北京市第八中学2025~2026学年九年级上册12月月考数学试题【附解析】

这是一份北京市第八中学2025~2026学年九年级上册12月月考数学试题【附解析】，共33页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列事件中，为必然事件的是（ ）
A．明天会下雪B．足球运动员射门一次，未射进
C．掷一枚骰子，向上一面的点数是7D．任意画一个三角形，其内角和是
3．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降．两年前生产一吨药的成本是5000元，现在生产一吨药的成本是4050元．设生产成本的年平均下降率为，下面所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，是正方形的外接圆，若的半径为2，则正方形的边长为（ ）
A．1B．2C．D．4
7．如图，在中，是直径，C，D为上的点，．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
8．如图，的半径为，点为上任意一点，的坐标为，为等腰三角形，，，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
9．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为 ．
10．已知二次函数满足条件：①有最小值；②它的图象经过点，写出一个满足上述所有条件的二次函数的解析式 ．
11．将抛物线向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线的解析式为 ．
12．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接．若，则 ．
13．如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为160°的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料mm，则此圆弧所在圆的半径为 mm．
14．若点 A（－3，y1）、B（0，y2）是二次函数 y  2(x  1)2 1 图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是 （填y1 y2 、y1 y2 或y1y2）．
15．二次函数的对称轴是直线，该抛物线与轴的一个交点在点和点之间，其部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④若点在二次函数的图象上，则关于的不等式的解集是．正确的有 ．
16．如图，已知点是直线外一点，于点，且，点，均在直线上，，则的最小值为 ．
三、解答题
17．解方程：
（1）；
（2）．
18．已知关于x的一元二次方程
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个根都是正整数，求m的最小值.
19．如图，在平面直角坐标系中，，将绕原点顺时针旋转得到（分别是，的对应点）．

（1）在图中画出，点的坐标为____________；
（2）若点位于内（不含边界），点为点绕原点顺时针旋转的对应点，直接写出的纵坐标的取值范围．
20．如图，圆形拱门的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果D是中弦的中点，连接并延长交于点C，并且，，求的半径．
21．二次函数的部分图象和对称轴如图所示.
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若方程总有两个正实数根，直接写出k的取值范围.
22．已知：如图，在中，．
求作：射线，使得．
作法：①以点A为圆心，长为半径画圆；
②延长交于点D，以点D为圆心，长为半径画弧，与交于点P（点C，P在线段的同侧）；
③作射线．
射线即为所求．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明
证明：连接．
∵，
∴点C在上．
∵，
∴（____________）（填推理依据）．
∵，
∴______．
∴．
23．甲、乙两人做游戏，同时掷两枚质地均匀的骰子，规则如下：
两枚骰子点数相同时甲胜；
两枚骰子的点数之和为时乙胜；
是否存在m的值使得甲、乙两人获胜的概率相同？请用画树状图或列表的方法说明你的结论.
24．如图，P为外一点，过点P作的切线，切点为A，连接交于点B，C为上一点，．

（1）求证：；
（2）若，，求的长．
25．小明是一位羽毛球爱好者，在一次单打训练中，小明对“挑球”这种击球方式进行路线分析，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，击球点到球网的水平距离．
小明在同一击球点练习两次，球均过网，且落在界内．
第一次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度（单位：与水平距离（单位：近似满足函数关系．
第二次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度（单位：与水平距离（单位：的几组数据如下：
根据上述信息，回答下列问题：
（1）直接写出击球点的高度；
（2）求小明第二次练习时，羽毛球的飞行高度与水平距离满足的函数关系式；
（3）设第一次、第二次练习时，羽毛球落地点与球网的距离分别为，，则 （填“”，“ ”或“” ．
26．已知抛物线
（1）直接写出抛物线的顶点坐标_____（用含的式子表示）；
（2）点，在抛物线上，若，求的范围；
（3）点，是抛物线上不同的两点，A、B之间的部分记为图形（包含点A、B），过作垂直于轴的直线，若图形G与直线有交点，直接写出的取值范围_____．
27．已知等边，将射线绕点A逆时针旋转得到射线，将射线绕点C顺时针旋转与射线交于点D，连接．
（1）的度数是_______；
（2）在图1中，过点A作于点E，求证：；
（3）如图2，取的中点M，线段上是否存在一定点N，使得无论为何值，都满足？若存在，请指出点N所在的位置，并证明；若不存在，请说明理由．
28．在平面直角坐标系中，的半径为2，对于点，和的弦，给出如下定义：若弦上存在点，使得点绕点逆时针旋转后与点重合，则称点是点关于弦的“等边旋转点”．
（1）如图，点，直线与交于点，．
①点的坐标为______，点______（填“是”或“不是”）点关于弦的“等边旋转点”；
②若点关于弦的“等边旋转点”为点，则的最小值为______，当与相切时，点的坐标为______；
（2）已知点，，若对于线段上的每一点，都存在的长为的弦，使得点是点关于弦的“等边旋转点”，直接写出的取值范围．
答案
1．【正确答案】C
【分析】根据中心对称图形的定义和图案特点即可解答．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是中心对称图形，故本选项正确；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
故选C．
2．【正确答案】D
【分析】本题主要考查了事件的判断，
必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件，选项A和B是随机事件，选项C是不可能事件，选项D是必然事件．
【详解】解：选项A“明天会下雪”不确定，是随机事件；
选项B“足球运动员射门一次，未射进”不确定，是随机事件；
选项C“掷一枚骰子，向上一面的点数是7”不可能发生，是不可能事件；
选项D“三角形内角和定理规定任意三角形的内角和均为180°”，是必然事件．
故选D．
3．【正确答案】B
【分析】本题考查二次函数的性质，根据抛物线方程为顶点形式，顶点坐标为解答即可．
【详解】解：∵抛物线的解析式为，
∴顶点坐标为．
故选B．
4．【正确答案】A
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上4，然后把方程作边写成完全平方形式即可．
【详解】解：
移项得，
配方得，即．
故选A．
5．【正确答案】C
【分析】根据题意找到对应的等量关系：2年前的生产成本×（1-下降率）²=现在的生产成本，把相关的数据带入计算即可.
【详解】设这种药品的成本的年平均下降率为x，根据题意得：
故选C.
6．【正确答案】C
【分析】本题主要考查了正多边形和圆，先确定，再结合正方形的性质根据勾股定理求出解即可．
【详解】连接，
根据正方形和圆的对称性可知过圆心，
∴．
∵四边形是正方形，
∴，
根据勾股定理，得，
解得．
故选C．
7．【正确答案】C
【分析】本题主要考查圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系等知识点，掌握圆心角、弧、弦的关系成为解题的关键．根据圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系易得，从而求得的度数，再利用圆周角定理和角的和差即可解答．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选C．
8．【正确答案】A
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，如图，在的上方作等腰，使得，，连接，．利用相似三角形的性质求出，再根据可得结论．
【详解】解：如图，在的上方作等腰，使得，，连接，．过点作于点．
，
，则，
∴ ，
，
，，
，
同法可得，
，
，
，
，
，
，
，
，
的最大值为．
故选A．
9．【正确答案】
【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征．根据关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，即可求解．
【详解】解：点关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为，故点的坐标为．
10．【正确答案】（答案不唯一）
【分析】该题考查了二次函数的图象和性质，二次函数解析式求解，由二次函数有最小值可知开口向上，即二次项系数；由图象经过点可知常数项．
【详解】解：设二次函数解析式为．
∵二次函数有最小值，
∴．
∵图象经过点，
∴当时，，即．
取，，则解析式为．
11．【正确答案】
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线向右平移2个单位长度所得直线解析式为；
再向下平移1个单位为：．
故答案为．
12．【正确答案】
【分析】本题考查旋转的性质及三角形内角和定理．根据旋转得到，从而得到，根据得到，结合及三角形内角和定理求解即可得到答案．
【详解】解：∵绕点A逆时针旋转，得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
13．【正确答案】900
【分析】由弧长公式l=得到R的方程，解方程即可．
【详解】解：根据题意得，=，解得，R=900（mm）．
答：这段圆弧所在圆的半径R是900 mm．
故答案是：900．
14．【正确答案】
【分析】分别计算出自变量为-3和0所对应的函数值，然后比较函数值的大小即可．
【详解】解：∵点A（-3，y1）、B（0，y2）是二次函数y=2（x-1）2-1图象上的两点，
∴y1=2（x-1）2-1=2（-3-1）2-1=31；y2=2（x-1）2-1=2（0-1）2-1=1，
∴y1＞y2．
故答案为y1＞y2．
15．【正确答案】①②③④
【分析】本题考查二次函数与不等式（组，二次函数图象与系数的关系，抛物线与轴的交点，掌握二次函数与方程及不等式的关系是解答本题的关键．由抛物线对称轴为直线可得与的数量关系，从而判断①；由抛物线与轴的交点范围及抛物线的对称性可判断②；由抛物线顶点纵坐标为3可判断③；由抛物线经过，可判断④．
【详解】解：抛物线对称轴为直线，
，即，
故①正确；
抛物线与轴的一个交点在点和点之间，对称轴是直线，
抛物线与轴的另一交点在，之间，
时，，
故②正确；
抛物线顶点纵坐标为3，
，
整理得，即，
抛物线开口向下，
，，
，
，
故③正确；
在抛物线上，对称轴是直线，
也在抛物线上，
的两个根分别是，1，
抛物线开口向下，
关于的不等式的解集是，
故④正确.
16．【正确答案】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，三线合一，勾股定理，
先作的外接圆，连接，并作，可得，再设，表示，可得，然后根据，结合，求出，则此题可解．
【详解】解：如图所示，作的外接圆，连接，过点O作于点E，则，
∵,
∴，
设，则，
∴．
∵，且，
∴，
解得，
∴，
所以的最小值为．
17．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题考查了求特殊角的三角函数值，解一元二次方程，熟知特殊角三角函数值以及公式法解方程是解题的关键．
（1）根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解；
（2）根据公式法解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：在中，，
，
∴
，
解得．
18．【正确答案】（1）见详解；
（2）．
【分析】（）先计算出根的判别式的值得到，则，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（）先由求根公式得到，，再利用且得，然后根据和都是正整数可确定的值；
此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程的解法，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵
，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵，
∴，，
∵方程的两个根都是正数，
∴且，
解得，
∵方程的两个根都是正整数，
∴和都是正整数，
∴的最小值为．
19．【正确答案】（1）见详解，
（2）
【分析】本题考查了旋转作图，旋转的性质．熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
（1）根据旋转的性质作图，然后作答即可；
（2）由旋转的性质可确定点旋转后对应点在线段上，且不与点，重合，如图1，然后作答即可．
【详解】（1）解：由旋转作图，如图1，即所求，

∴点的坐标为.
（2）解：∵，，
∴旋转后对应点在线段上，且不与点，重合，如图1，
∴．
20．【正确答案】
【分析】本题考查了垂径定理的推论与勾股定理；连接，并设圆的半径为r；由垂径定理推论得，；在中，利用勾股定理建立方程即可求得半径．
【详解】解：如图，连接，设圆的半径为r；
∵D是中弦的中点，
∴，；
∵，
∴在中，由勾股定理得：，
解得：；
答：的半径为．
21．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题主要考查二次函数与不等式、用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的最值．
（1）直接利用待定系数法求得二次函数解析式为；
（2）根据题意可知与的函数图象有两个交点，且两个交点的横坐标大于0，结合函数图象即可得到答案．
【详解】（1）解：由图象可得，的图象过点，，对称轴是直线，
，
解得：，
二次函数解析式为；
（2）解：由（1）知，二次函数解析式为，则，
该抛物线的顶点坐标是，
有两个不相等的正实数根，
与的函数图象有两个交点，且两个交点的横坐标大于0，
．
22．【正确答案】（1）见详解
（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；
【分析】本题考查尺规作图，圆周角定理：
（1）按照所给作法利用尺规作图即可；
（2）利用圆周角定理证明相关角的大小关系，通过等量代换可得结论．
【详解】（1）解：画图．
（2）解：补全后证明过程如下：
证明：连接．
∵，
∴点C在上．
∵，
∴（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）．
∵，
∴．
∴．
23．【正确答案】当时，甲、乙两人获胜的概率相同
【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与点数相同和点数和的情况，再利用概率公式即可求得两人获胜的概率，可得结果．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【详解】解：存在．
列表得：
共有36种等可能的结果，点数相同的结果有6种，
甲胜的概率为，
两枚骰子的点数之和为7的结果为6种，
当时，
乙胜的概率为，
即当时，甲、乙两人获胜的概率相同．
24．【正确答案】（1）见详解
（2）
【分析】（1）由圆周角定理得到．根据得到．由等边对等角得到．则．即可证明结论；
（2）过点O作于点E，，得到．由切线的性质得到．由，得到．则．得到．则，，由勾股定理即可求出的长．
【详解】（1）证明：∵点A，B，C在上，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
（2）解：过点O作于点E，，

∴．
∵过点P作的切线，切点为A，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴，．
∴在中，
．
25．【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键．
（1）令中，求出的值即可（或由表格信息直接得出）；
（2）根据表格信息，设出抛物线解析式，利用待定系数法求出解析式即可；
（3）分别利用第一次练习和第二次练习时的抛物线解析式求出羽毛球落地点与球网的距离分别为，，再比较即可．
【详解】（1）解：当时，，
故击球点的高度为；
（2）由表格信息可知，第二次练习时，抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为：，
过点，
，
解得，
抛物线的解析式为：，
（3）第一次练习时，当时，．
解得，（舍去），
，
第二次练习时，当时，．
解得，（舍去），
，
，
.
26．【正确答案】（1）
（2）或；
（3）或或
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，不等式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）结合对称轴的公式进行列式代数，得出对称轴为直线，再代入求出顶点的纵坐标，即可作答．
（2）先分析得出抛物线的开口向下，越靠近对称轴的所对应的函数值越大，再结合点，在抛物线上，，得出，然后进行计算，即可作答．
（3）先分别得出，，，因为 A、B之间的部分记为图形（包含点A、B），过作垂直于轴的直线，图形G与直线有交点，进行分类讨论，即和这两种情况，再结合不等式的性质进行分析，即可作答．
【详解】（1）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
把代入，得，
即抛物线的顶点坐标为；
（2）解：∵中的，
∴开口向下，越靠近对称轴的所对应的函数值越大，
由（1）得抛物线的对称轴为直线，
∵点，在抛物线上，，
∴，
整理得，
则，
解得或；
（3）解：∵点，是抛物线上不同的两点，
∴
，
，
由（1）得抛物线的顶点坐标为；
∵抛物线的开口向下，
∴，
∵A、B之间的部分记为图形（包含点A、B），过作垂直于轴的直线，图形G与直线有交点，且
∴①当时，且，
∴且，
∴且，
即或且或；
∴或；
②当时，且
∴且
∴且，
则且，
∴
综上：满足题意的的取值范围是或或．
27．【正确答案】（1）
（2）见详解
（3）存在，点为的中点，见详解
【分析】（1）设交于点，利用旋转的性质及三角形内角和定理即可求解；
（2）在上取点，使得，连接，易证是等边三角形，再证明，推出，根据，求出
，利用直角三角形的性质即可证明；
（3）过点A作交延长线于点E，分别取的中点，连接，利用等边三角形的性质结合三角形中位线的性质证明
，即可得出结论．
【详解】（1）解：设交于点，
由旋转的性质得，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2）证明：在上取点，使得，连接，
则，
由（1）知，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴；
（3）解：存在，点为的中点，证明如下：
过点A作交延长线于点E，分别取的中点，连接，
则是的中位线，
∴，，
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∵点是的中点，点是的中点，
∴是的中位线，
∴，
由（2）知，即，
∴，
由（1）知，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由（2）知，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，，
∴，
∴．
28．【正确答案】（1）①，是；②；
（2）或
【分析】（1）①连接，设与轴交于点，勾股定理求得的长得出点的坐标，进而勾股定理求得得出，是等边三角形，结合新定义，即可求解；
②根据新定义可得，则是等边三角形，根据点是线段上的点，最小值即为垂线段的长度，结合图形，即可求解；根据切线的性质可得轴，根据等边三角形的性质可得，即可得出点的坐标；
（2）设是上任意一点，根据新定义将顺时针得到的点在上，分析旋转后的线段与圆弧的位置关系，以及点的位置，解直角三角形，求得最值，进而求得的范围，即可求解．
【详解】（1）解：①连接，设与轴交于点，
∵的半径为2，
∴，，
∴
∴
∵，
∴，则，
∵
∴，
∴是等边三角形，
∴
∴点是点关于弦的“等边旋转点”
②根据新定义可得，则是等边三角形，
∴到的距离最小值即的长，
∵，，
∴的最小值为；
如图所示，当与相切时，轴，此时点与点重合，
∵是等边三角形，
∴
∴
（2）解：由（1）可得，，则是半径为的圆的一条切线在半径为的圆的内部，
如图所示，连接，则，
当运动时，构成的图形是以为圆心，半径为，的同心圆的圆环
∵若对于线段上的每一点，都存在的长为的弦，使得点是点关于弦的“等边旋转点”， 设是上任意一点，
∵，即点为轴上的点，则绕上一点顺时针得到的点在上，即是等边三角形，
∴在以为圆心，半径为，的同心圆的圆环内时（包括边界），符合题意，
如图所示，
当时，先求得最小值，如图所示，其中旋转后对应的线段在圆环内，
当与重合，且时，在半径为的上，此时
当距离最远时，此时重合，如图所示，连接，过点作轴于点，
∵是等边三角形，，，
∴，
在中，
∴
解得：（负值舍去）
∴
当时，∵上任意一点旋转后对应的点在圆环内，则线段在圆环内，
先求得最小值，即的最大值，则重合，
如图所示，在半径为的上时，是等边三角形则最小值，

如图所示，当在半径为的上且与其相切时，取得最大值时，如图所示，连接，
∴，
∵
∴
解得：
∴
综上所述：的取值范围为：或水平距离
0
1
2
3
4
飞行高度
1.1
1.6
1.9
2
1.9
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12