重庆市2025_2026学年高一数学上学期期中测试试题含解析 (1)

这是一份重庆市2025_2026学年高一数学上学期期中测试试题含解析 (1)，共15页。试卷主要包含了考试时间 120 分钟，试题总分 150 分等内容，欢迎下载使用。
考试说明：
1．考试时间 120 分钟
2．试题总分 150 分
一、单选题：（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个备选选项中，只
有一项符合题目要求的．）
1. 命题“ ， ”的否定是（ ）．
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定的定义求解即可.
【详解】根据全称量词命题的否定，
命题“ ， ”的否定是 ， ．
故选：C．
2. 设 ，则（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用 的单调性判断 a、b 的大小，再把 a、c 分别与 1 比较，从而得到答案.
【详解】因为函数 在 上的增函数，且 ，
所以 ，即
又 ，所以 ，
所以 .
故选：A.
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【点睛】指、对数比较大小：
（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小；
（2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与 0、1 比较.
3. 若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】借助定义域的性质计算即可.
【详解】由题意可得 ，解得 ，
故函数 的定义域为 .
故选：D.
4. 下列函数值域是 的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对四个选项进行一一分析，利用幂函数的性质即可判断 A 选项；利用一次函数的性质即可判断 B
选项；利用幂函数的图象与性质即可判断 C 选项；利用二次函数的性质即可判断 D 选项.
【详解】解：对于 A， 值域是 ，故 A 不正确；
对于 B， 值域是 ，故 B 不正确；
对于 C， 值域是 ，故 C 正确；
对于 D， ，值域是 ，故 D 不正确；
故选：C.
5. 已知 、 都是实数，那么“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
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C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据绝对值的性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】若 ，取 ， ，则 不成立，即“ ” “ ”；
若 ，则 ，即 ，所以，“ ” “ ”.
因此，“ ”是“ ”的必要而不充分条件.
故选：B.
6. 已知 是定义域为 的偶函数，且当 时， 单调递减，则满足 的实数 的取
值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据偶函数性质得 ，然后利用函数的单调性解不等式即可.
【详解】因为 为 上的偶函数， ，所以 ，
又当 时， 单调递减，所以当 时， 单调递增，
又 ，所以 ，即 ，解得 或 .
故选：B.
7. 已知函数 ，若对任意 ，都有 成
立，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
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【答案】A
【解析】
【分析】由对任意 ，都有 ，得 在 上单调递减，进而得
，解出即可求解.
【详解】由对任意 ，都有 ，所以 在 上单调递减，
所以 ，
所以 ，
故选：A.
8. 已知关于 x 不等式 的解集为 ，则 的最小值为
（ ）
A. 6 B. 4 C. D.
【答案】C
【解析】
【 分 析 】 利 用 不 等 式 的 解 集 可 得 ， 是 方 程 的 两 个 根 ， 进 而 可 得
，进而利用对勾函数的单调性可求最小值.
【详解】由题中条件可知， ， 是方程 的两个根，
则 ， ，所以 ，
设 ，令 ，可知该函数在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ，所以 ，则 的最小值为 ．
故选：C．
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二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，全部选对 6 分，部分选对部分分）
9. 下列运算中正确的是（ ）
A. 当 时， B.
C. 若 ，则 D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据对数以及指数幂的运算性质即可根据选项逐一求解.
【详解】对于 A，当 时， ，故 A 正确；
对于 B， ，故 B 错误；
对于 C，由于 ，所以 ，所以 ，故 C 错误；
对于 D， ，故 D 正确.
故选：AD
10. 已知函数 的定义域为 ， ，则（ ）
A. B.
C. 为减函数 D. 为奇函数
【答案】ABD
【解析】
【分析】由条件等式取 ，可求 ，取 ，可求 ，取 ，求 ，判
断 A，取 ，判断 B，结合减函数定义及 的大小判断 C，取 ，结合奇函数
定义判断 D.
【详解】因 ， ，
令 ，可得 ，则 ，
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令 ，可得 ，则 .
对于 A 选项：令 ，可得 ，所以 A 正确；
对于 B 选项：令 可得 ，所以 B 正确；
对于 C 选项：因为 、 ，所以 不可能为 上减函数，故 C 错误；
对于 D 选项：函数 的定义域为 ，定义域关于原点对称，
令 ，可得 ，
所以 ，所以 为奇函数，所以 D 正确.
故选：ABD.
11. 已知 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】由基本不等式判断 AB 选项，由不等式的基本性质判断 C 选项，运用“1”的代换结合基本不等式判
断 D.
【详解】因为 ， ，
对于 A， ， 即当且仅当 时取等号，故 A 选项正确；
对于 B， ，
故 ，当且仅当 时取等号，故 B 选项错误；
对于 C，∵ ，∴ ，∴ 在 R 上单调递增，
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∵ ，∴ ，即 ，故 C 选项正确；
对于 D，由 得 ，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，故 D 选项正确.
故选：ACD.
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 16 分）
12. 若幂函数 为奇函数，则该函数的表达式 ______.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定的条件，利用幂函数的定义，结合性质求解作答.
【详解】由 为幂函数，得 ，解得 或 ，
当 时， ，函数 是偶函数，不符合题意，
当 时， ，函数 是奇函数，符合题意，
所以 .
故答案为：
13. 已知函数 满足： ，则 ______________．
【答案】
【解析】
【分析】由方程组法求出 的解析式，代值计算可得 的值.
【详解】因 函数 满足 ①，
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所以， ②，
联立①②得 ，故 .
故答案为： .
14. 设 为实常数， 是定义在 上的奇函数，且当 时， ．若
对一切 成立，则 的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：∵ 是定义在 上的奇函数，∴当 时， ，
而 ，当些仅当 时，“=”成立，∴当 时，要使
恒成立，只需 或 ，又∵ 时， ，∴ ，
综上，故实数 的取值范围是 .
考点：1.奇函数的性质；2.恒成立问题的处理方法.
四、解答题（木题共 5 小题，共 77 分）
15. 已知全集 ，集合 ．
（1）当 时，求 ；
（2）若 ，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2） 或 .
【解析】
【分析】（1）求解二次不等式解得集合 ， ；
（2）由题可得 ，根据集合的包含关系，列出关于 的不等式，求解即可.
【小问 1 详解】
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由题意可得 或 ，当 时， ，
故 ，
故 ．
【小问 2 详解】
因为 ，所以 ，
又易知 ，则 或 ，解得 或 ，
即 的取值范围为 或 .
16. 计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】（1）由指数的运算性质即可求解；
（2）由对数的运算性质即可求解.
【小问 1 详解】
【小问 2 详解】
17. 对于二次函数 ，若存在 ，使得 成立，则称 为二次
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函数 的不动点．
（1）求二次函数 的不动点；
（2）若二次函数 有两个不相等的不动点 、 ，且 、 ，求 的
最小值．
【答案】（1）不动点为 和
（2）6
【解析】
【分析】（1）根据不动点的定义，解方程 ，可得答案；
（2）根据题意，即为方程 有两个不相等的正实数根，解得 的范围，再由韦达定
理结合基本不等式可求得 的最小值.
【小问 1 详解】
由题意知： ，
，
，
解得 ， ，
所以二次函数 的不动点为 和 ．
【小问 2 详解】
依题意， 有两个不相等的正实数根，
即方程 有两个不相等的正实数根，
所以 ，解得 ，
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所以 ， ，
所以
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为 6．
18. 已知函数 （ ，且 ）是定义在 上的奇函数.
（1）求 的值；
（2）求函数 的值域；
（3）存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）2； （2） ；
（3） .
【解析】
【分析】（1）根据函数奇偶性的性质，利用定义结合等式性质进行求解即可；（2）先判定函数单调性，然
后根据单调性即可确定最值；（3）利用不等式成立将不等式进行转化分离参数求最值即可．
【小问 1 详解】
∵ 是 上的奇函数，∴ ，
即 .
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当 时，有
解得： ；经检验满足题意.
【小问 2 详解】
由（1）可得 .
因为 在 上单调递增，所以 在 上单调递增， 在 上单调递减，
在 上单调递增，所以 在 上单调递增，
即函数 在 上单调递增.
又 ，
∴ ，
∴ ．
∴函数 的值域为 ．
【小问 3 详解】
当 时， ．
由题意，存在 ， 成立，
即存在 ， 成立．
令 ，
则有 .
因为 在 上为增函数， 在 上为增函数，
所以当 时函数 为增函数，
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∴ .
∴ .
故实数 的取值范围为 ．
19. 我们知道，函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数，
有同学发现可以将其推广为：函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数.若函数 的图象关于点 对称，且当 时，
.
（1）求 的值；
（2）设函数 .
(i)证明函数 的图象关于点 对称；
(ii)若对任意 ，总存在 ，使得 成立，求 的取值范围.
【答案】（1） ；
（2）(i)证明见解析；(ii) .
【解析】
【分析】(1)根据题意∵ 为奇函数，∴ ，令 x＝1 即可求出
；
(2)(i)验证 为奇函数即可；
(ii))求出 在区间 上的值域为 A，记 在区间 上的值域为 ，则 .由此问题转化
为讨论 f(x)的值域 B，分 ， ， 三种情况讨论即可.
小问 1 详解】
∵ 为奇函数，
∴ ，得 ，
则令 ，得 .
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【小问 2 详解】
(i) ，
∵ 为奇函数，∴ 为奇函数，
∴函数 的图象关于点 对称.
(ii) 在区间 上单调递增，∴ 在区间 上的值域为 ，记 在区间
上的值域为 ，
由对 ，总 ，使得 成立知 ，
①当 时， 在 上单调递增，由对称性知， 在 上单调递增，∴ 在 上单
调递增，
只需 即可，得 ，∴ 满足题意；
②当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，由对称性知， 在 上单
调递增，在 上单调递减，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ 或 ，
当 时， ， ，
∴ 满足题意；
③当 时， 在 上单调递减，由对称性知， 在 上单调递减，∴ 在 上单
调递减，
只需 即可，得 ，∴ 满足题意.
综上所述， 的取值范围为 .
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