微专题01 平面直角坐标系面积问题通关专练-2025-2026学年七年级数学下册重难考点强化训练（人教版2024）(原卷版+解析版）

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微专题01 平面直角坐标系面积问题通关专练 一、单选题1．在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点A(2,−a−1)，点B(2,−a+3)，C(−2,−a−1)，则△ABC的面积是（    ）A．9B．8C．7D．6【答案】B【知识点】坐标与图形【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形面积，根据点的坐标得出点A与点B的横坐标相同，点A与点C的纵坐标相同，是解题的关键．先根据点的坐标可得点A与点B的横坐标相同，点A与点C的纵坐标相同，即有AB∥y轴，AC∥x轴，进而可得AB=−a+3−−a−1=4，AC=2−−2=4，且AB⊥AC，问题随之得解．【详解】解：∵A2,−a−1，B2,−a+3，C−2,−a−1，∴点A与点B的横坐标相同，点A与点C的纵坐标相同，∴AB∥y轴，AC∥x轴，∴AB=−a+3−−a−1=4，AC=2−−2=4，且AB⊥AC，∴S△ABC=12AB⋅AC=12×4×4=8，故选：B．2．在平面直角坐标系中，已知点Am−4,m+2，Bm−4,m，Cm,0，D2,0，已知三角形ABD的面积是三角形ABC面积的2倍，则m的值为（    ）A．−14B．2C．−14或2D．14或−2【答案】D【知识点】坐标与图形【分析】本题考查三角形的面积，坐标与图形，熟练掌握坐标与图形的性质是解题的关键．根据三角形的面积关系列出方程解题即可．先根据点A、B的横坐标相等得出AB∥y轴以及AB的长，再根据三角形面积之间的关系得出关于m的方程求解即可．【详解】解：∵三角形ABD的面积是三角形ABC面积的2倍，∴12×(m+2−m)⋅|m−4−2|=12×(m+2−m)⋅|m−4−m|×2，解得：m=14或m=−2，故选D．3．如图在平面直角坐标系中，点A2,3，点B−3,−2，点C4,−3，则三角形ABC的面积是（    ）A．19B．20C．21D．21.5【答案】B【知识点】坐标与图形【分析】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质．过点A作DE∥x轴，过点B作EF∥y轴，过点C作CD∥y轴，过点C作CF∥x轴，根据题意可得AD=2,CD=6,AE=5,BE=5,BF=1,CF=7，即可求解．【详解】解：如图，过点A作DE∥x轴，过点B作EF∥y轴，过点C作CD∥y轴，过点C作CF∥x轴，∵点A2,3，点B−3,−2，点C4,−3，∴AD=2,CD=6,AE=5,BE=5,BF=1,CF=7，∴三角形ABC的面积是：6×7−12×2×6−12×5×5−12×17=42−6−252−72=20．故选：B4．已知点A1,0，B0,2，点P在x轴上，且三角形PAB的面积是3，则点P的坐标是（   ）A．0，−4B．−2，0C．0，−4或0,8D．4，0或−2，0【答案】D【知识点】坐标与图形【分析】根据三角形的面积求出AP的长，再分点P在点A的左边与右边两种情况讨论求解．【详解】解：∵点B(0,2)，∴S△PAB=12AP×2=3，解得AP=3，若点P在点A的左边，则OP=AP−OA=3−1=2，此时，点P的坐标为(−2,0)，若点P在点A的右边，则OP=AP+OA=3+1=4，此时，点P的坐标为(4,0)，综上所述，点P的坐标为(4,0)或(−2,0)，故选：D．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．5．已知两点A−7，2和B6，2，下列说法正确的有（    ）个①直线AB∥y轴；        ②A、B两点间的距离AB=13③三角形ABO的面积S△ABO=13    ④线段AB的中点坐标是−12，2A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【知识点】坐标与图形、两点间的距离、线段中点的有关计算【分析】根据两点A−7，2和B6，2的纵坐标都是2，则直线AB∥x轴，即可判断①；那么A、B两点间的距离AB=6−−7=13，即可判断②；那么S△ABO=12×AB×2，即可判断③；线段AB的中点坐标是6+−72，2+22，化简即可判断④．【详解】解：∵两点A−7，2和B6，2的纵坐标都是2，∴直线AB∥x轴，故①是错误的；∵两点A−7，2和B6，2的横坐标分别是−7和6，且直线AB∥x轴，∴A、B两点间的距离AB=6−−7=13，故②是正确的；∴S△ABO=12×AB×2=12×13×2=13，故③是正确的；∵6+−72=−12，2+22=2∴线段AB的中点坐标是−12，2，故④是正确的；正确的是②③④，故选：C．【点睛】本题考查了坐标与图形，涉及坐标点以及坐标点构成的线段中点，三角形面积为底×高的一半；正确掌握相关性质内容是解题的关键．6．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右、向上、向右、向下的方向依次不断移动，每次移动1m，其行走路线如图所示，第1次移动到点A1，第2次移动到点A2……第n次移动到点An，则△OA2A2026的面积是（    ）  A．505m²B．10112m2C．506m²D．1012m²【答案】C【知识点】点坐标规律探索【分析】确定从A2到A2026水平移动的距离即可求解．【详解】解：由图可知：从A2到A6需要移动的次数为：6−2=4=4×1水平移动的距离为：2×1=2（m）从A2到A10需要移动的次数为：10−2=8=4×2水平移动的距离为：2×2=4（m）…依此类推：从A2到A2026需要移动的次数为：2026−2=2024=4×506水平移动的距离为：2×506=1012（m）∴△OA2A2026的面积为：12×1×1012=506m2 故选：C【点睛】本题考查规律题．根据题意确定一般规律是解题关键．7．如图所示，在平面直角 坐标系中，点A、B分别是坐标轴上的点，将△OAB沿x轴正方向平移83个单位长度得到△FDE，若A0,3，OG=13OA，则四边形ABEG的面积是（　　）A．83B．4C．163D．323【答案】C【知识点】坐标与图形、利用平移的性质求解【分析】根据平移的性质，求出DF=3,OG=1,OF=BE=83，四边形ABEG的面积等于四边形DFOG的面积，求出四边形DFOG的面积是163，即可的答案．【详解】解：∵ △OAB沿x轴正方向平移83个单位长度得到△FDE，∴△OAB≌△FDE，∴四边形ABEG的面积等于四边形DFOG的面积，∵A(0,3)，OG=13OA，∴DF=3,OG=1,OF=BE=83， ∵四边形DFOG的面积=1+3×83×12=163，∴四边形ABEG的面积是163，故选：C．【点睛】本题考查了平移的性质，解题的关键是求出四边形DFOG的面积．8．如图，A−2,0、B0,3、C2,4、D3,0，点P在x轴上，直线CP将四边形ABCD面积分成1:2两部分，求OP的长度（    ）．A．54B．1C．12D．54或12【答案】B【知识点】坐标与图形、与三角形的高有关的计算问题【分析】用分割法求出四边形的面积，分类讨论求出△PDC的面积，再求出PD的值，进而可得OP的值．【详解】解：作CE⊥x轴于点P，∵A−2,0、B0,3、C2,4、D3,0，∴OA=2,OB=3,OE=2,CE=4,OD=3,DE=1，∴S△ABO=12OA⋅OB=12×2×3=3，S梯形OECB=12(OB+CE)⋅OE=12×(3+4)×2=7，S△EDC=12ED⋅CE=12×1×4=2，S△PCD=12PD⋅CE=12PD×4=2PD，∴S四边形ABCD=S△ABO+S梯形OECB+S△EDC=3+7+2=12，∴S△PCD:S四边形ABCD=2PD:12=PD:6，①当S△PCD:S四边形ABCP=1:2即S△PCD:S四边形ABCD=1:3时，即PD:6=1:3，解得：PD=2，∴OP=3−1=1；②当S四边形ABCP:S△PCD=1:2即S△PCD:S四边形ABCD=2:3时，即PD:6=2:3，解得：PD=4,，∴OP=4−3=1；综上可知OP=1．故选：B．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，三角形的面积，根据坐标与图形的性质，用分割法求出不规则图形的面积，分类讨论是解本题的关键．9．平面直角坐标系中，已知A（2，4），B（-3．-2），C（x，-2）三点，其中x≠-3．当线段AC最短时，△ABC的面积是（   ）A．30B．15C．10D．152【答案】B【知识点】坐标与图形、垂线段最短【分析】根据C点坐标可知C点在直线y=-2上，当AC⊥BC时，线段AC最短，此时可知C点坐标为(2,-2)，则可求出AC=6，BC=5，则△ABC的面积可求．【详解】∵C点坐标(x,-2)，∴C点在直线y=-2上，∴B点坐标(-3,-2)，∵B点在直线y=-2上，根据垂线段最短可知，当AC⊥BC时，线段AC最短，∵A点坐标(2,4)，AC⊥BC，∴C点横坐标与A点横坐标相等，即为2，∴C点坐标(2,-2)，∴AC=4-(-2)=6，BC=2-(-3)=5，∵AC⊥BC，∴△ABC的面积为：6×5÷2=15，故选：B．【点睛】本题考查了直角坐标系中坐标的特点、垂线段最短等知识，根据C点坐标判断出C点在直线y=-2上，是解答本题的关键．10．如图在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为A(2,3)，B(5,0)，C(4,1)，则△AOC的面积是（    ）A．5B．10C．75D．15【答案】A【知识点】坐标与图形【分析】过点A做AD垂直于x轴，垂足为D，则D(2,0)，过点C做CE垂直于x轴，垂足为E，则E(4,0)，再分别求解AD,CE,OB, 利用△AOC的面积=△ABO的面积−△OCB的面积，从而可得答案．【详解】解：∵ A(2,3)，C(4,1)，过点A做AD垂直于x轴，垂足为D，则D(2,0)，过点C做CE垂直于x轴，垂足为E，则E(4,0)，△AOC的面积=△ABO的面积−△OCB的面积，∵ O(0,0)，A(2,3)，C(4,1)，B(5,0)，∴ AD=3，OB=5，CE=1，∴△ABO的面积=12×OB×AD=12×5×3=152，△OCB的面积=12×OB×CE=12×5×1=52，∴△AOC的面积=152−52=5．故选A．【点睛】本题考查的是坐标与图形，三角形面积的计算，掌握以上知识是解题的关键．二、填空题11．在如图所示的直角坐标系中，四边形ABCD各个顶点的坐标分别是A0,2，B5,5，C8,0，D2,−2，则这个四边形的面积是 ．【答案】31【知识点】坐标与图形【分析】本题主要考查了坐标与图形，过点B作EH∥x轴，过点C作GH∥y轴，过点D作GF∥x轴，然后用大长方形的面积减去四周四个直角三角形的面积，得出答案即可．【详解】解：过点B作EH∥x轴，过点C作GH∥y轴，过点D作GF∥x轴，如图所示：∵四边形ABCD各个顶点的坐标分别是A0,2，B5,5，C8,0，D2,−2，∴E0,5，F0,−2，G8，−2，H8,5，∴AE=5−2=3，AF=2−−2=4，DG=8−2=6，CG=0−−2=2，BH=8−5=3，BE=5，CH=5−0=5，EH=8，GH=5−−2=7，∴S四边形ABCD=S四边形EFGH−S△ABE−S△ADF−S△CDG−S△CBH=7×8−12×3×5−12×4×2−12×6×2−12×5×3=31．故答案为：31．12．已知点A−5,−4，B−2,0，则△ABO的面积是 ．【答案】4【知识点】坐标与图形【分析】本题考查坐标与图形，根据△ABO的面积等于12OB⋅yA，进行求解即可．【详解】解：∵A−5,−4，B−2,0，∴OB=2,yA=4，∴△ABO的面积=12OB⋅yA=12×2×4=4，故答案为：4．13．如图，在平面直角坐标系中，点E8,0，点F0,8，将三角形OEF向下平移2个单位长度得到三角形ABC，BC与x轴交于点G，CO=GO，则阴影部分面积是 ．【答案】14【知识点】坐标与图形、利用平移的性质求解【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，熟练掌握平移的性质是关键．用△EOF的面积减去△COG的面积即可．【详解】解：∵点E8，0，点F0，8，∴OE=OF=8，∵FC=2，CO=GO，∴CO=GO=6，∴阴影部分面积是：SΔEOF−SΔCOG= 12×8×8−12×6×6=14．故答案为：14．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A2,n+2，Bk,n+2，C4,n+4，D2,n+k．则四边形ABCD的面积= （用含有k的式子表示）【答案】2k−4/−4+2k【知识点】坐标与图形【分析】本题主要考查了坐标与图形，延长BA交y轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，延长AD交CF于点H，过点C作CG⊥AG于点G，根据A2,n+2，Bk,n+2，C4,n+4，D2,n+k，得出CH=4−2=2，AH=n+4−n+2=2，DH=n+4−n+k=4−k，BG=4−k，利用割补法求出四边形的面积即可．【详解】解：延长BA交y轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，延长AD交CF于点H，过点C作CG⊥AG于点G，∵A2,n+2，Bk,n+2，C4,n+4，D2,n+k，∴AD∥y轴，AB∥x轴，∴AH∥CG，CH∥EG，∴CH=4−2=2，AH=n+4−n+2=2，DH=n+4−n+k=4−k，BG=4−k，∴四边形ABCD的面积为：2×2−12×2×4−k−12×2×4−k=4−4+k−4+k=2k−4．故答案为：2k−4．15．如图，在平面直角坐标系中，A(0,4),B(−4,5),C(−5,0),D(2,0)，则四边形ABCD的面积是 【答案】24.5【知识点】坐标与图形【分析】该题主要考查了坐标与图形，解题的关键是将四边形ABCD的面积转换成三角形面积．连接OB，根据S四边形ABCD=S△AOB+S△BCO+S△ADO即可求解；【详解】连接OB，∵A(0,4),B(−4,5),C(−5,0),D(2,0)，∴OA=4,OD=2,OC=5，∴S四边形ABCD=S△AOB+S△BCO+S△ADO=12×4×4+12×5×5+12×2×4=24.5，故答案为：24.5．16．已知点A3,0，B0,4，点C在x轴上，且△BOC的面积是△ABC的面积的3倍，那么点C的坐标可以为 ．【答案】92,0或94,0【知识点】坐标与图形【分析】本题主要考查图形与坐标，解题的关键是理解题意；设点Cx,0，则有AC=x−3，OB=4，然后根据△BOC与△ABC的面积关系可进行求解．【详解】解：设点Cx,0，则有AC=x−3，OB=4，OC=x∵△BOC的面积是△ABC的面积的3倍，∴12×4×x=3×12×4×x−3解得：x=92或94，∴点C92,0或94,0；故答案为92,0或94,0．17．在平面直角坐标系中，A−1,0，B3,0，C0,3，则三角形ABC的面积为 ，如果在y轴上存在一点P，使得△PBC的面积与△ABC的面积相等，则点P的坐标为 ．【答案】 6 (0,7)或(0,−1)/0,−1或0,7【知识点】坐标与图形、求直线围成的图形面积【分析】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质，正确进行分类讨论是解题的关键．设点P(0,y)，根据△PBC的面积与△ABC的面积相等，先计算△ABC的面积，然后列出等式计算y即可解答．【详解】解：如图，∵A(−1,0),B(3,0)，∴AB=4，∴△ABC的面积为：12×AB⋅yC=12×4×3=6；设点P(0,y)，∵△PBC的面积与△ABC的面积相等，∴12×|3−y|×3=6，解得y=−1或y=7，∴点P的坐标为：(0,7)或(0,−1)．故答案为：6；(0,7)或(0,−1)．18．如图，在平面直角坐标系中，点A0,2，点B3,0，C点在第四象限，线段BC∥y轴，且BC=4．在第二象限有点Pm,12．（1）点C的坐标为 ；（2）当四边形ABOP的面积与三角形ABC的面积相等时，m的值为 ．【答案】 3,−4 −3【知识点】坐标与图形、写出直角坐标系中点的坐标【分析】本题考查坐标与图形、解一元一次方程．（1）直接根据点C的位置写坐标；（2）根据题中等量关系解关于m的方程即可解答．【详解】解：（1）由图可知，点C的坐标为3,−4，故答案为：3,−4；（2）由图可知，OA=2，OB=3，四边形ABOP的面积为S△AOP+S△AOB =12×2×−m+12×2×3 =−m+3；∵四边形ABOP的面积与三角形ABC的面积相等，∴−m+3=12×4×3，解得：m=−3．故答案为：−3．19．在平面直角坐标系xOy中，已知点At,0，Bt+2,0，M3,4．以点M为圆心，1为半径画圆．点P是圆上的动点，则△ABP的面积的最小值和最大值依次为 ， ．【答案】 3 5【知识点】坐标与图形【分析】首先求出点A和点B在x轴上，且AB=t+2−t=2，然后得到当点P到x轴的距离最小时，△ABP的面积取得最小值，此时点P在点M的正下方，当点P到x轴的距离最大时，△ABP的面积取得最大值，此时点P在点M的正上方，然后利用三角形面积公式求解即可．【详解】∵At,0，Bt+2,0∴点A和点B在x轴上，且AB=t+2−t=2∵以点M为圆心，1为半径画圆．点P是圆上的动点，∴当点P到x轴的距离最小时，△ABP的面积取得最小值，此时点P在点M的正下方，∵M3,4，半径为1，∴此时△ABP的面积=12×2×3=3；当点P到x轴的距离最大时，△ABP的面积取得最大值，此时点P在点M的正上方，∵M3,4，半径为1，∴此时△ABP的面积=12×2×5=5；综上所述，△ABP的面积的最小值和最大值依次为3，5．故答案为：3，5．【点睛】本题主要考查坐标与图形的面积，根据题意判断三角形的面积是解题的关键．20．如图，在平面直角坐标系中，点A（-1，0），B（2，0），C（0，2），点D在坐标轴上，若三角形BCD的面积与三角形ABC的面积相等且点D不与点A重合，则点D的坐标为 ．【答案】（5，0）或（0，5）或（0，-1）【知识点】坐标与图形【分析】分为点D在x轴上和y轴上两种情况，依据三角形的面积公式求解即可．【详解】解：∵点A（-1，0），B（2，0），C（0，2），∴OA=1，OB=2，OC=2，∴S△ABC=12AB×OC=3，当点D在x轴上时，S△BCD=12DB•OC=DB=3．∴D的坐标为（5，0）或（-1，0）；（-1，0）与点A重合，不合题意，舍去，当点D在y轴上时，S△BCD=12CD•OB=CD=3．∴点D的坐标为（0，5）或（0，-1）．综上所述，点D的坐标为（5，0）或（0，5）或（0，-1）．故答案为：（5，0）或（0，5）或（0，-1）．【点睛】本题主要考查的是三角形的面积，坐标与图形的性质，分类讨论是解题的关键．三、解答题21．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A1,3,B2,1,C4,2．(1)在图中画出△ABC关于x轴对称图形△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点坐标．(2)求出△ABC的面积．【答案】(1)作图见详解，A11,−3,B2,−1,C4,−2(2)2.5【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、画轴对称图形、利用网格求三角形面积【分析】本题主要考查平面直角系中图形的变化，掌握轴对称图形的作图及性质，坐标与图形，割补法求面积的知识是解题的关键．（1）根据轴对称图形的性质作图，由坐标与图形的特点可得各点坐标，由此即可求解；（2）根据割补法求三角形面积即可．【详解】（1）解：如图所示，∴△A1B1C1即为所求图形，A11,−3,B2,−1,C4,−2；（2）解：S△ABC=3×2−12×1×2−12×2×1−12×3×1=6−1−1−1.5=2.5．22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶，点坐标分别为A(2,0),B(0,2),C(2,5)．(1)求△ABC的面积S△ABC；(2)若点P为x轴上一点，且S△PAB=2S△ABC，求点P的坐标．【答案】(1)S△ABC=5(2)点P的坐标为12,0或−8,0【知识点】坐标与图形【分析】本题考查了三角形的面积公式及坐标与图形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）根据A(2,0),B(0,2),C(2,5)，求出AO=2,BO=2,AC=5，再结合三角形的面积公式即可求出S△ABC的值；（2）设出点P的坐标，找出线段AP的长度，根据三角形的面积公式结合S△PAB=2S△ABC，即可得出点P的坐标．【详解】（1）解：∵A(2,0),B(0,2),C(2,5)．∴AO=2,BO=2,AC=5，∴△ABC的面积=12×5×2=5；（2）解：依题意，设点P的坐标为(x,0)，则AP=x−2，又∴S△PAB=2S△ABC，∴ 12AP×2=2×5，∴ AP=x−2=10，即x−2=±10，解得：x=12或−8，故点P的坐标为12,0或−8,0．23．如图所示，在平面直角坐标系中，已知A0，1、B2，0、C4，3． (1)在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 ；(2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 ；(3)已知P为x轴正半轴上一点，若△ABP的面积为1，求点P的坐标．【答案】(1)4(2)(−4,3)(3)(4,0)或(0,0)【知识点】坐标与图形、写出直角坐标系中点的坐标、坐标与图形变化——轴对称【分析】本题考查的是坐标系内描点，网格三角形的面积计算，坐标与图形，轴对称的性质．现在坐标系内描点，在顺次连接即可得到三角形，再利用长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可；根据关于y轴对称的点的坐标关系，横坐标互为相反数，纵坐标不变可得到答案．由p为x轴正半轴上一点，△ABP的面积为1，可得12BP·yA=1，从而得到答案．【详解】（1）解：∵A0，1、B2，0、C4，3，如图所示：A0，1、B2，0、C4，3，∴三角形面积为S△ABC=3×4−12×1×2−12×2×3−12×2×4=12−1−3−4=4．故答案为：4．（2）解：点D与点C4，3关于y轴对称，则点D的坐标为(−4,3)，故答案为：(−4,3)．（3）解：∵p为x轴上一点，△ABP的面积为1，即12BP·yA=1，∴12×BP×1=1，∴BP=2，∵B2，0，点p的横坐标为：2+2=4或2−2=0．故点p坐标为：(4,0)或(0,0)．24．如图，△ABC在平面直角坐标系中，已知点A(5−4，m)，点C(5+2，n)，过点B作BD∥y轴交AC于点D，且BD=2，求△ABC的面积．【答案】6【知识点】坐标与图形【分析】本题考查了坐标与图形性质以及求三角形的面积．先计算出点A与点C的水平距离为6，以BD为底边，则△ABD和△CBD的高的和为6，所以S△ABC=12×BD×6=3BD．【详解】解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，因为点A(5−4，m)，点C(5+2，n)，则EF=5+2−5−4=6，所以S△ABC=S△ABD+S△CBD=12BD⋅EF=12×2×6=6．25．如图，在直角坐标系中，已知A−1,4，B−2,1，C−4,1，将△ABC向右平移3个单位再向下平移2个单位得到△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别是点A1、B1、C1．(1)画出△A1B1C1；(2)直接写出点A1、B1、C1的坐标；(3)直接写出△A1B1C1的面积．【答案】(1)见详解(2)A12,2，B11,−1，C1−1,−1(3)3【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、由平移方式确定点的坐标【分析】本题考查了点的平移、图形与坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先根据平移的性质，分别找到A1，B1，C1，然后依次连线，即可作答；（2）由（1）的图，分别表示出A1，B1，C1的坐标，即可作答；（3）利用三角形的面积公式即可求出△A1B1C1的面积【详解】（1）解：如图：；（2）解：由（1）知：A12,2，B11,−1，C1−1,−1；（3）解：12×2×3=3，∴△A1B1C1的面积为3．26．如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC中任意一点P(a,b)经平移后对应点为P1(a− 4,b+3)．已知A0,2，B4,0，C−1,−1将△ABC作同样的平移得到△A1B1C1．(1)画出平移后的△A1B1C1；(2)直接求出△ABC的面积为______；(3)已知点P在y轴上，且△PAC的面积等于△ABC面积的一半，求P点的坐标．【答案】(1)见解析(2)7(3)P0,9或0,−5【知识点】坐标与图形、平移(作图)、利用网格求三角形面积【分析】本题考查平面直角坐标系，平移的知识，解题的关键是掌握平面直角坐标系的性质，平移的性质，即可．（1）由点P的坐标可知，三角形向上平移3个单位长度，向左平移4个单位长度，依次连接，即可；（2）直接利用割补法求出三角形面积，即可；（3）△PAC以PA为底，高为点C到y轴的距离，则S△PAC=12PA×1，再根据△PAC的面积等于△ABC面积的一半，即可．【详解】（1）解：∵△ABC中任意一点P(a,b)经平移后对应点为P1(a− 4,b+3)，∴三角形向上平移3个单位长度，向左平移4个单位长度，依次连接A1，B1，C1，图形如下：（2）S△ABC=3×5−12×1×3−12×2×4−12×1×5=7，故答案为：7．（3）∵△PAC以PA为底，高为点C到y轴的距离，∴S△PAC=12PA×1，∵△PAC的面积等于△ABC面积的一半，∴S△PAC=12PA×1=3.5，∴PA=7，∵点A0,2，∴P0,9或者P0,−5．27．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三顶点都在格点上，位置如图，请完成下列问题：(1)写出A，B，C的坐标；(2)画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1（注意标出对应点字母）；(3)求△ABC的面积；(4)在x轴上找一点P，使AP+BP最小（画出点P即可，保留作图痕迹）．【答案】(1)A4，2,B1，4,C3，5(2)见解析(3)3.5(4)见解析【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称、坐标与图形综合【分析】（1）根据坐标系的知识，确定点的坐标即可．（2）根据纵坐标不变，横坐标变为相反数，确定变换后的坐标，画图即可．（3）根据分割法计算面积计算即可．（4）根据点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，交x轴于点P，点P即为所求．本题考查了坐标系中的确定坐标，对称作图，三角形的面积计算，线段和的最小值，熟练掌握对称作图，线段和最小值是解题的关键．【详解】（1）解：根据题意，得A4，2,B1，4,C3，5．（2）解：根据题意，得A4，2,B1，4,C3，5．故A1−4，2,B1−1，4,C1−3，5，画图如下：则△A1B1C1即为所求．（3）解：根据题意，得△ABC的面积为：3×3−12×1×3−12×3×2−12×1×2=72．（4）解：如图2，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，交x轴于点P， 则点P即为所求，此时点P的坐标为3,0．28．在平面直角坐标系中，原点为O，已知点Aa,0，Bb,0，C−1,2，其中−a的算术平方根为2，b=38．(1)求a，b的值；(2)若点M在坐标轴上，且满足三角形COM的面积等于三角形ABC的面积的一半，请求出点M的坐标．【答案】(1)a=−4，b=2(2)M0,6或M0,−6或M3,0或M−3,0．【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、坐标与图形【分析】此题考查了算术平方根和立方根的概念，坐标与图形，（1）根据算术平方根和立方根的概念求解即可；（2）首先求出三角形COM的面积为3，然后根据题意分当点M在y轴上和点M在x轴上两种情况讨论，分别设出点M的坐标列方程求解即可．【详解】（1）解：∵−a的算术平方根为2，∴−a=22=4，∴a=−4，由题意b=38=2；（2）解：∵a=−4，b=2，∴A−4,0，B2,0，∵C−1,2，∴三角形ABC的面积=12×2+4×2=6，∴三角形COM的面积为3，当点M在y轴上时，设M0,m，∴12m×1=3，∴m=±6，∴M0,6或M0,−6；当点M在x轴上时，设Mn,0，∴12n×2=3，∴m=±3，∴M3,0或M−3,0；综上所述，点M的坐标为M0,6或M0,−6或M3,0或M−3,0．29．如图为某学校新校区分布图的一部分，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若教学楼的坐标为A1,2，图书馆的坐标为B−2,−1．  (1)若体育馆C的坐标为1,−3，食堂D的坐标为2,0，请在图中标出C，D的位置；(2)顺次连接教学楼、图书馆、体育馆、食堂得到四边形ABCD，求四边形ABCD的面积．【答案】(1)见解析(2)四边形ABCD的面积＝10【知识点】坐标与图形、实际问题中用坐标表示位置【分析】本题考查了坐标确定位置，平面直角坐标系的定义，网格结构中不规则四边形的面积的求解，熟记概念并熟练运用网格结构是解题的关键．（1）根据A1,2，B−2,−1建立平面直角坐标系，根据平面直角坐标系标注体育馆和食堂即可；（2）根据四边形所在的矩形的面积减去四周四个小直角三角形的面积列式计算即可得解．【详解】（1）解：C，D位置如图所示；  （2）解：四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ACD=12×5×3+12×5×1=7.5+2.5=10．30．在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别是A1,2,B3,0,C6,3．(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标为______．(2)在（1）问条件下，求△A1B1C1的面积．(3)在（1）问条件下，已知点Pa−2,2a+3，直线PA1∥y轴，求点P的坐标．【答案】(1)画图见解答；(−1,2)(2)6(3)−1,5【知识点】画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称、利用网格求三角形面积、坐标与图形综合【分析】本题考查作图-轴对称变换，平面直角坐标系中点的特征等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案．（2）利用割补法求三角形的面积即可．（3）由题意可得a−2=−1，求出a的值，即可得出答案．【详解】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求．由图可得，点A1的坐标为(−1,2)．（2）解：△A1B1C1的面积为12×(2+3)×5−12×2×2−12×3×3=252−2−92=6．（3）解：∵点P(a−2,2a+3),A1(−1,2)，直线PA1∥y轴，∴a−2=−1，解得：a=1，∴点P的坐标为−1,5．31．如图所示，在平面直角坐标系中，点A(1,2),B(3,0),C(6,4)．  (1)请在图中作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出点A′,B′,C′的坐标；(2)求△A′B′C′的面积；(3)已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为8，求点P的坐标．【答案】(1)图见解析，A′(−1,2),B′(−3,0),C′(−6,4)(2)7(3)点P的坐标为11,0或−5,0【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、画轴对称图形、利用网格求三角形面积、坐标与图形综合【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案．（2）利用割补法求三角形的面积即可．（3）设点P的坐标为m,0，根据题意可列方程为12×|m−3|×2=8，求出m的值，即可得出答案．【详解】（1）解：如图，△A′B′C′即为所求．  由图可得，A′(−1,2),B′(−3,0),C′(−6,4)；（2）△A′B′C′的面积为12×2+4×5−12×2×2−12×3×4=15−2−6=7；（3）解：设点P的坐标为m,0，∵△ABP的面积为8，∴12×|m−3|×2=8，解得m=11或−5，∴点P的坐标为11,0或−5,0．【点睛】本题考查作图﹣轴对称变换，坐标与图形的性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．32．如图在平面直角坐标系中，O为原点，已知点A(0,a),B(b,0),C(4,0)，且(a−4)2+b+2=0，将点B向右平移8个单位长度，得到对应点D．(1)点A的坐标为 ，点B的坐标为______；(2)求△ACD的面积；(3)若点P为x轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAO的面积等于△PAC面积的2倍，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(0,4),(−2,0)(2)△ACD的面积为4(3)存在，点P的坐标为83,0或(8,0)【知识点】利用算术平方根的非负性解题、其他问题(一元一次方程的应用)、由平移方式确定点的坐标、坐标与图形综合【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，三角形的面积，非负数的性质和坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．（1）直接根据非负数的性质得出a,b的值即可得出答案；（2）根据题意得出点D的坐标，然后根据三角形面积公式计算即可；（3）设点Pmi,0，分情况进行讨论：当点P位于O点左侧时，不合题意；当点P位于OC之间时；当点P位于C点右侧时；根据题意表示出△PAO和△PAC的面积，根据△PAO的面积等于△PAC面积的2倍列式求解即可．【详解】（1）解：∵(a−4)2+b+2=0，∴a−4=0,b+2=0，解得：a=4,b=−2，∵点A(0,a),B(b,0)，∴点A(0,4)，点B(−2,0)，故答案为：(0,4),(−2,0)；（2）解：将点B(−2,0)向右平移8个单位长度，得到点D(6,0)，则S△ACD=12CD⋅OA=12×6−4×4=4；（3）解：设点P的坐标为(m,0)，当点P位于O点左侧时，S△PAC>S△PAO，不符合题意；当点P位于OC之间时，S△PAO=12OP⋅OA=12×m×4=2m，S△PAC=12PC⋅OA=12×(4−m)×4=8−2m，根据题意得：2m=2×(8−2m)，解得：m=83，∴点P的坐标为83,0；当点P位于C点右侧时，S△PAO=12OP⋅OA=12×m×4=2m，S△PAC=12PC⋅OA=12×(m−4)×4=2m−8，根据题意得：2m=2×(2m−8)，解得：m=8，∴点P的坐标为(8,0)，综上所述：点P的坐标为83,0或(8,0)．33．如图，三角形AOB中，A、B两点的坐标分别为2,4、6,2．(1)求三角形AOB的面积；(2)若点P的横坐标为2，使得三角形ABP的面积为6，求点P的坐标．【答案】(1)10(2)2,1或2,7【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、利用网格求三角形面积【分析】本题三角形的面积计算，图形与坐标，解题的关键是熟练的掌握三角形面积计算的公式；（1）把所求图形面积分解成S△AOC+S梯形ABDC−S△BOD，再分别求面积加起来即可；（2）分P点在A点上方和下方两种情况，通过12×t−4×6−2，得到两个解即是两个位置的纵坐标．【详解】（1）解：作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，如图，S△AOB=S△AOC+S梯形ABDC−S△BOD=12×2×4+12×4+2×4−12×6×2=10故答案为：10；（2）设P2,t∵A2,4∴AP⊥xS△BPA=12×t−4×6−2=6解得：t=1或 t=7如图P,P1即为所求故答案为：2,1或2,734．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A1,3，B2,1，C5,1．(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)若在y轴上存在一点P使得△BCP的面积是△ABC面积的2倍，则点P的坐标为___________．【答案】(1)见解析(2)0,−3或0,5【知识点】坐标与图形、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称【分析】本题考查了作图—轴对称变换，三角形的面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）根据轴对称的性质作图即可；（2）设点P的坐标为0,m，由题意得：12×3×m−1=2×3，解方程即可得出答案．【详解】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求，（2）解：设点P的坐标为0,m，由题意得：12×3×m−1=2×12×2×3，解得：m=−3或5，∴点P的坐标为0,−3或0,5，故答案为：0,−3或0,5．35．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A−4,2，B−1,1，C−3,4．(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1）(2)写出△A1B1C1三个顶点的坐标；(3)求△OBA1的面积．【答案】(1)见解析(2)A14,2，B11,1，C13,4(3)3【知识点】画轴对称图形、坐标与图形综合【分析】此题考查了利用中心对称变换的性质作图，理解中心对称变换的性质是解题的关键．（1）利用关于y轴对称点的性质得出对应点位置，连接对应点，即可求解；（2）由（1）得到的对应点，根据对应点在平面直角坐标系中的位置，即可得到对应点坐标，即可求解；（3）利用面积和差即可得出答案．【详解】（1）解：由A−4,2，B−1,1，C−3,4，则可以得到关于y轴对称的对应点坐标分别为A14,2，B11,1，C13,4，然后连接A1B1，A1C1，B1C1，如图，△A1B1C1即为所求；（2）解：∵在平面直角坐标系中，关于y轴对称的对应点坐标横坐标互为相反数，纵坐标不变，点A，B，C的坐标分别为A−4,2，B−1,1，C−3,4，∴A14,2，B11,1，C13,4；（3）解：如图，S△OBA1=5×2−12×1×1−12×5×1−12×4×2=10−12−52−4=3．