初中数学人教版（2024）九年级上册圆的有关性质课时训练

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册圆的有关性质课时训练，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列说法中正确的是( )
A. 弦是直径B. 弧是半圆
C. 半圆是圆中最长的弧D. 直径是圆中最长的弦
2.已知⊙O的半径是6cm，则⊙O中最长的弦长是( )
A. 6cmB. 12cmC. 16cmD. 20cm
3.如图，AB，CD是⊙O的直径，若∠AOC=70∘，则CB和BD的度数分别是( )

A. 70∘，110∘B. 110∘，70∘C. 70∘，70∘D. 35∘，70∘
4.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B=108°，则∠D的大小为( )
A. 54°B. 62°C. 72°D. 82°
5.如图，AB是⊙O的直径，∠E=35∘，则∠BOD=( )
A. 80∘B. 100∘C. 120∘D. 110∘
6.《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB=1尺(1尺=10寸)，则该圆材的直径为( )
A. 13B. 24C. 26D. 28
7.如图，一根排水管的截面是一个半径为5的圆，管内水面宽AB=8，则水深CD为( )
A. 3B. 2C. 2D. 3
二、填空题：
8.如图，在3×3的正方形网格中，图中的两条弦AB=CD，则∠ABD= ．
9.如图，⊙O的半径为4 cm，∠AOB=60°，则弦AB的长为 cm．
10.如图，AB是⊙O的直径，∠C=15°，则∠BAD的度数为 ．
11.如图，在半径为10 cm的⊙O中，AB=16 cm，弦OC⊥AB于点C，则OC等于 cm．
12.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠OAB=15°，则它的一个外角∠ACD的度数为______．
13.图1为一个装有液体的圆底烧瓶(厚度忽略不计)，侧面示意图如图2，其液体水平宽度AB为16cm，竖直高度CD为4cm，则⊙O的半径为______cm．
三、解答题：
14.如图，点A，B，C，D在⊙O上，AB=CD.求证：BD⌢=AC⌢
15.如图，BD=OD，∠B=38∘，求∠AOD的度数．
如图，已知四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，且∠C=2∠A.求∠BOD的度数．
如图，已知点O是两个同心圆的圆心，大圆的弦AB与小圆交于点C、D．
(1)求证：AC=BD；
(2)如果AB=8，CD=4，大圆面积是小圆面积的3倍，求大圆半径的长．
18.如图，四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，且∠C=2∠A，求∠BOD的度数．

19.如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽AB为16m，拱高CN为4m．
(1)求桥拱的半径；
(2)此桥的安全限度是拱顶C点距离水面不得小于1.5m，若大雨过后，洪水泛滥到水面宽度DE为12m时，是否需要采取紧急措施？请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
2.【答案】B
【解析】解：∵圆的直径为圆中最长的弦，
∴⊙O中最长的弦长为12cm．
故选：B．
利用圆的直径为圆中最长的弦求解．
本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念( 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等)．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了弧的度数、对顶角、邻补角的知识．
首先根据对顶角和邻补角的知识求出∠BOD=70°，∠BOC=180°−∠AOC=110°，然后根据弧的度数的概念求解即可．
【解答】
解：∵∠AOC=70°，
∴∠BOD=70°，∠BOC=180°−∠AOC=110°，
∴CB的度数为110°，BD的度数为70°，
故选B．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解答此题的关键．运用圆内接四边形对角互补计算即可．
【解答】
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠B=108°，
∴∠D=180°−∠B=180°−108°=72°，
故选C．
5.【答案】D
6.【答案】C
【解析】解：设圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA，如图所示：
∴AC=12AB=12×10=5，
设⊙O的半径为r寸，
在Rt△ACO中，OC=r−1，OA=r，
则有r2=52+(r−1)2，
解得r=13，
∴⊙O的直径为26寸，
故选：C．
设⊙O的半径为r寸．在Rt△ACO中，AC=5，OC=r−1，OA=r，则有r2=52+(r−1)2，解方程即可．
本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意在直角三角形中运用勾股定理求解是解答此题的关键．
由题意知OD⊥AB，交AB于点C，由垂径定理可得出BC的长，在Rt△OBC中，根据勾股定理求出OC的长，由CD=OD−OC即可得出结论．
【解答】
解：连接OB，
由题意知OD⊥AB，交AB于点C，
∵AB=8，
∴BC=12AB=12×8=4，
在Rt△OBC中，∵OB=5，BC=4，
∴OC= OB2−BC2= 52−42=3，
∴CD=OD−OC=5−3=2．
8.【答案】45°
【解析】【分析】
根据圆心角，弦，弧的关系可得AD=BC，即可得∠ABD=∠CDB，结合网格的特点可求解∠ABD的度数．
本题主要考查圆心角，弦，弧的关系，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，证得∠ABD=∠CDB是解题的关键．
【解答】
解：∵AB=CD，
∴AB=CD，
∴AD=BC，
∴∠ABD=∠CDB，
∵AB⊥CD，
∴∠ABD=45°．
故答案为：45°．
9.【答案】4
10.【答案】75°
11.【答案】6
【解析】解：连接OA，如图，
∵OC⊥AB，AB=16cm，
∴AC=BC=12AB=8cm，
在Rt△OAC中，OC= OA2−AC2= 102−82=6(cm)．
故答案为：6．
连接OA，如图，先利用垂径定理得到AC=BC=12AB=8cm，然后根据勾股定理计算OC的长．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
12.【答案】75°
【解析】解：如图所示，在优弧AB上取点E，连接BE，AE，
∵OA=OB，∠OAB=15°，
∴∠OBA=∠OAB=15°，
∴∠AOB=180°−∠OAB−∠OBA=150°，
∴∠E=12∠AOB=75°，
∵四边形AEBC为⊙O的内接四边形，
∴∠ACB=180°−∠E=105°，
∴∠ACD=180°−∠ACB=75°．
故答案为：75°．
在AB上取点E，连接BE，AE，根据等边对等角和三角形内角和定理求出∠AOB=150°，然后利用圆周角定理求出∠E=12∠AOB=75°，根据圆的内接四边形的对角互补求出∠ACB=180°−∠E=105°，进而求解即可．
本题主要考查圆周角定理和圆的内接四边形、等边对等角和三角形内角和定理，掌握圆的内接四边形的对角互补是关键．
13.【答案】10
【解析】解：连接AO，

∵OC⊥AB，
∴AD=12AB=12×16=8(cm)，
设⊙O的半径为x cm，则OA=OC=x cm，
∴OD=OC−CD=(x−4)(cm)，
∵在△AOD中，AD2+OD2=OA2，
即82+(x−4)2=x2，
解得：x=10，
∴⊙O的半径为10cm．
故答案为：10．
由垂径定理得到AD=12AB=8cm，设⊙O的半径为x cm，则OA=OC=xcm，OD=OC−CD=x−4(cm)，在△AOD中，根据勾股定理有AD2+OD2=OA2，代入即可解答．
本题考查垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理以及勾股定理的运用．
14.【答案】证明：∵AB=CD，
∴AB=CD，
∴AB+AD=CD+AD，
即BD=AC．
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
15.【答案】解：∵BD=OD，∠B=38∘，
∴∠DOB=∠B=38∘，
∴∠ADO=∠DOB+∠B=2×38∘=76∘，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO=76∘，
∴∠AOD=180∘−∠A−∠ADO=180∘−76∘−76∘=28∘．

【解析】利用等腰三角形底角相等求出∠DOB=∠B=38∘，利用三角形外角性质求出∠ADO=∠DOB+∠B=76∘，由半径相等求出∠A=∠ADO=76∘，利用三角形内角和求即可．
16.【答案】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，
∵∠C=2∠A，
∴3∠A=180°，
解得：∠A=60°，
∴∠BOD=2∠A=120°．
【解析】先利用圆内接四边形对角互补可得：∠A+∠C=180°，从而可得3∠A=180°，进而可得：∠A=60°，然后利用圆周角定理进行计算，即可解答．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
17.【答案】(1)证明：过点O作OE⊥AB于E，

∴AE=BE，CE=DE，
∴AE−CE=BE−DE，
∴AC=BD；
(2)解：连接AO、CO，

在Rt△AOE与Rt△COE中，OE2=OA2−AE2，OE2=OC2−CE2，
∴OC2−CE2 =OA2−AE2，
∴OA2−OC2=AE2−CE2，
∵CD=4，AB=8，
∴CE=2，AE=4，
∴OA2−OC2=42−22=12①，
∵大圆面积是小圆面积的3倍，
∴π⋅OA2=3π⋅OC2，
即OA2=3OC2②，
根据①②可得：OA2=18，
∴OA=3 2．
【解析】(1)过点O作OE⊥AB于E，根据垂径定理得AE=BE，CE=DE，所以AE−CE=BE−DE，即可求解；
(2)连接AO、CO，在Rt△AOE与Rt△COE中，由勾股定理得：OE2=OA2−AE2，OE2=OC2−CE2，再结合AB=8，CD=4得OA2−OC2=12，又大圆面积是小圆面积的3倍，即可求解大圆半径的长．
本题考查了垂径定理、勾股定理、圆的面积公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
18.【答案】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，
∵∠C=2∠A，
∴3∠A=180°，
解得：∠A=60°，
∴∠BOD=2∠A=120°．
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
19.【答案】解：如图半径OC⊥AB，OC⊥DE，
(1)设桥拱的半径是r m，
∵OC⊥AB，
∴AN=12AB=12×16=8(m)，
∵拱高CN为4m，
∴ON=(r−4)m，
∵OA2=ON2+AN2，
∴r2=(r−4)2+82，
∴r=10，
∴桥拱的半径是10m；
(2)不需要采取紧急措施，理由如下：
如图，连接OD，

∵CO⊥DE，
∴DM=12DE=12×12=6(m)，
∴OM= OD2−DM2= 102−62=8(m)，
∵CM=OC−OM=10−8=2(m)，
∵2m>1.5m，
∴不需要采取紧急措施．
【解析】(1)设桥拱的半径是rm，由垂径定理求出AN=AB=8(m)，而ON=(r−4)m，由勾股定理得到r2=(r−4)2+82，求出r=10；
(2)由垂径定理求出DM的长，由勾股定理求出OM的长，即可求出CM的长即可得解．
本题考查勾股定理，垂径定理，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于圆半径的方程．