天津市部分区2025-2026学年第一学期期末练习高二数学试题（原卷版+解析版）

这是一份天津市部分区2025-2026学年第一学期期末练习高二数学试题（原卷版+解析版），共19页。试卷主要包含了 椭圆的离心率为， 已知圆， 设抛物线， 在等差数列中，，，设，则， 已知，，点在曲线上，则的面积等内容，欢迎下载使用。
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时100分钟.祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷（共36分）
注意事项：
1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
2.本卷共9小题，每小题4分，共36分.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线在轴上的截距是（ ）
A. B. C. 1D.
2. 已知向量与共线，则（ ）
A. 9B. 3C. D.
3. 椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知等差数列公差为，若，，成等比数列，则（ ）
A. B. C. D. 4
5. 若直线一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的大小为（ ）
A. B. C. 或D. 或
6. 已知圆：，圆：，则圆与圆位置关系为（ ）
A. 相交B. 相切C. 外离D. 内含
7. 设抛物线：的焦点为，点在上，过作的准线的垂线，垂足为.若直线的方程为，则（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
8. 在等差数列中，，，设，则（ ）
A. 41B. 50C. 61D. 74
9. 已知，，点在曲线上，则的面积（ ）
A. 有最大值，但没有最小值B. 没有最大值，但有最小值
C. 既有最大值，也有最小值D. 既没有最大值，也没有最小值
第Ⅱ卷
注意事项：
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
2.本卷共11小题，共84分.
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
10. 抛物线的准线方程为________．
11. 向量与的夹角为______.
12. 直线被圆截得的弦长为，则实数______.
13. 设等比数列的前项和为，若，则该数列的公比为______.
14. 如图，阿基米德椭圆规是由基座、带孔横杆、两条互相垂直的空槽和两个可动滑块，组成的一种绘图工具，横杆的一端上装有铅笔，假设两条互相垂直的空槽和带孔的横杆都足够长，将滑块，固定在带孔的横杆上，设滑块在其中一条空槽上滑动，滑块在另一条空槽上滑动，铅笔随之运动就能画出椭圆.当，之间的距离为8厘米时，若需要画出一个离心率为的椭圆，则，之间的距离为______厘米.
15. 双曲线：左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与的一条渐近线交于，两点，且，若四边形的面积为，则的方程为______.
三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 已知为等比数列，，.
（1）求的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
17. 已知圆的圆心在直线上，且经过点，.
（1）求圆的方程；
（2）求过原点且与圆相切的直线的方程.
18. 如图，在四棱锥中，已知底面，，，，，为线段的中点.
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）设点在线段上，若平面与平面夹角的余弦值是，求的长.
19. 已知椭圆的焦距为，其左顶点为，上顶点为，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）与直线垂直的直线与椭圆有唯一交点（位于第一象限），求三角形的面积.
20. 已知正项数列前项和为，满足.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和；
（3）设，证明：.
天津市部分区2025~2026学年度第一学期期末练习
高二数学
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时100分钟.祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷（共36分）
注意事项：
1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
2.本卷共9小题，每小题4分，共36分.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线在轴上的截距是（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】应用截距定义令计算求解.
【详解】令，则，
则直线在轴上的截距是1.
故选：C.
2. 已知向量与共线，则（ ）
A. 9B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量共线的坐标表示求解即可.
【详解】因为向量与共线，所以，解得，
所以.
故选：C
3. 椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据椭圆的方程求出，直接求离心率即可.
【详解】由可得，
所以，故，
所以，
故选：D
4. 已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据等比数列列式得出，再应用等差数列通项公式计算求解.
【详解】因为等差数列的公差为，又因为，，成等比数列，
则，即得，所以，即，
则.
故选：C.
5. 若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的大小为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量夹角的余弦公式计算线面夹角的正弦值即可.
【详解】设直线与平面所成角为，因为直线的一个方向向量为，
平面的一个法向量为，
所以.
所以，即直线与平面所成角为.
故选：A.
6. 已知圆：，圆：，则圆与圆位置关系为（ ）
A. 相交B. 相切C. 外离D. 内含
【答案】C
【解析】
【分析】根据两个圆的圆心距与两个半径的关系，即可判断两个圆的位置关系．
【详解】圆可化简为：，
因为圆与圆的圆心分别为和，
所以两个圆的圆心距
两个圆的半径分别为
因为，所以两个圆外离.
故选：C
7. 设抛物线：的焦点为，点在上，过作的准线的垂线，垂足为.若直线的方程为，则（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】先由直线求出焦点和即抛物线的方程，进而依次得抛物线的准线方程和点B，从而可依次求出和，再由焦半径公式即可得解.
【详解】如图，

对，令，则，
所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为，
故，则，代入抛物线得.
所以.
故选：B
8. 在等差数列中，，，设，则（ ）
A. 41B. 50C. 61D. 74
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件先求出等差数列的通项公式，然后判断数列的性质，然后化简，最后根据等差数列的前项和公式计算即可.
【详解】因为为等差数列，，
所以设公差为，则由得.
所以.
当时，，当时，，
记等差数列的前项和为，
所以.
由于.
所以.
故选：B.
9. 已知，，点在曲线上，则的面积（ ）
A. 有最大值，但没有最小值B. 没有最大值，但有最小值
C. 既有最大值，也有最小值D. 既没有最大值，也没有最小值
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可得和直线的方程，结合双曲线的渐近线分析点到直线的距离的取值范围，进而可得的面积的取值范围.
【详解】因为，，
则，直线斜率，
所以直线的方程为，即，
双曲线的渐近线方程为，
则直线与渐近线平行，两平行线间距离，
曲线过点，
过点与直线平行的直线方程为，两平行线间距离，
结合图形可知点到直线的距离，
则的面积，
所以的面积有最大值，但没有最小值.
故选：A.
第Ⅱ卷
注意事项：
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
2.本卷共11小题，共84分.
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
10. 抛物线的准线方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线的准线方程直接写出即可.
【详解】由题, 开口向左,且,故准线方程为,即.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了抛物线的准线方程,属于基础题.
11. 向量与的夹角为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据向量夹角的余弦公式和向量数量积坐标公式先求出余弦值，进而得到向量的夹角.
【详解】因为向量与，
所以.
所以.
又向量夹角的范围为，所以向量与的夹角为.
故答案为：.
12. 直线被圆截得的弦长为，则实数______.
【答案】2或
【解析】
【分析】利用勾股定理计算出圆心到直线的距离，然后利用点到直线的距离公式可求得实数的值.
【详解】圆的圆心坐标为，该圆心到直线的距离，
由点到直线的距离公式可得，解得或.
故答案为：2或.
13. 设等比数列的前项和为，若，则该数列的公比为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据等比数列前项和公式化简等式，进而求出该数列的公比.
【详解】因为等比数列的前项和为，设该等比数列的首项为，公比为，
当公比时，，此时，不合题意，所以.
当时，.
因为，所以.
解得，所以该数列的公比为.
故答案为：.
14. 如图，阿基米德椭圆规是由基座、带孔的横杆、两条互相垂直的空槽和两个可动滑块，组成的一种绘图工具，横杆的一端上装有铅笔，假设两条互相垂直的空槽和带孔的横杆都足够长，将滑块，固定在带孔的横杆上，设滑块在其中一条空槽上滑动，滑块在另一条空槽上滑动，铅笔随之运动就能画出椭圆.当，之间的距离为8厘米时，若需要画出一个离心率为的椭圆，则，之间的距离为______厘米.
【答案】5
【解析】
【分析】根据给定条件，确定椭圆的长短半轴长，再利用椭圆离心率求法列式计算得解.
【详解】依题意，当滑块在两条空槽的交点处时，长为椭圆的短半轴长，
当滑块在两条空槽的交点处时，长为椭圆的长半轴长，则，
由椭圆的离心率为，得，解得，即，解得，
所以之间的距离为5厘米.
故答案为：5
15. 双曲线：的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与的一条渐近线交于，两点，且，若四边形的面积为，则的方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】先根据题意列出圆的方程和双曲线的渐近线方程，然后将这两者联立，得到的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式列出等式，求得，最后根据面积公式得到等式，从而可求出，进而得到双曲线的方程.
【详解】由题意可知，，双曲线的渐近线方程为.
以为直径的圆的圆心坐标为，半径为，所以圆的方程为.
因为以为直径圆与的一条渐近线交于，两点，所以联立方程
，得，化简得，
所以，所以.
因为，所以，解得.
由于四边形的面积为，所以.
由得，所以，解得.
所以双曲线的方程为.
故答案为：.
三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 已知为等比数列，，.
（1）求的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等比数列的通项公式计算即可.
（2）先化简的表达式，然后根据分组求和进行计算即可.
【小问1详解】
设数列的公比为，由，，
得，解得，
又，故，
所以数列的通项公式是.
【小问2详解】
由（1）得，，
.
17. 已知圆的圆心在直线上，且经过点，.
（1）求圆的方程；
（2）求过原点且与圆相切的直线的方程.
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，求出线段的中垂线方程，再求出圆心坐标及半径即可.
（2）按切线斜率是否存在分类，再利用切线的性质，结合点到直线距离公式求解.
【小问1详解】
线段的中点，直线的斜率，
则线段的中垂线方程为，即，
由，解得，，
因此圆的圆心，半径，
所以圆的标准方程为.
【小问2详解】
由（1）知圆的标准方程为.
过原点且斜率不存在的直线为，
点到直线的距离为，等于半径，则直线与圆相切；
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，
由，解得，因此切线方程为，
所以经过原点且与圆相切的直线方程为或.
18. 如图，在四棱锥中，已知底面，，，，，为线段的中点.
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）设点在线段上，若平面与平面夹角的余弦值是，求的长.
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）1
【解析】
【分析】（1）先建立空间直角坐标系，然后列出各个点的坐标，求出平面的法向量坐标和的坐标，进而证明结论.
（2）根据点到平面的距离公式，结合（1）中求出的平面的法向量坐标计算即可.
（3）先求出平面的法向量坐标，然后根据向量夹角的余弦公式求出平面与平面夹角的余弦值，进而得到结果.
【小问1详解】
如图，以为原点，，，所在的直线为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，
设平面的法向量，∴，，
∴，
令，得，所以，
因为，所以，
又因平面，所以平面.
【小问2详解】
由（1）知平面的法向量，
记点到平面的距离为，则
点到平面的距离为.
【小问3详解】
由题意点在线段上，可设，则
，
设平面法向量，∴，，
∴
令，得，，所以，
因为平面与平面夹角的余弦值是，
所以，
解得，所以长为1.
19. 已知椭圆的焦距为，其左顶点为，上顶点为，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）与直线垂直的直线与椭圆有唯一交点（位于第一象限），求三角形的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的焦距先求出，然后结合线段的长求出，进而得到椭圆方程.
（2）先根据垂直求出直线的斜率，然后设出直线的方程，与椭圆方程联立，根据相切求出直线的方程，进而可求出三角形的面积.
【小问1详解】
设椭圆的焦距为，则，.
由可得，即，
又，解得，
∴椭圆的方程.
【小问2详解】
由（1）得，，∴直线的斜率为，
记与直线垂直的直线为，∴直线的斜率为，
设直线的方程为，与联立消去，
得，
∵直线与椭圆相切，
∴，解得，
因为与直线垂直的直线与椭圆有唯一交点位于第一象限，
所以，
此时，方程为，
即，
解得，此时，即，
而直线的方程为，即，
所以点到直线的距离，
又，
所以三角形的面积.

20. 已知正项数列的前项和为，满足.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和；
（3）设，证明：.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用和的关系求出递推关系，然后因式分解可得为等差数列，然后可得通项；
（2）利用错位相减法求解即可；
（3）将裂项为，然后求和即可得证.
【小问1详解】
∵①，
∴②，
由②-①得，
即.
又，∴.
又，解得或0（舍），
故.
【小问2详解】
由（1）可知：，
记，则③，
④
由③-④得
，
∴
【小问3详解】
由（1）可知
于是有：
所以.