【数学】天津市部分区2025-2026学年高二第一学期期末模拟试题（学生版+解析版）

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一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线在轴上的截距是（ ）
A. B. C. 1D.
2. 已知向量与共线，则（ ）
A. 9B. 3C. D.
3. 椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则（ ）
A. B. C. D. 4
5. 若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的大小为（ ）
A. B.
C. 或D. 或
6. 已知圆：，圆：，则圆与圆位置关系为（ ）
A. 相交B. 相切C. 外离D. 内含
7. 设抛物线：的焦点为，点在上，过作的准线的垂线，垂足为.若直线的方程为，则（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
8. 在等差数列中，，，设，则（ ）
A. 41B. 50C. 61D. 74
9. 已知，，点在曲线上，则的面积（ ）
A. 有最大值，但没有最小值B. 没有最大值，但有最小值
C. 既有最大值，也有最小值D. 既没有最大值，也没有最小值
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
10. 抛物线的准线方程为________．
11. 向量与的夹角为______.
12. 直线被圆截得的弦长为，则实数______.
13. 设等比数列的前项和为，若，则该数列的公比为______.
14. 如图，阿基米德椭圆规是由基座、带孔的横杆、两条互相垂直的空槽和两个可动滑块，组成的一种绘图工具，横杆的一端上装有铅笔，假设两条互相垂直的空槽和带孔的横杆都足够长，将滑块，固定在带孔的横杆上，设滑块在其中一条空槽上滑动，滑块在另一条空槽上滑动，铅笔随之运动就能画出椭圆.当，之间的距离为8厘米时，若需要画出一个离心率为的椭圆，则，之间的距离为______厘米.
15. 双曲线：的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与的一条渐近线交于，两点，且，若四边形的面积为，则的方程为______.
三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 已知为等比数列，，.
（1）求的通项公式；
（2）记，求数列前项和.
17. 已知圆的圆心在直线上，且经过点，.
（1）求圆的方程；
（2）求过原点且与圆相切的直线的方程.
18. 如图，在四棱锥中，已知底面，，，，，为线段的中点.
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）设点在线段上，若平面与平面夹角的余弦值是，求的长.
19. 已知椭圆焦距为，其左顶点为，上顶点为，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）与直线垂直的直线与椭圆有唯一交点（位于第一象限），求三角形的面积.
20. 已知正项数列前项和为，满足.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和；
（3）设，证明：.