专题01 两直线的位置关系【知识串讲+十大考点】-2025-2026学年七年级数学下册重难考点强化训练（北师大版2024）(原卷版+解析版）

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专题01 两直线的位置关系 模块一考点类型模块二知识点一遍过（一）相交线所形成的角两条直线相交所成的四个角中：（1）相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线，性质是邻补角互补；①邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线。具有这种关系的两个角，互为邻补角。如：∠1、∠2。（2）相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线。性质是对顶角相等。②对顶角：两个角有一个公共顶点，并且一个角的两条边，分别是另一个角的两条边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角。如：∠1、∠3。对顶角相等。（二）垂线及其性质（1）垂直：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直；交点叫垂足；垂直是特殊的相交。（2）垂线特点：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。（3）点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离。连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。（三）三线八角（1）同位角：形如“F”型；在两条直线的上方，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同位角。如：∠1和∠5。（2）内错角：形如“Z”型；在两条直线之间，又在直线EF的两侧，具有这种位置关系的两个角叫内错角。如：∠3和∠5。（3）同旁内角：形如“U”型；在两条直线之间，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。如：∠3和∠6。模块三考点一遍过考点1：相交线与平行线典例1：下列例子中，不能看作平行线的是（    ）A．人行道上的斑马线B．长方形门窗的边框C．五线谱D．螺丝上的螺旋线【答案】D【知识点】平面内两直线的位置关系【分析】本题考查了平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．根据在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线即可确定．【详解】解：人行道上的斑马线、长方形门窗的边框、五线谱能看作平行线，螺丝上的螺旋线不在同一平面内，不是平行线故选：D．【变式1】下列说法正确的是（   ）A．在同一平面内，没有公共点的两条线段是平行线B．在同一平面内，不重合的两条直线是平行线C．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线D．不相交的两条直线是平行线【答案】C【知识点】平面内两直线的位置关系【分析】此题考查了平行线的定义，熟记平行线的定义是解题的关键．根据平行线的定义判断求解即可．【详解】解：在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线，故A错误，不符合题意；同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故B错误，不符合题意；同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线，故C正确，符合题意；同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故D错误，不符合题意；故选：C．【变式2】  观察如图图形，并阅读图形下面的相关文字．像这样的十条直线相交最多的交点个数有 ．【答案】45【知识点】相交线【分析】根据直线两两相交且不交于同一点，可得答案．【详解】解：每条直线都与其他九条直线有一个交点，即9个交点，十条直线一共有9×10 =90个交点，因为每个交点都重复了一次，所以十条直线相交最多的交点个数有90÷2=45，故答案为：45．【点睛】本题考查了相交线，n条直线与其它每条直线都有一个交点，可有（n−1）个交点，n条直线有n（n−1）个交点，每个交点都重复了一次，n条直线最多有nn−12 个交点．【变式3】某城市新区规划建设10条主干道（道路近似于直线），为有效引导车流，交通运输局计划每条主干道交汇点处设置一组交通信号灯，则交通运输局需要准备的交通信号灯组数最多为 ．【答案】45【知识点】相交线【分析】此题考查平面内不重合直线的位置关系，是寻找规律的题型，找到n条直线相交，最多有nn−12个交点是解题的关键；要探求相交直线的交点的最多个数，则应尽量让每两条直线产生不同的交点．根据两条直线相交有一个交点，然后可画出图形找出规律即可求解．【详解】解：如图，∵两条直线相交，最多有1个交点，三条直线相交，最多有1+2=3个交点，四条直线相交，最多有1+2+3=6个交点．五条直线相交，最多有1+2+3+4=10个交点；…..；∴n条直线相交，最多有nn−12个交点；∴10条直线相交，最多有10×92=45个交点；即交通运输局需要准备的交通信号灯组数最多为45；故答案为45．考点2：对顶角的概念典例2：下列图形中，∠1与∠2互为对顶角的是（   ）A．B．C．D．【答案】B【知识点】对顶角的定义【分析】本题主要考查对顶角，根据有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角，进行判断即可．【详解】解：通过观察∠1与∠2的位置特征，只有B中∠1与∠2同时满足有公共顶点，且∠1的两边是∠2的两边的反向延长线，故B选项，符合题意．故选：B．【变式1】下列图形中，∠1与∠2互为对顶角的是（）A．B．C．D．【答案】C【知识点】对顶角的定义【分析】本题考查对顶角的意义，掌握对顶角的概念是解题的关键．根据对顶角的意义，一个角的两边分别是另一角两边的反向延长线，这样的两个角是对顶角，进行判断即可．【详解】解：根据对顶角的意义得，C选项的图象符合题意，故选：C．【变式2】  两条相交直线所成的四个角中，有 没有 的两个角叫作对顶角．【答案】 公共顶点 公共边【知识点】对顶角的定义【分析】本题考查对顶角的定义，解题的关键是掌握对顶角的定义：有一个公共边，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线的两个角，即可．【详解】解：∵对顶角的定义：有一个公共边，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线的两个角，∴两条相交直线所成的四个角中，有公共顶点，没有公共边的两个角叫作对顶角．故答案为：公共顶点；公共边．【变式3】如图，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是折射现象．图中∠1与∠2是不是对顶角？ ．（填“是”或“不是”）【答案】不是【知识点】对顶角的定义【分析】本题考查了对顶角的定义，如果两个角有公共顶点，其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角是对顶角．根据对顶角的定义直接判断即可．【详解】解：由对顶角的定义可知：∠1与∠2不是对顶角．故答案为：不是．考点3：余角、补角的概念典例3：如图所示，AB⊥OE，OC⊥OD，那么图中互余的角共有（    ）A．2对B．3对C．4对D．5对【答案】C【知识点】求一个角的余角【分析】本题考查了求一个角的余角，熟练掌握余角的定义是解题的关键．根据余角的定义进行判断即可得出答案．【详解】解：由题意可得：∠AOE=∠BOE=∠COD=90°，∴∠AOC+∠COE=90°，∠BOD+∠DOE=90°，∠COE+∠DOE=90°，∴∠AOC=∠DOE，∠BOD=∠COE，∴∠AOC+∠BOD=90°，综上，图中互余的角共有4对，故选：C．【变式1】如图，C是直线AB上一点，CD⊥CE，图中∠1和∠2的关系是（  ）A．互为余角B．互为补角C．相等D．无法确定【答案】A【知识点】求一个角的余角【分析】本题主要考查了互余，互补的知识，掌握各角之间的数量关系是解题的关键．根据平角定义求出∠1+∠2，即可得出答案．【详解】解：∵CD⊥CE，∴∠DCE=90°．∵∠ACB是平角，∴∠1+∠DCE+∠2=180°，即∠1+∠2=90°，可知∠1和∠2互为余角．故选：A．【变式2】  如果 为90°，就说这两个角 ，简称 ，其中每一个角是另一个角的 ．如果 为180°，就说这两个角 ，简称 ，其中每一个角是另一个角的 ．【答案】 两个角的和 互为余角 互余 余角 两个角的和 互为补角 互补 补角【知识点】求一个角的余角、求一个角的补角【分析】根据余角和补角的概念求解即可．【详解】解：如果两个角的和为90°，就说这两个角互为余角，简称互余，其中每一个角是另一个角的余角．如果两个角的和为180°，就说这两个角互为补角，简称互补，其中每一个角是另一个角的补角．故答案为：两个角的和；互为余角；互余；余角；两个角的和；互为补角；互补；补角．【点睛】此题考查了余角和补角的概念，解题的关键是熟练掌握余角和补角的概念．【变式3】若∠α=46°16′，则∠α的余角为 ．【答案】43°44′．【知识点】求一个角的余角【分析】根据余角的意义：∠α的余角为90°−∠α，代入求出即可．【详解】∵∠α=46°16'，∴它的余角为90°−∠α=90°−46°16'=43°44'，故答案为：43°44'．【点睛】本题考查了对余角的理解和运用，注意：若∠α和∠β互为余角，则 ∠α+∠β=90°．考点4：对顶角、余角、补角的角度计算典例4：如图，点O直线AD上，∠BOE=∠COD=90°，那么下列结论错误的是（   ）A．∠AOE=∠COBB．∠COE=∠DOEC．∠AOB与∠COB互为余角D．∠COE与∠AOB互为补角【答案】B【知识点】几何图形中角度计算问题、与余角、补角有关的计算、同(等)角的余(补)角相等的应用【分析】本题考查了角的计算比较．熟练掌握余角，补角的定义和性质，角的和差计算，是解题的关键．根据互余、互补的性质，角的和差关系，结合图形，判断即可．【详解】解：A、∵∠BOE=∠COD=90°，∴∠AOC=180°−∠AOC=90°，∴∠AOE+∠AOB=∠BOC+∠AOB=90°,∴∠AOE=∠COB，∴选项正确；B、∵∠COE=∠AOC+∠AOE=90°+∠AOE，∠DOE=180°−∠AOE，∴∠COE≠∠DOE，∴选项不正确；C、∵∠AOB+∠COB=∠AOC=90°，∴选项正确；D、∵∠COE+∠AOB=∠BOE+∠BOC+∠AOB=∠BOE+∠AOC=180°,∴选项正确．故选：B．【变式1】将一副三角板按不同位置摆放，下图中∠α与∠β互余的是（    ）A．B．C．D．【答案】A【知识点】与余角、补角有关的计算、同(等)角的余(补)角相等的应用、三角形的外角的定义及性质【分析】根据平角的定义可判断A，D，根据同角的余角相等可判断B，根据三角形的外角的性质可判断C，从而可得答案.【详解】解：选项A：根据平角的定义得：∠α+90°+∠β=180°， ∴∠α+∠β=90°， 即∠α与∠β互余；故A符合题意；选项B：如图，∵∠α+∠3=90°=∠β+∠3, ∴∠α=∠β, 故B不符合题意；选项C：如图，∠β=90°+∠1=∠α+∠1, 故C不符合题意；选项D：∠α=∠β=180°−45°=135°, 故D不符合题意；故选A【点睛】本题考查的是平角的定义，互余的含义，同角的余角相等，三角形的外角的性质，掌握“与直角三角形有关的角度的计算”是解本题的关键.【变式2】  如图，点B、C、D分别为∠AOE内部三点，连接OB、OC、OD，∠1=∠2，∠3=∠4，∠AOD=90°，∠1=20°，则∠AOE的补角的度数为 ．【答案】40【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算【分析】本题主要考查了角平分线、角的和差、余角和补角等知识点，掌握余角和补角的定义成为解题的关键．根据题意可得∠1=∠2=20°，进而得到∠AOC=40°，再根据余角的定义求得∠3=50°，然后求得∠AOE=140°，最后根据补角的定义即可解答．【详解】解：∵∠1=20°，∴∠1=∠2=20°，∴∠AOC=∠1+∠2=40°，∵∠AOD=90°，∴∠3=∠AOD−∠AOC=50°，∴∠3=∠4=50°∴∠AOE=∠3+∠4+∠AOC=140°，∴∠AOE的补角为40°．故答案为：40．【变式3】如图，点O是直线AB上一点，射线OC平分∠AOB，OD在∠AOC内部，OE在∠BOC内部，∠BOE=13∠BOC，且∠AOD=∠COE，则下列四个结论正确的有 ．①∠BOD=120°；②图中与∠BOE互余的角有2个；③图中相等的角有5对；④图中互补的角有7对．【答案】①②③④【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算【分析】本题考查与角平分线有关的计算，与余角和补角有的计算，根据角平分线平分角，和为90度的两个角为互为余角，和为180度的两个互为补角，以及角的和差关系，逐一进行判断即可．【详解】解：∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC=90°，∵∠BOE=13∠BOC，∴∠BOE=30°，∵∠AOD=∠COE，∴∠COE+∠COD=∠AOD+∠COD=∠AOC=90°，∴∠DOE=90°，∵∠BOE+∠COE=∠BOC=90°，∴∠BOE=∠COD=30°，∴∠AOE=150°，∠BOD=∠BOC+∠COD=120°；故①正确；∴∠COE=∠AOD=60°，∵∠BOE+∠COE=∠BOC=90°，∠COD+∠AOD=∠BOE+∠AOD=90°，∴与∠BOE互余的角有∠COE,∠AOD共2个；故②正确；∵∠AOD=∠COE,∠AOC=∠BOC,∠COD=∠BOE,∠AOC=∠DOE=90°,∠BOC=∠DOE=90°，∴图中相等的角有5对；故③正确；∵∠AOC+∠BOC=180°,∠AOC+∠DOE=180°,∠BOC+∠DOE=180°，∠AOD+∠BOD=180°,∠AOE+∠BOE=90°,∠COE+∠BOD=180°，∠COD+∠AOE=180°，∴图中互补的角有7对；故④正确；故答案为：①②③④．考点5：三角板中的角度计算典例5：如图，将两块三角板的直角顶点重合．(1)写出以C为顶点的所有相等的角_____________________________．(2)若∠ACB=148°，求∠DCE的度数．(3)猜想：∠ACB与∠DCE之间的数量关系为___________．【答案】(1)∠ACD=∠BCE,∠ACE=∠BCD(2)32°(3)∠ACB+∠DCE=180°，理由见解析【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、求一个角的余角、三角板中角度计算问题【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算，同角的余角相等，熟练掌握相关知识是解题的关键．（1）根据同角的余角相等求解即可；（2）由图得∠DCE=90°−∠ACE，求∠ACE的度数即可；（3）根据∠ACB+∠DCE=∠BCE+∠ACE+∠DCE，即可得出结论．【详解】（1）解：由题意得∠ACD=∠BCE=90°，∴∠ACE+∠DCE=∠DCE+∠BCD，∴∠ACE=∠BCD；（2）解：∵∠ACB=148°,∠BCE=90°，∴∠ACE=148°−90°=58°，∴∠DCE=90°−∠ACE=90°−58°=32°；（3）解：∵∠ACB+∠DCE=∠BCE+∠ACE+∠DCE=90°+90°=180°，∴∠ACB+∠DCE=180°．【变式1】数学活动课上，小聪同学摆弄着自己刚购买的一套三角板，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起，然后转动三角板，在转动过程中，请解决以下问题：如图所示：(1)①∠ACE_______∠BCD（填“>”“