微专题01 勾股定理中最短路径问题通关专练-2025-2026学年八年级数学下册重难考点强化训练（人教版2024）(原卷版+解析版）

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微专题01 勾股定理最短路径问题通关专练 一、单选题1．如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为60cm、30cm、10cm．A和B是台阶两个相对的端点，在B点有一只蚂蚁，想到A点去觅食，那么它爬行的最短路程是（    ）A．60cmB．80cmC．100cmD．140cm2．如图，在桌面上放置一个正方体，正方体的棱长为2cm，点B为一条棱的中点，蚂蚁在正方体表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（    ）A．37cmB．25cmC．17cmD．15cm3．如图是一个长为8m，宽为6m，高为5m的仓库，在其内壁的点A（长的四等分点）处有一只壁虎．在点B（宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短路程为（    ）．A．85mB．89mC．55mD．13m4．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=7，BC=4，BF=6，点M在棱AB上，且AM=1，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方形盒子的外表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（    ）A．10B．45C．62D．2135．如图，圆柱的底面半径为6πcm，AC是底面圆的直径，点P是BC上一点，且PC＝4cm，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（　　）A．45cmB．213cmC．56cmD．10cm6．如图，圆柱的底面周长为16cm，AC是底面圆的直径，点P是BC上的一点，且BC=20cm，PC=34BC．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱体的表面爬行到点P最短路程是（    ）A．17B．16C．15D．137．山西太原晋祠圣母殿的大殿正面八根下檐柱上有木制雕龙缠绕，这就是作为晋祠“古建三绝”之一的盘龙雕柱．国庆期间，某小区计划将门口的四根圆柱形立柱仿照盘龙雕柱用彩带装饰，为了美观，每根立柱需要按如图所示的方式从点A沿立柱表面缠绕三周到其正上方的点B处．若每根立柱的底面周长为1.5m，高为6m，则每根立柱所用彩带的最短长度为（    ）  A．52mB．3172mC．152mD．30m8．如图，在长为3，宽为2，高为1的长方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着长方体的表面爬行到顶点B，那么它爬行的最短路程是（    ）  A．5B．18C．20D．26二、填空题9．如图是一个底面为等边三角形的三棱镜，在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点A′镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为5cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为 cm．10．如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B，圆柱高为8cm，底面周长为12cm，那么最短的路线长是 cm．11．如图，一只蚂蚁从长宽高分别是3，2，6的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是 ．12．如图所示的圆柱体中底面圆的半径是5π，高为12，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，CD、AB分别为上、下两底的直径，且CD∥AB，则小虫爬行的最短路程是 ．13．如图，圆柱的高为8cm，底面半径为2cm，在圆柱下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面B处的食物，已知四边形ADBC的边AD、BC恰好是上、下底面的直径，问：蚂蚁吃到食物爬行的最短距离是 cm．（π取3）14．如图，已知正方体纸盒的棱长为1，一只蚂蚁从其中一个顶点A，沿着纸盒的外部表面爬行至另一个顶点B，则蚂蚁爬行的最短距离是 ．15．如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，点B到点C的距离是1，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离为 ．16．如图，若圆柱的底面周长是16cm，高是12cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰（点B在点A的正上方），则这条丝线的最小长度是 ．三、解答题17．如图所示．有一个圆柱．它的高等于12厘米．底面半径等于56厘米．在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁．它想吃到上底面B点处的食物．沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（π的值取3）．18．如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．  (1)请你在备用图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2)当AB=BC=4，CC1=5时，求蚂蚁爬过的最短路径长的平方．19．（1）如图1，矩形的两邻边长分别为5和3，某一动点从点A运动到点C的最短路线长是________；（2）如图2，在棱长分别为5，3，11的长方体模型中，若设定动点P从顶点C1以1个单位/秒的速度在长方体的外部沿C1→C向下匀速运动，同时动点Q从顶点A出发在长方体外部侧面上匀速运动，若要使动点Q在第5秒时恰好拦截到动点P，则动点Q的速度至少应设定为多少？20．今年9月23日是第六个中国农民丰收节，小明用3D打印机制作了一个底面周长24cm，高为8cm的圆柱粮仓模型．如图BC是底面直径，AB是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短是多少？  21．阅读小明的探究学习过程，并解答后续的问题．如图1，一个长方体盒子，长AB=12cm，宽BC=8cm，高CG=8cm．探究1：在盒子外表面从点A到点G粘贴装饰条，求装饰条的最小长度为多少？探究2：这个长方体盒子内能容下木棒的最大长度为多少？    小明的解法：探究1：将长方体盒子的两个侧面展开成如图2所示的平面图形，在Rt△ACG中，AG=AC2+CG2=12+82+82=464=429cm．(1)对于探究1，小明的做法你认为是否正确？如果不正确，写出你的做法；(2)帮助小明完成探究2．22．如图所示，有一个圆柱，它的高为9厘米，底面周长为24厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁要沿侧面到上底面B点取食物．(1)请画出该圆柱的侧面展开图；(2)请计算出蚂蚁找到食物的最短路程．23．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为1,4和3,0，点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上．(1)求出AB的长．(2)若AC=BC时，求点C的坐标．(3)求出△ABC的周长的最小值？24．勾股定理是初等几何中最重要的定理之一，它的证明方法很多，如图1是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，通过对图形的切割、拼接，巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．  (1)定理证明：图1是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（阴影）．如果直角三角形较小的直角边长为a，较大的直角边长为b，斜边长为c，请你根据图1证明勾股定理；(2)问题解决：如图2，圆柱的底面半径为40cm，高为30πcm，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是多少厘米？（结果保留π）  根据圆柱底面半径为40cm，得出AC=2×40π2=40π(cm)，∵高为30πcm，∴AB=AC2+BC2=50π(cm)，∴从点A爬到点B的最短路程是50π厘米．25．一个长方体盒子，它的长是12dm，宽是4dm，高是3dm，(1)请问：长为12.5dm的铁棒能放进去吗？(2)如果有﹣只蚂蚁要想从D处爬到C处，求爬行的最短路程．26．如图，银行和超市在人民路（东西方向）上，小智同学家和学校分别在银行和超市的正北方向．已知学校和超市相距0.5千米，超市和银行相距0.8千米，银行和小智家相距1千米．星期五放学后，小智同学先到超市和银行之间的某个地方和小华见面，然后再回家．(1)为了让小智从放学到回家所走的路程最短，小华应在哪个位置等小智？请在图中画出该位置，并简要说明作图方法或步骤；(2)求出小智走过的最短路程．27．如图，一只蚂蚁在底面半径为10cm，高为20πcm的圆柱下底面的点A处，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，求蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？  28．如图，圆柱高为7cm，底面周长为48cm，蚂蚁在圆柱表面爬行，求从点A爬到点B的最短路程．（作出展开图再求）29．如图，是一个底面是边长为3cm正方形，高是8cm的长方体纸箱．一只蚂蚁从A点沿纸箱沿着长方体的表面从点A爬到点B，那么它所行的最短路线的长是多少cm？  30．如图所示，一个实心长方体盒子，长AB=4，宽BC=2，高CC1=1，一只蚂蚁从顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1 处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？（点拨：分三种情况讨论解答）31．问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为80cm，宽为50cm的长方形地毛毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽AD，木块从正面看是一个边长为20cm的等边三角形．求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．(1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”．请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接AC．(2)线段AC的长即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程，依据是_____．(3)问题解决：如图②，展开图中AB=_____，BC=_____．(4)这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是_____．32．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．【知识运用】(1)如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD=35千米，BC=5千米，则两个村庄的距离为 米．(2)在（1）的背景下，若AB=40千米，AD=24千米，BC=16千米，现要在AB上建造一个供应站P，使得PC=PD，请用尺规作图在图中作出P点的位置并求出AP的距离．(3)【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，则代数式x2+25+(9−x)2+49（其中00，n>0，且m≠n），求这个三角形的面积．(4)直接写出当x为何值时，函数y=x2+9+12−x2+4有最小值，最小值是多少？37．如图，在直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，请回答下列问题：(1)请直接写出A﹑B、C三点的坐标____________、___________、_________．(2)△ABC的周长为_________，面积为_________；(3)画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1．(4)已知点P为x轴上一动点，则AP+BP的最小值为_________．38．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．【小试牛刀】把两个全等的直角三角形△ABC和△DAE如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，四边形AECD，△EBC的面积：S梯形ABCD＝ 　 　，S△EBC＝ 　 　，S四边形AECD＝ 　 　，再探究这三个图形面积之间的关系，它们满足的关系式为 　 　，化简后，可得到勾股定理．【知识运用】如图2，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距200米，C，D为两个菜园（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝80米，BC＝70米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，则该最短距离为 　 　米．【知识迁移】借助上面的思考过程，请直接写出当0＜x＜15时，代数式x2+9+(15−x)2+25的最小值＝ 　 　．39．如图，一条河流的BD段长为12km，在B点的正北方4km处有一村庄A，在D点的正南方2km处有一村庄E，计划在BD上建一座桥C，使得桥C到A村和E村的距离和最小．请根据以上信息，回答下列问题：(1)将桥C建在何处时，可以使得桥C到A村和E村的距离和最小？请在图中画出此时C点的位置；(2)小明发现：设BC=x，则CD=12−x，则AC+CE=x2+42+12−x2+22，根据（1）中的结论可以求出当x=______时，x2+42+12−x2+22的值最小，且最小值为______；(3)结合（1）（2）问，请直接写出下列代数式的最小值：①x2+9+24−x2+16的最小值______；②2x−22+4+2x−102+25的最小值为______．