天津市部分区2025-2026学年高三上学期期末练习数学试题（有解析）

这是一份天津市部分区2025-2026学年高三上学期期末练习数学试题（有解析），共27页。
第I卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 函数的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
4. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
5. 下列说法中，不正确的是（ ）
A. 已知变量和变量的四对随机观测数据为，则关于的经验回归直线一定经过点
B. 在研究吸烟与患肺癌这两个分类变量的独立性检验中，计算得到，根据小概率值的独立性检验，认为吸烟与患肺癌有关联，且此推断犯错误的概率不大于0.001
C. 若随机变量，则
D. 在1，4，7，8，11，15这组数据中，第50百分位数为7.5
6. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小正周期是
B. 的图象关于对称
C. 将的图象向左平移个单位长度，可以得到函数的图象
D. 在区间上的最小值为
7. 已知奇函数在上是增函数．若，，则的大小关系为（ ）
A B. C. D.
8. 双曲线的左、右焦点分别为，过与双曲线的一条渐近线垂直的直线交双曲线右支于点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
9. 在三棱锥中，，，，，，三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
第II卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．
2．本卷共11小题，共105分．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．
10. 是虚数单位，复数___________．
11. 在的展开式中，的系数为___________．（用数字作答）
12. 已知抛物线的焦点为，准线方程为，过的直线与抛物线在第一象限交于点，且．若直线与圆相切，则___________．
13. 盒中有3个红球、5个黑球（这些球除颜色外没有其他差异）．随机从中抽取一个球，观察其颜色后放回，并放入2个与取出的球同色的球，再次从盒中随机取出一个球，则第二次取出的球是黑球的概率为___________；在第一次取出黑球的条件下，第二次取出的球是黑球的概率为___________．
14. 在梯形中，，，，．若，其中为实数，则___________；设是线段上的动点，是线段的中点，则的最小值为___________．
15. 设，函数若函数恰有3个零点，则的取值范围是___________．
三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 在中，角所对的边分别为．已知，
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求值．
17. 如图，在直四棱柱中，底面为正方形，为棱的中点，为棱的中点．

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）求点到平面的距离．
18. 已知椭圆的离心率为，右焦点为，右顶点为，上顶点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）点在椭圆上（异于椭圆顶点），直线相交于轴正半轴于点，若，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，若线段的垂直平分线与椭圆相交于两点，证明：为钝角．
19. 已知为公比大于1等比数列，且．
（1）求的通项公式；
（2）设数列满足，
（i）记，写出，并求出数列的通项公式；
（ii）求数列的前项和．
20. 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，有且只有一个零点．
（i）求的取值范围；
（ii）记最大值为，若，使得关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
天津市部分区2025～2026学年度第一学期期末练习
高三数学
本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．祝各位考生考试顺利！
第I卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合的交集、并集、补集运算法则可直接求出结果.
【详解】因为全集，集合，
所以，
可得.
故选：A
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据正切函数的性质，结合充分条件和必要条件的定义即可求解.
【详解】若，则,故充分性不成立，
若，则，故必要性成立，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选：B
3. 函数的零点所在的区间是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据零点存在性定理，即可判断选项.
【详解】函数为增函数，
，，，，
所以函数的零点所在的区间为.
故选：B
4. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据奇偶性排除AB；根据正负性排除C.
【详解】的定义域为，且，
则为奇函数，故排除AB选项；
因为，所以，
所以的正负性与的正负性相同，排除C.
故选：D
5. 下列说法中，不正确是（ ）
A. 已知变量和变量的四对随机观测数据为，则关于的经验回归直线一定经过点
B. 在研究吸烟与患肺癌这两个分类变量的独立性检验中，计算得到，根据小概率值的独立性检验，认为吸烟与患肺癌有关联，且此推断犯错误的概率不大于0.001
C. 若随机变量，则
D. 在1，4，7，8，11，15这组数据中，第50百分位数为7.5
【答案】C
【解析】
【分析】利用经验回归直线必经过样本中心点判断A选项；利用独立性检验判断B选项；利用正态分布的对称性判断C选项；计算百分位数判断D选项.
【详解】选项A：经验回归直线必过样本中心点，计算得，故直线过，A正确；
选项B：，根据小概率值的独立性检验，
认为吸烟与患肺癌有关联，且推断犯错误概率不大于，B正确；
选项C：正态分布关于对称，
故，而非，C错误；
选项D：个数据的第百分位数为中位数，第个数据是，第个数据是，
中位数为，D正确.
故选：C
6. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小正周期是
B. 的图象关于对称
C. 将的图象向左平移个单位长度，可以得到函数的图象
D. 在区间上的最小值为
【答案】D
【解析】
【分析】先将函数化为的形式，再逐一分析周期、对称性、平移变换和区间最值，从而判断各选项的正误.
【详解】
选项：最小正周期，不是，该选项错误；
选项：正弦函数的对称轴满足,为整数，检验，将其代入后得，不是整数，所以图像并不关于对称，该选项错误；
选项：左移得，而非，该选项错误；
选项：在上，，，所以，最小值为，该选项正确.
故选：
7. 已知奇函数在上是增函数．若，，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】比较的大小关系，再结合单调性即可.
【详解】因为是奇函数，所以，
因为，
所以，
因为，，所以，
因为在上是增函数，所以，
故.
故选：C
8. 双曲线的左、右焦点分别为，过与双曲线的一条渐近线垂直的直线交双曲线右支于点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由图利用点线距和勾股定理求出，过点作于，推理可得，根据解三角形和双曲线的定义可得，即可求离心率.
【详解】设双曲线的半焦距为，直线与双曲线的渐近线垂直的垂足为，
则，，，
如图，过点作于，则，
且为线段的中点，所以，，
因为，
则为锐角，且，
可得，，
由双曲线定义得，即，解得．
所以该双曲线的离心率为．
故选：C．
9. 在三棱锥中，，，，，，三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先找到外接球球心位置判断出，设在底面的投影为，利用三垂线定理证明底面为矩形，再由勾股定理求出棱锥的高，然后计算体积可得.
【详解】
因为，，由直角三角形斜边的中线为斜边的一半可得三棱锥的外接球球心在的中点，
又三棱锥的外接球的表面积为，设外接球半径为，
所以，即，
设在底面的投影为，则底面，
因为，，由三垂线定理可得，
同理可得，
又，所以底面为矩形，
所以，
所以，
所以三棱锥的体积为.
故选：B.
第II卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．
2．本卷共11小题，共105分．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．
10. 是虚数单位，复数___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用复数的乘法法则和模长公式进行计算.
【详解】，
故答案为：
11. 在的展开式中，的系数为___________．（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】先求通项，由通项即可求解.
【详解】由题二项式展开式通项为
令，解得，所以的系数为.
故答案为：.
12. 已知抛物线的焦点为，准线方程为，过的直线与抛物线在第一象限交于点，且．若直线与圆相切，则___________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据给定条件，利用抛物线定义求出，进而求出点坐标及直线的方程，再利用圆的切线性质，结合点到直线距离公式求解.
【详解】由抛物线的准线方程为，得，解得，
抛物线方程为，设点，由，得，解得，，
点，而，直线的方程为，即，
由直线与圆相切，得.
故答案为：3

13. 盒中有3个红球、5个黑球（这些球除颜色外没有其他差异）．随机从中抽取一个球，观察其颜色后放回，并放入2个与取出的球同色的球，再次从盒中随机取出一个球，则第二次取出的球是黑球的概率为___________；在第一次取出黑球的条件下，第二次取出的球是黑球的概率为___________．
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】利用全概率公式计算即可求得第二次取出的球是黑球的概率，再结合条件概率以及乘法公式计算可得在第一次取出黑球的条件下，第二次取出的球是黑球的概率.
【详解】根据题意记“第一次取出红球”为事件，“第二次取出黑球”为事件，
易知，
再由放球规则可知，第二次取球时袋中共有10个球，所以可得；
由全概率公式可得第二次取出的球是黑球的概率为；
在第一次取出黑球的条件下，第二次取出的球是黑球的概率为.
故答案为：
14. 在梯形中，，，，．若，其中为实数，则___________；设是线段上的动点，是线段的中点，则的最小值为___________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】建系并标点，根据题意可得，即可得和；设，结合向量的坐标运算可得，进而分析的最小值.
【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴，建立平面直角坐标系，
则，
可得，，，
因为，则，可得，
又因为，
则，解得，所以；
设，，
即，则，可得，，
则，
当且仅当时，取到最小值.
故答案为：；.
15. 设，函数若函数恰有3个零点，则的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】讨论的范围，结合函数图像，一元二次方程根的分布，导数等确定符合题意的的范围即可.
【详解】设，函数恰有3个零点，即图像与图像恰有3个交点，
①当时，
当时，，由图像可得此时最多有2个解，
当时，，，
此时即，至少有1个解，
则，得，
则当时，必有2个解，
则需当时恰有1个解，
此时，，
即在处的切线更陡，
则只需即可，
即；
②当时，
当时，，
，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
则，
此时无零点，
则当时，与恰有3个交点，
由于与均关于直线轴对称，
且直线不是方程的解，
则只需要时恰有2解，时恰有1解即可，
当时，如图，恰有3个交点，符合题意，
当时，即，解得或或符合题意，
当时，，
当时，令，
，
若，则在至多有1个零点，在至多有1个零点，不符合题意，
若，则，对称轴，
且，，
则在有2个零点，在有2个零点，不符合题意，
综上，的取值范围是.
故答案为：.
三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 在中，角所对的边分别为．已知，
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】(1)利用正弦定理将已知条件转化为边关系，再代入余弦定理，建立方程求解；
(2)用正弦定理求解；
(3)用三角函数的二倍角及和角公式求解.
【小问1详解】
由正弦定理及，
得，得
由余弦定理，即，
，，
.
【小问2详解】
由上一小问可知，
由正弦定理得，
从而.
【小问3详解】
因为，所以，
，，
.
17. 如图，在直四棱柱中，底面为正方形，为棱的中点，为棱的中点．

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）求点到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的法向量即可证明平面；
（2）先求两个平面的法向量，两个法向量夹角的余弦值就是平面与平面夹角的余弦值；
（3）求出平面法向量后使用点到平面距离公式进行计算即可.
【小问1详解】
依题意，以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得，

依题意，，
设平面的一个法向量为，
则，不妨设，得，
所以平面的一个法向量为，
依题意，，
有，故
又因为平面，所以平面
【小问2详解】
因为直四棱柱中，平面，所以平面的法向量为，
设平面与平面夹角为，
，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
【小问3详解】
，平面的一个法向量为，
设点到平面的距离为，
则.
所以，点到平面的距离为.
18. 已知椭圆的离心率为，右焦点为，右顶点为，上顶点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线相交于轴正半轴于点，若，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，若线段的垂直平分线与椭圆相交于两点，证明：为钝角．
【答案】（1）
（2）（0，2） （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据离心率公式以及即可求解；
（2）设点的坐标为，点的坐标为，由向量关系坐标化可解得点坐标，代入椭圆方程即可求解；
（3）根据中垂线性质，由斜率与中点坐标得直线方程，联立直线与椭圆方程，将钝角条件转化为向量不等式，再坐标化利用韦达定理代入化简不等式求解可得范围.
小问1详解】
依题意得，
解得，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
由题意知点的坐标为，
设点的坐标为，点的坐标为，其中，
由可得，
所以，解得，
所以点的坐标为，因为点在椭圆上，所以，
从而，又因为，所以．所以点的坐标为，
【小问3详解】
由（2）可知，所以和的中点坐标为，
又直线的斜率，
从而的垂直平分线的斜率为2，
所以的垂直平分线的方程为：，
设点的坐标为，点的坐标为，
由得，
，，
由于，
，
所以为钝角.
19. 已知为公比大于1的等比数列，且．
（1）求的通项公式；
（2）设数列满足，
（i）记，写出，并求出数列的通项公式；
（ii）求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）（i）3，6，9，；（ii）
【解析】
【分析】（1）设的公比为，由等比数列的项的关系得到方程组解得，即可求得的通项公式；
（2）（i）由递推公式求得，由题意求得，由递推关系数列的通项公式；
（ii）由（i）求得，方法一，利用分组求和及错位相减求得数列的前项和．方法二，列出数列的前项和的项，然后整理后，由错位相减求得结果.
【小问1详解】
设的公比为，由已知可知，
且，又等比数列中，
可得，解得或（舍），
所以，
所以.
【小问2详解】
（i），
，
，
，
，
所以为首项，公差的等差数列，
.
（ii）由（1）可知，
方法一：，
，
，
，
，
∴，
，
，
，
，
，
，
∴，
，
，
，
，
，
方法二：，
，
，
，
，
，
，
，
，
所以，
即.
20. 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，有且只有一个零点．
（i）求的取值范围；
（ii）记的最大值为，若，使得关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）（i）答案见解析；（ii）.
【解析】
【分析】（1）把代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）（i）求出的导数，按分类探讨单调性，由函数有唯一零点求出范围；（ii）由（i）的信息求出，再利用恒成立建立不等式并分离参数，借助不等式不等式求出范围.
【小问1详解】
当时，函数，求导得，
则，而，
则曲线在点处的切线方程为，即.
【小问2详解】
（i）当时，有且只有一个零点，
求导得，
①当时，在上单调递增，
则，函数在没有零点；
②当时，在上单调递减，
，则函数在没有零点；
③当时，令，解得，
当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
又，当时，，函数在无零点，
，又，
当时，，，
函数在有且只有一个零点，
所以当时，函数在上有且只有一个零点.
（ii）由（i）知，，
，则函数上单调递减，
，
由使得关于的不等式恒成立，
得使得成立，
而，当且仅当时取等号，则，
所以实数的取值范围是.