重庆市2025_2026学年高一数学上学期1月检测试题含解析

这是一份重庆市2025_2026学年高一数学上学期1月检测试题含解析，共17页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。

（满分 150 分，120 分钟完成）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在
答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写
在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸
和答题卡上的非答题区域均无效．
I 卷 选择题部分
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1. 命题“ ”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题进行判断.
【详解】因为命题“ ”是全称量词命题，
其否定为存在量词命题：“ ”.
故选：A
2. 《三国演义》是中国古典四大名著之一．《三国演义》中曾写道“卧龙凤雏，得一可安天下”，据此分析
“得到卧龙或凤雏”是“安天下”的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
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【答案】B
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义求解.
【详解】“卧龙凤雏，得一可安天下”的逻辑为：得到卧龙或凤雏中的任意一个，就可以安天下，
则“得到卧龙或凤雏”是“安天下”的充分条件；
但是原句中未提及“安天下必须得到卧龙或凤雏”，即安天下可能通过其他途径实现，
则“得到卧龙或凤雏”不是“安天下”的必要条件；
则“得到卧龙或凤雏”是“安天下”的充分不必要条件.
故选：B.
3. 已知某扇形的弧长与面积的数值都是 2，则这个扇形中心角的弧度数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据扇形的弧长公式和面积公式列方程组求解即可.
【详解】设该扇形的圆心角为 ，半径为 ，
则 ，所以 ， .
故选：A.
4 已知集合 ，且 ，则 （ ）
A. -1 B. 1 C. ±1 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件判断出 ，然后对 进行分类讨论，最后结合集合元素的互异性求解.
【详解】因为 ，所以 ，即 中的所有元素都必须属于 ，
又因为 ， ， ，所以 ，
即 ，得出 或 ，
当 时， ，则 ， ，满足 ，
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当 时， ，则 ， ，不满足集合元素的互异性，
综上所述， .
故选：B.
5. 函数 的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函数的零点存在性定理判断即可.
【详解】因为函数 在 上单调递增.
， ，
由函数的零点存在性定理可得函数 的零点所在区间为 .
故选：D.
6. 已知函数 为偶函数，则 （ ）
A. B. 0 C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，得到 ，结合指数幂的运算法则，准确化简，即可求解.
【详解】因为函数 为偶函数，
所以 ，即 ，
又因为 ，
可得 ，即
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所以 ，解得 .
故选：B.
7. 函数 的部分图象如图所示，则 可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对于 A，利用正切函数的定义域即可判断；对于 B，利用该函数的奇偶性即可判断；对于 C，D，
根据两函数在 上的函数值与函数 的对应函数值的大小比较，结合图象即可判断.
【详解】对于 A：若 ，因 在 处无定义，则函数图象在 上应有间断，
故 A 错误.
对于 B： 是偶函数，图象应关于 轴对称，故 B 错误.
对于 C，D：对于 ，当 时， ， ，
即 在 上的图象应该分布在直线 的下方，图形符合题意；
而对于 ，当 时， ，故 ，
即 在 上 图象应该分布在直线 的上方，图形显然不合要求.故 C 正确，D 错误.
故选：C.
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8. 已知 是定义在 上周期为 2 的函数，且 的图象关于 对称．当 时，
，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用图象关于 对称，得到 ，再利用周期为 得到 ，故
.
【详解】因为函数 的图象关于 对称，所以 ；
令 ，得到
又因为 是定义在 上周期为 的函数，
所以 ，所以 .
故选：D.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有错选的得 0 分．
9. 已知集合 ， 则（ ）
A. B.
C. D.
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【答案】AD
【解析】
【分析】根据集合交、并、补运算求解即可.
【详解】 .
选项 A： ，故 A 正确；
选项 B： ， ，故 B 错误；
选项 C： ， ，故 C 错误；
选项 D： ， ，故 D 正确.
故选：AD.
10. 声强级 （单位： ）由公式 给出，其中 为实际声强， 为参考声强．常人听觉能
忍受的最高声强级为 ，对应的声强为 ．下表为不同场景的声强级：
场景 声强级/dB
图书馆
地铁站 80~90
已知在图书馆和地铁站测得实际声强分别为 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据所给定义，结合对数的运算性质和不等式的性质，逐一分析计算，即可得答案.
【详解】选项 A：由题意得 ，整理得 ，则 ，
即 ，故 A 正确；
选项 B：图书馆声强级： ，则 ，则 ，
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所以 ，得
则 ，故 B 正确；
选项 C、D：地铁站声强级： ，则 ，得 ，
所以 ，
由 B 项得， ，则 ，即 ，故 C 正确，D 错误.
故选：ABC
11. 函数 的函数值表示不小于 的最小整数，例如 ， ，则（ ）
A.
B. 对任意的 ，有
C. 当 时，方程 有无数多个实数解
D. 若存在 ，使得 ， ， ， ，则正整数
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据函数 的定义即可判断出选项 A、B；将方程问题转化为值域问题，结合选项 B 的
结论，进而判断选项 C；依次联立 到 的不等式，判断是否存在交集，从而确定 的最大值，即
可判断选项 D.
【详解】选项 A：根据定义， ，不小于 的最小整数是 ，所以 ，故 A 正确；
选项 B： 的函数值表示不小于 的最小整数，所以 ，且 ，
所以对任意的 ，有 ，故 B 正确；
选项 C：方程 可化为 .
令 ，根据 可得， ，即 .
当 时， ，
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则 ，在区间 上单调递减，且 .
所以对于 ， 无实数解，故 C 错误；
选项 D：若 ，则 ；
若 ，则 ， ；
若 ，则 ， ；
若 ，则 ， ；
若 ，则 ， ；
因为 ， ，所以 ，
所以 ，即 ，也即 ，
所以 与 无公共部分，即不存在 ，使得 ， 成立.
所以当 时，存在满足条件的 值，当 时，不存在满足条件的 值，
故正整数 ，故 D 正确.
故选：ABD.
II 卷 非择题部分
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 化简： ___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用换底公式以及对数运算的性质，可得答案.
【详解】
.
故答案为： .
13. 函数 的单调递增区间为___________．
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【答案】 和
【解析】
【分析】根据正弦型函数的单调性求解即可.
【详解】 .
求 的单调递增区间等价于求 的单调递减区间.
令 ， ，解得 ， .
当 时， ，与 交集为 ；
当 时， ，与 交集为 ；
综上，函数 的单调递增区间为 和 .
故答案为： 和 .
14. 若 ，则 的大小关系为___________．
【答案】
【解析】
【分析】由 证明 ，判断函数 ， 在 上的单调性，利用零点存在性定理
证明 ，再利用零点存在性定理证明 ，结合关系 证明 ，
从而得到 .
【详解】 ， ， ， ， ，
， ，
设 ，定义域为 ， 在 上为单调递增函数，
设 在 上为单调递减函数，
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当 时， ， ，此时 ，
当 时， ， ，此时 ，
则 ，使得 ，即 ，
， ，
设 ，定义域为 ， 在 上为单调递增函数，
设 在 上为单调递减函数，
当 时， ， ，此时 ，
当 时， ， ，此时 ，
则 ，使得 ，即 ，
当 时， ，则 ，
在 为增函数， 在 为增函数，
所以
，
综上可知， .
故答案为： .
四．解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需建造隔热层．某建筑物准备建造可使用 25 年的隔热层，每厘
米厚的隔热层建造成本为 5 万元．已知该建筑物每年的能源损耗费用 （单位：万元）与隔热层厚度 （单
位：厘米）满足关系 ．若不建隔热层时，每年能源损耗费用为 3 万元．记隔热
层建造费用与 25 年的能源损耗费用之和为 （单位：万元）．
（1）求 的表达式；
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（2）当 为多少时， 取最小值？
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据题意得 ，解得 ，再根据题意表示出 即可；
（2）运用基本不等式即可求解.
【小问 1 详解】
由题意可知， ，解得 ，故 ，
则 ；
【小问 2 详解】
由（1）可知， ，
则 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
因此当 厘米时， 取最小值 万元.
16. （1）已知 ，且 ，求 ；
（2）已知 ，且 ，求 ．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的诱导公式，得到 ，结合三角函数的基本关系式，
即可求解；
（2）根据题意，求得 得到 ，利用三角函数的基本关系式，求得
，联立方程组，求得 的值，结合诱导公式和商数关系，即可求解.
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【详解】（1）解：由 ，
因为 ，可得 ,
又因 ，所以 ，
所以 ，
所以 ；
（2）解：由 ，平方得 ，
可得 ，且 ，
因为 ，所以 ，此时 ，则 ，
又因为 ，所以 ，
联立方程组 ，解得 ，
所以 .
17. 已知函数
（1）判断 在 上 单调性，并用定义证明：
（2）若 ，求使方程 的实数解个数分别为 1，2，3 时 的相应取值范围．
【答案】（1） 在 上单调递减，证明见解析;
（2）答案见解析．
【解析】
【分析】(1) 根据函数单调性定义可证明 在 上单调递减；
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(2) 画出函数 的图像，结合图像进行求解．
【小问 1 详解】
在 上单调递减.
证明如下：
由于 定义域为 ，任取 ，
则
因为 ，所以 ，即 .
又 ， ，
所以 ，所以 ，
所以函数 在 上单调递减.
【小问 2 详解】
当 时，得 ，
如图所示：
当 时， ，
当 时， ，则 ，
则方程 的实数解个数为 1 时， 的取值范围为： ，
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方程 的实数解个数为 2 时， 的取值范围为： ，
方程 的实数解个数为 3 时， 的取值范围为： ．
18. 已知函数 ．
（1）当 时， ，求 的取值范围；
（2）证明： 的图象是中心对称图形：
（3）若 ，函数 ，其中 ，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）结合函数的单调性，分 和 两种情况讨论，由 求实数 的取值范围.
（2）探索 的值，可得函数的对称性.
（3）研究真数 处 的范围，再根据函数的单调性求
函数的值域.
【小问 1 详解】
由 ，所以函数 的定义域为 .
由 ，所以函数 在 上有意义.
设 ，则 在 上单调递增，且 ， ，
所以 .
则问题转化为 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
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当 时，函数 在 上单调递减，所以 ，
结合 可得 ；
当 时，函数 在 上单调递增，所以 ，
结合 可得 .
综上可得，实数 的取值范围为 .
【小问 2 详解】
因为函数 的定义域为 ，所以若 为中心对称图形的话，对称中心的横坐标一定是 .
又因为
.
所以函数 的图象关于点 成中心对称.
【小问 3 详解】
当 时， ，
因为 ，所以 ， ，所以 ，
所以 ，即 .
19. （1）若 ，证明：当 时， ；
（2）若函数 在 上的最小值为 ，证明： ；
（3）若 对 恒成立，求 的最大值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析；
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（3） .
【解析】
【分析】（1）运用对数的换底公式，以及对数函数单调性即可得解；
（2）利用 在 上的值域为 ，再结合 ，即可判断；
（3） ，再重点分析讨论 时， 与 的取值范围，即可得解.
【详解】（1） ， ，
即 ，又因为 ，故函数 在 上单调递减，
因此有 ，即 ；
（2）当 时， ，此时有 ；
当 时， ，又因为 ，因此 ，
综上，当 时， 恒成立，
又因为在闭区间上连续的函数必有最值，故函数 在 上的最小值 ；
（3）设 ，则 ；
当 时，因为 ，则 ；
当 时，因为 ，则 ，因此 ，
因此有 ，
当 且 ，且 时， 且 ，
当 且 ，且 时， 且 .
综上所述，当 时， ，
又因为 对 恒成立，
故 的最大值为 .
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