北京市陈经纶中学分校2025~2026学年上册九年级12月月考数学试题【附解析】

这是一份北京市陈经纶中学分校2025~2026学年上册九年级12月月考数学试题【附解析】，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．将抛物线平移得到抛物线，下列平移过程正确的是（ ）
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
3．在一个不透明的袋子里装有两个红色小球和一个绿色小球，它们除颜色外无其他差别．从中随机摸出两个小球，那么摸到一个红球和一个绿球的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，菱形的顶点，，在⊙O上，过点作⊙O的切线交的延长线于点．若⊙O的直径为4，则的长为（ ）
A．2B．4C．D．
5．某农业基地现有杂交水稻种植面积36公顷，计划两年后将杂交水稻种植面积增加到48公顷，设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，在中，，，以为直径的交于点，若点恰好为的中点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
7．二次函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，在等腰直角三角形中，，点在以斜边为直径的半圆上，为的中点，则点沿半圆由点运动至点的过程中，线段的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．方程的解为 ．
10．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
11．为了解某品种小麦的发芽率，某农业合作小组在相同条件下对该小麦做发芽试验，试验数据如下表：
（1）估计该品种小麦在相同条件下发芽的概率为 （结果保留两位小数）；
（2）若在相同条件下播种该品种小麦个，则约有 个能发芽．
12．圆锥的底面直径是80cm，母线长90cm，它的侧面积是
13．如图，是的切线，切点分别是点A和B，是的直径．若，则的长为 ．
14．数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小聪的解决方案如下：在轮子圆弧上任取两点，，连接，再作出的垂直平分线，交于点，交于点，测出，的长度，即可计算得出轮子的半径．现测出cm，cm，则轮子的半径为 cm．
15．对一条线段的长度进行了次测量，得到个结果（单位：），，，，若用作为这条线段长度的近似值，当 时，最小．
16．在平面直角坐标系中，点P的坐标为，称关于x的方程为点P的对应方程．如图，点，点，点．

给出下面三个结论：
①点A的对应方程有两个相等的实数根；
②在图示网格中，若点（均为整数）的对应方程有两个相等的实数根，则满足条件的点P有3个；
③线段上任意点的对应方程都没有实数根．
上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题
17．在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．将绕原点顺时针旋转得到，点的对应点分别为．
（1）画出旋转后的；
（2）写出点的坐标_______；
（3）求出点经过的路径长．（结果保留）
18．已知关于的方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的2倍，求的值．
19．第 24 届北京冬奥会开幕式二十四节气倒计时惊艳亮相，从“雨水”开始，一路倒数， 最终行至“立春”，将中国人独有的浪漫传达给了全世界．李老师为了让学生深入了解二十四节气，将每个节气的名称写在完全相同且不透明的小卡片上，洗匀后将卡片倒扣在桌面上，邀请同学上讲台随机抽取一张卡片，并向大家介绍卡片上对应节气的含义．
（1）若随机抽取一张卡片，则上面写有“立夏”的概率为 ；
（2）李老师选出写有“立春、立夏、立秋、立冬”的四张卡片洗匀后倒扣在桌面上，请小丽 同学从中抽取一张卡片记下节气名称，然后放回洗匀再随机抽取一张卡片记下节气名称．请利用画树状图或列表的方法，求两次抽到的卡片上写有相同节气名称的概率．
20．如图，是的直径，四边形内接于，D是的中点，交的延长线于点E．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
21．根据以下信息，探索完成任务：
22．在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线与直线交于点．
（1）当时，直接写出线段的长．
（2）若在的范围内，的长度随着的增大而增大，求的取值范围．
（3）若，求取何值时，线段的长度最大（可用含的代数式表示）．
23．已知，将绕点逆时针旋转到，使点的对应点落在直线上．
（1）如图（1）当时，的度数为 ．
（2）如图（2）过作的平行线，与的延长线交于点，交于点，写出线段与的数量关系，并证明．
（3）当时，直接写出与的数量关系（用含的式子表示）
答案
1．【正确答案】D
【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，解题的关键是掌握中心对称图形与轴对称图形的概念．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可．
【详解】解：A.该选项图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
B. 该选项图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意；
C. 该选项图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
D. 该选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
故选D．
2．【正确答案】D
【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，根据函数图象平移的法则解答即可．
【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到抛物线．
故选D．
3．【正确答案】A
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
列表可得出所有等可能的结果数以及摸到一个红球和一个绿球的结果数，再利用概率公式求解即可．
【详解】解：根据题意列表如下：
共有6种等可能的结果，其中摸到一个红球和一个绿球的结果有4种，
∴摸到一个红球和一个绿球的概率为．
故选A．
4．【正确答案】D
【分析】连接，根据切线的性质定理得到，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到为等边三角形，得到，根据直角三角形的性质、勾股定理计算，得到答案．
【详解】解：如图，连接，
是⊙O的切线，
，
四边形为菱形，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
由勾股定理得，．
故选D．
5．【正确答案】C
【分析】根据划两年后将杂交水稻种植面积增至48公顷，即可得出关于x的一元二次方程；
【详解】依题意，得：．
故选C．
6．【正确答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理及其推论、等腰三角形的判定和性质以及扇形的面积公式，证明是等腰三角形，求出的度数是解题的关键．
首先证明是等腰三角形，求出，然后根据圆周角定理求出，再利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：连接，如图所示，
是直径，
，即，
为的中线，
是等腰三角形，
，
，
，
半径为2，
，
故选B．
7．【正确答案】D
【分析】根据题意，点在二次函数的图象上，故选项B、C不符合题意；然后从对称轴与b的取值来分析，可知符合题意的选项．
【详解】解：当时，，
点在二次函数的图象上，
选项B、C不符合题意；
二次函数的对称轴为：，
对于选项A：当时，可知，故对称轴在y轴的左侧，故选项A不符合题意；
对于选项D：当时，观察图象可知，故对称轴在直线的左侧，故选项D符合题意；
故选D．
8．【正确答案】D
【分析】取的中点，连接、、，根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半，得出，再结合等腰三角形三线合一的性质，得到，从而推出点的运动轨迹是以为直径的圆上，取的中点，以长为半径作，交、于点、，过点作于，即点在运动，利用等腰直角三角形的性质，求出，连接交于点，此时线段有最小值，先利用勾股定理求出，再根据求解即可．
【详解】解：如图，取的中点，连接、、，
在等腰直角三角形中，，
，，
点是的中点，
，
，
，
为的中点，
，，
，
点的运动轨迹是以为直径的圆上，
取的中点，以长为半径作，交、于点、，过点作于，即点在运动，
，
，
，，
，，
，
，
连接交于点，此时线段有最小值，
在中，，
，
故选D．
9．【正确答案】，/，
【分析】本题考查用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键．通过展开和移项将方程化为一般形式，再因式分解求解．
【详解】，
提公因式得，，
移项得，，
提公因式得，，
即或，
解得：，.
10．【正确答案】/
【分析】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，根据方程有两个不相等的实数根求解即可得到答案；
【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得.
11．【正确答案】；
【分析】本题考查了用频率估计概率，已知概率求数量．熟练掌握用频率估计概率，已知概率求数量是解题的关键．
（1）根据当足够大时，发芽的频率逐渐稳定并趋于概率，作答即可；
（2）根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，估计该品种小麦在相同条件下发芽的概率为.
（2）解：由题意知，在相同条件下播种该品种小麦个，则约有个能发芽.
12．【正确答案】
【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
利用圆锥的侧面展开图为一扇形，确定这个扇形的弧长和半径，代入扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：圆锥的侧面积．
13．【正确答案】
【分析】根据切线长定理，结合已知条件，可得为等边三角形，继而求得的长度，结合切线的性质定理与圆周角定理，利用解直角三角形即可求解．
【详解】
解：如图，连接，
是的切线，
，
，
为等边三角形，
，
是的切线，
，
，
是的直径，
，
在中，
．
14．【正确答案】/2.5
【分析】连接OB，在Rt△OBC中，根据勾股定理即可求得半径．
【详解】垂直平分，
的圆心在上，
设的圆心为，连接，设
，
在中，
解得
15．【正确答案】
【分析】根据先对进行整理，得，然后根据二次函数的性质，即可．
【详解】∵，
∴设，
∵，
∴当时，有最小值，
∴当，最小．
16．【正确答案】②③
【分析】根据点A的对应方程进行求解即可判断①；再根据点P的对应方程有两个相等的实数根可得，即可判断②；求得直线的解析式为，设直线上的任意一点为，可得这个点的对应方程为，再利用判别式即可判断③．
【详解】解：∵，
∴点A的对应方程为，
解得，，
∴点A的对应方程有两个不相等的实数根，故①错误；
若点（均为整数）的对应方程有两个相等的实数根，
∴，即，
∵m、n均为整数，
∴当时，，符合条件，
当时，，符合条件，
∴在图示网格中，满足条件的点P有3个，故②正确；
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
设直线上的任意一点为，
∴这个点的对应方程为，
∵
∵，
∴，即，
∴线段上任意点的对应方程都没有实数根，故③正确.
17．【正确答案】（1）图见详解
（2）
（3）
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握旋转的性质作图，坐标与图形，弧长公式的计算是解题的关键．
（1）根据旋转的性质作图即可；
（2）根据坐标与图形，数形结合分析即可；
（3）根据弧长公式的计算方法（为扇形的圆心角度数）即可．
【详解】（1）解：如图所示，
是所求图形；
（2）解：根据图示可得，.
（3）解：根据题意，
，，
∴点经过的路径长为．
18．【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据方程的根的判别式即可．
（2）根据根的判别式，结合根的整数性质，根与系数关系定理，解答即可，熟练掌握根的判别式和根与系数关系定理是解题的关键．
【详解】（1）∵方程，，
∴，
∴，
解得．
（2）∵的两个实数根分别是，，且，
∴，
∵，
∴，
∵为符合条件的最小整数，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴或，
∴或（舍去），
故．
19．【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）直接利用概率公式计算即可；
（2）画出树状图表示出所有等可能的结果，再找出符合题意的结果，最后根据概率公式计算即可．
【详解】（1）∵共有24张卡片，且抽取每张卡片的可能性相同，
∴若随机抽取一张卡片，则上面写有“立夏”的概率为；
（2）把写有“立春、立夏、立秋、立冬”的四张卡片分别记为 A、B、C、D，画树状图如下：
由树状图可知：共有 16 种等可能的结果，其中两次抽到的卡片上写有相同节气名称的结果有4种，
∴两次抽到的卡片上写有相同节气名称的概率为．
20．【正确答案】（1）见详解
（2）
【分析】（1）要证明是的切线，所以连接，求出即可，根据已知，可得，所以只要证明即可解答；
（2）由（1）可得，过点D作，垂足为F，进而证明，可得，易证，可得，然后进行计算即可解答．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：过点D作，垂足为F，
由（1）得：，
平分，
，，
，
四边形内接于，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
．
21．【正确答案】任务一，, ；任务二，；任务三，水流不能流到圆柱形水杯内，理由见详解
【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法，函数值的计算是关键．
任务一，根据题意得出，的横坐标为，，求得点的坐标，即可求解；
任务二，待定系数法求解析式，即可求解；
任务三，圆柱形水杯最左端到点的距离是，将代入二次函数解析式，比较大小即可求解．
【详解】解：任务一，圆柱的高为，点到圆柱顶端的距离为，
∴
∵，，轴，
∴的横坐标为，
∴该抛物线顶点坐标为.
任务二，设抛物线解析式为
将点代入得，
解得：
∴抛物线解析式为
任务三，水流不能流到圆柱形水杯内，理由如下，
圆柱形水杯最左端到点的距离是，
当时，，
，
水流不能流到圆柱形水杯内．
22．【正确答案】（1）
（2）
（3）详见详解
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，包括开口方向、对称轴、单调性及最值的判断，熟练掌握以上知识点，并结合不等式的相关知识点进行推理是解题的关键．
（1）由二次函数的解析式，求出当时，，即可求解；
（2）由点，点，得出线段，第一种情况：当时，，这是一个开口向上的二次函数，第二种情况：当时，，这是一个开口向下的二次函数，能够大致画出图象即可求解；
（3）由，，分三种情况进行讨论：第一种情况：当时，取时，线段的长度最大，最大值为，第二种情况：当时，取时，线段的长度最大，最大值为，第三种情况：当时，取时，线段的长度最大，最大值为．
【详解】（1）解：二次函数解析式为，
令，得或，
故二次函数的图象与轴交点为和，
由题意，当时，，
线段的长.
（2）由题意，点在抛物线上，
点，
过点作轴的垂线与直线交于点，
点，
线段，
设，
第一种情况：当时，，这是一个开口向上的二次函数，对称轴为，在对称轴左侧，的长度随着的增大而减小；在对称轴右侧，的长度随着的增大而增大，
第二种情况：当时，，这是一个开口向下的二次函数，在对称轴左侧，的长度随着的增大而增大；在对称轴右侧，的长度随着的增大而减小，
故图象大致为下图：
在的范围内，的长度随着的增大而增大，
的取值范围为；
（3），
分三种情况进行讨论：
第一种情况：
当时，即，的长度随着的增大而减小，
取时，线段的长度最大，最大值为；
第二种情况：
令，化简得，解得，
当时，即，
取时，线段的长度最大，最大值为；
第三种情况：当时，即，
取时，线段的长度最大，最大值为；
综上所述，
当时，取时，线段的长度最大，最大值为，
当时，取时，线段的长度最大，最大值为．
23．【正确答案】（1）
（2），见详解；
（3）
【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识点，通过平行线、借助中点构造全等三角形是解题的关键．
（1）由旋转的性质得，即可求出的度数；
（2）取的中点，连接交的延长线于点，连接，易证 ，得到，由旋转性质得，通过旋转及，易得，从而证明，可得，再通过证明，可得，即得，从而证出；
（3）由，，可得，设，则，由（2）可知，，即，因此，可得．
【详解】（1）解：将绕点逆时针旋转到，使点的对应点落在直线上，，
，，
.
（2）解：，证明如下：
如图所示，取的中点，连接交的延长线于点，连接，
，
，
，，
，
，
将绕点逆时针旋转得，使点的对应点落在直线上，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，，
，
设，则，
由（2）可知，，即，
，
.
种子个数n
5
发芽种子个数m
4
发芽种子频率
探索目的
制作简易水流装置
信息1
如图，C是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，使水流从处流出且呈抛物线形．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，水流最终落到轴上的点处．
信息2
圆柱的高为，点到圆柱顶端的距离为，轴，，，为水流所在抛物线的顶点，点，，，，均在同一平面内．
问题解决
任务一
填空：的长度为______，该抛物线顶点坐标为（______，______）．
任务二
求水流所在抛物线的函数解析式．
任务三
现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在点处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计）
红
红
绿
红
（红，红）
（红，绿）
红
（红，红）
（红，绿）
绿
（绿，红）
（绿，红）