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初中数学中考复习 专题11反比例函数（共51题）-备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）【解析版】
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这是一份初中数学中考复习 专题11反比例函数（共51题）-备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）【解析版】，共64页。
备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）
专题11反比例函数（共51题）
一．选择题（共10小题）
1．（2022•云南）反比例函数y＝的图象分别位于（ ）
A．第一、第三象限 B．第一、第四象限
C．第二、第三象限 D．第二、第四象限
【分析】根据反比例函数的性质，可以得到该函数图象位于哪几个象限，本题得以解决．
【解析】反比例函数y＝，k＝6＞0，
∴该反比例函数图象位于第一、三象限，
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数的性质、反比例函数的图象，解答本题的关键是明确当k＞0，反比例函数图象位于第一、三象限．
2．（2022•丽水）已知电灯电路两端的电压U为220V，通过灯泡的电流强度I（A）的最大限度不得超过0.11A．设选用灯泡的电阻为R（Ω），下列说法正确的是（ ）
A．R至少2000Ω B．R至多2000Ω C．R至少24.2Ω D．R至多24.2Ω
【分析】利用已知条件列出不等式，解不等式即可得出结论．
【解析】∵电压U一定时，电流强度I（A）与灯泡的电阻为R（Ω）成反比例，
∴I＝．
∵已知电灯电路两端的电压U为220V，
∴I＝．
∵通过灯泡的电流强度I（A）的最大限度不得超过0.11A，
∴≤0.11，
∴R≥2000．
故选：A．
【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，利用已知条件列出不等式是解题的关键．
3．（2022•德阳）一次函数y＝ax+1与反比例函数y＝﹣在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数与反比例函数图象的特点，可以从a＞0，和a＜0，两方面分类讨论得出答案．
【解析】分两种情况：
（1）当a＞0，时，一次函数y＝ax+1的图象过第一、二、三象限，反比例函数y＝﹣图象在第二、四象限，无选项符合；
（2）当a＜0，时，一次函数y＝ax+1的图象过第一、二、四象限，反比例函数y＝﹣图象在第一、三象限，故B选项正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
4．（2022•滨州）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+1与y＝﹣（k为常数且k≠0）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数和反比例函数的性质即可判断．
【解析】当k＞0时，则﹣k＜0，一次函数y＝kx+1图象经过第一、二、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，所以A选项正确，C选项错误；
当k＜0时，一次函数y＝kx+1图象经过第一、二，四象限，所以B、D选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象：反比例函数y＝（k≠0）为双曲线，当k＞0时，图象分布在第一、三象限；当k＜0时，图象分布在第二、四象限．也考查了一次函数图象．
5．（2022•扬州）某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据题意可知xy的值即为该校的优秀人数，再根据图象即可确定丙校的优秀人数最多．
【解析】根据题意，可知xy的值即为该校的优秀人数，
∵描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，
∴乙、丁两所学校的优秀人数相同，
∵点丙在反比例函数图象上面，
∴丙校的xy的值最大，即优秀人数最多，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的图象上点的坐标特征，结合实际含义理解图象上点的坐标含义是解题的关键．
6．（2022•邵阳）如图是反比例函数y＝的图象，点A（x，y）是反比例函数图象上任意一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△AOB的面积是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【分析】由反比例函数的几何意义可知，k＝1，也就是△AOB的面积的2倍是1，求出△AOB的面积是．
【解析】∵A（x，y），
∴OB＝x，AB＝y，
∵A为反比例函数y＝图象上一点，
∴xy＝1，
∴S△ABO＝AB•OB＝xy＝1＝，
故选：B．
【点评】考查反比例函数的几何意义，反比例函数的图象，反比例函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握k的绝对值，等于△AOB的面积的2倍．
7．（2022•天津）若点A（x1，2），B（x2，﹣1），C（x3，4）都在反比例函数y＝的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（ ）
A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x3＜x1 C．x1＜x3＜x2 D．x2＜x1＜x3
【分析】根据函数解析式算出三个点的横坐标，再比较大小．
【解析】点A（x1，2），B（x2，﹣1），C（x3，4）都在反比例函数y＝的图象上，
∴x1＝＝4，x2＝＝﹣8，x3＝＝2．
∴x2＜x3＜x1，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数图象点的坐标特征，根据函数解析式求出三个点的横坐标是求解本题的关键．
8．（2022•武汉）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y＝的图象上，且x1＜0＜x2，则下列结论一定正确的是（ ）
A．y1+y2＜0 B．y1+y2＞0 C．y1＜y2 D．y1＞y2
【分析】先根据反比例函数y＝判断此函数图象所在的象限，再根据x1＜0＜x2判断出A（x1，y1）、B（x2，y2）所在的象限即可得到答案．
【解析】∵反比例函数y＝中的6＞0，
∴该双曲线经过第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，
∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y＝的图象上，且x1＜0＜x2，
∴点A位于第三象限，点B位于第一象限，
∴y1＜y2．
故选：C．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．
9．（2022•娄底）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点P（m，1）、Q（1，m）（m＞0且m≠1），过点P、Q的直线与两坐标轴相交于A、B两点，连接OP、OQ，则下列结论中成立的有（ ）
①点P、Q在反比例函数y＝的图象上；
②△AOB为等腰直角三角形；
③0°＜∠POQ＜90°；
④∠POQ的值随m的增大而增大．
A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征即可判断①；根据P、Q点的坐标特征即可判断②③；求得直线OP、OQ的解析式，根据正比例函数的系数即可判断．
【解析】∵点P（m，1）、Q（1，m）（m＞0且m≠1），则m•1＝1•m＝m，
∴点P、Q在反比例函数y＝的图象上，故①正确；
设直线PQ为y＝kx+b，则，解得，
∴直线PQ为y＝﹣x+m+1，
当y＝0时，x＝m+1；当x＝0时，y＝m+1，
∴A（m+1，0），B（0，m+1），
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝90°，
∴△AOB为等腰直角三角形，故②正确；
∵点P（m，1）、Q（1，m）（m＞0且m≠1），
∴P、Q都在第一象限，
∴0°＜∠POQ＜90°，故③正确；
∵直线OP为y＝x，直线OQ为y＝mx，
∴当0＜m＜1时，∠POQ的值随m的增大而减小，当m＞1时，∠POQ的值随m的增大而增大，
故④错误；
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定等，数形结合是解题的关键．
10．（2022•怀化）如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y＝（a＞1）的图象于A、B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，若S△BCD＝5，则a的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】设点B的坐标为（m，），然后根据三角形面积公式列方程求解．
【解析】设点B的坐标为（a，），
∵S△BCD＝5，且a＞1，
∴×m×＝5，
解得：a＝11，
经检验，a＝11是原分式方程的解，
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，准确识图，理解反比例函数图象上点的坐标特征是解题关键．
二．填空题（共13小题）
11．（2022•新疆）若点（1，2）在反比例函数y＝的图象上，则k＝ 2 ．
【分析】把（1，2）代入y＝即可解得答案．
【解析】把（1，2）代入y＝得：
2＝，
∴k＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查反比例函数图象上点坐标的特征，解题的关键是掌握一个点在函数图象上，则这个点的坐标就满足该函数解析式．
12．（2022•陕西）已知点A（﹣2，m）在一个反比例函数的图象上，点A'与点A关于y轴对称．若点A'在正比例函数y＝x的图象上，则这个反比例函数的表达式为 y＝﹣ ．
【分析】根据轴对称的性质得出点A'（2，m），代入y＝x求得m＝1，由点A（﹣2，1）在一个反比例函数的图象上，从而求得反比例函数的解析式．
【解析】∵点A'与点A关于y轴对称，点A（﹣2，m），
∴点A'（2，m），
∵点A'在正比例函数y＝x的图象上，
∴m＝＝1，
∴A（﹣2，1），
∵点A（﹣2，1）在一个反比例函数的图象上，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣，
故答案为：y＝﹣．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，求得A的坐标是解题的关键．
13．（2022•江西）已知点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在x轴正半轴上，若△OAB为等腰三角形，且腰长为5，则AB的长为 5或2或 ．
【分析】因为等腰三角形的腰不确定，所以分三种情况分别计算即可．
【解析】当AO＝AB时，AB＝5；
当AB＝BO时，AB＝5；
当OA＝OB时，设A（a，）（a＞0），B（5，0），
∵OA＝5，
∴＝5，
解得：a1＝3，a2＝4，
∴A（3，4）或（4，3），
∴AB＝＝2或AB＝＝；
综上所述，AB的长为5或2或．
故答案为：5或2或．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，考查分类讨论的思想，当OA＝OB时，求出点A的坐标是解题的关键．
14．（2022•滨州）若点A（1，y1）、B（﹣2，y2）、C（﹣3，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为 y2＜y3＜y1 ．
【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以得到y1、y2、y3的大小关系．
【解析】∵反比例函数y＝，
∴该函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点A（1，y1）、B（﹣2，y2）、C（﹣3，y3）都在反比例函数y＝的图象上，
∴y2＜y3＜0＜y1，
即y2＜y3＜y1，
故答案为：y2＜y3＜y1．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确反比例函数中k＞0时，图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，第一象限内的y＞0，第三象限内的y＜0．
15．（2022•广元）如图，已知在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在第二象限内，反比例函数y＝的图象经过△OAB的顶点B和边AB的中点C，如果△OAB的面积为6，那么k的值是 ﹣4 ．
【分析】过B作BD⊥OA于D，设B（﹣m，n），根据三角形的面积公式得到OA＝，求得A（﹣，0），根据点C是AB的中点，可得C（﹣，），列方程即可得到结论．
【解析】过B作BD⊥OA于D，
∵点B在反比例函数y＝的图象上，
∴设B（﹣m，n），点B在第二象限内，
∵△OAB的面积为6，
∴OA＝，
∴A（﹣，0），
∵点C是AB的中点，
∴C（﹣，），
∵点C在反比例函数y＝的图象上，
∴﹣•＝﹣mn，
∴﹣mn＝﹣4，
∴k＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积公式，中点坐标的求法，正确的理解题意是解题的关键．
16．（2022•随州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+1与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点C，若AB＝BC，则k的值为 2 ．
【分析】过点C作CH⊥x轴于点H．求出点C的坐标，可得结论．
【解析】过点C作CH⊥x轴于点H．
∵直线y＝x+1与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴A（﹣1，0），B（0，1），
∴OA＝OB＝1，
∵OB∥CH，
∴＝＝1，
∴OA＝OH＝1，
∴CH＝2OB＝2，
∴C（1，2），
∵点C在y＝上，
∴k＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用三角形中位线定理解决问题．
17．（2022•乐山）如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴上，点D在y＝（k＞0）上，且AD⊥x轴，CA的延长线交y轴于点E．若S△ABE＝，则k＝ 3 ．
【分析】连接DE、OD，根据平行四边形的性质得到AD∥BC，根据三角形的面积公式得到S△ODE＝S△EBC，S△ADE＝S△ABC，进而求出S△OAD，根据反比例函数系数k的几何意义解答即可．
【解析】设BC与x轴交于点F，连接DF、OD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴S△ODF＝S△EBC，S△ADF＝S△ABC，
∴S△OAD＝S△ABE＝，
∴k＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义、平行四边形的性质、三角形的面积计算，掌握三角形的面积公式是解题的关键．
18．（2022•株洲）如图所示，矩形ABCD顶点A、D在y轴上，顶点C在第一象限，x轴为该矩形的一条对称轴，且矩形ABCD的面积为6．若反比例函数y＝的图象经过点C，则k的值为 3 ．
【分析】设BC交x轴于E，根据x轴为矩形ABCD的一条对称轴，且矩形ABCD的面积为6，可得四边形DOEC是矩形，且矩形DOEC面积是3，设C（m，n），则mn＝3，即可得k＝3．
【解析】设BC交x轴于E，如图：
∵x轴为矩形ABCD的一条对称轴，且矩形ABCD的面积为6，
∴四边形DOEC是矩形，且矩形DOEC面积是3，
设C（m，n），则OE＝m，CE＝n，
∵矩形DOEC面积是3，
∴mn＝3，
∵C在反比例函数y＝的图象上，
∴n＝，即k＝mn，
∴k＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查反比例函数图象及应用，解题的关键是掌握反比例函数图象上点坐标的特征，理解y＝中k的几何意义．
19．（2022•湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，tan∠ABO＝3，以AB为边向上作正方形ABCD．若图象经过点C的反比例函数的解析式是y＝，则图象经过点D的反比例函数的解析式是 y＝﹣ ．
【分析】如图，过点C作CT⊥y轴于点T，过点D作DH⊥CT交CT的延长线于点H．由tan∠ABO＝＝3，可以假设OB＝a，OA＝3a，利用全等三角形的性质分别求出C（a，2a），D（﹣2a，3a），可得结论．
【解析】如图，过点C作CT⊥y轴于点T，过点D作DH⊥CT交CT的延长线于点H．
∵tan∠ABO＝＝3，
∴可以假设OB＝a，OA＝3a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠AOB＝∠BTC＝90°，
∴∠ABO+∠CBT＝90°，∠CBT+∠BCT＝90°，
∴∠ABO＝∠BCT，
∴△AOB≌△BTC（AAS），
∴BT＝OA＝3a，OB＝TC＝a，
∴OT＝BT﹣OB＝2a，
∴C（a，2a），
∵点C在y＝上，
∴2a2＝1，
同法可证△CHD≌△BTC，
∴DH＝CT＝a，CH＝BT＝3a，
∴D（﹣2a，3a），
设经过点D的反比例函数的解析式为y＝，则有﹣2a×3a＝k，
∴k＝﹣6a2＝﹣3，
∴经过点D的反比例函数的解析式是y＝﹣．
故答案为：y＝﹣．
【点评】本题考查待定系数法求反比例函数的解析式，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．
20．（2022•宁波）如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数y＝（x＞0）的图象上，BE⊥x轴于点E．若DC的延长线交x轴于点F，当矩形OABC的面积为9时，的值为 ，点F的坐标为 （，0） ．
【分析】连接OD，作DG⊥x轴，设点B（b，），D（a，），根据矩形的面积得出三角形BOD的面积，将三角形BOD的面积转化为梯形BEGD的面积，从而得出a，b的等式，将其分解因式，从而得出a，b的关系，进而在直角三角形BOD中，根据勾股定理列出方程，进而求得B，D的坐标，进一步可求得结果．
【解析】如图，
作DG⊥x轴于G，连接OD，设BC和OD交于I，
设点B（b，），D（a，），
由对称性可得：△BOD≌△BOA≌△OBC，
∴∠OBC＝∠BOD，BC＝OD，
∴OI＝BI，
∴DI＝CI，
∴＝，
∵∠CID＝∠BIO，
∴△CDI∽△BOI，
∴∠CDI＝∠BOI，
∴CD∥OB，
∴S△BOD＝S△AOB＝S矩形AOCB＝，
∵S△BOE＝S△DOG＝＝3，S四边形BOGD＝S△BOD+S△DOG＝S梯形BEGD+S△BOE，
∴S梯形BEGD＝S△BOD＝，
∴•（a﹣b）＝，
∴2a2﹣3ab﹣2b2＝0，
∴（a﹣2b）•（2a+b）＝0，
∴a＝2b，a＝﹣（舍去），
∴D（2b，），
即：（2b，），
在Rt△BOD中，由勾股定理得，
OD2+BD2＝OB2，
∴[（2b）2+（）2]+[（2b﹣b）2+（﹣）2]＝b2+（）2，
∴b＝，
∴B（，2），D（2，），
∵直线OB的解析式为：y＝2x，
∴直线DF的解析式为：y＝2x﹣3，
当y＝0时，2﹣3＝0，
∴x＝，
∴F（，0），
∵OE＝，OF＝，
∴EF＝OF﹣OE＝，
∴＝，
故答案为：，（，0）．
【点评】本题考查了矩形性质，轴对称性质，反比例函数的“k”的几何含义，勾股定理，一次函数及其图象性质，分解因式等知识，解决问题的关键是变形等式，进行分解因式．
21．（2022•绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，4），将△ABO向右平移到△CDE位置，A的对应点是C，O的对应点是E，函数y＝（k≠0）的图象经过点C和DE的中点F，则k的值是 6 ．
【分析】根据反比例函数k的几何意义构造出矩形，利用方程思想解答即可．
【解析】过点F作FG⊥x轴，DQ⊥x轴，FH⊥y轴，
根据题意可知，AC＝OE＝BD，
设AC＝OE＝BD＝a，
∴四边形ACEO的面积为4a，
∵F为DE的中点，FG⊥x轴，DQ⊥x轴，
∴FG为△EDQ的中位线，
∴FG＝DQ＝2，EG＝EQ＝，
∴四边形HFGO的面积为2（a+），
∴k＝4a＝2（a+），
解得：a＝，
∴k＝6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，正确作出辅助线构造出矩形是解决本题的关键．
22．（2022•凉山州）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，若△OAB的面积为3，则k＝ 6 ．
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得出结论即可．
【解析】由题知，△OAB的面积为3，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴OB•AB＝3，
即OB•AB＝6，
∴k＝6，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象和性质及反比例函数系数k的性质是解题的关键．
23．（2022•成都）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是 k＜2 ．
【分析】根据反比例函数的性质列不等式即可解得答案．
【解析】∵反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，
∴k﹣2＜0，
解得k＜2，
故答案为：k＜2．
【点评】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是掌握当k＜0时，y＝的图象位于第二、四象限．
三．解答题（共28小题）
24．（2022•孝感）如图，已知一次函数y1＝kx+b的图象与函数y2＝（x＞0）的图象交于A（6，﹣），B（，n）两点，与y轴交于点C．将直线AB沿y轴向上平移t个单位长度得到直线DE，DE与y轴交于点F．
（1）求y1与y2的解析式；
（2）观察图象，直接写出y1＜y2时x的取值范围；
（3）连接AD，CD，若△ACD的面积为6，则t的值为 2 ．
【分析】（1）将点A（6，﹣）代入y2＝中，求反比例函数的解析式；通过解析式求出B点坐标，然后将点A、B代入y1＝kx+b，即可求出一次函数的解析式；
（2）通过观察图象即可求解；
（3）由题意先求出直线DE的解析式为y＝x﹣+t，过点F作GF⊥AB交于点G，连接AF，由∠OCA＝45°，求出FG＝t，再求出AC＝6，由平行线的性质可知S△ACD＝S△ACF，则×6×t＝6，即可求t．
【解析】（1）将点A（6，﹣）代入y2＝中，
∴m＝﹣3，
∴y2＝，
∵B（，n）在y2＝中，可得n＝﹣6，
∴B（，﹣6），
将点A、B代入y1＝kx+b，
∴，
解得，
∴y1＝x﹣；
（2）∵一次函数与反比例函数交点为A（6，﹣），B（，﹣6），
∴＜x＜6时，y1＜y2；
（3）在y1＝x﹣中，令x＝0，则y＝﹣，
∴C（0，﹣），
∵直线AB沿y轴向上平移t个单位长度，
∴直线DE的解析式为y＝x﹣+t，
∴F点坐标为（0，﹣+t），
过点F作GF⊥AB交于点G，连接AF，
直线AB与x轴交点为（，0），与y轴交点C（0，﹣），
∴∠OCA＝45°，
∴FG＝CG，
∵FC＝t，
∴FG＝t，
∵A（6，﹣），C（0，﹣），
∴AC＝6，
∵AB∥DF，
∴S△ACD＝S△ACF，
∴×6×t＝6，
∴t＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查一次函数和反比例函数的图象及性质，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象及性质，平行线的性质是解题的关键．
25．（2022•广元）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x+b的图象与函数y＝（x＞0）的图象相交于点B（1，6），并与x轴交于点A．点C是线段AB上一点，△OAC与△OAB的面积比为2：3．
（1）求k和b的值；
（2）若将△OAC绕点O顺时针旋转，使点C的对应点C′落在x轴正半轴上，得到△OA′C′，判断点A′是否在函数y＝（x＞0）的图象上，并说明理由．
【分析】（1）将B（1，6）代入y＝x+b可求出b的值；再将B（1，6）代入y＝可求出k的值；
（2）过点C作CM⊥x轴于M，过点B作BN⊥x轴于N，过A'作A'G⊥x轴于G，先求出点C的坐标，再由旋转的性质和三角形面积、勾股定理求出点A'的坐标，即可解决问题．
【解析】（1）∵函数y＝x+b的图像与函数y＝（x＞0）的图像相交于点B（1，6），
∴6＝1+b，6＝，
∴b＝5，k＝6；
（2）点A′不在函数y＝（x＞0）的图像上，理由如下：
过点C作CM⊥x轴于M，过点B作BN⊥x轴于N，过A'作A'G⊥x轴于G，
∵点B（1，6），
∴ON＝1，BN＝6，
∵△OAC与△OAB的面积比为2：3，
∴＝＝，
∴＝，
∴CM＝BN＝4，
即点C的纵坐标为4，
把y＝4代入y＝x+5得：x＝﹣1，
∴C（﹣1，4），
∴OC'＝OC＝＝＝，
∵y＝x+5中，当y＝0时，x＝﹣5，
∴OA＝5，
由旋转的性质得：△OAC≌△OA'C'，
∴OA•CM＝OC•A'G，
∴A'G＝＝＝
在Rt△A'OG中，OG＝＝＝，
∴点A'的坐标为（，），
∵×≠6，
∴点A′不在函数y＝（x＞0）的图像上．
【点评】本题考查了待定系数法求解析式，三角形的面积，反比例函数的性质，旋转的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是能够熟练运用反比例函数的性质．
26．（2022•常德）如图，已知正比例函数y1＝x与反比例函数y2的图象交于A（2，2），B两点．
（1）求y2的解析式并直接写出y1＜y2时x的取值范围；
（2）以AB为一条对角线作菱形，它的周长为4，在此菱形的四条边中任选一条，求其所在直线的解析式．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得反比例函数解析式，求出点B的坐标，（也可以直接利用反比例函数和正比例函数图象的对称性得出点B的坐标．）观察图象即可得出x的取值范围；
（2）过点A作AE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，可证得△AOE是等腰直角三角形，得出：∠AOE＝45°，OA＝AE＝2，再根据菱形性质可得：AB⊥CD，OC＝OD，利用勾股定理即可求得D（1，﹣1），再根据对称性可得C（﹣1，1），运用待定系数法即可求得菱形的边所在直线的解析式．
【解析】（1）设反比例函数y2＝，把A（2，2）代入，得：2＝，
解得：k＝4，
∴y2＝，
由，解得：，，
∴B（﹣2，﹣2），
由图象可知：当y1＜y2时，x＜﹣2或0＜x＜2；
注明：也可以直接利用反比例函数和正比例函数图象的对称性得出点B的坐标．
（2）过点A作AE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，
∵A（2，2），
∴AE＝OE＝2，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴∠AOE＝45°，OA＝AE＝2，
∵四边形ACBD是菱形，
∴AB⊥CD，OC＝OD，
∴∠DOF＝90°﹣∠AOE＝45°，
∵∠DFO＝90°，
∴△DOF是等腰直角三角形，
∴DF＝OF，
∵菱形ACBD的周长为4，
∴AD＝，
在Rt△AOD中，OD＝＝＝，
∴DF＝OF＝1，
∴D（1，﹣1），
由菱形的对称性可得：C（﹣1，1），
设直线AD的解析式为y＝mx+n，
则，
解得：，
∴AD所在直线的解析式为y＝3x﹣4；
同理可得BC所在直线的解析式为y＝3x+4，AC所在直线的解析式为y＝x+，BD所在直线的解析式为y＝x﹣．
【点评】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数和反比例函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质等，难度适中，熟练掌握待定系数法是解题关键．
27．（2022•湘潭）已知A（3，0）、B（0，4）是平面直角坐标系中两点，连接AB．
（1）如图①，点P在线段AB上，以点P为圆心的圆与两条坐标轴都相切，求过点P的反比例函数表达；
（2）如图②，点N是线段OB上一点，连接AN，将△AON沿AN翻折，使得点O与线段AB上的点M重合，求经过A、N两点的一次函数表达式．
【分析】（1）作PC⊥x轴于C，PD⊥y轴于D，可知矩形OCPD是正方形，设PD＝PC＝x，利用PD∥OA，得△PDB∽△AOB，从而求出点P的坐标，利用待定系数法解决问题；
（2）利用翻折的性质得，ON＝NM，MN⊥AB，由勾股定理得，AB＝5，再根据S△AOB＝S△AON+S△ABN，求出点N的坐标，利用待定系数法解决问题．
【解析】（1）作PC⊥x轴于C，PD⊥y轴于D，
则四边形OCPD是矩形，
∵以点P为圆心的圆与两条坐标轴都相切，
∴PC＝PD，
∴矩形OCPD是正方形，
设PD＝PC＝x，
∵A（3，0）、B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴BD＝4﹣x，
∵PD∥OA，
∴△PDB∽△AOB，
∴，
∴，
解得x＝，
∴P（，），
设过点P的函数表达式为y＝，
∴k＝xy＝＝，
∴y＝；
（2）∵将△AON沿AN翻折，使得点O与线段AB上的点M重合，
∴ON＝NM，MN⊥AB，
由勾股定理得，AB＝5，
∴S△AOB＝S△AON+S△ABN，
∴＝+，
解得，ON＝，
∴N（0，），
设直线AN的函数解析式为y＝mx+，
则3m+＝0，
∴m＝﹣，
∴直线AN的函数解析式为y＝﹣x+．
【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式，切线的性质，翻折的性质等知识，熟练掌握各性质求出相应点的坐标是解题的关键．
28．（2022•台州）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x＝6时，y＝2．
（1）求y关于x的函数解析式．
（2）若火焰的像高为3cm，求小孔到蜡烛的距离．
【分析】（1）根据待定法得出反比例函数的解析式即可；
（2）根据解析式代入数值解答即可．
【解析】（1）由题意设：y＝，
把x＝6，y＝2代入，得k＝6×2＝12，
∴y关于x的函数解析式为：y＝；
（2）把y＝3代入y＝，得，x＝4，
∴小孔到蜡烛的距离为4cm．
【点评】此题考查反比例函数的应用，关键是根据待定法得出反比例函数的解析式解答．
29．（2022•苏州）如图，一次函数y＝kx+2（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0，x＞0）的图象交于点A（2，n），与y轴交于点B，与x轴交于点C（﹣4，0）．
（1）求k与m的值；
（2）P（a，0）为x轴上的一动点，当△APB的面积为时，求a的值．
【分析】（1）把点C的坐标代入一次函数的解析式求出k，再求出点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数的解析式中，可得结论；
（2）根据S△CAP＝S△ABP+S△CBP，构建方程求解即可．
【解析】（1）把C（﹣4，0）代入y＝kx+2，得k＝，
∴y＝x+2，
把A（2，n）代入y＝x+2，得n＝3，
∴A（2，3），
把A（2，3）代入y＝，得m＝6，
∴k＝，m＝6；
（2）当x＝0时，y＝2，
∴B（0，2），
∵P（a，0）为x轴上的动点，
∴PC＝|a+4|，
∴S△CBP＝•PC•OB＝×|a+4×2＝|a+4|，S△CAP＝PC•yA＝×|a+4|×3，
∵S△CAP＝S△ABP+S△CBP，
∴|a+4|＝+|a+4|，
∴a＝3或﹣11．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数构建方程解决问题．
30．（2022•眉山）已知直线y＝x与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点M（2，a）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图，将直线y＝x向上平移b个单位后与y＝的图象交于点A（1，m）和点B（n，﹣1），求b的值；
（3）在（2）的条件下，设直线AB与x轴、y轴分别交于点C，D，求证：△AOD≌△BOC．
【分析】（1）先根据一次函数求出M点坐标，再代入反比例函数计算即可；
（2）先求出A的点坐标，再代入平移后的一次函数解析式计算即可；
（3）过点A作AE⊥y轴于点E，过B点作BF⊥x轴于点F，即可根据A、B坐标证明△AOE≌△BOF（SAS），得到∠AOE＝∠BOF，OA＝OB，再求出C、D坐标即可得到OC＝OD，即可证明△AOD≌△BOC．
【解答】（1）解：∵直线y＝x过点M（2，a），
∴a＝2，
∴将M（2，2）代入中，得k＝4，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：由（1）知，反比例函数的解析式为，
∵点A（1，m）在的图象上，
∴m＝4，
∴A（1，4），
由平移得，平移后直线AB的解析式为y＝x+b，
将A（1，4）代入y＝x+b中，得b＝3；
（3）证明：如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过B点作BF⊥x轴于点F．
由（1）知，反比例函数的解析式为，
∵点A（n，﹣1）在的图象上，
∴n＝﹣4，
∴B（﹣4，﹣1），
∵A（1，4），
∴AE＝BF，OE＝OF，
∴∠AEO＝∠BFO，
∴△AOE≌△BOF（SAS），
∴∠AOE＝∠BOF，OA＝OB，
由（2）知，b＝3，
∴平移后直线AB的解析式为y＝x+3，
又∵直线y＝x+3与x轴、y轴分别交于点C，D，
∴C（﹣3，0），D（0，3），
∴OC＝OD，
在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS）．
【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定与性质，熟练根据坐标找线段关系是解题的关键．
31．（2022•乐山）如图，已知直线l：y＝x+4与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点A（﹣1，n），直线l′经过点A，且与l关于直线x＝﹣1对称．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）将A点坐标代入直线l解析式，求出n的值，确定A点坐标，再代入反比例函数解析式即可；
（2）通过已知条件求出直线l′解析式，用△BOC的面积﹣△ACD的面积解答即可．
【解析】∵点A（﹣1，n）在直线l：y＝x+4上，
∴n＝﹣1+4＝3，
∴A（﹣1，3），
∵点A在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，
∴k＝﹣3，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）易知直线l：y＝x+4与x、y轴的交点分别为B（﹣4，0），C（0，4），
∵直线l′经过点A，且与l关于直线x＝﹣1对称，
∴直线l′与x轴的交点为E（2，0），
设l′：y＝kx+b，则，
解得：，
∴l′：y＝﹣x+2，
∴l′与y轴的交点为D（0，2），
∴阴影部分的面积＝△BOC的面积﹣△ACD的面积＝×4×4﹣×2×1＝7．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，正确地求得反比例函数的解析式是解题的关键．
32．（2022•衡阳）如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx+b的图象相交于A（3，1），B（﹣1，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）设直线AB交y轴于点C，点M，N分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形OCNM是平行四边形，求点M的坐标．
【分析】（1）把A（3，1）代入y＝可得m＝3，即得反比例函数关系式为y＝，从而B（﹣1，﹣3），将A（3，1），B（﹣1，﹣3）代入y＝kx+b即可得一次函数的关系式为y＝x﹣2；
（2）在y＝x﹣2中得C（0，﹣2），设M（m，），N（n，n﹣2），而O（0，0），由CM、ON中点重合列方程组可得M（，）或M（﹣，﹣）．
【解析】（1）把A（3，1）代入y＝得：
1＝，
∴m＝3，
∴反比例函数关系式为y＝；
把B（﹣1，n）代入y＝得：
n＝＝﹣3，
∴B（﹣1，﹣3），
将A（3，1），B（﹣1，﹣3）代入y＝kx+b得：
，
解得，
∴一次函数的关系式为y＝x﹣2；
答：反比例函数关系式为y＝，一次函数的关系式为y＝x﹣2；
（2）在y＝x﹣2中，令x＝0得y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
设M（m，），N（n，n﹣2），而O（0，0），
∵四边形OCNM是平行四边形，
∴CM、ON的中点重合，
，
解得或，
∴M（，）或（﹣，﹣）；
【点评】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，平行四边形性质及应用等，解题的关键是熟练掌握待定系数法，能根据平行四边形对角线互相平分列方程组解决问题．
33．（2022•株洲）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在函数y1＝（x＜0）、y2＝（x＞0，k＞0）的图象上，点C在第二象限内，AC⊥x轴于点P，BC⊥y轴于点Q，连接AB、PQ，已知点A的纵坐标为﹣2．
（1）求点A的横坐标；
（2）记四边形APQB的面积为S，若点B的横坐标为2，试用含k的代数式表示S．
【分析】（1）把y＝﹣2代入y1＝（x＜0）即可求得；
（2）求得B（2，），即可得到PC＝OQ＝∴AC＝2+，BC＝1+2＝3，然后根据S＝S△ABC﹣S△PQC即可得到结论．
【解析】（1）∵点A在函数y1＝（x＜0）的图象上，点A的纵坐标为﹣2，
∴﹣2＝，解得x＝﹣1，
∴点A的横坐标为﹣1；
（2）∵点B在函数y2＝（x＞0，k＞0）的图象上，点B的横坐标为2，
∴B（2，），
∴PC＝OQ＝，BQ＝2，
∵A（﹣1，﹣2），
∴OP＝CQ＝1，AP＝2，
∴AC＝2+，BC＝1+2＝3，
∴S＝S△ABC﹣S△PQC＝AC•BC﹣PC•CQ＝﹣×1＝3+k．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，表示出线段的长度是解题的关键．
34．（2022•宁波）如图，正比例函数y＝﹣x的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象都经过点A（a，2）．
（1）求点A的坐标和反比例函数表达式．
（2）若点P（m，n）在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，请根据图象直接写出n的取值范围．
【分析】（1）把点A的坐标代入一次函数关系式可求出a的值，再代入反比例函数关系式确定k的值，进而得出答案；
（2）确定m的取值范围，再根据反比例函数关系式得出n的取值范围即可．
【解析】（1）把A（a，2）的坐标代入y＝x，即2＝﹣a，
解得a＝﹣3，
∴A（﹣3，2），
又∵点A（﹣3，2）是反比例函数y＝的图象上，
∴k＝﹣3×2＝﹣6，
∴反比例函数的关系式为y＝﹣；
（2）∵点P（m，n）在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，
∴﹣3＜m＜0或0＜m＜3，
当m＝﹣3时，n＝＝2，当m＝3时，n＝＝2，
由图象可知，
若点P（m，n）在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，n的取值范围为n＞2或n＜﹣2．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数与一次函数的图象交点坐标，把点的坐标代入相应的函数关系式求出待定系数是求函数关系式的常用方法．
35．（2022•杭州）设函数y1＝，函数y2＝k2x+b（k1，k2，b是常数，k1≠0，k2≠0）．
（1）若函数y1和函数y2的图象交于点A（1，m），点B（3，1），
①求函数y1，y2的表达式；
②当2＜x＜3时，比较y1与y2的大小（直接写出结果）．
（2）若点C（2，n）在函数y1的图象上，点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D，点D恰好落在函数y1的图象上，求n的值．
【分析】（1）①利用待定系数法求函数解析式；
②利用函数图象分析比较；
（2）根据平移确定点D的坐标，然后利用函数图象上点的坐标特征代入求解．
【解析】（1）把点B（3，1）代入y1＝，
3＝，
解得：k1＝3，
∴函数y1的表达式为y1＝，
把点A（1，m）代入y1＝，解得m＝3，
把点A（1，3），点B（3，1）代入y2＝k2x+b，
，
解得，
∴函数y2的表达式为y2＝﹣x+4；
（2）如图，
当2＜x＜3时，y1＜y2；
（3）由平移，可得点D坐标为（﹣2，n﹣2），
∴﹣2（n﹣2）＝2n，
解得：n＝1，
∴n的值为1．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数，理解反比例函数和一次函数的图象性质，掌握待定系数法求函数解析式，利用数形结合思想解题是关键．
36．（2022•泰安）如图，点A在第一象限，AC⊥x轴，垂足为C，OA＝2，tanA＝，反比例函数y＝的图象经过OA的中点B，与AC交于点D．
（1）求k值；
（2）求△OBD的面积．
【分析】（1）先根据tanA＝，可得AC＝2OC，根据OA＝2，由此可得A的坐标，由B是OA的中点，可得点B的坐标，从而得k的值；
（2）先求点D的坐标，根据面积差可得结论．
【解析】（1）∵∠ACO＝90°，tanA＝，
∴AC＝2OC，
∵OA＝2，
由勾股定理得：（2）2＝OC2+（2OC）2，
∴OC＝2，AC＝4，
∴A（2，4），
∵B是OA的中点，
∴B（1，2），
∴k＝1×2＝2；
（2）当x＝2时，y＝1，
∴D（2，1），
∴AD＝4﹣1＝3，
∵S△OBD＝S△OAD﹣S△ABD
＝×3×2﹣×3×1
＝1.5．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的特征，三角形面积，中点坐标公式，解题的关键是根据待定系数法求出反比例函数的解析式，本题属于中等题型．
37．（2022•温州）已知反比例函数y＝（k≠0）的图象的一支如图所示，它经过点（3，﹣2）．
（1）求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支．
（2）求当y≤5，且y≠0时自变量x的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式，利用描点法补充函数图象；
（2）利用数形结合思想确定关键点，从而求得相应的自变量的取值范围．
【解析】（1）把点（3，﹣2）代入y＝（k≠0），
﹣2＝，
解得：k＝﹣6，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣，
补充其函数图象如下：
（2）当y＝5时，﹣＝5，
解得：x＝﹣，
∴当y≤5，且y≠0时，x≤﹣或x＞0．
【点评】本题考查反比例函数，掌握待定系数法求函数解析式及反比例函数的图象性质，利用数形结合思想解题是关键．
38．（2022•武威）如图，B，C是反比例函数y＝（k≠0）在第一象限图象上的点，过点B的直线y＝x﹣1与x轴交于点A，CD⊥x轴，垂足为D，CD与AB交于点E，OA＝AD，CD＝3．
（1）求此反比例函数的表达式；
（2）求△BCE的面积．
【分析】（1）根据直线y＝x﹣1求出点A坐标，进而确定OA，AD的值，再确定点C的坐标，代入反比例函数的关系式即可；
（2）求出点E坐标，进而求出EC，再求出一次函数与反比例函数在第一象限的交点B的坐标，由三角形的面积的计算方法进行计算即可．
【解析】（1）当y＝0时，即x﹣1＝0，
∴x＝1，
即直线y＝x﹣1与x轴交于点A的坐标为（1，0），
∴OA＝1＝AD，
又∵CD＝3，
∴点C的坐标为（2，3），
而点C（2，3）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝2×3＝6，
∴反比例函数的图象为y＝；
（2）方程组的正数解为，
∴点B的坐标为（3，2），
当x＝2时，y＝2﹣1＝1，
∴点E的坐标为（2，1），即DE＝1，
∴EC＝3﹣1＝2，
∴S△BCE＝×2×（3﹣2）＝1，
答：△BCE的面积为1．
【点评】本题考查反比例函数、一次函数交点坐标以及待定系数法求函数关系式，将一次函数、反比例函数的关系式联立方程组是求出交点坐标的基本方法，将点的坐标转化为线段的长是正确解答的关键．
39．（2022•江西）如图，点A（m，4）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在y轴上，OB＝2，将线段AB向右下方平移，得到线段CD，此时点C落在反比例函数的图象上，点D落在x轴正半轴上，且OD＝1．
（1）点B的坐标为 （0，2） ，点D的坐标为 （1，0） ，点C的坐标为 （m+1，2） （用含m的式子表示）；
（2）求k的值和直线AC的表达式．
【分析】（1）根据OB＝2可得点B的坐标，根据OD＝1可得点D的坐标为（1，0），由平移规律可得点C的坐标；
（2）根据点C和D的坐标列方程可得m的值，从而得k的值，再利用待定系数法可得直线AC的解析式．
【解析】（1）由题意得：B（0，2），D（1，0），
由平移可知：线段AB向下平移2个单位，再向右平移1个单位，
∵点A（m，4），
∴C（m+1，2），
故答案为：（0，2），（1，0），（m+1，2）；
（2）∵点A和点C在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝4m＝2（m+1），
∴m＝1，
∴A（1，4），C（2，2），
∴k＝1×4＝4，
设直线AC的表达式为：y＝nx+b，
，
解得：，
∴直线AC的表达式为：y＝﹣2x+6．
【点评】此题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用以及平移的性质，根据OB和OD的长得出平移的规律是解题关键．
40．（2022•金华）如图，点A在第一象限内，AB⊥x轴于点B，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象分别交AO，AB于点C，D．已知点C的坐标为（2，2），BD＝1．
（1）求k的值及点D的坐标．
（2）已知点P在该反比例函数图象上，且在△ABO的内部（包括边界），直接写出点P的横坐标x的取值范围．
【分析】（1）根据点C（2，2）在反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象上，可以求得k的值，再把y＝1代入函数解析式，即可得到点D的坐标；
（2）根据题意和点C、D的坐标，可以直接写出点P的横坐标的取值范围．
【解析】（1）∵点C（2，2）在反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象上，
∴2＝，
解得k＝4，
∵BD＝1．
∴点D的纵坐标为1，
∵点D在反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象上，
∴1＝，
解得x＝4，
即点D的坐标为（4，1）；
（2）∵点C（2，2），点D（4，1），点P在该反比例函数图象上，且在△ABO的内部（包括边界），
∴点P的横坐标x的取值范围是2≤x≤4．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出k的值．
41．（2022•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于P、Q两点．点P（﹣4，3），点Q的纵坐标为﹣2．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）求△POQ的面积．
【分析】（1）把P的坐标代入y＝，利用待定系数法即可求得反比例函数解析式，进而求出Q的坐标，把P、Q的坐标代入一次函数的解析式求出即可；
（2）根据三角形面积和可得结论．
【解析】（1）将点P（﹣4，3）代入反比例函数y＝中，解得：k＝﹣4×3＝﹣12，
∴反比例函数的表达式为：y＝﹣；
当y＝﹣2时，﹣2＝﹣，
∴x＝6，
∴Q（6，﹣2），
将点P（﹣4，3）和Q（6，﹣2）代入y＝ax+b中得：，
解得：，
∴一次函数的表达式为：y＝﹣x+1；
（2）如图，
y＝﹣x+1，
当x＝0时，y＝1，
∴OM＝1，
∴S△POQ＝S△POM+S△OMQ
＝×1×4+×1×6
＝2+3
＝5．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式的应用，三角形的面积，求得OM的长是解题的关键．
42．（2022•达州）如图，一次函数y＝x+1与反比例函数y＝的图象相交于A（m，2），B两点，分别连接OA，OB．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）求出点A的坐标，利用待定系数法求解即可；
（2）解方程组求出点B的坐标，利用割补法求三角形的面积；
（3）有三种情形，画出图形可得结论．
【解析】（1）∵一次函数y＝x+1经过点A（m，2），
∴m+1＝2，
∴m＝1，
∴A（1，2），
∵反比例函数y＝经过点（1，2），
∴k＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）由题意，得，
解得或，
∴B（﹣2，﹣1），
∵C（0，1），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×1×2+×1×1＝1.5；
（3）有三种情形，如图所示，满足条件的点P的坐标为（﹣3，﹣3）或（﹣1，1）或（3，3）．
【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，待定系数法，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握待定系数法，学会构建方程组确定交点坐标，属于中考常考题型．
43．（2022•重庆）反比例函数y＝的图象如图所示，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y＝的图象交于A（m，4），B（﹣2，n）两点．
（1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）观察图象，直接写出不等式kx+b＜的解集；
（3）一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点C，连接OA，求△OAC的面积．
【分析】（1）将A，B两坐标先代入反比例函数求出m，n，然后由待定系数法求函数解析式．
（2）根据直线在曲线下方时x的取值范围求解．
（3）由直线解析式求得C点的坐标，然后根据三角形面积公式即可求解．
【解析】（1）∵（m，4），（﹣2，n）在反比例函数y＝的图象上，
∴4m＝﹣2n＝4，
解得m＝1，n＝﹣2，
∴A（1，4），B（﹣2，﹣2），
把（1，4），（﹣2，﹣2）代入y＝kx+b中得，
解得，
∴一次函数解析式为y＝2x+2．
画出函数y＝2x+2图象如图；
（2）由图象可得当0＜x＜1或x＜﹣2时，直线y＝﹣2x+6在反比例函数y＝图象下方，
∴kx+b＜的解集为x＜﹣2或0＜x＜1．
（3）把y＝0代入y＝2x+2得0＝2x+2，
解得x＝﹣1，
∴点C坐标为（﹣1，0），
∴S△AOC＝＝2．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握函数与方程及不等式的关系．
44．（2022•南充）如图，直线AB与双曲线交于A（1，6），B（m，﹣2）两点，直线BO与双曲线在第一象限交于点C，连接AC．
（1）求直线AB与双曲线的解析式．
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据点A的坐标可以求得双曲线的解析式，然后即可求得点B的坐标，再用待定系数法即可求得直线AB的解析式；
（2）先求出直线BO的解析式，然后求出点C的坐标，再用割补法即可求得△ABC的面积．
【解析】（1）设双曲线的解析式为y＝，
∵点A（1，6）在该双曲线上，
∴6＝，
解得k＝6，
∴y＝，
∵B（m，﹣2）在双曲线y＝上，
∴﹣2＝，
解得m＝﹣3，
设直线AB的函数解析式为y＝ax+b，
，
解得，
即直线AB的解析式为y＝2x+4；
（2）作BG∥x轴，FG∥y轴，FG和BG交于点G，作BE∥y轴，FA∥x轴，BE和FA交于点E，如右图所示，
直线BO的解析式为y＝ax，
∵点B（﹣3，﹣2），
∴﹣2＝﹣3a，
解得a＝，
∴直线BO的解析式为y＝x，
，
解得或，
∴点C的坐标为（3，2），
∵点A（1，6），B（﹣3，﹣2），C（3，2），
∴EB＝8，BG＝6，CG＝4，CF＝4，AF＝2，AE＝4，
∴S△ABC＝S矩形EBGF﹣S△AEB﹣S△BGC﹣S△AFC
＝8×6﹣﹣﹣
＝48﹣16﹣12﹣4
＝16．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
45．（2022•重庆）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝的图象相交于点A（1，m），B（n，﹣2）．
（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
（2）根据函数图象，直接写出不等式kx+b＞的解集；
（3）若点C是点B关于y轴的对称点，连接AC，BC，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据反比例函数解析式求出A点和B点的坐标，然后用待定系数法求出一次函数的表达式即可；
（2）根据图象直接得出不等式的解集即可；
（3）根据对称求出C点坐标，根据A点、B点和C点坐标确定三角形的底和高，进而求出三角形的面积即可．
【解析】（1）∵反比例函数y＝的图象过点A（1，m），B（n，﹣2），
∴，n＝，
解得m＝4，n＝﹣2，
∴A（1，4），B（﹣2，﹣2），
∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过A点和B点，
∴，
解得，
∴一次函数的表达式为y＝2x+2，
描点作图如下：
（2）由（1）中的图象可得，
不等式kx+b＞的解集为：﹣2＜x＜0或x＞1；
（3）由题意作图如下：
由图知△ABC中BC边上的高为6，BC＝4，
∴S△ABC＝＝12．
【点评】本题主要考查反比例函数和一次函数交点的问题，熟练掌握反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，三角形面积公式等知识是解题的关键．
46．（2022•德阳）如图，一次函数y＝﹣x+1与反比例函数y＝的图象在第二象限交于点A，且点A的横坐标为﹣2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点B的坐标是（﹣3，0），若点P在y轴上，且△AOP的面积与△AOB的面积相等，求点P的坐标．
【分析】（1）首先确定点A的坐标，再利用待定系数法求出k即可；
（2）设P（0，m），构建方程求解．
【解答】解（1）∵一次函数y＝﹣x+1与反比例函数y＝的图象在第二象限交于点A，点A的横坐标为﹣2，
当x＝﹣2时，y＝﹣×（﹣2）+1＝4，
∴A（﹣2，4），
∴4＝，
∴k＝﹣8，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣；
（2）设P（0，m），
∵△AOP的面积与△AOB的面积相等，
∴×|m|×2＝×3×4，
∴m＝±6，
∴P（0，6）或（0，﹣6）．
【点评】本题考查反比例函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是掌握待定系数法，属于中考常考题型．
47．（2022•泸州）如图，直线y＝﹣x+b与反比例函数y＝的图象相交于点A，B，已知点A的纵坐标为6．
（1）求b的值；
（2）若点C是x轴上一点，且△ABC的面积为3，求点C的坐标．
【分析】（1）先求出点A坐标，代入解析式可求解；
（2）先求出点D坐标，由面积的和差关系可求CD＝2，即可求解．
【解析】（1）∵点A在反比例函数y＝上，且A的纵坐标为6，
∴点A（2，6），
∵直线y＝﹣x+b经过点A，
∴6＝﹣×2+b，
∴b＝9；
（2）如图，设直线AB与x轴的交点为D，
设点C（a，0），
∵直线AB与x轴的交点为D，
∴点D（6，0），
由题意可得：，
∴，，
∴点B（4，3），
∵S△ACB＝S△ACD﹣S△BCD，
∴3＝×CD×（6﹣3），
∴CD＝2，
∴点C（4，0）或（8，0）．
【点评】本题是反比例函数综合题，考查一次函数的应用、反比例函数的应用等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会分割法求三角形的面积．
48．（2022•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+6的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（a，4），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）过点A作直线AC，交反比例函数图象于另一点C，连接BC，当线段AC被y轴分成长度比为1：2的两部分时，求BC的长；
（3）我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设P是第三象限内的反比例函数图象上一点，Q是平面内一点，当四边形ABPQ是完美筝形时，求P，Q两点的坐标．
【分析】（1）将点A坐标分别代入一次函数解析式和反比例函数解析式可求解；
（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质和勾股定理可求解；
（3）分别求出BP，AP，BQ的解析式，联立方程组可求解．
【解析】（1）∵一次函数y＝﹣2x+6的图象过点A，
∴4＝﹣2a+6，
∴a＝1，
∴点A（1，4），
∵反比例函数y＝的图象过点A（1，4），
∴k＝1×4＝4；
∴反比例函数的解析式为：y＝，
联立方程组可得：，
解得：，，
∴点B（2，2）；
（2）如图，过点A作AE⊥y轴于E，过点C作CF⊥y轴于F，
∴AE∥CF，
∴△AEH∽△CFH，
∴，
当＝时，则CF＝2AE＝2，
∴点C（﹣2，﹣2），
∴BC＝＝4，
当＝2时，则CF＝AE＝，
∴点C（﹣，﹣8），
∴BC＝＝，
综上所述：BC的长为4或；
（3）如图，当∠AQP＝∠ABP＝90°时，设直线AB与y轴交于点E，过点B作BF⊥y轴于F，设BP与y轴的交点为N，连接BQ，AP交于点H，
∵直线y＝﹣2x+6与y轴交于点E，
∴点E（0，6），
∵点B（2，2），
∴BF＝OF＝2，
∴EF＝4，
∵∠ABP＝90°，
∴∠ABF+∠FBN＝90°＝∠ABF+∠BEF，
∴∠BEF＝∠FBN，
又∵∠EFB＝∠ABN＝90°，
∴△EBF∽△BNF，
∴，
∴FN＝＝1，
∴点N（0，1），
∴直线BN的解析式为：y＝x+1，
联立方程组得：，
解得：，，
∴点P（﹣4，﹣1），
∴直线AP的解析式为：y＝x+3，
∵AP垂直平分BQ，
∴设BQ的解析式为y＝﹣x+4，
∴x+3＝﹣x+4，
∴x＝，
∴点H（，），
∵点H是BQ的中点，点B（2，2），
∴点Q（﹣1，5）．
【点评】本题是反比例函数综合题，考查了一次函数的应用，反比例函数的应用，相似三角形的判定和性质，待定系数法等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
49．（2022•遂宁）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如（﹣1，1），（2022，﹣2022）都是“黎点”．
（1）求双曲线y＝上的“黎点”；
（2）若抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当a＞1时，求c的取值范围．
【分析】（1）设双曲线y＝上的“黎点”为（m，﹣m），构建方程求解即可；
（2）抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，推出方程ax2﹣7x+c＝﹣x有且只有一个解，即ax2﹣6x+c＝0，Δ＝36﹣4ac＝0，可得结论．
【解析】（1）设双曲线y＝上的“黎点”为（m，﹣m），
则有﹣m＝，
∴m＝±3，
经检验，m＝±3的分式方程放解，
∴双曲线y＝上的“黎点”为（3，﹣3）或（﹣3，3）；
（2）∵抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，
∴方程ax2﹣7x+c＝﹣x有且只有一个解，
即ax2﹣6x+c＝0，Δ＝36﹣4ac＝0，
∴ac＝9，
∴a＝，
∵a＞1，
∴0＜c＜9．
【点评】本题考查反比例函数图象上的点特征，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．
50．（2022•遂宁）已知一次函数y1＝ax﹣1（a为常数）与x轴交于点A，与反比例函数y2＝交于B、C两点，B点的横坐标为﹣2．
（1）求出一次函数的解析式并在图中画出它的图象；
（2）求出点C的坐标，并根据图象写出当y1＜y2时对应自变量x的取值范围；
（3）若点B与点D关于原点成中心对称，求出△ACD的面积．
【分析】（1）根据B点的横坐标为﹣2且在反比例函数y2＝的图象上，可以求得点B的坐标，然后代入一次函数解析式，即可得到一次函数的解析式，再画出相应的图象即可；
（2）将两个函数解析式联立方程组，即可求得点C的坐标，然后再观察图象，即可写出当y1＜y2时对应自变量x的取值范围；
（3）根据点B与点D关于原点成中心对称，可以写出点D的坐标，然后点A、D、C的坐标，即可计算出△ACD的面积．
【解析】（1）∵B点的横坐标为﹣2且在反比例函数y2＝的图象上，
∴y2＝＝﹣3，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣3），
∵点B（﹣2，﹣3）在一次函数y1＝ax﹣1的图象上，
∴﹣3＝a×（﹣2）﹣1，
解得a＝1，
∴一次函数的解析式为y＝x﹣1，
∵y＝x﹣1，
∴x＝0时，y＝﹣1；x＝1时，y＝0；
∴图象过点（0，﹣1），（1，0），
函数图象如右图所示；
（2），
解得或，
∵一次函数y1＝ax﹣1（a为常数）与反比例函数y2＝交于B、C两点，B点的横坐标为﹣2，
∴点C的坐标为（3，2），
由图象可得，当y1＜y2时对应自变量x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜3；
（3）∵点B（﹣2，﹣3）与点D关于原点成中心对称，
∴点D（2，3），
作DE⊥x轴交AC于点E，
将x＝2代入y＝x﹣1，得y＝1，
∴S△ACD＝S△ADE+S△DEC＝＝2，
即△ACD的面积是2．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
51．（2022•自贡）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，2），B（m，﹣1）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）过点B作直线l∥y轴，过点A作AD⊥l于点D，点C是直线l上一动点，若DC＝2DA，求点C的坐标．
【分析】（1）先把A（﹣1，2）代入反比例函数y＝求出n的值即可得出其函数解析式，再把B（m，﹣1）代入反比例函数的解析式即可得出m的值，把A，B两点的坐标代入一次函数y＝kx+b，求出k、b的值即可得出其解析式；
（2）根据已知确定AD的长和点D的坐标，由DC＝2AD可得DC＝6，从而得点C的坐标．
【解析】（1）∵A（﹣1，2）在反比例函数y＝的图象上，
∴n＝2×（﹣1）＝﹣2，
∴其函数解析式为y＝﹣；
∵B（m，﹣1）在反比例函数的图象上，
∴﹣m＝﹣2，
∴m＝2，
∴B（2，﹣1）．
∵A（﹣1，2），B（2，﹣1）两点在一次函数y＝kx+b的图象上，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为：y＝﹣x+1；
（2）∵直线l∥y轴，AD⊥l，
∴AD＝3，D（2，2），
∵DC＝2DA，
∴DC＝6，
∵点C是直线l上一动点，
∴C（2，8）或（2，﹣4）．
【点评】本题是反比例的综合题，考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，在解答此题时要注意数形结合思想的运用．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/6/23 11:58:19；用户：账号1；邮箱：yzsysx1@xyh.com；学号：25670025
备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）
专题11反比例函数（共51题）
一．选择题（共10小题）
1．（2022•云南）反比例函数y＝的图象分别位于（ ）
A．第一、第三象限 B．第一、第四象限
C．第二、第三象限 D．第二、第四象限
【分析】根据反比例函数的性质，可以得到该函数图象位于哪几个象限，本题得以解决．
【解析】反比例函数y＝，k＝6＞0，
∴该反比例函数图象位于第一、三象限，
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数的性质、反比例函数的图象，解答本题的关键是明确当k＞0，反比例函数图象位于第一、三象限．
2．（2022•丽水）已知电灯电路两端的电压U为220V，通过灯泡的电流强度I（A）的最大限度不得超过0.11A．设选用灯泡的电阻为R（Ω），下列说法正确的是（ ）
A．R至少2000Ω B．R至多2000Ω C．R至少24.2Ω D．R至多24.2Ω
【分析】利用已知条件列出不等式，解不等式即可得出结论．
【解析】∵电压U一定时，电流强度I（A）与灯泡的电阻为R（Ω）成反比例，
∴I＝．
∵已知电灯电路两端的电压U为220V，
∴I＝．
∵通过灯泡的电流强度I（A）的最大限度不得超过0.11A，
∴≤0.11，
∴R≥2000．
故选：A．
【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，利用已知条件列出不等式是解题的关键．
3．（2022•德阳）一次函数y＝ax+1与反比例函数y＝﹣在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数与反比例函数图象的特点，可以从a＞0，和a＜0，两方面分类讨论得出答案．
【解析】分两种情况：
（1）当a＞0，时，一次函数y＝ax+1的图象过第一、二、三象限，反比例函数y＝﹣图象在第二、四象限，无选项符合；
（2）当a＜0，时，一次函数y＝ax+1的图象过第一、二、四象限，反比例函数y＝﹣图象在第一、三象限，故B选项正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
4．（2022•滨州）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+1与y＝﹣（k为常数且k≠0）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数和反比例函数的性质即可判断．
【解析】当k＞0时，则﹣k＜0，一次函数y＝kx+1图象经过第一、二、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，所以A选项正确，C选项错误；
当k＜0时，一次函数y＝kx+1图象经过第一、二，四象限，所以B、D选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象：反比例函数y＝（k≠0）为双曲线，当k＞0时，图象分布在第一、三象限；当k＜0时，图象分布在第二、四象限．也考查了一次函数图象．
5．（2022•扬州）某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据题意可知xy的值即为该校的优秀人数，再根据图象即可确定丙校的优秀人数最多．
【解析】根据题意，可知xy的值即为该校的优秀人数，
∵描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，
∴乙、丁两所学校的优秀人数相同，
∵点丙在反比例函数图象上面，
∴丙校的xy的值最大，即优秀人数最多，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的图象上点的坐标特征，结合实际含义理解图象上点的坐标含义是解题的关键．
6．（2022•邵阳）如图是反比例函数y＝的图象，点A（x，y）是反比例函数图象上任意一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△AOB的面积是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【分析】由反比例函数的几何意义可知，k＝1，也就是△AOB的面积的2倍是1，求出△AOB的面积是．
【解析】∵A（x，y），
∴OB＝x，AB＝y，
∵A为反比例函数y＝图象上一点，
∴xy＝1，
∴S△ABO＝AB•OB＝xy＝1＝，
故选：B．
【点评】考查反比例函数的几何意义，反比例函数的图象，反比例函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握k的绝对值，等于△AOB的面积的2倍．
7．（2022•天津）若点A（x1，2），B（x2，﹣1），C（x3，4）都在反比例函数y＝的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（ ）
A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x3＜x1 C．x1＜x3＜x2 D．x2＜x1＜x3
【分析】根据函数解析式算出三个点的横坐标，再比较大小．
【解析】点A（x1，2），B（x2，﹣1），C（x3，4）都在反比例函数y＝的图象上，
∴x1＝＝4，x2＝＝﹣8，x3＝＝2．
∴x2＜x3＜x1，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数图象点的坐标特征，根据函数解析式求出三个点的横坐标是求解本题的关键．
8．（2022•武汉）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y＝的图象上，且x1＜0＜x2，则下列结论一定正确的是（ ）
A．y1+y2＜0 B．y1+y2＞0 C．y1＜y2 D．y1＞y2
【分析】先根据反比例函数y＝判断此函数图象所在的象限，再根据x1＜0＜x2判断出A（x1，y1）、B（x2，y2）所在的象限即可得到答案．
【解析】∵反比例函数y＝中的6＞0，
∴该双曲线经过第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，
∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y＝的图象上，且x1＜0＜x2，
∴点A位于第三象限，点B位于第一象限，
∴y1＜y2．
故选：C．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．
9．（2022•娄底）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点P（m，1）、Q（1，m）（m＞0且m≠1），过点P、Q的直线与两坐标轴相交于A、B两点，连接OP、OQ，则下列结论中成立的有（ ）
①点P、Q在反比例函数y＝的图象上；
②△AOB为等腰直角三角形；
③0°＜∠POQ＜90°；
④∠POQ的值随m的增大而增大．
A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征即可判断①；根据P、Q点的坐标特征即可判断②③；求得直线OP、OQ的解析式，根据正比例函数的系数即可判断．
【解析】∵点P（m，1）、Q（1，m）（m＞0且m≠1），则m•1＝1•m＝m，
∴点P、Q在反比例函数y＝的图象上，故①正确；
设直线PQ为y＝kx+b，则，解得，
∴直线PQ为y＝﹣x+m+1，
当y＝0时，x＝m+1；当x＝0时，y＝m+1，
∴A（m+1，0），B（0，m+1），
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝90°，
∴△AOB为等腰直角三角形，故②正确；
∵点P（m，1）、Q（1，m）（m＞0且m≠1），
∴P、Q都在第一象限，
∴0°＜∠POQ＜90°，故③正确；
∵直线OP为y＝x，直线OQ为y＝mx，
∴当0＜m＜1时，∠POQ的值随m的增大而减小，当m＞1时，∠POQ的值随m的增大而增大，
故④错误；
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定等，数形结合是解题的关键．
10．（2022•怀化）如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y＝（a＞1）的图象于A、B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，若S△BCD＝5，则a的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】设点B的坐标为（m，），然后根据三角形面积公式列方程求解．
【解析】设点B的坐标为（a，），
∵S△BCD＝5，且a＞1，
∴×m×＝5，
解得：a＝11，
经检验，a＝11是原分式方程的解，
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，准确识图，理解反比例函数图象上点的坐标特征是解题关键．
二．填空题（共13小题）
11．（2022•新疆）若点（1，2）在反比例函数y＝的图象上，则k＝ 2 ．
【分析】把（1，2）代入y＝即可解得答案．
【解析】把（1，2）代入y＝得：
2＝，
∴k＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查反比例函数图象上点坐标的特征，解题的关键是掌握一个点在函数图象上，则这个点的坐标就满足该函数解析式．
12．（2022•陕西）已知点A（﹣2，m）在一个反比例函数的图象上，点A'与点A关于y轴对称．若点A'在正比例函数y＝x的图象上，则这个反比例函数的表达式为 y＝﹣ ．
【分析】根据轴对称的性质得出点A'（2，m），代入y＝x求得m＝1，由点A（﹣2，1）在一个反比例函数的图象上，从而求得反比例函数的解析式．
【解析】∵点A'与点A关于y轴对称，点A（﹣2，m），
∴点A'（2，m），
∵点A'在正比例函数y＝x的图象上，
∴m＝＝1，
∴A（﹣2，1），
∵点A（﹣2，1）在一个反比例函数的图象上，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣，
故答案为：y＝﹣．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，求得A的坐标是解题的关键．
13．（2022•江西）已知点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在x轴正半轴上，若△OAB为等腰三角形，且腰长为5，则AB的长为 5或2或 ．
【分析】因为等腰三角形的腰不确定，所以分三种情况分别计算即可．
【解析】当AO＝AB时，AB＝5；
当AB＝BO时，AB＝5；
当OA＝OB时，设A（a，）（a＞0），B（5，0），
∵OA＝5，
∴＝5，
解得：a1＝3，a2＝4，
∴A（3，4）或（4，3），
∴AB＝＝2或AB＝＝；
综上所述，AB的长为5或2或．
故答案为：5或2或．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，考查分类讨论的思想，当OA＝OB时，求出点A的坐标是解题的关键．
14．（2022•滨州）若点A（1，y1）、B（﹣2，y2）、C（﹣3，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为 y2＜y3＜y1 ．
【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以得到y1、y2、y3的大小关系．
【解析】∵反比例函数y＝，
∴该函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点A（1，y1）、B（﹣2，y2）、C（﹣3，y3）都在反比例函数y＝的图象上，
∴y2＜y3＜0＜y1，
即y2＜y3＜y1，
故答案为：y2＜y3＜y1．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确反比例函数中k＞0时，图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，第一象限内的y＞0，第三象限内的y＜0．
15．（2022•广元）如图，已知在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在第二象限内，反比例函数y＝的图象经过△OAB的顶点B和边AB的中点C，如果△OAB的面积为6，那么k的值是 ﹣4 ．
【分析】过B作BD⊥OA于D，设B（﹣m，n），根据三角形的面积公式得到OA＝，求得A（﹣，0），根据点C是AB的中点，可得C（﹣，），列方程即可得到结论．
【解析】过B作BD⊥OA于D，
∵点B在反比例函数y＝的图象上，
∴设B（﹣m，n），点B在第二象限内，
∵△OAB的面积为6，
∴OA＝，
∴A（﹣，0），
∵点C是AB的中点，
∴C（﹣，），
∵点C在反比例函数y＝的图象上，
∴﹣•＝﹣mn，
∴﹣mn＝﹣4，
∴k＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积公式，中点坐标的求法，正确的理解题意是解题的关键．
16．（2022•随州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+1与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点C，若AB＝BC，则k的值为 2 ．
【分析】过点C作CH⊥x轴于点H．求出点C的坐标，可得结论．
【解析】过点C作CH⊥x轴于点H．
∵直线y＝x+1与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴A（﹣1，0），B（0，1），
∴OA＝OB＝1，
∵OB∥CH，
∴＝＝1，
∴OA＝OH＝1，
∴CH＝2OB＝2，
∴C（1，2），
∵点C在y＝上，
∴k＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用三角形中位线定理解决问题．
17．（2022•乐山）如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴上，点D在y＝（k＞0）上，且AD⊥x轴，CA的延长线交y轴于点E．若S△ABE＝，则k＝ 3 ．
【分析】连接DE、OD，根据平行四边形的性质得到AD∥BC，根据三角形的面积公式得到S△ODE＝S△EBC，S△ADE＝S△ABC，进而求出S△OAD，根据反比例函数系数k的几何意义解答即可．
【解析】设BC与x轴交于点F，连接DF、OD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴S△ODF＝S△EBC，S△ADF＝S△ABC，
∴S△OAD＝S△ABE＝，
∴k＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义、平行四边形的性质、三角形的面积计算，掌握三角形的面积公式是解题的关键．
18．（2022•株洲）如图所示，矩形ABCD顶点A、D在y轴上，顶点C在第一象限，x轴为该矩形的一条对称轴，且矩形ABCD的面积为6．若反比例函数y＝的图象经过点C，则k的值为 3 ．
【分析】设BC交x轴于E，根据x轴为矩形ABCD的一条对称轴，且矩形ABCD的面积为6，可得四边形DOEC是矩形，且矩形DOEC面积是3，设C（m，n），则mn＝3，即可得k＝3．
【解析】设BC交x轴于E，如图：
∵x轴为矩形ABCD的一条对称轴，且矩形ABCD的面积为6，
∴四边形DOEC是矩形，且矩形DOEC面积是3，
设C（m，n），则OE＝m，CE＝n，
∵矩形DOEC面积是3，
∴mn＝3，
∵C在反比例函数y＝的图象上，
∴n＝，即k＝mn，
∴k＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查反比例函数图象及应用，解题的关键是掌握反比例函数图象上点坐标的特征，理解y＝中k的几何意义．
19．（2022•湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，tan∠ABO＝3，以AB为边向上作正方形ABCD．若图象经过点C的反比例函数的解析式是y＝，则图象经过点D的反比例函数的解析式是 y＝﹣ ．
【分析】如图，过点C作CT⊥y轴于点T，过点D作DH⊥CT交CT的延长线于点H．由tan∠ABO＝＝3，可以假设OB＝a，OA＝3a，利用全等三角形的性质分别求出C（a，2a），D（﹣2a，3a），可得结论．
【解析】如图，过点C作CT⊥y轴于点T，过点D作DH⊥CT交CT的延长线于点H．
∵tan∠ABO＝＝3，
∴可以假设OB＝a，OA＝3a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠AOB＝∠BTC＝90°，
∴∠ABO+∠CBT＝90°，∠CBT+∠BCT＝90°，
∴∠ABO＝∠BCT，
∴△AOB≌△BTC（AAS），
∴BT＝OA＝3a，OB＝TC＝a，
∴OT＝BT﹣OB＝2a，
∴C（a，2a），
∵点C在y＝上，
∴2a2＝1，
同法可证△CHD≌△BTC，
∴DH＝CT＝a，CH＝BT＝3a，
∴D（﹣2a，3a），
设经过点D的反比例函数的解析式为y＝，则有﹣2a×3a＝k，
∴k＝﹣6a2＝﹣3，
∴经过点D的反比例函数的解析式是y＝﹣．
故答案为：y＝﹣．
【点评】本题考查待定系数法求反比例函数的解析式，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．
20．（2022•宁波）如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数y＝（x＞0）的图象上，BE⊥x轴于点E．若DC的延长线交x轴于点F，当矩形OABC的面积为9时，的值为 ，点F的坐标为 （，0） ．
【分析】连接OD，作DG⊥x轴，设点B（b，），D（a，），根据矩形的面积得出三角形BOD的面积，将三角形BOD的面积转化为梯形BEGD的面积，从而得出a，b的等式，将其分解因式，从而得出a，b的关系，进而在直角三角形BOD中，根据勾股定理列出方程，进而求得B，D的坐标，进一步可求得结果．
【解析】如图，
作DG⊥x轴于G，连接OD，设BC和OD交于I，
设点B（b，），D（a，），
由对称性可得：△BOD≌△BOA≌△OBC，
∴∠OBC＝∠BOD，BC＝OD，
∴OI＝BI，
∴DI＝CI，
∴＝，
∵∠CID＝∠BIO，
∴△CDI∽△BOI，
∴∠CDI＝∠BOI，
∴CD∥OB，
∴S△BOD＝S△AOB＝S矩形AOCB＝，
∵S△BOE＝S△DOG＝＝3，S四边形BOGD＝S△BOD+S△DOG＝S梯形BEGD+S△BOE，
∴S梯形BEGD＝S△BOD＝，
∴•（a﹣b）＝，
∴2a2﹣3ab﹣2b2＝0，
∴（a﹣2b）•（2a+b）＝0，
∴a＝2b，a＝﹣（舍去），
∴D（2b，），
即：（2b，），
在Rt△BOD中，由勾股定理得，
OD2+BD2＝OB2，
∴[（2b）2+（）2]+[（2b﹣b）2+（﹣）2]＝b2+（）2，
∴b＝，
∴B（，2），D（2，），
∵直线OB的解析式为：y＝2x，
∴直线DF的解析式为：y＝2x﹣3，
当y＝0时，2﹣3＝0，
∴x＝，
∴F（，0），
∵OE＝，OF＝，
∴EF＝OF﹣OE＝，
∴＝，
故答案为：，（，0）．
【点评】本题考查了矩形性质，轴对称性质，反比例函数的“k”的几何含义，勾股定理，一次函数及其图象性质，分解因式等知识，解决问题的关键是变形等式，进行分解因式．
21．（2022•绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，4），将△ABO向右平移到△CDE位置，A的对应点是C，O的对应点是E，函数y＝（k≠0）的图象经过点C和DE的中点F，则k的值是 6 ．
【分析】根据反比例函数k的几何意义构造出矩形，利用方程思想解答即可．
【解析】过点F作FG⊥x轴，DQ⊥x轴，FH⊥y轴，
根据题意可知，AC＝OE＝BD，
设AC＝OE＝BD＝a，
∴四边形ACEO的面积为4a，
∵F为DE的中点，FG⊥x轴，DQ⊥x轴，
∴FG为△EDQ的中位线，
∴FG＝DQ＝2，EG＝EQ＝，
∴四边形HFGO的面积为2（a+），
∴k＝4a＝2（a+），
解得：a＝，
∴k＝6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，正确作出辅助线构造出矩形是解决本题的关键．
22．（2022•凉山州）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，若△OAB的面积为3，则k＝ 6 ．
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得出结论即可．
【解析】由题知，△OAB的面积为3，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴OB•AB＝3，
即OB•AB＝6，
∴k＝6，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象和性质及反比例函数系数k的性质是解题的关键．
23．（2022•成都）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是 k＜2 ．
【分析】根据反比例函数的性质列不等式即可解得答案．
【解析】∵反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，
∴k﹣2＜0，
解得k＜2，
故答案为：k＜2．
【点评】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是掌握当k＜0时，y＝的图象位于第二、四象限．
三．解答题（共28小题）
24．（2022•孝感）如图，已知一次函数y1＝kx+b的图象与函数y2＝（x＞0）的图象交于A（6，﹣），B（，n）两点，与y轴交于点C．将直线AB沿y轴向上平移t个单位长度得到直线DE，DE与y轴交于点F．
（1）求y1与y2的解析式；
（2）观察图象，直接写出y1＜y2时x的取值范围；
（3）连接AD，CD，若△ACD的面积为6，则t的值为 2 ．
【分析】（1）将点A（6，﹣）代入y2＝中，求反比例函数的解析式；通过解析式求出B点坐标，然后将点A、B代入y1＝kx+b，即可求出一次函数的解析式；
（2）通过观察图象即可求解；
（3）由题意先求出直线DE的解析式为y＝x﹣+t，过点F作GF⊥AB交于点G，连接AF，由∠OCA＝45°，求出FG＝t，再求出AC＝6，由平行线的性质可知S△ACD＝S△ACF，则×6×t＝6，即可求t．
【解析】（1）将点A（6，﹣）代入y2＝中，
∴m＝﹣3，
∴y2＝，
∵B（，n）在y2＝中，可得n＝﹣6，
∴B（，﹣6），
将点A、B代入y1＝kx+b，
∴，
解得，
∴y1＝x﹣；
（2）∵一次函数与反比例函数交点为A（6，﹣），B（，﹣6），
∴＜x＜6时，y1＜y2；
（3）在y1＝x﹣中，令x＝0，则y＝﹣，
∴C（0，﹣），
∵直线AB沿y轴向上平移t个单位长度，
∴直线DE的解析式为y＝x﹣+t，
∴F点坐标为（0，﹣+t），
过点F作GF⊥AB交于点G，连接AF，
直线AB与x轴交点为（，0），与y轴交点C（0，﹣），
∴∠OCA＝45°，
∴FG＝CG，
∵FC＝t，
∴FG＝t，
∵A（6，﹣），C（0，﹣），
∴AC＝6，
∵AB∥DF，
∴S△ACD＝S△ACF，
∴×6×t＝6，
∴t＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查一次函数和反比例函数的图象及性质，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象及性质，平行线的性质是解题的关键．
25．（2022•广元）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x+b的图象与函数y＝（x＞0）的图象相交于点B（1，6），并与x轴交于点A．点C是线段AB上一点，△OAC与△OAB的面积比为2：3．
（1）求k和b的值；
（2）若将△OAC绕点O顺时针旋转，使点C的对应点C′落在x轴正半轴上，得到△OA′C′，判断点A′是否在函数y＝（x＞0）的图象上，并说明理由．
【分析】（1）将B（1，6）代入y＝x+b可求出b的值；再将B（1，6）代入y＝可求出k的值；
（2）过点C作CM⊥x轴于M，过点B作BN⊥x轴于N，过A'作A'G⊥x轴于G，先求出点C的坐标，再由旋转的性质和三角形面积、勾股定理求出点A'的坐标，即可解决问题．
【解析】（1）∵函数y＝x+b的图像与函数y＝（x＞0）的图像相交于点B（1，6），
∴6＝1+b，6＝，
∴b＝5，k＝6；
（2）点A′不在函数y＝（x＞0）的图像上，理由如下：
过点C作CM⊥x轴于M，过点B作BN⊥x轴于N，过A'作A'G⊥x轴于G，
∵点B（1，6），
∴ON＝1，BN＝6，
∵△OAC与△OAB的面积比为2：3，
∴＝＝，
∴＝，
∴CM＝BN＝4，
即点C的纵坐标为4，
把y＝4代入y＝x+5得：x＝﹣1，
∴C（﹣1，4），
∴OC'＝OC＝＝＝，
∵y＝x+5中，当y＝0时，x＝﹣5，
∴OA＝5，
由旋转的性质得：△OAC≌△OA'C'，
∴OA•CM＝OC•A'G，
∴A'G＝＝＝
在Rt△A'OG中，OG＝＝＝，
∴点A'的坐标为（，），
∵×≠6，
∴点A′不在函数y＝（x＞0）的图像上．
【点评】本题考查了待定系数法求解析式，三角形的面积，反比例函数的性质，旋转的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是能够熟练运用反比例函数的性质．
26．（2022•常德）如图，已知正比例函数y1＝x与反比例函数y2的图象交于A（2，2），B两点．
（1）求y2的解析式并直接写出y1＜y2时x的取值范围；
（2）以AB为一条对角线作菱形，它的周长为4，在此菱形的四条边中任选一条，求其所在直线的解析式．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得反比例函数解析式，求出点B的坐标，（也可以直接利用反比例函数和正比例函数图象的对称性得出点B的坐标．）观察图象即可得出x的取值范围；
（2）过点A作AE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，可证得△AOE是等腰直角三角形，得出：∠AOE＝45°，OA＝AE＝2，再根据菱形性质可得：AB⊥CD，OC＝OD，利用勾股定理即可求得D（1，﹣1），再根据对称性可得C（﹣1，1），运用待定系数法即可求得菱形的边所在直线的解析式．
【解析】（1）设反比例函数y2＝，把A（2，2）代入，得：2＝，
解得：k＝4，
∴y2＝，
由，解得：，，
∴B（﹣2，﹣2），
由图象可知：当y1＜y2时，x＜﹣2或0＜x＜2；
注明：也可以直接利用反比例函数和正比例函数图象的对称性得出点B的坐标．
（2）过点A作AE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，
∵A（2，2），
∴AE＝OE＝2，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴∠AOE＝45°，OA＝AE＝2，
∵四边形ACBD是菱形，
∴AB⊥CD，OC＝OD，
∴∠DOF＝90°﹣∠AOE＝45°，
∵∠DFO＝90°，
∴△DOF是等腰直角三角形，
∴DF＝OF，
∵菱形ACBD的周长为4，
∴AD＝，
在Rt△AOD中，OD＝＝＝，
∴DF＝OF＝1，
∴D（1，﹣1），
由菱形的对称性可得：C（﹣1，1），
设直线AD的解析式为y＝mx+n，
则，
解得：，
∴AD所在直线的解析式为y＝3x﹣4；
同理可得BC所在直线的解析式为y＝3x+4，AC所在直线的解析式为y＝x+，BD所在直线的解析式为y＝x﹣．
【点评】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数和反比例函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质等，难度适中，熟练掌握待定系数法是解题关键．
27．（2022•湘潭）已知A（3，0）、B（0，4）是平面直角坐标系中两点，连接AB．
（1）如图①，点P在线段AB上，以点P为圆心的圆与两条坐标轴都相切，求过点P的反比例函数表达；
（2）如图②，点N是线段OB上一点，连接AN，将△AON沿AN翻折，使得点O与线段AB上的点M重合，求经过A、N两点的一次函数表达式．
【分析】（1）作PC⊥x轴于C，PD⊥y轴于D，可知矩形OCPD是正方形，设PD＝PC＝x，利用PD∥OA，得△PDB∽△AOB，从而求出点P的坐标，利用待定系数法解决问题；
（2）利用翻折的性质得，ON＝NM，MN⊥AB，由勾股定理得，AB＝5，再根据S△AOB＝S△AON+S△ABN，求出点N的坐标，利用待定系数法解决问题．
【解析】（1）作PC⊥x轴于C，PD⊥y轴于D，
则四边形OCPD是矩形，
∵以点P为圆心的圆与两条坐标轴都相切，
∴PC＝PD，
∴矩形OCPD是正方形，
设PD＝PC＝x，
∵A（3，0）、B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴BD＝4﹣x，
∵PD∥OA，
∴△PDB∽△AOB，
∴，
∴，
解得x＝，
∴P（，），
设过点P的函数表达式为y＝，
∴k＝xy＝＝，
∴y＝；
（2）∵将△AON沿AN翻折，使得点O与线段AB上的点M重合，
∴ON＝NM，MN⊥AB，
由勾股定理得，AB＝5，
∴S△AOB＝S△AON+S△ABN，
∴＝+，
解得，ON＝，
∴N（0，），
设直线AN的函数解析式为y＝mx+，
则3m+＝0，
∴m＝﹣，
∴直线AN的函数解析式为y＝﹣x+．
【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式，切线的性质，翻折的性质等知识，熟练掌握各性质求出相应点的坐标是解题的关键．
28．（2022•台州）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x＝6时，y＝2．
（1）求y关于x的函数解析式．
（2）若火焰的像高为3cm，求小孔到蜡烛的距离．
【分析】（1）根据待定法得出反比例函数的解析式即可；
（2）根据解析式代入数值解答即可．
【解析】（1）由题意设：y＝，
把x＝6，y＝2代入，得k＝6×2＝12，
∴y关于x的函数解析式为：y＝；
（2）把y＝3代入y＝，得，x＝4，
∴小孔到蜡烛的距离为4cm．
【点评】此题考查反比例函数的应用，关键是根据待定法得出反比例函数的解析式解答．
29．（2022•苏州）如图，一次函数y＝kx+2（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0，x＞0）的图象交于点A（2，n），与y轴交于点B，与x轴交于点C（﹣4，0）．
（1）求k与m的值；
（2）P（a，0）为x轴上的一动点，当△APB的面积为时，求a的值．
【分析】（1）把点C的坐标代入一次函数的解析式求出k，再求出点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数的解析式中，可得结论；
（2）根据S△CAP＝S△ABP+S△CBP，构建方程求解即可．
【解析】（1）把C（﹣4，0）代入y＝kx+2，得k＝，
∴y＝x+2，
把A（2，n）代入y＝x+2，得n＝3，
∴A（2，3），
把A（2，3）代入y＝，得m＝6，
∴k＝，m＝6；
（2）当x＝0时，y＝2，
∴B（0，2），
∵P（a，0）为x轴上的动点，
∴PC＝|a+4|，
∴S△CBP＝•PC•OB＝×|a+4×2＝|a+4|，S△CAP＝PC•yA＝×|a+4|×3，
∵S△CAP＝S△ABP+S△CBP，
∴|a+4|＝+|a+4|，
∴a＝3或﹣11．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数构建方程解决问题．
30．（2022•眉山）已知直线y＝x与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点M（2，a）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图，将直线y＝x向上平移b个单位后与y＝的图象交于点A（1，m）和点B（n，﹣1），求b的值；
（3）在（2）的条件下，设直线AB与x轴、y轴分别交于点C，D，求证：△AOD≌△BOC．
【分析】（1）先根据一次函数求出M点坐标，再代入反比例函数计算即可；
（2）先求出A的点坐标，再代入平移后的一次函数解析式计算即可；
（3）过点A作AE⊥y轴于点E，过B点作BF⊥x轴于点F，即可根据A、B坐标证明△AOE≌△BOF（SAS），得到∠AOE＝∠BOF，OA＝OB，再求出C、D坐标即可得到OC＝OD，即可证明△AOD≌△BOC．
【解答】（1）解：∵直线y＝x过点M（2，a），
∴a＝2，
∴将M（2，2）代入中，得k＝4，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：由（1）知，反比例函数的解析式为，
∵点A（1，m）在的图象上，
∴m＝4，
∴A（1，4），
由平移得，平移后直线AB的解析式为y＝x+b，
将A（1，4）代入y＝x+b中，得b＝3；
（3）证明：如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过B点作BF⊥x轴于点F．
由（1）知，反比例函数的解析式为，
∵点A（n，﹣1）在的图象上，
∴n＝﹣4，
∴B（﹣4，﹣1），
∵A（1，4），
∴AE＝BF，OE＝OF，
∴∠AEO＝∠BFO，
∴△AOE≌△BOF（SAS），
∴∠AOE＝∠BOF，OA＝OB，
由（2）知，b＝3，
∴平移后直线AB的解析式为y＝x+3，
又∵直线y＝x+3与x轴、y轴分别交于点C，D，
∴C（﹣3，0），D（0，3），
∴OC＝OD，
在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS）．
【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定与性质，熟练根据坐标找线段关系是解题的关键．
31．（2022•乐山）如图，已知直线l：y＝x+4与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点A（﹣1，n），直线l′经过点A，且与l关于直线x＝﹣1对称．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）将A点坐标代入直线l解析式，求出n的值，确定A点坐标，再代入反比例函数解析式即可；
（2）通过已知条件求出直线l′解析式，用△BOC的面积﹣△ACD的面积解答即可．
【解析】∵点A（﹣1，n）在直线l：y＝x+4上，
∴n＝﹣1+4＝3，
∴A（﹣1，3），
∵点A在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，
∴k＝﹣3，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）易知直线l：y＝x+4与x、y轴的交点分别为B（﹣4，0），C（0，4），
∵直线l′经过点A，且与l关于直线x＝﹣1对称，
∴直线l′与x轴的交点为E（2，0），
设l′：y＝kx+b，则，
解得：，
∴l′：y＝﹣x+2，
∴l′与y轴的交点为D（0，2），
∴阴影部分的面积＝△BOC的面积﹣△ACD的面积＝×4×4﹣×2×1＝7．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，正确地求得反比例函数的解析式是解题的关键．
32．（2022•衡阳）如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx+b的图象相交于A（3，1），B（﹣1，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）设直线AB交y轴于点C，点M，N分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形OCNM是平行四边形，求点M的坐标．
【分析】（1）把A（3，1）代入y＝可得m＝3，即得反比例函数关系式为y＝，从而B（﹣1，﹣3），将A（3，1），B（﹣1，﹣3）代入y＝kx+b即可得一次函数的关系式为y＝x﹣2；
（2）在y＝x﹣2中得C（0，﹣2），设M（m，），N（n，n﹣2），而O（0，0），由CM、ON中点重合列方程组可得M（，）或M（﹣，﹣）．
【解析】（1）把A（3，1）代入y＝得：
1＝，
∴m＝3，
∴反比例函数关系式为y＝；
把B（﹣1，n）代入y＝得：
n＝＝﹣3，
∴B（﹣1，﹣3），
将A（3，1），B（﹣1，﹣3）代入y＝kx+b得：
，
解得，
∴一次函数的关系式为y＝x﹣2；
答：反比例函数关系式为y＝，一次函数的关系式为y＝x﹣2；
（2）在y＝x﹣2中，令x＝0得y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
设M（m，），N（n，n﹣2），而O（0，0），
∵四边形OCNM是平行四边形，
∴CM、ON的中点重合，
，
解得或，
∴M（，）或（﹣，﹣）；
【点评】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，平行四边形性质及应用等，解题的关键是熟练掌握待定系数法，能根据平行四边形对角线互相平分列方程组解决问题．
33．（2022•株洲）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在函数y1＝（x＜0）、y2＝（x＞0，k＞0）的图象上，点C在第二象限内，AC⊥x轴于点P，BC⊥y轴于点Q，连接AB、PQ，已知点A的纵坐标为﹣2．
（1）求点A的横坐标；
（2）记四边形APQB的面积为S，若点B的横坐标为2，试用含k的代数式表示S．
【分析】（1）把y＝﹣2代入y1＝（x＜0）即可求得；
（2）求得B（2，），即可得到PC＝OQ＝∴AC＝2+，BC＝1+2＝3，然后根据S＝S△ABC﹣S△PQC即可得到结论．
【解析】（1）∵点A在函数y1＝（x＜0）的图象上，点A的纵坐标为﹣2，
∴﹣2＝，解得x＝﹣1，
∴点A的横坐标为﹣1；
（2）∵点B在函数y2＝（x＞0，k＞0）的图象上，点B的横坐标为2，
∴B（2，），
∴PC＝OQ＝，BQ＝2，
∵A（﹣1，﹣2），
∴OP＝CQ＝1，AP＝2，
∴AC＝2+，BC＝1+2＝3，
∴S＝S△ABC﹣S△PQC＝AC•BC﹣PC•CQ＝﹣×1＝3+k．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，表示出线段的长度是解题的关键．
34．（2022•宁波）如图，正比例函数y＝﹣x的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象都经过点A（a，2）．
（1）求点A的坐标和反比例函数表达式．
（2）若点P（m，n）在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，请根据图象直接写出n的取值范围．
【分析】（1）把点A的坐标代入一次函数关系式可求出a的值，再代入反比例函数关系式确定k的值，进而得出答案；
（2）确定m的取值范围，再根据反比例函数关系式得出n的取值范围即可．
【解析】（1）把A（a，2）的坐标代入y＝x，即2＝﹣a，
解得a＝﹣3，
∴A（﹣3，2），
又∵点A（﹣3，2）是反比例函数y＝的图象上，
∴k＝﹣3×2＝﹣6，
∴反比例函数的关系式为y＝﹣；
（2）∵点P（m，n）在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，
∴﹣3＜m＜0或0＜m＜3，
当m＝﹣3时，n＝＝2，当m＝3时，n＝＝2，
由图象可知，
若点P（m，n）在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，n的取值范围为n＞2或n＜﹣2．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数与一次函数的图象交点坐标，把点的坐标代入相应的函数关系式求出待定系数是求函数关系式的常用方法．
35．（2022•杭州）设函数y1＝，函数y2＝k2x+b（k1，k2，b是常数，k1≠0，k2≠0）．
（1）若函数y1和函数y2的图象交于点A（1，m），点B（3，1），
①求函数y1，y2的表达式；
②当2＜x＜3时，比较y1与y2的大小（直接写出结果）．
（2）若点C（2，n）在函数y1的图象上，点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D，点D恰好落在函数y1的图象上，求n的值．
【分析】（1）①利用待定系数法求函数解析式；
②利用函数图象分析比较；
（2）根据平移确定点D的坐标，然后利用函数图象上点的坐标特征代入求解．
【解析】（1）把点B（3，1）代入y1＝，
3＝，
解得：k1＝3，
∴函数y1的表达式为y1＝，
把点A（1，m）代入y1＝，解得m＝3，
把点A（1，3），点B（3，1）代入y2＝k2x+b，
，
解得，
∴函数y2的表达式为y2＝﹣x+4；
（2）如图，
当2＜x＜3时，y1＜y2；
（3）由平移，可得点D坐标为（﹣2，n﹣2），
∴﹣2（n﹣2）＝2n，
解得：n＝1，
∴n的值为1．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数，理解反比例函数和一次函数的图象性质，掌握待定系数法求函数解析式，利用数形结合思想解题是关键．
36．（2022•泰安）如图，点A在第一象限，AC⊥x轴，垂足为C，OA＝2，tanA＝，反比例函数y＝的图象经过OA的中点B，与AC交于点D．
（1）求k值；
（2）求△OBD的面积．
【分析】（1）先根据tanA＝，可得AC＝2OC，根据OA＝2，由此可得A的坐标，由B是OA的中点，可得点B的坐标，从而得k的值；
（2）先求点D的坐标，根据面积差可得结论．
【解析】（1）∵∠ACO＝90°，tanA＝，
∴AC＝2OC，
∵OA＝2，
由勾股定理得：（2）2＝OC2+（2OC）2，
∴OC＝2，AC＝4，
∴A（2，4），
∵B是OA的中点，
∴B（1，2），
∴k＝1×2＝2；
（2）当x＝2时，y＝1，
∴D（2，1），
∴AD＝4﹣1＝3，
∵S△OBD＝S△OAD﹣S△ABD
＝×3×2﹣×3×1
＝1.5．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的特征，三角形面积，中点坐标公式，解题的关键是根据待定系数法求出反比例函数的解析式，本题属于中等题型．
37．（2022•温州）已知反比例函数y＝（k≠0）的图象的一支如图所示，它经过点（3，﹣2）．
（1）求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支．
（2）求当y≤5，且y≠0时自变量x的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式，利用描点法补充函数图象；
（2）利用数形结合思想确定关键点，从而求得相应的自变量的取值范围．
【解析】（1）把点（3，﹣2）代入y＝（k≠0），
﹣2＝，
解得：k＝﹣6，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣，
补充其函数图象如下：
（2）当y＝5时，﹣＝5，
解得：x＝﹣，
∴当y≤5，且y≠0时，x≤﹣或x＞0．
【点评】本题考查反比例函数，掌握待定系数法求函数解析式及反比例函数的图象性质，利用数形结合思想解题是关键．
38．（2022•武威）如图，B，C是反比例函数y＝（k≠0）在第一象限图象上的点，过点B的直线y＝x﹣1与x轴交于点A，CD⊥x轴，垂足为D，CD与AB交于点E，OA＝AD，CD＝3．
（1）求此反比例函数的表达式；
（2）求△BCE的面积．
【分析】（1）根据直线y＝x﹣1求出点A坐标，进而确定OA，AD的值，再确定点C的坐标，代入反比例函数的关系式即可；
（2）求出点E坐标，进而求出EC，再求出一次函数与反比例函数在第一象限的交点B的坐标，由三角形的面积的计算方法进行计算即可．
【解析】（1）当y＝0时，即x﹣1＝0，
∴x＝1，
即直线y＝x﹣1与x轴交于点A的坐标为（1，0），
∴OA＝1＝AD，
又∵CD＝3，
∴点C的坐标为（2，3），
而点C（2，3）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝2×3＝6，
∴反比例函数的图象为y＝；
（2）方程组的正数解为，
∴点B的坐标为（3，2），
当x＝2时，y＝2﹣1＝1，
∴点E的坐标为（2，1），即DE＝1，
∴EC＝3﹣1＝2，
∴S△BCE＝×2×（3﹣2）＝1，
答：△BCE的面积为1．
【点评】本题考查反比例函数、一次函数交点坐标以及待定系数法求函数关系式，将一次函数、反比例函数的关系式联立方程组是求出交点坐标的基本方法，将点的坐标转化为线段的长是正确解答的关键．
39．（2022•江西）如图，点A（m，4）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在y轴上，OB＝2，将线段AB向右下方平移，得到线段CD，此时点C落在反比例函数的图象上，点D落在x轴正半轴上，且OD＝1．
（1）点B的坐标为 （0，2） ，点D的坐标为 （1，0） ，点C的坐标为 （m+1，2） （用含m的式子表示）；
（2）求k的值和直线AC的表达式．
【分析】（1）根据OB＝2可得点B的坐标，根据OD＝1可得点D的坐标为（1，0），由平移规律可得点C的坐标；
（2）根据点C和D的坐标列方程可得m的值，从而得k的值，再利用待定系数法可得直线AC的解析式．
【解析】（1）由题意得：B（0，2），D（1，0），
由平移可知：线段AB向下平移2个单位，再向右平移1个单位，
∵点A（m，4），
∴C（m+1，2），
故答案为：（0，2），（1，0），（m+1，2）；
（2）∵点A和点C在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝4m＝2（m+1），
∴m＝1，
∴A（1，4），C（2，2），
∴k＝1×4＝4，
设直线AC的表达式为：y＝nx+b，
，
解得：，
∴直线AC的表达式为：y＝﹣2x+6．
【点评】此题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用以及平移的性质，根据OB和OD的长得出平移的规律是解题关键．
40．（2022•金华）如图，点A在第一象限内，AB⊥x轴于点B，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象分别交AO，AB于点C，D．已知点C的坐标为（2，2），BD＝1．
（1）求k的值及点D的坐标．
（2）已知点P在该反比例函数图象上，且在△ABO的内部（包括边界），直接写出点P的横坐标x的取值范围．
【分析】（1）根据点C（2，2）在反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象上，可以求得k的值，再把y＝1代入函数解析式，即可得到点D的坐标；
（2）根据题意和点C、D的坐标，可以直接写出点P的横坐标的取值范围．
【解析】（1）∵点C（2，2）在反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象上，
∴2＝，
解得k＝4，
∵BD＝1．
∴点D的纵坐标为1，
∵点D在反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象上，
∴1＝，
解得x＝4，
即点D的坐标为（4，1）；
（2）∵点C（2，2），点D（4，1），点P在该反比例函数图象上，且在△ABO的内部（包括边界），
∴点P的横坐标x的取值范围是2≤x≤4．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出k的值．
41．（2022•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于P、Q两点．点P（﹣4，3），点Q的纵坐标为﹣2．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）求△POQ的面积．
【分析】（1）把P的坐标代入y＝，利用待定系数法即可求得反比例函数解析式，进而求出Q的坐标，把P、Q的坐标代入一次函数的解析式求出即可；
（2）根据三角形面积和可得结论．
【解析】（1）将点P（﹣4，3）代入反比例函数y＝中，解得：k＝﹣4×3＝﹣12，
∴反比例函数的表达式为：y＝﹣；
当y＝﹣2时，﹣2＝﹣，
∴x＝6，
∴Q（6，﹣2），
将点P（﹣4，3）和Q（6，﹣2）代入y＝ax+b中得：，
解得：，
∴一次函数的表达式为：y＝﹣x+1；
（2）如图，
y＝﹣x+1，
当x＝0时，y＝1，
∴OM＝1，
∴S△POQ＝S△POM+S△OMQ
＝×1×4+×1×6
＝2+3
＝5．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式的应用，三角形的面积，求得OM的长是解题的关键．
42．（2022•达州）如图，一次函数y＝x+1与反比例函数y＝的图象相交于A（m，2），B两点，分别连接OA，OB．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）求出点A的坐标，利用待定系数法求解即可；
（2）解方程组求出点B的坐标，利用割补法求三角形的面积；
（3）有三种情形，画出图形可得结论．
【解析】（1）∵一次函数y＝x+1经过点A（m，2），
∴m+1＝2，
∴m＝1，
∴A（1，2），
∵反比例函数y＝经过点（1，2），
∴k＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）由题意，得，
解得或，
∴B（﹣2，﹣1），
∵C（0，1），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×1×2+×1×1＝1.5；
（3）有三种情形，如图所示，满足条件的点P的坐标为（﹣3，﹣3）或（﹣1，1）或（3，3）．
【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，待定系数法，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握待定系数法，学会构建方程组确定交点坐标，属于中考常考题型．
43．（2022•重庆）反比例函数y＝的图象如图所示，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y＝的图象交于A（m，4），B（﹣2，n）两点．
（1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）观察图象，直接写出不等式kx+b＜的解集；
（3）一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点C，连接OA，求△OAC的面积．
【分析】（1）将A，B两坐标先代入反比例函数求出m，n，然后由待定系数法求函数解析式．
（2）根据直线在曲线下方时x的取值范围求解．
（3）由直线解析式求得C点的坐标，然后根据三角形面积公式即可求解．
【解析】（1）∵（m，4），（﹣2，n）在反比例函数y＝的图象上，
∴4m＝﹣2n＝4，
解得m＝1，n＝﹣2，
∴A（1，4），B（﹣2，﹣2），
把（1，4），（﹣2，﹣2）代入y＝kx+b中得，
解得，
∴一次函数解析式为y＝2x+2．
画出函数y＝2x+2图象如图；
（2）由图象可得当0＜x＜1或x＜﹣2时，直线y＝﹣2x+6在反比例函数y＝图象下方，
∴kx+b＜的解集为x＜﹣2或0＜x＜1．
（3）把y＝0代入y＝2x+2得0＝2x+2，
解得x＝﹣1，
∴点C坐标为（﹣1，0），
∴S△AOC＝＝2．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握函数与方程及不等式的关系．
44．（2022•南充）如图，直线AB与双曲线交于A（1，6），B（m，﹣2）两点，直线BO与双曲线在第一象限交于点C，连接AC．
（1）求直线AB与双曲线的解析式．
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据点A的坐标可以求得双曲线的解析式，然后即可求得点B的坐标，再用待定系数法即可求得直线AB的解析式；
（2）先求出直线BO的解析式，然后求出点C的坐标，再用割补法即可求得△ABC的面积．
【解析】（1）设双曲线的解析式为y＝，
∵点A（1，6）在该双曲线上，
∴6＝，
解得k＝6，
∴y＝，
∵B（m，﹣2）在双曲线y＝上，
∴﹣2＝，
解得m＝﹣3，
设直线AB的函数解析式为y＝ax+b，
，
解得，
即直线AB的解析式为y＝2x+4；
（2）作BG∥x轴，FG∥y轴，FG和BG交于点G，作BE∥y轴，FA∥x轴，BE和FA交于点E，如右图所示，
直线BO的解析式为y＝ax，
∵点B（﹣3，﹣2），
∴﹣2＝﹣3a，
解得a＝，
∴直线BO的解析式为y＝x，
，
解得或，
∴点C的坐标为（3，2），
∵点A（1，6），B（﹣3，﹣2），C（3，2），
∴EB＝8，BG＝6，CG＝4，CF＝4，AF＝2，AE＝4，
∴S△ABC＝S矩形EBGF﹣S△AEB﹣S△BGC﹣S△AFC
＝8×6﹣﹣﹣
＝48﹣16﹣12﹣4
＝16．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
45．（2022•重庆）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝的图象相交于点A（1，m），B（n，﹣2）．
（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
（2）根据函数图象，直接写出不等式kx+b＞的解集；
（3）若点C是点B关于y轴的对称点，连接AC，BC，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据反比例函数解析式求出A点和B点的坐标，然后用待定系数法求出一次函数的表达式即可；
（2）根据图象直接得出不等式的解集即可；
（3）根据对称求出C点坐标，根据A点、B点和C点坐标确定三角形的底和高，进而求出三角形的面积即可．
【解析】（1）∵反比例函数y＝的图象过点A（1，m），B（n，﹣2），
∴，n＝，
解得m＝4，n＝﹣2，
∴A（1，4），B（﹣2，﹣2），
∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过A点和B点，
∴，
解得，
∴一次函数的表达式为y＝2x+2，
描点作图如下：
（2）由（1）中的图象可得，
不等式kx+b＞的解集为：﹣2＜x＜0或x＞1；
（3）由题意作图如下：
由图知△ABC中BC边上的高为6，BC＝4，
∴S△ABC＝＝12．
【点评】本题主要考查反比例函数和一次函数交点的问题，熟练掌握反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，三角形面积公式等知识是解题的关键．
46．（2022•德阳）如图，一次函数y＝﹣x+1与反比例函数y＝的图象在第二象限交于点A，且点A的横坐标为﹣2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点B的坐标是（﹣3，0），若点P在y轴上，且△AOP的面积与△AOB的面积相等，求点P的坐标．
【分析】（1）首先确定点A的坐标，再利用待定系数法求出k即可；
（2）设P（0，m），构建方程求解．
【解答】解（1）∵一次函数y＝﹣x+1与反比例函数y＝的图象在第二象限交于点A，点A的横坐标为﹣2，
当x＝﹣2时，y＝﹣×（﹣2）+1＝4，
∴A（﹣2，4），
∴4＝，
∴k＝﹣8，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣；
（2）设P（0，m），
∵△AOP的面积与△AOB的面积相等，
∴×|m|×2＝×3×4，
∴m＝±6，
∴P（0，6）或（0，﹣6）．
【点评】本题考查反比例函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是掌握待定系数法，属于中考常考题型．
47．（2022•泸州）如图，直线y＝﹣x+b与反比例函数y＝的图象相交于点A，B，已知点A的纵坐标为6．
（1）求b的值；
（2）若点C是x轴上一点，且△ABC的面积为3，求点C的坐标．
【分析】（1）先求出点A坐标，代入解析式可求解；
（2）先求出点D坐标，由面积的和差关系可求CD＝2，即可求解．
【解析】（1）∵点A在反比例函数y＝上，且A的纵坐标为6，
∴点A（2，6），
∵直线y＝﹣x+b经过点A，
∴6＝﹣×2+b，
∴b＝9；
（2）如图，设直线AB与x轴的交点为D，
设点C（a，0），
∵直线AB与x轴的交点为D，
∴点D（6，0），
由题意可得：，
∴，，
∴点B（4，3），
∵S△ACB＝S△ACD﹣S△BCD，
∴3＝×CD×（6﹣3），
∴CD＝2，
∴点C（4，0）或（8，0）．
【点评】本题是反比例函数综合题，考查一次函数的应用、反比例函数的应用等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会分割法求三角形的面积．
48．（2022•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+6的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（a，4），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）过点A作直线AC，交反比例函数图象于另一点C，连接BC，当线段AC被y轴分成长度比为1：2的两部分时，求BC的长；
（3）我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设P是第三象限内的反比例函数图象上一点，Q是平面内一点，当四边形ABPQ是完美筝形时，求P，Q两点的坐标．
【分析】（1）将点A坐标分别代入一次函数解析式和反比例函数解析式可求解；
（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质和勾股定理可求解；
（3）分别求出BP，AP，BQ的解析式，联立方程组可求解．
【解析】（1）∵一次函数y＝﹣2x+6的图象过点A，
∴4＝﹣2a+6，
∴a＝1，
∴点A（1，4），
∵反比例函数y＝的图象过点A（1，4），
∴k＝1×4＝4；
∴反比例函数的解析式为：y＝，
联立方程组可得：，
解得：，，
∴点B（2，2）；
（2）如图，过点A作AE⊥y轴于E，过点C作CF⊥y轴于F，
∴AE∥CF，
∴△AEH∽△CFH，
∴，
当＝时，则CF＝2AE＝2，
∴点C（﹣2，﹣2），
∴BC＝＝4，
当＝2时，则CF＝AE＝，
∴点C（﹣，﹣8），
∴BC＝＝，
综上所述：BC的长为4或；
（3）如图，当∠AQP＝∠ABP＝90°时，设直线AB与y轴交于点E，过点B作BF⊥y轴于F，设BP与y轴的交点为N，连接BQ，AP交于点H，
∵直线y＝﹣2x+6与y轴交于点E，
∴点E（0，6），
∵点B（2，2），
∴BF＝OF＝2，
∴EF＝4，
∵∠ABP＝90°，
∴∠ABF+∠FBN＝90°＝∠ABF+∠BEF，
∴∠BEF＝∠FBN，
又∵∠EFB＝∠ABN＝90°，
∴△EBF∽△BNF，
∴，
∴FN＝＝1，
∴点N（0，1），
∴直线BN的解析式为：y＝x+1，
联立方程组得：，
解得：，，
∴点P（﹣4，﹣1），
∴直线AP的解析式为：y＝x+3，
∵AP垂直平分BQ，
∴设BQ的解析式为y＝﹣x+4，
∴x+3＝﹣x+4，
∴x＝，
∴点H（，），
∵点H是BQ的中点，点B（2，2），
∴点Q（﹣1，5）．
【点评】本题是反比例函数综合题，考查了一次函数的应用，反比例函数的应用，相似三角形的判定和性质，待定系数法等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
49．（2022•遂宁）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如（﹣1，1），（2022，﹣2022）都是“黎点”．
（1）求双曲线y＝上的“黎点”；
（2）若抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当a＞1时，求c的取值范围．
【分析】（1）设双曲线y＝上的“黎点”为（m，﹣m），构建方程求解即可；
（2）抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，推出方程ax2﹣7x+c＝﹣x有且只有一个解，即ax2﹣6x+c＝0，Δ＝36﹣4ac＝0，可得结论．
【解析】（1）设双曲线y＝上的“黎点”为（m，﹣m），
则有﹣m＝，
∴m＝±3，
经检验，m＝±3的分式方程放解，
∴双曲线y＝上的“黎点”为（3，﹣3）或（﹣3，3）；
（2）∵抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，
∴方程ax2﹣7x+c＝﹣x有且只有一个解，
即ax2﹣6x+c＝0，Δ＝36﹣4ac＝0，
∴ac＝9，
∴a＝，
∵a＞1，
∴0＜c＜9．
【点评】本题考查反比例函数图象上的点特征，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．
50．（2022•遂宁）已知一次函数y1＝ax﹣1（a为常数）与x轴交于点A，与反比例函数y2＝交于B、C两点，B点的横坐标为﹣2．
（1）求出一次函数的解析式并在图中画出它的图象；
（2）求出点C的坐标，并根据图象写出当y1＜y2时对应自变量x的取值范围；
（3）若点B与点D关于原点成中心对称，求出△ACD的面积．
【分析】（1）根据B点的横坐标为﹣2且在反比例函数y2＝的图象上，可以求得点B的坐标，然后代入一次函数解析式，即可得到一次函数的解析式，再画出相应的图象即可；
（2）将两个函数解析式联立方程组，即可求得点C的坐标，然后再观察图象，即可写出当y1＜y2时对应自变量x的取值范围；
（3）根据点B与点D关于原点成中心对称，可以写出点D的坐标，然后点A、D、C的坐标，即可计算出△ACD的面积．
【解析】（1）∵B点的横坐标为﹣2且在反比例函数y2＝的图象上，
∴y2＝＝﹣3，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣3），
∵点B（﹣2，﹣3）在一次函数y1＝ax﹣1的图象上，
∴﹣3＝a×（﹣2）﹣1，
解得a＝1，
∴一次函数的解析式为y＝x﹣1，
∵y＝x﹣1，
∴x＝0时，y＝﹣1；x＝1时，y＝0；
∴图象过点（0，﹣1），（1，0），
函数图象如右图所示；
（2），
解得或，
∵一次函数y1＝ax﹣1（a为常数）与反比例函数y2＝交于B、C两点，B点的横坐标为﹣2，
∴点C的坐标为（3，2），
由图象可得，当y1＜y2时对应自变量x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜3；
（3）∵点B（﹣2，﹣3）与点D关于原点成中心对称，
∴点D（2，3），
作DE⊥x轴交AC于点E，
将x＝2代入y＝x﹣1，得y＝1，
∴S△ACD＝S△ADE+S△DEC＝＝2，
即△ACD的面积是2．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
51．（2022•自贡）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，2），B（m，﹣1）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）过点B作直线l∥y轴，过点A作AD⊥l于点D，点C是直线l上一动点，若DC＝2DA，求点C的坐标．
【分析】（1）先把A（﹣1，2）代入反比例函数y＝求出n的值即可得出其函数解析式，再把B（m，﹣1）代入反比例函数的解析式即可得出m的值，把A，B两点的坐标代入一次函数y＝kx+b，求出k、b的值即可得出其解析式；
（2）根据已知确定AD的长和点D的坐标，由DC＝2AD可得DC＝6，从而得点C的坐标．
【解析】（1）∵A（﹣1，2）在反比例函数y＝的图象上，
∴n＝2×（﹣1）＝﹣2，
∴其函数解析式为y＝﹣；
∵B（m，﹣1）在反比例函数的图象上，
∴﹣m＝﹣2，
∴m＝2，
∴B（2，﹣1）．
∵A（﹣1，2），B（2，﹣1）两点在一次函数y＝kx+b的图象上，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为：y＝﹣x+1；
（2）∵直线l∥y轴，AD⊥l，
∴AD＝3，D（2，2），
∵DC＝2DA，
∴DC＝6，
∵点C是直线l上一动点，
∴C（2，8）或（2，﹣4）．
【点评】本题是反比例的综合题，考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，在解答此题时要注意数形结合思想的运用．
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