微专题02 四边形的动点、最值问题通关专练-2025-2026学年八年级数学下册重难考点强化训练（人教版2024）(原卷版+解析版）

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微专题02 四边形的动点、最值问题通关专练 一、单选题1．如图，点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，若线段PQ长的最大值为85 ，最小值为8，则菱形ABCD的边长为(    ) A．4 6 B．10 C．12D．162．如图，在正方形ABCD中，AB=4，AC与BD相交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=3，P为对角线BD上一点，当对角线BD平分∠NPM时，|PM−PN|的值为（    ）A．1B．2C．2D．33．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，以BC为斜边在矩形的外部作直角三角形BEC，点F是CD的中点，则EF的最大值为(    )A．732B．4C．5D．924．已知，矩形ABCD中，E为AB上一定点，F为BC上一动点，以EF为一边作平行四边形EFGH，点G，H分别在CD和AD上，若平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，则应满足（    ）A．AD=4AEB．AD=2ABC．AB=2AED．AB=3AE5．如图，正方形ABCD的面积为64，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（　　）A．6B．8C．9D．126．如图，正方形ABCD的边长为4，E点是BC上一点，F是AB上一点，P是AC上一动点，且BE=1，AF=2，则PE+PF的最小值是（    ）A．4B．15C．5D．177．如图，正方形ABCD的边长为4cm，点E是边AD的中点，P为对角线BD上一动点，则AP+PE的最小值为（      ）A．5cmB．25cmC．35cmD．45cm8．已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10，0)，C(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为(　　)A．(3，4)或(2，4)B．(2，4)或(8，4)C．(3，4)或(8，4)D．(3，4)或(2，4)或(8，4)9．如图，在△ABC，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连结EF，则线段EF的最小值为（    ）A．1.2B．2.4C．2.5D．4.810．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E在AB上，BE=1，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在的直线折叠得到△EB'F，连接B'D，则B'D的最小值是（    ）A．6B．4C．210−2D．25−111．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠D=90°,AB=5,AD=4, CD=3,点P是边AD上的动点，则△PBC周长的最小值为（  ）A．8B．45C．12D．6512．如图，已知AB＝8，P为线段AB上一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点，当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为（    ）A．23B．6C．4D．3∵四边形APCD，四边形PBFE是菱形，∠DAP=60°，∴∠APC=120°，∠EPB=60°，∵M，N分别是对角线AC，BE的中点，∴∠CPM=12∠APC=60°，∠EPN=12∠EPB=30°，∴∠MPN=60°+30°=90°，设PA=2a，则PB=8﹣2a，PM=a，PN=3（4﹣a），∴MN=a2+3（4-a）2=4a2-24a+48=4（a-3）2+12，∴a=3时，MN有最小值，最小值为23，故答案选：A．13．如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=3．点E从D向C以每秒1个单位的速度运动，以AE为一边在AE的右下方作正方形AEFG．同时垂直于CD的直线MN也从C向D以每秒2个单位的速度运动，当经过多少秒时．直线MN和正方形AEFG开始有公共点？（　　）A．53B．12C．43D．2314．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，点F分别是边BC，边CD上的动点，且BE=CF，AE与BF相交于点P．若点M为边BC的中点，点N为边CD上任意一点，则MN+PN的最小值等于（     ）A．10−1B．5C．210−2D．9215．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是直线BC上一动点．若AB=4，则AE+OE的最小值是(   )A．42B．25+2C．213D．210二、填空题16．如图，在长方形ABCD中，AB长为3，BC长为6，点M从A出发沿AB向B以每秒1个单位的速度运动，同时点N从B出发沿BC向C以每秒2个单位的速度运动（当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动）.若运动的时间为t秒，则三角形MND的面积为 （用含t的式子表示）.17．在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，点E为矩形内部一动点，且∠EAD=∠EBA，点F为线段CD上一动点，连接FE，FB，则FE+FB的最小值为 ．18．如图，正方形ABCD的边长为8，∠DAC的平分线交DC于点E．若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ＋PQ的最小值是 ．19．如图，动点P从0,3出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2022次碰到长方形OABC的边时，点P的坐标为 ．20．如图，点P为矩形ABCD的AB边上一动点，将△ADP沿着DP折叠，点A落在点A'处，连接CA'，已知AB＝10，AD＝6，若以点P，B，C，A'为端点的线段（不再另外连接线段）构成的图形为直角三角形或特殊的平行四边形时，AP的长为 ．21．如图，矩形ABCD中，AD=6，AB=4，点P是BC边上一动点，连接PA、PD，则PA+12PC的最小值为 ．22．如图，在△ABC中，AB=32，AC=42，BC=52，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为 ．  23．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，O是AC的中点，M是AD上一点，且MD＝1，P是BC上一动点，则PM﹣PO的最大值为 ．24．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=5，点D是BC边上一点且CD=1，点P是线段DB上一动点，连接AP，以AP为斜边在AP的下方作等腰Rt△AOP．当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长为 ．25．如图，在直角坐标系中，A（﹣4，0），B（0，4），C是OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形，P是CD上一个动点，过点P作PH⊥OA于H，Q是点B关于点A的对称点，则BP+PH+HQ的最小值为 ．三、解答题26．如图，矩形OABC中,点A,C分别在x轴，y轴的正半轴上，OA=4,OC=2.点P（m,0）是射线OA上的动点，E为PC中点，作□OEAF，EF交OA于G，（1）写出点E,F的坐标（用含m的代数式表示）：E(_____,_____),F(______,_____).    （2）当线段EF取最小值时，m的值为______;此时□OEAF的周长为______.    （3）①当□OEAF是矩形时，求m的值.②将△OEF沿EF翻折到△O′EF，若△O′EF与△AEF重叠部分的面积为1时，m的值为 .27．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A0,5，C26,0．点E是OC的中点，动点M在线段AB上以每秒2个单位长度的速度由点A向点B运动（到点B时停止）．设动点M的运动时间为t秒．(1)当t为何值时，四边形MOEB是平行四边形？(2)若四边形MOEB是平行四边形，请判断四边形MAOE的形状，并说明理由；(3)在线段AB上是否存在一点N，使得以O，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．28．如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一动点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G，AB=3，AD=4．（1）如图①，当∠DAG=30∘ 时，求BE的长；（2）如图②，当点E是BC的中点时，求线段GC的长；（3）如图③，点E在运动过程中，当△CFE的周长最小时．求出BE的长．29．已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．(1)如图1，连接AF、CE，求AF的长；(2)如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止，在运动过程中，①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．②若点P、Q的运动路程分别为a、b(单位：cm，ab≠0)，已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．30．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点E是斜边AB上的一个动点，连接CE，过点B，C分别作BD∥CE，CD∥BE，BD与CD相交于点D．（1）当CE⊥AB时，求证：四边形BECD是矩形；（2）填空：①当BE的长为______时，四边形BECD是菱形；②在①的结论下，若点P是BC上一动点，连接AP，EP，则AP+EP的最小值为______．31．如图所示，在，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=53，∠C=30°，点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点OE运动的时间t秒t>0，过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．  (1)求证：AE=DF．(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值，如果不能，请说明理由．32．已知ΔABC中，AB=AC=62,BC=12.点P从点B出发沿线段BA移动，同时点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，设BE+CD=λ，λ是否为常数？若是请求出λ的值，若不是请说明理由.（3）如图③，E为BC的中点，直线CH垂直于直线AD，垂足为点H，交AE的延长线于点M；直线BF垂直于直线AD，垂足为F；找出图中与BD相等的线段，并证明.  33．如图，在长方形ABCD中，AB=4cm，BE=5cm，点E是AD边上的一点，AE、DE分别长acm、bcm，满足a−32+2a+b−9=0，动点P从点B出发，以2cm/s的速度沿B→C→D运动，最终到达点D．设运动时间为ts．(1)a=______cm，b=______cm；(2)t为何值时，EP把四边形BCDE的周长平分？(3)另有一点Q从点E出发，按照E→D→C的路径运动，且速度为1cm/s，若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．求t为何值时，△BPQ的面积等于6cm2．34．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C在坐标轴上，B（8，4），将矩形沿EF折叠，使点A与点C重合．（1）求点E的坐标；（2）点P从O出发，沿折线O-A-E方向以每秒2个单位的速度匀速运动，到达终点E时停止运动，设点P的运动时间为t，△PCE的面积为S，求S与t的关系式，井直接写出t的取值范围．（3）在（2）的条件下．当PA =32PE时，在平面直角坐标系中是否存在点Q．使得以点P、E、 G、 Q为顶点的四边形为平行四边形？ 若不存在，请说明理由， 若存在，请求出点Q的坐标．35．如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=12cm，BC=18cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t s．（1）CD边的长度为___________cm，t的取值范围为____________．（2）从运动开始，当t取何值时，PQ//CD？（3）从运动开始，当t取何值时，PQ=CD？（4）在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．