2025-2026学年北京市陈经纶中学八年级上册12月月考数学试卷 [附答案]

这是一份2025-2026学年北京市陈经纶中学八年级上册12月月考数学试卷 [附答案]，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列结论中，正确的是（ ）
A．为任何实数时，分式总有意义
B．当时，分式的值为0
C．和的最简公分母是
D．将分式中的，的值都变为原来的10倍，分式的值不变
4．下列从左到右的分式变形中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，，，，则下列结论错误的是（ ）
A．是等边三角形B．
C．D．
6．如图，，，下列结论一定正确的是（ ）
A．平分B．垂直平分
C．垂直平分D．与互相垂直平分
7．在下列选项中的尺规作图，能推出的是( )
A．B．
C．D．
8．如图，四边形ABCD中，F是CD上一点，E是BF上一点，连接AE、AC、DE．若AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=70°，AE平分∠BAC，则下列结论中：①△ABE≌△ACD：②BE=EF；③∠BFD=110°；④AC垂直平分DE，正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
9．若分式有意义，则的取值范围为 ．
10．整式是完全平方式，则 ．
11．若恒成立，则 ．
12．计算： ．
13．化简： ．
14．已知，则 ．
15．分式，，－的最简公分母是 ．
16．分解因式 ；若a是整数，则一定能被一个常数整除，这个常数的最大值是 ．
17．因式分解：
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ ．
18．若，则 ．
19．将4个数a，b，c，d排列成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则x的值为 ．
20．已知点关于轴的对称点和点关于轴的对称点相同，则点的坐标为 ．
21．①已知，，则 ；
②若，，则 ．
22．如图，在中，，D是上一点，连接，将沿所在的直线折叠，点B落在点处，连接，若，且平分，则的度数为
23．计算：
① ；
② ；
③ ．
24．如图，点C在线段上，，且，则 ．
25．唐诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，隐含了一个有趣的数学问题——“将军怎样走才能使总路程最短”？如图，在平面直角坐标系中，将军从出发，先到山脉的任意位置望烽火，再到河岸的任意位置饮马后返回到点，且与的夹角为，则将军所走的最短总路程为 ．
26．已知，，，则 ．
三、解答题
27．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出关于直线对称的；
（2）格点到点、的距离相等，则网格中满足条件的点共有______个；
（3）在直线上找一点，使的值最小．
28．已知：如图，在中，，为的中点，于点，交于点．连接，若．求证：．
29．如图，过等边三角形的顶点C作直线，点A关于直线的对称点为点D，交直线于点E，连接，．
（1）依题意补全图形；
（2）求的度数；
（3）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
答案
1．【正确答案】C
【分析】此题考查了轴对称图形的识别，，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据轴对称图形的概念逐一判断即可．
【详解】解：、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选．
2．【正确答案】A
【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方、平方差公式等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．
根据合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方、平方差公式逐项判断即可．
【详解】解：A． ，计算正确，符合题意；
B． ，故该选项计算错误，不符合题意；
C． ，故该选项计算错误，不符合题意；
D． ，故该选项计算错误，不符合题意．
故选A．
3．【正确答案】D
【分析】根据分式有意义的条件，分式的值为零，分式的基本性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：A．当时，分式没有意义，选项错误，不符合题意；
B．当时，分式的值为零，当时，分式没有意义，选项错误，不符合题意；
C．和的最简公分母是，选项错误，不符合题意；
D．将分式中的，的值都变为原来的10倍，分式的值不变，选项正确，符合题意；
故选D．
4．【正确答案】C
【分析】本题考查分式的基本性质，即分子分母同乘或同除以同一个不为零的整式，分式的值不变．
根据分式的基本性质逐一判断即可．
【详解】解：A． ，原变形错误；
B．当时，无意义，原变形错误；
C． ，原变形正确；
D． 无法通过分式的基本性质变为，原变形错误；
故选C．
5．【正确答案】D
【分析】根据等边三角形的判定和性质，以及外角的性质，以及的直角三角形，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、∵，，
∴是等边三角形，
选项正确，不符合题意；
B、∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，，
∵
∴，
∴，
∴，
∴；
选项正确，不符合题意；
C、∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴；
选项正确，不符合题意；
D、∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
选项错误，符合题意；
故选D．
6．【正确答案】C
【分析】本题考查垂直平分线的判定定理，根据垂直平分线的判定定理直接可得结论
【详解】解：∵，，
∴点A、 B 在的垂直平分线上，
∴垂直平分，
故选C
7．【正确答案】B
【分析】本题考查了基本作图的方法．熟悉基本几何图形的性质，并掌握基本几何作图是解题的关键．根据角平分线和线段中垂线的尺规作图及其性质即可得出答案．
【详解】解：A．由作图痕迹可知，，不能得出，
故A选项不符合题意；
B．由作图痕迹可知，所作为线段的垂直平分线，
，
故B选项符合题意；
C．由作图痕迹可知，所作为线段的垂直平分线，
，不能得出，
故C选项不符合题意；
D．由作图痕迹可知，所作为的平分线，不能得出，
故D选项不符合题意．
故选B．
8．【正确答案】C
【分析】依据SAS可证明ABE≌，由全等三角形的性质可得到，则，然后依据四边形的内角和为可求得的度数，然后再证明，最后，依据等腰三角形的性质可得到AC与DE的关系．
【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=∠DAE，AE=AD，
∴ABE≌△ACD，故①正确．
∵ABE≌△ACD，
∴∠AEB=∠ADC．
∵∠AEB+∠AEF=180°，
∴∠AEF+∠ADC=180°，
∴∠BFD=180°-∠EAD=180°-70°=110°，故③正确．
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC=35°．
又∵∠DAE=70°，
∴AC平分∠EAD．
又∵AE=AD，
∴AC⊥EF，AC平分EF．
∴AC是EF的垂直平分线，故④正确．
由已知条件无法证明BE=EF，故②错误．
故选C．
9．【正确答案】
【分析】本题考查二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握二次根式和分式的概念是关键．
分式有意义的条件是分母不为零，二次根式则要求被开方数非负，结合在一起解不等式组即可．
【详解】解：要使分式 有意义，则分母 ，同时被开方数 ，
∴，
解得，．
10．【正确答案】
【分析】本题考查了完全平方式，根据完全平方式的结构特征求解即可，熟练掌握完全平方式的结构是解题的关键．
【详解】解：∵是完全平方式，
∴，
∴.
11．【正确答案】
【分析】先将等式右边的式子展开并整理，然后根据等式恒成立时对应项系数相等，求出、的值，进而计算．本题主要考查等式恒成立的条件及多项式相等的性质，熟练掌握“等式恒成立时对应项系数相等”是解题的关键．
【详解】解：
∴，
∴
解得，．
．
12．【正确答案】
【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，积的乘方的逆用．
逆用同底数幂乘法将化为，逆用积的乘方将化为，进而计算即可．
【详解】解：
．
13．【正确答案】0
【分析】本题主要考查了幂的运算，涉及同底数幂的乘除法、幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．分别进行同底数幂的乘除法、幂的乘方运算，再进行合并同类项即可．
【详解】解：原式.
14．【正确答案】2或
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握整式的加减运算．
先利用整式的加减进行化简得出，再利用完全平方公式进行求解即可．
【详解】解：两式相减，得，
解得，
∴，
∴2或．
15．【正确答案】
【分析】先根据最简公分母的定义求解即可．
【详解】解：三个分式的分母分别为：2a，，，
∴最简公分母是.
16．【正确答案】；6
【分析】本题考查了因式分解的应用，数的整除，综合提公因式和公式法分解因式，解题关键是注意两个连续整数中必有一个是偶数．
先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可，再根据三个连续的整数的积的性质求解．
【详解】解：，
a是整数，则，，是三个连续的整数，
∴能被、整除，
∴也能被整除，
∴最大的常数是6.
17．【正确答案】；；；；
【分析】本题考查了因式分解．
①提取公因式；
②提取公因式后，运用平方差公式分解；
③提取公因式后，对二次三项式进行因式分解；
④提取公因式后，运用完全平方公式分解；
⑤提取公因式后，运用完全平方公式分解．
【详解】解：①.
②.
③.
④.
⑤.
18．【正确答案】6
【分析】本题考查了完全平方公式，分式的求值，由已知方程变形得到的值，再利用完全平方公式即可得解．
【详解】解：由题意知，
，
，
，即．
，
.
19．【正确答案】4
【分析】本题考查了整式的混合运算，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．
先根据题意得，然后由完全平方公式和平方差公式化简，再解方程即可．
【详解】解：由题意得，，
，
解得.
20．【正确答案】
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系、二元一次方程组的应用等知识点，掌握关于x轴对称的点的横坐标相同、纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点的纵坐标相同、横坐标互为相反数是解题关键．
由轴对称的性质可得点关于轴的对称点的坐标为；点关于轴的对称点的坐标为，再根据题意列出关于a，b的方程组求得a，b的值即可解答．
【详解】解：∵点关于轴的对称点的坐标为；点关于轴的对称点的坐标为，
∴，解得：，
∴点A的坐标是．
故答案为．
21．【正确答案】3；4
【分析】本题考查了同底数幂的除法的逆用，积的乘方，同底数幂的乘法．
①逆用同底数幂的除法法则计算；
②利用积的乘方得到，根据同底数幂的乘法得到，根据可知．
【详解】①解.
②解：由，
得．
代入，
得．
而，
所以，
因此．
22．【正确答案】
【分析】本题考查了折叠的性质、角平分线的定义、等边对等角、三角形内角和定理，由折叠的性质可得，，由角平分线的定义可得，由等边对等角结合三角形内角和定理计算可得，最后再由平角的定义计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：由折叠的性质可得：，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴.
23．【正确答案】；；
【分析】本题考查了乘法公式．
①根据完全平方公式计算即可；
②先计算平方差公式，再计算完全平方公式即可；
③先计算括号里的乘法，再合并同类项，最后计算除法即可．
【详解】解：①
②
③
24．【正确答案】/39度
【分析】题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质的应用．连接，证明，，可得，从而得到，同理，从而得到，即可求解．
【详解】解：连接，
∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
，
同理，，
又∵，
∴，
，
∴.
25．【正确答案】
【分析】此题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，作点关于直线的对称点，连接，，，交于，则，，所以的周长为，此时的周长最小值为的长，即将军所走的最短总路程最小值为的长，然后证明是等边三角形即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接，，，交于，
则，，
∴的周长为，
∴此时的周长最小值为的长，即将军所走的最短总路程最小值为的长，
则，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴的周长最小值为，即将军所走的最短总路程为.
26．【正确答案】3
【分析】本题考查了因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答．通过计算，和的值，利用进行求解．
【详解】解：，，，
，，，
.
27．【正确答案】（1）见详解
（2）
（3）见详解
【分析】本题考查了作图——轴对称变换及轴对称图形的性质、垂直平分线的性质，熟练掌握轴对称图形的性质及垂直平分线的性质是解题的关键．
（）分别作出，，的对应点，，即可；
（）根据线段的垂直平分线性质找出格点即可；
（）连接交直线于点，连接，此时的值最小．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：根据垂直平分线的性质，作线段的垂直平分线，如图，网格中满足条件的点共有个.
（3）解：如图，点即为所求；
理由：连接交直线于点，连接，
∴，
∴，即的值最小．
28．【正确答案】见详解
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一．
延长至，使，连接，则，证明，
得到，又，所以，再根据等腰三角形三线合一即可得出结论
【详解】证明：如图，延长至，使，连接，则，
为中点，
，
，
，
，
又，
，
，
，
即．
29．【正确答案】（1）见详解
（2）
（3），见详解
【分析】本题考查了作图-轴对称变换，列代数式，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
（1）根据题意画出图形即可；
（2）在上取点F，使，连接，设与交于点H，根据已知条件证明（），可得，得是等边三角形，进而可得的度数；
（3）根据，可得，根据是等边三角形，进而可得线段，，之间的数量关系．
【详解】（1）解：依题意补全图形如下：
（2）解：．理由如下：
如图，在上取点F，使，连接，设与交于点H，
∵是等边三角形，
∴，．
∴，
∴，
∵点A和点D关于射线的对称，
∴是的垂直平分线，
∴．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴；
（3）解：．理由如下：
由（2）知，，
∵，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴．