1的前100项和为5050
D. S2025λ对任意n∈N+恒成立，则λ的取值范围为______。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. 在等差数列{an}中，a3=6，a5+a6=27。
（1）求{an}的通项公式；
（2）若{bn}为正项等比数列，且b2=a2，b3+b4=a13，求b3。
16. 如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，AB=PD=2，E，F分别为棱PA，AB的中点。
（1）求异面直线BD与CE所成角的余弦值；
（2）求平面CEF与平面PCD夹角的余弦值。
17. 在数列{an}中，2a1+32a2+⋯+n+1nan=n。
（1）求{an}的通项公式。
（2）若数列ann2的前n项和为Sn，证明：Sn=an。
（3）若cn=2n+1(n+1)an，求数列{cn}的前n项和Tn。
18. 在直角坐标系xOy中，点P到直线2x+3=0的距离比P到点F12,0的距离大1，记动点P的轨迹为曲线C。
（1）求曲线C的方程。
（2）已知经过点F的直线l1与C交于A，B两点，且|AB|=2。
（i）求直线l1的方程；
（ii）若经过点F的直线l2（与l1不重合）与C交于M，N两点，且M，A位于x轴同一侧，直线AM与直线BN相交于点K，证明：点K在定直线上。
19. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为223，焦点与短轴端点围成的四边形的面积为82。
（1）求椭圆C的标准方程。
（2）已知动直线l过椭圆C的左焦点F，且与椭圆C分别交于P，Q两点。试问x轴上是否存在定点R，使得RP→·RQ→为定值？若存在，求出该定值和点R的坐标；若不存在，说明理由。
数学解析
1. 解因为l的斜率为−33，所以l的倾斜角为5π6.
故选：A.
2. 解点M到z轴的距离为(−1)2+32=10.
故选：B
3. 解对于A，因为a+b=a+b，所以a+b，a，b共面，故A错误；
对于B，假设b+c，a，c共面，则存在实数λ，μ，使得b+c=λa+μc，
∴{0=λ1=01=μ，矛盾，即假设不成立，所以b+c，a，c不共面，故B正确；
对于C，因为a+2b+a−2b=2a，所以a+2b，a−2b，a共面，故C错误；
对于D，因为a+2b+2c=2(b+c)+a，所以a+2b+2c，b+c，a共面，故D错误.
故选：B.
4. 解双曲线x24−y23=1的实半轴长a=2，虚半轴长b=3，且焦点在x轴上，
所以双曲线的渐近线方程为y=±32x，即3x±2y=0，则C正确，ABD错误.
故选：C
5. 解由题可知：a2=1+a11−a1=1+21−2=−3，a3=1+a21−a2=1−31+3=−12，
a4=1+a31−a3=1−121+12=13，a5=1+a41−a4=1+131−13=2=a1，
所以数列{an}是周期为4的数列，
所以a985=a246×4+1=a1=2，
故选：D
6. 解假设从第一排到第十一排的座位数成等差数列{an}，则a1+a2+a10+a11=80，
所以a1+a11+a2+a10=4a6=80，得a6=20.
故选：C.
7. 解抛物线x2=8y的焦点为F(0,2)，准线方程为y=−2，
根据抛物线的定义，点M到焦点F的距离等于到准线的距离，即|MF|=yM+2，
所以yM+d=|MF|+d−2，因为当MF⊥l时，|MF|+d最小，
所以|MF|+dmin=|8+12|32+42=4，故yM+d的最小值是4−2=2.
故选：B.
8. 解杨辉三角第n行有n个数，且数字之和为2n−1，去除两端的1后，第n行剩余n−2个数(n≥2).
第2行去掉1后无数字，第3行去掉1后剩余1个数字，第4行去掉1后剩余2个数字，……，第n行
掉1后剩余n−2个数字；
那么1+2+⋯+n−2=(n−2)(n−1)2，
当n=9时，(9−2)(9−1)2=28，即前9行去掉1后有28个数.
所以此数列的前35项应包含第10行前7个数字.
杨辉三角前n行和为1+2+22+⋯+2n−1=1×(1−2n)1−2=2n−1，
前9行和为29−1=511，而前9行中两端的1共有1+2×8=17（第1行1个，后面8行各2个）.
第10行数字为1，9，36，84，126，126，84，36，9，1，
去除首尾的1后为9，36，84，126，126，84，36，9，
前7个数字和为9+36+84+126+126+84+36=501.
所以此数列的前35项和为511−17+501=995.
故选：B.
9. 解EF→=EA→+AA1→+A1F→=−12AB→+AA1→+12AC→=−12AB→+12AC→+AA1→，A正
EF→·BC→=−12AB→+12AC→+AA1→·BC→=−12AB→·BC→+12AC→·BC→+AA1→·BC→
=−12×−12+12×12+0=12，B错误；
过E作EG⊥BC，垂足为G，易知BG→=14BC→，
根据直三棱柱的性质可知BB1⊥EG，
因为BC∩BB1=B，BC，BB1⊂平面BCC1B1，
所以EG⊥平面BCC1B1，
过F作FH⊥B1C1，垂足为H，易知C1H→=14C1B1→，
同理可得FH⊥平面BCC1B1，
即EF→在平面BCC1B1上的投影向量为GH→，|GH→|=1+14=52，C正确；
过E作EI⊥A1B1，垂足为I，易知A1I→=12A1B1→，过F作FJ⊥A1B1，垂足为J，
易知A1J→=14A1B1→，即EF→在A1B1→上的投影向量为IJ→=−14A1B1→，D错误.
故选：AC
10. 解对于A，直线l1：ax+(a−1)y+3=0，
整理得a(x+y)−y+3=0，
令{x+y=0−y+3=0，解得：{x=−3y=3，
∴直线l1过定点(−3,3)，故A正确；
对于B，直线l2：x−2y+11=0在x轴上的截距，
令y=0代入l2：x−2y+11=0得：
x+11=0，解得x=−11，
∴直线l2在x轴上的截距为−11，故B错误；
对于C，直线l1：ax+(a−1)y+3=0，直线l2：x−2y+11=0，
∵l1⊥l2，
∴a+(a−1)×(−2)=0，解得：a=2，故C正确；
对于D ，直线l1：ax+(a−1)y+3=0，直线l2：x−2y+11=0，
∵l1∥l2
∴a1=a−1−2≠311，
解得：a=13，故D错误.
故选：AC
11. 解由2anan+1−3an+9an+1=0，得an+1=3an2an+9，则1an+1=23+3an，
所以3an+1+1=33an+1，所以3an+1是首项为3a1+1=3，公比为3的等比数列．
由3an+1=3×3n−1=3n，得an=33n−1，
A选项，a2=332−1=38，a4=334−1=380，所以a2=10a4，A正确；
B选项，因为1an+1+431an+43=3n+13n−1+1，不是常数，所以1an+43不是等比数列，B错误；
C选项，因为lg33an+1=lg33n=n，所以lg33an+1是等差数列，
所以lg33an+1的前100项和为(1+100)×1002=5050，C正确；
D选项，由3n−2×3n−1−1=3n−1−1≥0，得3n−1≥2×3n−1>0，得13n−1≤12×3n−1，
所以an=33n−1≤32×13n−1（当且仅当n=1时，等号成立）．
故S2025=a1+a2+⋯+a20250，
所以y1+y2=8mm2+9，y1y2=−2m2+9.
RP→·RQ→=(x1−t)(x2−t)+y1y2=(my1−4−t)(my2−4−t)+y1y2
=m2y1y2−m(t+4)(y1+y2)+(t+4)2+y1y2
=(m2+1)y1y2−m(t+4)(y1+y2)+(t+4)2
=(m2+1)·−2m2+9−m(t+4)·8mm2+9+(t+4)2
=−(34+8t)m2−2m2+9+(t+4)2.
所以m=0，即直线l1的方程为x=12.
（ii）证明：由抛物线的对称性，不妨令点A在x轴上方，
由（i）知，A12,1，B12,−1，
设l2的方程为x=ty+12(t≠0)，M(x3,y3)，N(x4,y4)，y4