北京市第十五中学2025~2026学年九年级上册12月月考数学试题【附解析】

这是一份北京市第十五中学2025~2026学年九年级上册12月月考数学试题【附解析】，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．二次函数的图象的对称轴是（ ）
A．直线B．直线C．直线D．直线
2．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知点，都在二次函数图象上，则，大小关系为（ ）
A．B．C．D．无法确定
4．把抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（ ）
A．B．C．D．
5．市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至162元，设这种药品平均每次降价的百分率为x，则可列方程（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，在中，，在同一平面内，将绕点A逆时针旋转得到，且，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下：
下列说法正确的是（ ）
A．若移植100棵幼树，成活数一定为90棵
B．随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼树在同等条件下移植成活的概率为
C．移植的幼树越多，成活率越高
D．若移植270棵幼树，成活数不会超过235棵
8．在平面直角坐标系中，已知二次函数，其中．下列四个结论中：
①若这个函数的图象经过点，则函数必有最大值；
②若时，随的增大而减小，则必有；
③若这个函数的图象经过点，则不等式的解集为或；
④若方程有一根为，且，则必有．
所有正确结论的序号是（ ）
A．①③B．②③C．①④D．①②④
二、填空题
9．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ．
10．圆心角是的扇形的半径为12，则这个扇形的面积为 ．
11．关于的方程有两个相等的实数根，则的值是 ．
12．已知二次函数满足条件：①有最小值；②它的图象经过点，写出一个满足上述所有条件的二次函数的解析式 ．
13．如图，是的直径，是的弦．若，，则 ．
14．如图，是的直径，C，D是上的两点，，过点C作的切线交延长线于点E，则的度数为 ．
15．如图，分别与相切于点A，B，点C为劣弧上的点，过点C的切线分别交于点M，N．若，则的周长为 ．
16．如图，的直径弦CD于点F，，，点为上一动点，直线AE于点..，连接OP，点在上运动的过程中，线段OP长的最大值为 ．
三、解答题
17．解方程：x2+4x﹣1=0．
18．下面是小明设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图，及外一点P．
求作：过点P的的切线．
作法：①连接；
②以为直径作，交于点A，B；
③作直线；
则直线即为所求．根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：是的直径，
（___________________________）（填推理依据）．
．
又是的半径，
是的切线（________________________）（填推理依据）．
同理，是的切线．
19．已知二次函数．
（1）将化成的形式；
（2）在平面直角坐标系中画出此函数的图象；
（3）当时，结合图象，直接写出x的取值范围．
20．如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，交于点F．若，求的长．
21．已知关于的一元二次方程：．
（1）判断该方程的根的情况，并说明理由；
（2）若该方程有一个根小于3，求的取值范围．
22．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC．
（1）求证：∠1=∠2；
（2）若，求⊙O的半径的长．
23．2023年7月31日，北京遭遇年以来最大的暴雨，房山地区受灾严重．为了做好防汛救灾工作，某社区特招募志愿工作者，小东和小北积极报名参加，根据社区安排，志愿者被随机分到组(信息登记)，组(物资发放)，组(垃圾清运)的其中一组．
（1）小东被分配到组是 事件 (填“必然”，“随机”或“不可能”)；
小东被分配到组的概率是 ．
（2）请用列表或画树状图的方法，求出小东和小北被分配到同一组的概率．
24．如图，在中，，以边为直径作交于点D，连接并延长交的延长线于点E，点P为的中点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为3，，求的长．
25．通常情况下，人服药后药会被人体吸收，同时人体血液中的药物浓度（简称血药浓度）也会随着时间的推移而发生波动．经研究发现，血药浓度（单位：）与时间（单位：h）满足某种函数关系．假设某位患者第一次服用某药后的血药浓度与时间近似满足函数关系，下表记录了该患者第一次服用该药后的血药浓度与时间的几组对应值：
（1）求这位患者第一次服用该药后的血药浓度与时间满足的函数关系；
（2）这位患者第一次和第二次服药间隔的时间为小时，两次分别服用相同剂量的该药产生的体内血药浓度随时间的推移而发生的波动相同．若两次服药后的血药浓度波动有重叠时，血药总浓度是这两次血药浓度的和，且该药引起中毒的最低血药总浓度为．
①当时，判断该患者是否存在中毒风险，并说明理由；
②当该药的血药浓度不低于时，它对治疗疾病有疗效.若要求该患者既能安全用药，又能对治疗疾病持续有疗效，请直接写出的取值范围．
26．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴的交点为．
（1）求的值，并用含的式子表示；
（2）已知直线与抛物线交于两点，其中点是右侧交点．
①求点的横坐标；
②过点作轴的垂线，交抛物线于点（M不与B，C重合），连接，．
已知在点从点运动到点的过程中，的面积随的长的增大而增大，求的取值范围．
27．在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点．
（1）如图1，，点与点重合，
①依题意补全图形；
②求证：；
（2）如图2，点在的延长线上，点在线段上，用等式表示与的数量关系，并证明．
28．在平面直角坐标系中，已知的半径为1，点A的坐标为．点B是上的一个动点（点B不与点A重合）．若点P在射线上，且，则称点P是点A关于的2倍关联点．
（1）若点P是点A关于的2倍关联点，且点P在x轴上，则点P的坐标为______；
（2）直线l经过点A，与y轴交于点C，．点D在直线l上，且点D是点A关于的2倍关联点，求D点的坐标；
（3）直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段上存在点A关于的2倍关联点，直接写出b的取值范围．
答案
1．【正确答案】B
【分析】本题考查二次函数顶点式的对称轴求法．
根据二次函数的顶点式，对称轴为直线．
【详解】解：∵函数是顶点式，
∴对称轴为直线．
故选B．
2．【正确答案】A
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选A．
3．【正确答案】A
【分析】本题考查二次函数的性质，通过直接计算点A和点B的纵坐标，比较大小．
【详解】∵ 点在二次函数上，
∴，
∵ 点在二次函数上，
∴，
∵，
∴．
故选A．
4．【正确答案】C
【分析】本题主要考查了函数图象的平移，抛物线的顶点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．
【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线所对应的函数表达式为：．
故选C．
5．【正确答案】A
【分析】根据题意直接列出方程即可．
【详解】解：设这种药品平均每次降价的百分率为x，第一次降价后的价格为；第二次降价后的价格为，
即，
故选A．
6．【正确答案】C
【分析】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
由旋转的性质可得，，可得，即可求解．
【详解】解：∵，
，
将绕点逆时针旋转得到，
，，
，
，
故选．
7．【正确答案】B
【分析】本题考查用频率估计概率．根据统计数据，随着移植总数增加，成活频率在0.900附近摆动并趋于稳定，因此可用频率估计概率．
【详解】解：∵ 从统计数据看，当移植总数较大时（如1500、3500、7000、14000），成活频率分别为，均在左右摆动，显示出稳定性；
∴ 可以用频率估计该幼树移植成活的概率为，故选项B正确．
选项A错误，因为成活数不一定为90棵，频率具有随机性；
选项C错误，因为成活率并非单调递增，如从3500到7000时频率下降；
选项D错误，因为基于概率估计，移植270棵时成活数可能超过235棵（如）．
故选B．
8．【正确答案】A
【分析】本题考查二次函数的性质，包括最值、单调性、不等式解集及根的范围，灵活运用反例或结合性质找到，的范围，从而判断选项是否错误是解题关键．
结合条件，利用二次函数的性质逐一判断选项即可．
【详解】解：①：若经过点，则有，
又∵，
∴有，
解得，
，故函数必有最大值，①正确；
②：可取反例，当时，，，
则此时当时，随的增大而减小，
∴②错误；
③：若经过点，则有，
∵，
∴有，
解得，
，
令，
解得或，
，结合图象可知，
∴不等式的解集为或，
∴③选项正确；
④：由，即，
∴可知二次函数经过定点，
方程的其中一根为，
∵，
∴，，
∴，，
解得，，
∴④错误，
综上所述，①③正确，
故选A．
9．【正确答案】
【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点对称点是，进而得出答案．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是.
10．【正确答案】
【分析】本题考查了扇形的面积公式，根据扇形面积公式计算，其中为圆心角度数，为半径．
【详解】解：由题意，圆心角 ，半径 ，
代入公式得扇形的面积．
11．【正确答案】5
【分析】本题考查的是一元二次方程根的情况，根据方程有两个相等的实数根时判别式为0即可求解．
直接根据一元二次方程根的判别式列出式子，求解即可．
【详解】解：∵方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：．
12．【正确答案】（答案不唯一）
【分析】该题考查了二次函数的图象和性质，二次函数解析式求解，由二次函数有最小值可知开口向上，即二次项系数；由图象经过点可知常数项．
【详解】解：设二次函数解析式为．
∵二次函数有最小值，
∴．
∵图象经过点，
∴当时，，即．
取，，则解析式为．
13．【正确答案】
【分析】根据直径所对的圆周角为，可知，求出，得到，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵是的直径，
，
∵与对应同一段弧，
，
，
∴，
∴．
14．【正确答案】
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，连接，根据同弧所对的圆周角相等推出，得出的度数，再根据切线的性质结合直角三角形量锐角互余即可推出结果．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴.
15．【正确答案】12
【分析】本题考查切线长定理，掌握经过圆外一点作圆的两条切线，切线长相等是解本题的关键．
由切线长定理可得出答案．
【详解】解：，，是的切线，，
的周长为：
.
16．【正确答案】
【分析】连接、，过点作于点，如图，利用勾股定理先计算出，再计算出，根据垂径定理得到，接着利用直角三角形斜边上的中线性质得到，然后利用勾股定理得到，最后利用三角形三边的关系得到，所以的最大值为．
【详解】解：连接、，过点作于点，如图，
，
，
在中，，，
，
在中，，
，，
，
，
，
，
在中，，
（当且仅当、、共线时取等号），
的最大值为．
17．【正确答案】x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．
【分析】方程变形后，利用配方法求出解即可．
【详解】方程变形得：x2+4x=1，
配方得：x2+4x+4=5，即（x+2）2=5，
开方得：x+2=±，
解得：x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．
18．【正确答案】（1）见详解
（2）见详解
【分析】本题考查切线的判定，线段垂直平分线的性质，关键是通过作图构造直径所对的圆周角．
（1）根据要求即可画出图形即可；
（2）根据直径所对的圆周角是直角解决问题即可．
【详解】（1）解：（1）如图所示；
（2）完成下面的证明：
证明：是的直径，
（直径所对的圆周角是直角），
．
又是的半径，
是的切线（经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线），
同理，是的切线．
19．【正确答案】（1）
（2）见详解
（3）
【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式、二次函数的图象、二次函数的性质等知识点，准确画出二次函数的图象成为解答本题的关键．
（1）运用配方法将原解析式化为顶点式即可；
（2）根据（1）所得的顶点式解析式，利用五点作图法直接画出图象即可；
（3）根据函数图象确定当时对应的x的取值范围即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：列表：
图象如图
（3）解：由图象可得，当时，．
20．【正确答案】
【分析】本题考查了旋转的性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质和等腰三角形的判定是解题关键．先求出，再根据旋转的性质可得，，从而可得，然后根据等腰三角形的判定可得，最后利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∵将绕点顺时针旋转得到，且，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中，．
21．【正确答案】（1）原方程有两个实数根，当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程有两个不相等的实数根．理由见详解
（2）
【分析】（1）根据方程的根的判别式，计算判断即可．
（2）解方程后解答即可
本题考查了根的判别式应用，解方程，熟练掌握判别式是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，得，
∵，
∴，
∴原方程有两个实数根，
当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程有两个不相等的实数根．
（2）解：原方程可化为，
解得：；
由方程有一个根小于3，
．
22．【正确答案】（1）见详解；（2）
【分析】（1）根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，又因为△AOC是等腰三角形，即可求证．
（2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径．
【详解】（1）证明：
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
=．
∴∠A=∠2．
又∵OA=OC，
∴∠1=∠A．
∴∠1＝∠2．
（2）∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=6
∴∠CEO＝90º，CE＝ED＝3．
设⊙O的半径是R，EB=2，则OE=R-2
∵在Rt△OEC中，
解得：
∴⊙O的半径是．
23．【正确答案】（1）随机；
（2）
【分析】本题考查列表法与树状图法、随机事件、概率公式
（1）根据随机事件的定义可得答案；由概率公式可得答案．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及小东和小北被分配到同一组的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得，小东被分配到组是随机事件．
小东被分配到组的概率是．
（2）解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小东和小北被分配到同一组的结果有3种，
小东和小北被分配到同一组的概率为．
24．【正确答案】（1）见详解
（2）
【分析】（1）连接，由“直径所对的圆周角等于”可得，由“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”可得，进而可得．又由可得，则可得，即可得证．
（2）先根据三角形外角定理可得，进而可得，则，进而可得．在中，根据三角函数的定义即可求出的长．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵是的直径，
．
在中， 点P为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴是的切线．
（2）解：，且，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
．
25．【正确答案】（1）
（2）
【分析】（）由表格可知二次函数的顶点坐标为，进而可得，再利用待定系数法解答即可；
（）①由题意可得，利用二次函数的性质可得的最大值为，据此即可判断求解；②当时，，可得当时，有最大值为，刚好中毒，即得，当时，可得，，由二次函数的性质可得当时，随的增大而减小，得到，综上即可求解；
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵时，；时，，
∴二次函数的对称轴为直线，
∴二次函数的顶点坐标为，
∴，
把代入得，，
解得，
∴患者第一次服用该药后的血药浓度与时间满足的函数关系为；
（2）解：①患者存在中毒风险，理由如下：
∵患者第一次和第二次服药间隔的时间为小时，
∴血药总浓度，
∴，
∵，
∴当时，有最大值为，
∵，
∴存在中毒风险；
②由①知，当时，存在中毒风险，
当时，，
此时，当时，有最大值为，刚好中毒，
∴，
当时，解得，，
∵，
∴当时，随的增大而减小，
∵，
∴，
综上，的取值范围为．
26．【正确答案】（1）
（2）①点B的横坐标为7；②或
【分析】本题考查了二次函数综合问题，掌握二次函数的性质是解决本题的关键．
（1）将点和点代入二次函数解析中求解即可；
（2）①联立直线和抛物线进行解方程求解即可；②分两情况：当时和当时，进行讨论即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与轴的交点为
，
；
（2）解：①∵直线与抛物线交于两点，
解得，
∵点B是右侧交点，
∴点B的横坐标为7；
②当时，设过点作轴的垂线，交直线于点，

∵过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点N，
，，
∴当时，
，
设为底边的高，为底边的高，
则点B的横坐标的值，
∴的面积
，
∵，
∴，
∵由题意得，，
∴关于的面积的二次函数开口向下，
∴当时，关于的面积的二次函数随t变大，
，
，
；
当时，如图，假设点B在x轴上，

由图象可知，x轴上方的面积为定值，x轴下方的面积也在随点从点运动到点过程中增大，
∴的面积一直随OP的长的增大而增大，
综上，或．
27．【正确答案】（1）①图见详解；②见详解
（2），见详解
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、平行线的性质、旋转的性质及线段垂直平分线的性质，解题的关键是正确作出辅助线；
（1）①根据题意直接作图即可；②连接，由旋转的性质可知，则可知，然后可得，即，进而根据平行线的性质及等腰三角形的判定可进行求证；
（2）在上取一点G，使得，连接，由线段垂直平分线的性质可知，则有，，然后可得，即，进而证得，则问题可求证．
【详解】（1）①解：所作图形如图所示：
②证明：连接，如图所示，
由题意可知：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，证明如下：
如图，在上取一点G，使得，连接，
∵，即，
∴，
∴，，
由旋转的性质可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
28．【正确答案】（1）
（2）点坐标为
（3）或
【分析】（1）根据题意利用即可求出点的坐标；
（2）过点作，利用勾股定理求出的长即可得到点的坐标，再利用和对称性，即可得到的坐标；
（3）根据题意画出图形，利用切线性质及等腰三角形性质求出的长，即可求得的长即为的长，再利用同法即可得到的取值范围．
【详解】（1）解：∵，点B是上的一个动点，，点P在x轴上，
∴点，，
∴，
∴点.
（2）解：根据题干画出简图并过点作，在直线l上找一点D，作轴于点，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点D在直线l上，且点D是点A关于的2倍关联点，
∴，
∴，，
∴，
∴，
根据对称性，点，
综上所述，点坐标为；
（3）解：根据题意点B是上的一个动点（点B不与点A重合），延长到点，使得，
取，，则是中点，连接，，
∵是中点，是中点，
∴是中位线，且，
∴可知点的运动轨迹是以为圆心为半径的圆，如下图所示：
，
∵直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，
当时，，当时，，则，即为等腰直角三角形，
∴当直线与相切与时，连接，，，
∴，
∴，
∴，
当直线刚好经过与y轴负半轴交点时，此时，
∴由此可知，当时，线段上存在点A关于的2倍关联点；
如图当一次函数与轴正半轴有交点时，过点作，
∴为等腰直角三角形，，
∴，，
当直线经过时，满足条件，此时，但B是上的一个动点（点B不与点A重合），
∴由此可知，当时，线段上存在点A关于的2倍关联点；
综上所述的取值范围为或．移植总数m
10
270
750
1500
3500
7000
14000
成活数n
8
235
662
1335
3180
6292
12628
成活的频率(精确到)







（）
（）
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
0
0
3
…