北京市首都师范大学附属中学2025~2026学年九年级上册12月月考数学试题【附解析】

这是一份北京市首都师范大学附属中学2025~2026学年九年级上册12月月考数学试题【附解析】，共35页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为（ ）
A．B．C．D．
2．在Rt△ABC中，∠C=900，AC=4，AB=5，则sinB的值是 ( )
A．B．C．D．
3．如图，AB是☉O的直径，∠CAB=40°，则∠D=（ ）
A．60°B．30°C．40°D．50°
4．如图，在正方形网格中，以点为位似中心，的位似图形可以是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，△ABC中，若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是( )

A．B．
C．D．
6．如图，一艘轮船航行至O点时，测得某灯塔A位于它的北偏东40°方向，且它与灯塔A相距13海里，继续沿正东方向航行，航行至点B处时，测得灯塔A恰好在它的正北方向，则的距离可表示为（ ）
A．海里B．海里C．海里D．海里
7．某电影上映以来，全国票房连创佳绩，据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天的票房收入达11亿元，将增长率记作，则方程可以列为（ ）
A．B．C．D．
8．已知关于的方程的两根分别为，，，若，给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，可能成立的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题
9．点关于原点对称的点的坐标是 ．
10．把抛物线向下平移3个单位长度，得到的抛物线的表达式为 ．
11．正方形ABCD边长为1，以A为圆心，为半径作⊙A，则点C在 (填“圆内”“圆外”“圆上”)．
12．一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水（阴影部分），测得水面宽为，水的深度为，则此管件横截面的半径为 ．
13．如图，在中，若，则与的大小关系是： ．（填“>”，“＜”或“=”）
14．图1是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为6cm，其它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图2所示，此时液面宽度为 cm．
图1 图2
15．如图，在小山的东侧点A处有一个热气球，由于受西风的影响，以的速度沿与地面成角的方向飞行，后到达点C处，此时热气球上的人测得小山西侧点B处的俯角为，则小山东西两侧A，B两点间的距离为

16．顾客请一对师徒把，，，，五块翡翠原石各制作成一件工艺品，每块翡翠原石先由徒弟进行粗加工，再由师傅进行精加工完成制作．五块翡翠原石每道工序所需时间（单位：工作日）如下：
（1）若师徒先交付，两件工艺品，则这两件工艺品最短的交货期为 个工作日；
（2）若师徒一次性交付五件工艺品，则最短的交货期为 个工作日．
三、解答题
17．计算：
18．解方程：x2﹣4x﹣3＝0．
19．已知，求代数式的值．
20．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数的取值范围；
（2）若为满足条件的最大整数，求此时方程的根．
21．下面是小霞设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图，是上一点．
求作：过点的的切线．
作法：作射线交于点；
以为圆心，为半径画弧交于点（点在直线的上方）；
连接，分别以，为圆心，线段的长为半径画弧，两弧相交于点（点，在直线的同侧）；
作直线；
则直线即为所求．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）根据小霞设计的尺规作图过程，完成下面的证明：
证明：连接，，，
∵ ，
∴是等边三角形，
∴，
同理可证，
∴（ ）（填推理的依据），
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线（ ）（填推理的依据）．
22．如图，在平面直角坐标系中，已知点，轴于点，将绕原点逆时针旋转，得到．
（1）画出；
（2）直接写出点和点的坐标；
（3）直接写出线段旋转到线段所扫过的区域的面积（结果保留）．
23．如图，在中，为上一点，为上一点，已知，．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
24．某公司为了研究月宣传费（单位：万元）（）对销售量（单位：吨）和月利润（单位：万元）的影响，搜集了近10个月的月宣传费和月销售量数据：
（1）在表格中各数对所对应的点中的一部分已经在如图的平面直角坐标系中标出，请描出所缺的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接；
（2）若，请借助函数图象，回答下列问题：
①当月宣传费约为__________（精确到0.1）时，；
②当月宣传费约为__________（精确到0.1）时，取最大值，该最大值约为___________（精确到0.1）．
25．如图，，分别与相切于，两点，点是的中点，连接交于点，连接交于点．
（1）若，求（用含的式子表示）；
（2）若，，求的长．
26．在平面直角坐标系中，抛物线与轴的其中一个交点为，与轴的交点为，过点作轴的垂线，与的垂直平分线交于点，与直线交于点，直线经过点和点．
（1）求直线的解析式；
（2）①当时，求线段的长；
②在点运动的过程中，线段的长随长的增大而减小，求的取值范围．
27．在中，，，为平面内一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，取中点，连接．
（1）如图1，当点在线段上，用等式表示与的数量关系，并证明；
（2）如图2，当点在内部时，
①依题意补全图2；
②判断（1）中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
28．在平面直角坐标系中，的半径为5，对于点和的弦，将关于弦对称，得到，称的劣弧和的优弧共同围成的图形为“月牙形”．对于在“月牙形”内部（不含边界）的点，给出如下定义：若在的劣弧上存在一点，使得为的切线，则称点为弦的“关联点”；若点不为弦的“关联点”，则称点为弦的“饱和点”．
（1）如图1，已知点，点．
①在点，，，中，弦的“关联点”是____________，弦的“饱和点”是____________；
②已知点，点满足，若存在满足要求的点是弦的“关联点”，且不存在满足要求的点是弦的“饱和点”，则的取值范围为____________；
（2）如图2，已知是上的一个定点，以为顶点作的内接正六边形，点恰为该正六边形中三条边的“关联点”，则所有满足要求的点形成的区域的面积为____________．
答案
1．【正确答案】A
【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念是解决本题的关键．
根据轴对称图形的概念，即如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；根据中心对称图形的概念，即在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，由此判断选项即可．
【详解】解：A选项，既是轴对称图形又是中心对称图形，故A正确；
B选项，是轴对称图形不是中心对称图形，故B错误；
C选项，不是轴对称图形是中心对称图形，故C错误；
D选项，是轴对称图形不是中心对称图形，故D错误．
故选A ．
2．【正确答案】D
【详解】解：正弦
由题意得，
故选D.
3．【正确答案】D
【分析】根据直径所对的圆周角是90°解得∠B的度数，再利用圆周角定理：在同圆中，同弧所对的圆周角相等解题．
【详解】解： AB是☉O的直径，
故选D．
4．【正确答案】C
【分析】本题考查的是位似变换，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．根据位似变换的概念判断即可．
【详解】解：∵由网格知，，
∴与是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，
∴与是位似图形，
故选C．
5．【正确答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理找准线段的对应关系，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴＝，BD≠BC，
∴≠，选项A不正确；
∵DE∥BC，EF∥AB，
∴＝，EF=BD，＝，
∵≠，
∴≠，选项B不正确；
∵EF∥AB，
∴＝，选项C正确；
∵DE∥BC，EF∥AB，
∴＝，=，CE≠AE，
∴≠，选项D不正确；
故选C．
6．【正确答案】A
【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，首先由方向角的定义及已知条件得出，，海里，，解，得出海里．
【详解】解：如图，由题意可知，，
在中，
，，海里，
∴海里．
海里．
故选A．
7．【正确答案】D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据增长率模型，第三天的票房是在第一天票房基础上经过两次相同增长率增长得到的，列方程即可．
【详解】解：∵该市第一天票房约2亿元，且以后每天票房按相同的增长率x增长，
∴该市第二天票房约亿元，第三天票房约亿元．
根据题意得：．
故选D．
8．【正确答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握方程的根与二次函数图象的关系是解题的关键．
假设二次函数，由，可知当时，计算函数值为，由此根据图象大致判断出，，与的大小关系．
【详解】假设二次函数，
当时，，结合
计算，
∵抛物线开口向上，
，为抛物线与轴交点的横坐标，结合图象，
当的值处于，，之间时，函数值必为负数，
而时，，故结论②不成立，
根据二次函数图象的形式，判断出当，或时，
函数值必为正数，故①③均有可能，
∴结论①和③可能成立，共2个，
故选C．
9．【正确答案】
【分析】本题考查点的对称性，根据关于原点对称的两个点的横坐标及纵坐标均互为相反数的特征直接求解即可得到答案，熟记关于原点对称的点的坐标特征是解决问题的关键．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是.
10．【正确答案】
【分析】本题考查二次函数图象的平移变换，抛物线向下平移时，函数表达式需在常数项上减去平移的单位数即可．
【详解】解：原抛物线表达式为，向下平移个单位长度，即在原函数值上减去，得．
11．【正确答案】圆上
【分析】利用勾股定理得到正方形的对角线的长度，再根据点到圆心的距离判断点与圆的位置关系得到答案.
【详解】∵正方形ABCD的边长为1，所以其对角线AC＝，
又∵圆的半径为，
∴点C在圆上.
故答案为圆上.
12．【正确答案】
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．连接，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，即可得到答案．
【详解】解：连接，如图所示：
由题意知，，
则，
设的半径为，则，
在中，，
，
解得，
∴此管件横截面的半径为.
13．【正确答案】
【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是利用三角形三边关系得到．如图，连接、，根据题意知，，又由三角形三边关系得到得到：．
【详解】解：如图，连接、，
在中，若，
，
在中，．
．
14．【正确答案】3
【分析】本题考查了相似三角形的应用．过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据，得出，再根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
∵，
，
，
，，
，
解得.
15．【正确答案】
【分析】过点A作于点H，则，证明是等腰直角三角形，则，在中，，即可得到答案．
【详解】解：过点A作于点H，则，

由题意可得，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
即A，B两点间的距离为．
16．【正确答案】9；22
【分析】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力．
（1）只交付和两件工艺品，通过优化安排加工顺序，分别进行先后，先后情况下的工作日计算进行比较，得出最短交货期．
（2）得出最优加工顺序，徒弟粗加工顺序为、、、、，再计算师傅精加工的时间线，可得到最小交货期．
【详解】（1）进行分类讨论，先后：
徒弟从时间0开始粗加工，耗时2个工作日，完成于时间2；
师傅从时间2开始精加工，耗时3个工作日，完成于时间5；
同时徒弟从时间2开始粗加工，耗时5个工作日，完成于时间7；
师傅从时间7开始精加工，耗时2个工作日，完成于时间9；
因此完成于5个工作日，完成于9个工作日，交货期为9个工作日．
先后：
徒弟从时间0开始粗加工，耗时5个工作日，完成于时间5；
师傅从时间5开始精加工，耗时2个工作日，完成于时间7；
同时徒弟从时间5开始粗加工，耗时2个工作日，完成于时间7；
师傅从时间7开始精加工，耗时3个工作日，完成于时间10；
因此完成于7个工作日，完成于10个工作日，交货期为10个工作日．
∵，
相比之下，先后的交货期更短，
故最短交货期为：9．
（2）徒弟按顺序粗加工、、、、：
粗加工耗时2日，完成于时间2；
粗加工耗时3日，从时间2开始，完成于时间5；
粗加工耗时6日，从时间5开始，完成于时间11；
粗加工耗时4日，从时间11开始，完成于时间15；
粗加工耗时5日，从时间15开始，完成于时间20．
师傅精加工：从时间2开始精加工（耗时3日），完成于时间5；
从时间5开始精加工（耗时6日），完成于时间11；
从时间11开始精加工（耗时4日），完成于时间15；
从时间15开始精加工（耗时3日），完成于时间18；
从时间20开始精加工（耗时2日），完成于时间22．
因此最短交货期为22个工作日．
17．【正确答案】
【分析】根据特殊角的三角函数值，代入计算可得答案．
【详解】解：原式
18．【正确答案】x1＝2+，x2＝2﹣
【分析】利用配方法解方程.
【详解】移项得x2﹣4x＝3，
配方得x2﹣4x+4＝3+4，
即（x﹣2）2＝，
开方得x﹣2＝±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣．
19．【正确答案】
【分析】化简代数式，再整体代入即可．
【详解】解：，
=，
=，
∵，
∴，
故代数式的值为．
20．【正确答案】（1）
（2），
【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
（1）根据判别式大于0即可求出答案．
（2）先求出的值，然后代入方程求出方程的解即可求出答案．
【详解】（1）解：由题意可知，
；
（2）解：由（1）可知：，
此时方程为：，
，
，．
21．【正确答案】（1）见详解；
（2）；在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线．
【分析】本题考查了尺规作图，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的判定，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）根据题意作图步骤即可求解；
（）连接，，，证明是等边三角形，则，同理，通过圆周角定理可得，从而可得，然后由切线的判定方法即可求证．
【详解】（1）解：如图，直线即为所求；
（2）证明：连接，，，如图，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
同理可证，
∴（在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半），
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线（经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线），
故；在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线．
22．【正确答案】（1）见详解
（2）
（3）
【分析】本题主要考查了作旋转图形，勾股定理，扇形的面积，含直角三角形的性质和判定，正弦，
对于（1），将点A，B绕原点逆时针旋转得到点，再依次连接可得；
对于（2），根据旋转的性质得，再根据含直角三角形的性质求出，然后根据勾股定理求出，即可得出答案；
对于（3），根据旋转的性质可知要求的面积是以点O为圆心，为半径，且圆心角是的扇形，再根据扇形的面积公式得出答案．
【详解】（1）解：如图所示，∵点，且轴，
∴，根据勾股定理，得，
在中，，
∴，
则，即为所求作；
（2）解：根据旋转可得，
过点作轴于点C，
则，
∴，
∴，
根据勾股定理，得，
∴点；
（3）解：如图，线段旋转到所扫过的区域是以点O为圆心，为半径，且圆心角是的扇形，
所以其面积．
23．【正确答案】（1）见详解
（2）4
【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正确得出是解答本题的关键．
（1）先证明，再结合即可证明；
（2）设，则,根据相似三角形的性质列方程求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又，，
∴，
又，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
设，则,
∵，
∴，
∴，
解得：或，
经检验，或是原方程的根，
又线段的长度不能为负数，
故不符合题意，
∴．
24．【正确答案】（1）见详解
（2）①4.5②1.0；2.0
【分析】本题主要考查从函数图象获取信息的能力，正确画图是解答本题的关键．
（1）根据表格中的数据，补全未标出的点的坐标，并用平滑的曲线连接起来即可；
（2）①观察函数图象可得结论；
②观察函数图象可得结论．
【详解】（1）解：在坐标系中补出数对和，并用平滑的曲线连接；
（2）解：①当时，对应的的值为4.5，精确到0.1是4.5；
②由图象可得当月宣传费约为1.0（精确到0.1）时，取最大值，该最大值约为2.0．
25．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题考查了圆周角定理，切线长定理、切线的性质，相似三角形的判定与性质，证明是关键．
（1）由是圆的切线可得，由直角三角形斜边上的中线可得，得，在优弧上取一点，连接，得，由可得；
（2）连接交于点，延长交于点，证明，得，，由勾股定理得，，，，证明，可得．
【详解】（1）解：∵是圆的切线，
∴平分，，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴；
在优弧上取一点，连接，得，
∵，
∴，
∴；
（2）解：连接交于点，延长交于点，
∵是圆的切线，
∴垂直平分，即，，
又，
∴，
∵
∴，
∴，，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴
又，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴,
∴．
26．【正确答案】（1）
（2）①；②或
【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合应用，二次函数与几何的综合应用，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键：
（1）求出点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）①求出的中点坐标，设的中垂线交轴于点，连接，设，则，勾股定理求出的值，进而得到点的坐标，求出线段的中垂线的解析式，进而求出点坐标，求出点坐标，利用两点间距离公式求出的长即可；
②同①法求出，，得到点在抛物线上运动，联立，得到两条图象的交点的横坐标，根据线段的长随长的增大而减小，得到点在点的上方，进而求出，得到当时，的长最长，结合图象，确定的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵，
∴当时，，
∴，
∵直线经过点和点，
∴，解得，
∴；
（2）①当时，则，
由（1）知：，直线，
∴的中点坐标为，
∴，
设的中垂线交轴于点，连接，设，则，
在中，，即，
解得，
∴，
同（1）法可得：线段的垂直平分线的解析式为：，
∵过点作轴的垂线，与的垂直平分线交于点，与直线交于点，
∴当时，，，
∴，
∴；
②∵，，
∴的中点坐标为，
同①法可得：线段的垂直平分线的解析式为：，
∴，，
∴点在抛物线上运动，
联立，得，
解得，
∵线段的长随长的增大而减小，
∴点在点的上方，如图，
∵，
∴当时，的长最大，
又∵，抛物线与轴的其中一个交点为，且过点，
∴，
∴当线段的长随长的增大而减小时，或．
27．【正确答案】（1），证明过程见详解；
（2）
见详解；
（1）中与的数量关系仍然成立，证明过程见详解
【分析】（1）由等边对等角，结合直角三角形的两个锐角互余，可得，由旋转的性质，可得，证明，可得，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，即可证得结论；
（2）根据题意补全图形即可；延长至，使，连接，，则点为的中点，由等腰三角形的判定和性质，可得，，证明，可得，由三角形的中位线定理，可得，即可证得结论．
【详解】（1）解：．
证明：∵在中，，，
∴，
由旋转可得，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，为的中点，
∴，
∴．
（2）解：依题意补全图2如下图：
（1）中与的数量关系仍然成立．
证明：延长至，使，则点为的中点，连接，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
由旋转可得，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵为的中点，为的中点，
∴，
∴．
28．【正确答案】（1）①；；②
（2）
【分析】（1）①判定点，点都在上，求出点的坐标为，根据，，，，得点在“月牙形”外，在“月牙形”内，当，，是的切线时，证明点在上,点在上，不在上．得是“关联点”,是“饱和点”，不是“关联点”也不是“饱和点”，
②，是的切线，切点分别为，，在满足要求的点是弦的“关联点”，且不存在满足要求的点是弦的“饱和点”， 点在月牙内（不含月牙的边界），但不能在月牙的空白部分处，进而分别求得的最小临界值和最大值，即可求解；
（2）根据正六边形性质和轴对称性质得，切线过P点，的切线过点Q，的切线过点K，得点恰为该正六边形中三条边的“关联点”，证明是的切线，得，得，得，则所有满足要求的点形成的区域的面积为．
【详解】（1）解：①∵点，点，
∴，
∵的半径为5，
∴点A、B都在上，
由轴对称知，，
∴，
∴四边形是菱形，
∴与互相垂直平分，
∴中点坐标为，
∴点的坐标为，
∵，，，，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
∴点在“月牙形”外，在“月牙形”内，
当，，是的切线时，
∵，
∴，
∴点在上,
∵,
∴点在上，
∵，
∴，
∴不在上．
∴是“关联点”,是“饱和点”，不是“关联点”也不是“饱和点”.
②如图所示， ，是的切线，切点分别为，，
∵在满足要求的点是弦的“关联点”，且不存在满足要求的点是弦的“饱和点”，
∴点在月牙内（不含月牙的边界），但不能在月牙的空白部分处，
∴的最小距离为，
∵，
∴，
∵，
∴（在边界上，临界值），
当为半径的与相切时，取得最大值，即取得最大值；
设交轴于点，连接，
∵
∴
∵点，点．点的坐标为，
∴，则，
∴
∴
解得：
∴，
∵
∴
设直线解析式为，代入，
∴
解得：
∴直线的解析式为
同理可得的解析式为，当时，
∴在直线上，
过点作交于点，则
∴
∵
∴
∴的最大值为（不在月牙的边界，可以取等于号）
∴
即
（2）解：如图，∵六边形是正六边形，
∴，
∵，
∴是正三角形，
由轴对称知，，
∴，
当是切线时，,
∴，
∵，
∵，
∴L、T、P三点共线，
同理，的切线过点Q，的切线过点K，
∴K、T、Q三点共线，
∴点恰为该正六边形中三条边的“关联点”，
∵，
∴是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴,
则所有满足要求的点形成的区域的面积为．
用时 原石
工序
粗加工
2
5
3
4
6
精加工
3
2
6
3
4
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
4.00
4.50
5.00
1.15
1.50
1.70
1.85
1.96
2.05
2.13
2.19
2.25
2.30