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人教版数学八年级上册期末模拟试卷三（含答案）
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这是一份人教版数学八年级上册期末模拟试卷三（含答案），共21页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知3x=5，9y=8，则3x﹣2y= ．
2．一个多边形的内角和等于它外角和的7倍，则这个多边形的边数为 ．
3．因式分解：2x2﹣2= ．
4．二次三项式4x2﹣（k﹣3）x+9是完全平方式，则k的值是 ．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AB交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是 ．
6．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有 个．
二、选择题
7．下列运算正确的是（ ）
A．x6÷x2=x3B．2x﹣1=C．（﹣2x3）2=4x6D．﹣2a2•a3=﹣2a6
8．根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（ ）
A．AB=3，BC=4，AC=8
B．AB=4，BC=3，∠A=30°
C．∠A=60°，∠B=45°，AB=4
D．∠C=90°，AB=6
9．数字0.0000036用科学记数法表示为（ ）
A．3.6×10﹣5B．3.6×10﹣6C．36×10﹣6D．0.36×10﹣5
10．关于x的分式方程=2的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣1B．m≠1C．m＞1且m≠﹣1D．m＞﹣1且m≠1
11．如图，将一张长方形纸片沿EF折叠后，点A、B分别落在A′、B′的位置，如果∠1=56°，那么∠2的度数是（ ）
A．56°B．58°C．66°D．68°
12．已知a+b=﹣5，ab=﹣4，则a2﹣ab+b2=（ ）
A．29B．37C．21D．33
13．如图，MN是等边三角形ABC的一条对称轴，D为AC的中点，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD的度数是（ ）
A．30°B．15°C．20°D．35°
14．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，连接EF交AP于点G，给出以下五个结论：
①∠B=∠C=45°；
②AE=CF，
③AP=EF，
④△EPF是等腰直角三角形，
⑤四边形AEPF的面积是△ABC面积的一半．
其中正确的结论是（ ）
A．只有①B．①②④C．①②③④D．①②④⑤
三、解答题
15．计算：
（1）2（x+1）（x﹣1）﹣x（2x﹣1）
（2）[（x+y）（x﹣y）+2y（x﹣y）﹣（x﹣y）2]÷（2y）
16．解方程：
（1）﹣=1 （2）=+
17．（1）计算并观察下列各式：
（x﹣1）（x+1）= ；
（x﹣1）（x2+x+1）= ；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）= ．
（2）从上面的算式及计算结果，你发现了什么？请根据你发现的规律直接填空．
（x﹣1）（ ）=x6﹣1
（3）利用你发现的规律计算：（x﹣1）（xm+xm﹣1+xm﹣2+xm﹣3+…+x+1）的结果为 ．
18．已知：如图，AE=CF，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，AB=CD，求证：DE=BF．
19．先化简，再求值：（ +1）÷，其中x是满足不等式组的最小整数．
20．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．
（1）若∠A=40°，求∠DBC的度数；
（2）若AE=6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．
21．为了继续美化城市，计划在路旁栽树1200棵，由于志愿者的参加，实际每天栽树的棵树比原计划多20%，结果提前4天完成，求实际每天栽树多少棵？
22．如图，过∠AOB的平分线上一点C作CD∥OB交OA于点D，E是线段OC的中点，过点E作直线分别交线段CD和射线OB于点M、N，探究线段OD、ON、DM之间的数量关系，并证明你的结论．
23．如图（1）AB=9cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=7cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由；
（2）在（1）的前提条件下，判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，并证明；
（3）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=50°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
1．已知3x=5，9y=8，则3x﹣2y= ．
【分析】根据同底数幂的除法得到3x﹣2y=3x÷32y，进一步得到原式=3x÷9y，再代入计算即可求解．
【解答】解：∵3x=5，9y=8，
∴3x﹣2y=3x÷32y=3x÷9y=．
故答案为：．
【点评】本题考查了幂的乘方的性质，同底数幂的除法，很容易混淆，一定要记准法则才能做题．
2．一个多边形的内角和等于它外角和的7倍，则这个多边形的边数为 16 ．
【分析】n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，外角和为360°，根据题意列方程求解．
【解答】解：设多边形的边数为n，依题意，得：
（n﹣2）•180°=7×360°，
解得n=16，
故答案为：16．
【点评】本题考查多边形的内角和计算公式，多边形的外角和．关键是根据题意利用多边形的外角和及内角和之间的关系列出方程求边数．
3．因式分解：2x2﹣2= 2（x+1）（x﹣1） ．
【分析】首先提公因式2，再利用平方差进行二次分解．
【解答】解：原式=2（x2﹣1）=2（x+1）（x﹣1）．
故答案为：2（x+1）（x﹣1）．
【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
4．二次三项式4x2﹣（k﹣3）x+9是完全平方式，则k的值是 15或﹣9 ．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
【解答】解：∵二次三项式4x2﹣（k﹣3）x+9是完全平方式，
∴k﹣3=±12，
解得：k=15或k=﹣9，
故答案为：15或﹣9
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AB交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是 30 ．
【分析】根据角平分线的性质得到DE=DC=4，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：作DE⊥AB于E，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC=4，
∴△ABD的面积=×AB×DE=30，
故答案为：30．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
6．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有 8 个．
【分析】建立网格平面直角坐标系，然后作出符合等腰三角形的点P的位置，即可得解．
【解答】解：如图所示，使得△AOP是等腰三角形的点P共有8个．
故答案为：8．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．
二、选择题（共8小题，每小题4分，共32分）
7．下列运算正确的是（ ）
A．x6÷x2=x3B．2x﹣1=C．（﹣2x3）2=4x6D．﹣2a2•a3=﹣2a6
【分析】各项利用同底数幂的乘除法，单项式乘以单项式，负整数指数幂法则计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式=x4，不符合题意；
B、原式=，不符合题意；
C、原式=4x6，符合题意；
D、原式=﹣2a5，不符合意义，
故选：C．
【点评】此题考查了单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，以及负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（ ）
A．AB=3，BC=4，AC=8B．AB=4，BC=3，∠A=30°
C．∠A=60°，∠B=45°，AB=4D．∠C=90°，AB=6
【分析】要满足唯一画出△ABC，就要求选项给出的条件符合三角形全等的判定方法，不符合判定方法的画出的图形不一样，也就是三角形不唯一，而各选项中只有C选项符合ASA，是满足题目要求的，于是答案可得．
【解答】解：A、因为AB+BC＜AC，所以这三边不能构成三角形；
B、因为∠A不是已知两边的夹角，无法确定其他角的度数与边的长度；
C、已知两角可得到第三个角的度数，已知一边，则可以根据ASA来画一个三角形；
D、只有一个角和一个边无法根据此作出一个三角形．
故选：C．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定及三角形的作图方法等知识点；能画出唯一三角形的条件一定要满足三角形全等的判定方法，不符合判定方法的画出的三角形不确定，当然不唯一．
9．数字0.0000036用科学记数法表示为（ ）
A．3.6×10﹣5B．3.6×10﹣6C．36×10﹣6D．0.36×10﹣5
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000036=3.6×10﹣6，
故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
10．关于x的分式方程=2的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣1B．m≠1C．m＞1且m≠﹣1D．m＞﹣1且m≠1
【分析】先去分母，用含m的代数式表示出x，根据解为正数求出m的范围即可．
【解答】解：两边都乘以x﹣1，得：m﹣1=2（x﹣1），
解得：x=，
因为分式方程的解为正数，
所以＞0且≠1，
解得：m＞﹣1且m≠1，
故选：D．
【点评】本题考查了分式方程的解法和分式方程的解以及一元一次不等式．确定m的取值范围时，容易忽略x不等于1的条件．
11．如图，将一张长方形纸片沿EF折叠后，点A、B分别落在A′、B′的位置，如果∠1=56°，那么∠2的度数是（ ）
A．56°B．58°C．66°D．68°
【分析】首先根据根据折叠可得∠1=∠EFB′=56°，再求出∠B′FC的度数，然后根据平行线的性质可得∠2=∠B′FC=68°．
【解答】解：根据折叠可得∠1=∠EFB′，
∵∠1=56°，
∴∠EFB′=56°，
∴∠B′FC=180°﹣56°﹣56°=68°，
∵AD∥BC，
∴∠2=∠B′FC=68°，
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．
12．已知a+b=﹣5，ab=﹣4，则a2﹣ab+b2=（ ）
A．29B．37C．21D．33
【分析】把a+b=5两边平方，利用完全平方公式化简，把ab的值代入计算即可求出a2+b2的值；原式结合后，把各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：把a+b=5两边平方得：（a+b）2=a2+b2+2ab=25，
将ab=﹣4代入得：a2+b2=33，
则a2﹣ab+b2=33﹣（﹣4）=37．
故选：B．
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
13．如图，MN是等边三角形ABC的一条对称轴，D为AC的中点，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD的度数是（ ）
A．30°B．15°C．20°D．35°
【分析】由于点C关于直线MN的对称点是B，所以当B、P、D三点在同一直线上时，PC+PD的值最小
【解答】解：连接PB．
由题意知，∵B、C关于直线MN对称，
∴PB=PC，
∴PC+PD=PB+PD，
当B、P、D三点位于同一直线时，PC+PD取最小值，
连接BD交MN于P，
∵△ABC是等边三角形，D为AC的中点，
∴BD⊥AC，
∴PA=PC，
∴∠PCD=∠PAD=30°
故选：A．
【点评】此题考查了线路最短的问题、等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
14．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，连接EF交AP于点G，给出以下五个结论：
①∠B=∠C=45°；
②AE=CF，
③AP=EF，
④△EPF是等腰直角三角形，
⑤四边形AEPF的面积是△ABC面积的一半．
其中正确的结论是（ ）
A．只有①B．①②④C．①②③④D．①②④⑤
【分析】根据等腰直角三角形的性质得：∠B=∠C=45°，AP⊥BC，AP=BC，AP平分∠BAC．所以可证∠C=∠EAP；∠FPC=∠EPA；AP=PC．即证得△APE与△CPF全等．根据全等三角形性质判断结论是否正确，根据全等三角形的面积相等可得△APE的面积等于△CPF的面积相等，然后求出四边形AEPF的面积等于△ABC的面积的一半．
【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，
∴①∠B=∠C=×（180°﹣90°）=45°，AP⊥BC，AP=BC=PC，∠BAP=∠CAP=45°=∠C，
∵∠APF+∠FPC=90°，∠APF+∠APE=90°，
∴∠FPC=∠EPA．
∴△APE≌△CPF（ASA），
∴②AE=CF；④EP=PF，即△EPF是等腰直角三角形；同理可证得△APF≌△BPE，
∴⑤四边形AEPF的面积是△ABC面积的一半，
∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中点，
∴AP=BC，
∵EF不是△ABC的中位线，
∴EF≠AP，故③错误；
④∵∠AGF=∠EGP=180°﹣∠APE﹣∠PEF=180°﹣∠APE﹣45°，
∠AEP=180°﹣∠APE﹣∠EAP=180°﹣∠APE﹣45°，
∴∠AEP=∠AGF．
故正确的有①、②、④、⑤，共四个．
因此选D．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，中位线的性质的运用，等腰直角三角形的判定定理的运用，三角形面积公式的运用，解答时灵活运用等腰直角三角形的性质求解是关键．
三、解答题（共9小题，共70分）
15．（8分）计算：
（1）2（x+1）（x﹣1）﹣x（2x﹣1）
（2）[（x+y）（x﹣y）+2y（x﹣y）﹣（x﹣y）2]÷（2y）
【分析】（1）先算乘法，再合并同类项即可；
（2）先算括号内的乘法，再合并同类项，最后算除法即可．
【解答】解：（1）原式=2x2﹣2﹣2x2+x
=x﹣2；
（2）原式=[x2﹣y2+2xy﹣2y2﹣x2+2xy﹣y2]÷2y
=[﹣4y2+4xy]÷2y
=﹣2y+2x．
【点评】本题考查了整式的混合运算，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
16．（8分）解方程：
（1）﹣=1
（2）=+
【分析】解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．依此即可求解．
【解答】解：（1）﹣=1，
去分母，得2+3x=x﹣2，
移项合并，得2x=﹣4，
解得x=﹣2，
经检验，x=﹣2是增根，
故原分式方程无解．
（2）=+
去分母，得42x=12（x+8）+10x，
去括号，得20x=96，
解得x=4.8，
经检验，x=4.8是原分式方程的解．
【点评】考查了解分式方程，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程时，一定要检验．
17．（5分）（1）计算并观察下列各式：
（x﹣1）（x+1）= x2﹣1 ；
（x﹣1）（x2+x+1）= x3﹣1 ；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）= x4﹣1 ．
（2）从上面的算式及计算结果，你发现了什么？请根据你发现的规律直接填空．（x﹣1）（ x5+x4+x3+x2+x+1 ）=x6﹣1
（3）利用你发现的规律计算：（x﹣1）（xm+xm﹣1+xm﹣2+xm﹣3+…+x+1）的结果为 xm+1﹣1 ．
【分析】（1）利用平方差公式计算（x﹣1）（x+1），利用立方差公式计算（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；利用上面两等式的变化规律计算（x﹣1）（x3+x2+x+1）；
（2）利用（1）中三个等式的变化规律求解；
（3）利用（1）中三个等式的变化规律求解．
【解答】解：（1）（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1；
（2）（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）=x6﹣1；
（3）（x﹣1）（xm+xm﹣1+xm﹣2+xm﹣3+…+x+1）=xm+1﹣1．
故答案为x2﹣1；x3﹣1；x4﹣1；（x5+x4+x3+x2+x+1）=xm+1﹣1．
【点评】本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．也考查了规律型问题的解决方法．
18．（6分）已知：如图，AE=CF，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，AB=CD，求证：DE=BF．
【分析】欲证明DE=BF，只要证明△ABF≌△CDE（HL）即可．
【解答】证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEC=∠BFA=90°，
∵AE=CF，
∴AF=CE，
在Rt△ABF和△Rt△CDE中
，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），
∴DE=BF．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．
19．（7分）先化简，再求值：（ +1）÷，其中x是满足不等式组的最小整数．
【分析】先解不等组求出x的范围，然后求出合适的x值，
【解答】解：∵
∴﹣2＜x≤1
∴由题意可知：x=﹣1
∴原式=÷
=
=
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．
（1）若∠A=40°，求∠DBC的度数；
（2）若AE=6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．
【分析】（1）由在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，利用等腰三角形的性质，即可求得∠ABC的度数，然后由AB的垂直平分线MN交AC于点D，根据线段垂直平分线的性质，可求得AD=BD，继而求得∠ABD的度数，则可求得∠DBC的度数．
（2）由△CBD的周长为20，推出AC+BC=20，根据AB=2AE=12，由此即可解决问题．
【解答】解：（1）解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=70°，
∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=40°，
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=30°．
（2）∵MN垂直平分AB，
∴DA=DB，
∵BC+BD+DC=20，
∴AD+DC+BC=20，
∴AC+BC=20，
∵AB=2AE=12，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=12+20=32
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
21．（7分）为了继续美化城市，计划在路旁栽树1200棵，由于志愿者的参加，实际每天栽树的棵树比原计划多20%，结果提前4天完成，求实际每天栽树多少棵？
【分析】设原计划每天栽树x棵，则实际每天栽树1.2x棵，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合提前4天完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论．
【解答】解：设原计划每天栽树x棵，则实际每天栽树1.2x棵，
根据题意得：﹣=4，
解得：x=50，
经检验，x=50是原分式方程的解．
答：实际每天栽树50棵．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22．（9分）如图，过∠AOB的平分线上一点C作CD∥OB交OA于点D，E是线段OC的中点，过点E作直线分别交线段CD和射线OB于点M、N，探究线段OD、ON、DM之间的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）当点M在线段CD上时，线段OD、ON、DM之间的数量关系是：OD=DM+ON．首先根据OC是∠AOB的平分线，CD∥OB，判断出∠DOC=∠DCO，所以OD=CD=DM+CM；然后根据E是线段OC的中点，CD∥OB，推得CM=ON，即可判断出OD=DM+ON，据此解答即可．
（2）当点M在线段CD延长线上时，线段OD、ON、DM之间的数量关系是：OD=ON﹣DM．由（1），可得OD=DC=CM﹣DM，再根据CM=ON，推得OD=ON﹣DM即可．
【解答】解：（1）当点M在线段CD上时，线段OD、ON、DM之间的数量关系是：OD=DM+ON．
证明：如图1，，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠DOC=∠COB，
又∵CD∥OB，
∴∠DCO=∠COB，
∴∠DOC=∠DCO，
∴OD=CD=DM+CM，
∵E是线段OC的中点，
∴CE=OE，
∵CD∥OB，
∴，
∴CM=ON，
又∵OD=DM+CM，
∴OD=DM+ON．
（2）当点M在线段CD延长线上时，线段OD、ON、DM之间的数量关系是：OD=ON﹣DM．
证明：如图2，，
由（1），可得
OD=DC=CM﹣DM，
又∵CM=ON，
∴OD=DC=CM﹣DM=ON﹣DM，
即OD=ON﹣DM．
【点评】（1）此题主要考查了平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．②定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．③定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
（2）此题还考查了等腰三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①等腰三角形的两腰相等．②等腰三角形的两个底角相等．③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
23．（12分）如图（1）AB=9cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=7cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由；
（2）在（1）的前提条件下，判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，并证明；
（3）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=50°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用SAS定理证明△ACP≌△BPQ；
（2）根据全等三角形的性质判断线段PC和线段PQ的位置关系；
（3）分△ACP≌△BPQ，△ACP≌△BQP两种情况，根据全等三角形的性质列式计算．
【解答】解：（1）△ACP与△BPQ全等，
理由如下：当t=1时，AP=BQ=2，
则BP=9﹣2=7，
∴BP=AC，
又∵∠A=∠B=90°，
在△ACP和△BPQ中，
，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）；
（2）PC⊥PQ，
证明：∵△ACP≌△BPQ，
∴∠ACP=∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．
∴∠CPQ=90°，
即线段PC与线段PQ垂直；
（3）①若△ACP≌△BPQ，
则AC=BP，AP=BQ，
∴9﹣2t=7，
解得，t=1（s），则x=2（cm/s）；
②若△ACP≌△BQP，
则AC=BQ，AP=BP，
则2t=×9，
解得，t=（s），则x=7÷=（cm/s），
故当t=1s，x=2cm/s或t=s，x=cm/s时，△ACP与△BPQ全等．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、注意分类讨论思想的灵活运用是解题的关键．
1．已知3x=5，9y=8，则3x﹣2y= ．
2．一个多边形的内角和等于它外角和的7倍，则这个多边形的边数为 ．
3．因式分解：2x2﹣2= ．
4．二次三项式4x2﹣（k﹣3）x+9是完全平方式，则k的值是 ．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AB交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是 ．
6．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有 个．
二、选择题
7．下列运算正确的是（ ）
A．x6÷x2=x3B．2x﹣1=C．（﹣2x3）2=4x6D．﹣2a2•a3=﹣2a6
8．根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（ ）
A．AB=3，BC=4，AC=8
B．AB=4，BC=3，∠A=30°
C．∠A=60°，∠B=45°，AB=4
D．∠C=90°，AB=6
9．数字0.0000036用科学记数法表示为（ ）
A．3.6×10﹣5B．3.6×10﹣6C．36×10﹣6D．0.36×10﹣5
10．关于x的分式方程=2的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣1B．m≠1C．m＞1且m≠﹣1D．m＞﹣1且m≠1
11．如图，将一张长方形纸片沿EF折叠后，点A、B分别落在A′、B′的位置，如果∠1=56°，那么∠2的度数是（ ）
A．56°B．58°C．66°D．68°
12．已知a+b=﹣5，ab=﹣4，则a2﹣ab+b2=（ ）
A．29B．37C．21D．33
13．如图，MN是等边三角形ABC的一条对称轴，D为AC的中点，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD的度数是（ ）
A．30°B．15°C．20°D．35°
14．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，连接EF交AP于点G，给出以下五个结论：
①∠B=∠C=45°；
②AE=CF，
③AP=EF，
④△EPF是等腰直角三角形，
⑤四边形AEPF的面积是△ABC面积的一半．
其中正确的结论是（ ）
A．只有①B．①②④C．①②③④D．①②④⑤
三、解答题
15．计算：
（1）2（x+1）（x﹣1）﹣x（2x﹣1）
（2）[（x+y）（x﹣y）+2y（x﹣y）﹣（x﹣y）2]÷（2y）
16．解方程：
（1）﹣=1 （2）=+
17．（1）计算并观察下列各式：
（x﹣1）（x+1）= ；
（x﹣1）（x2+x+1）= ；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）= ．
（2）从上面的算式及计算结果，你发现了什么？请根据你发现的规律直接填空．
（x﹣1）（ ）=x6﹣1
（3）利用你发现的规律计算：（x﹣1）（xm+xm﹣1+xm﹣2+xm﹣3+…+x+1）的结果为 ．
18．已知：如图，AE=CF，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，AB=CD，求证：DE=BF．
19．先化简，再求值：（ +1）÷，其中x是满足不等式组的最小整数．
20．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．
（1）若∠A=40°，求∠DBC的度数；
（2）若AE=6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．
21．为了继续美化城市，计划在路旁栽树1200棵，由于志愿者的参加，实际每天栽树的棵树比原计划多20%，结果提前4天完成，求实际每天栽树多少棵？
22．如图，过∠AOB的平分线上一点C作CD∥OB交OA于点D，E是线段OC的中点，过点E作直线分别交线段CD和射线OB于点M、N，探究线段OD、ON、DM之间的数量关系，并证明你的结论．
23．如图（1）AB=9cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=7cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由；
（2）在（1）的前提条件下，判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，并证明；
（3）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=50°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
1．已知3x=5，9y=8，则3x﹣2y= ．
【分析】根据同底数幂的除法得到3x﹣2y=3x÷32y，进一步得到原式=3x÷9y，再代入计算即可求解．
【解答】解：∵3x=5，9y=8，
∴3x﹣2y=3x÷32y=3x÷9y=．
故答案为：．
【点评】本题考查了幂的乘方的性质，同底数幂的除法，很容易混淆，一定要记准法则才能做题．
2．一个多边形的内角和等于它外角和的7倍，则这个多边形的边数为 16 ．
【分析】n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，外角和为360°，根据题意列方程求解．
【解答】解：设多边形的边数为n，依题意，得：
（n﹣2）•180°=7×360°，
解得n=16，
故答案为：16．
【点评】本题考查多边形的内角和计算公式，多边形的外角和．关键是根据题意利用多边形的外角和及内角和之间的关系列出方程求边数．
3．因式分解：2x2﹣2= 2（x+1）（x﹣1） ．
【分析】首先提公因式2，再利用平方差进行二次分解．
【解答】解：原式=2（x2﹣1）=2（x+1）（x﹣1）．
故答案为：2（x+1）（x﹣1）．
【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
4．二次三项式4x2﹣（k﹣3）x+9是完全平方式，则k的值是 15或﹣9 ．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
【解答】解：∵二次三项式4x2﹣（k﹣3）x+9是完全平方式，
∴k﹣3=±12，
解得：k=15或k=﹣9，
故答案为：15或﹣9
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AB交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是 30 ．
【分析】根据角平分线的性质得到DE=DC=4，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：作DE⊥AB于E，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC=4，
∴△ABD的面积=×AB×DE=30，
故答案为：30．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
6．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有 8 个．
【分析】建立网格平面直角坐标系，然后作出符合等腰三角形的点P的位置，即可得解．
【解答】解：如图所示，使得△AOP是等腰三角形的点P共有8个．
故答案为：8．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．
二、选择题（共8小题，每小题4分，共32分）
7．下列运算正确的是（ ）
A．x6÷x2=x3B．2x﹣1=C．（﹣2x3）2=4x6D．﹣2a2•a3=﹣2a6
【分析】各项利用同底数幂的乘除法，单项式乘以单项式，负整数指数幂法则计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式=x4，不符合题意；
B、原式=，不符合题意；
C、原式=4x6，符合题意；
D、原式=﹣2a5，不符合意义，
故选：C．
【点评】此题考查了单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，以及负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（ ）
A．AB=3，BC=4，AC=8B．AB=4，BC=3，∠A=30°
C．∠A=60°，∠B=45°，AB=4D．∠C=90°，AB=6
【分析】要满足唯一画出△ABC，就要求选项给出的条件符合三角形全等的判定方法，不符合判定方法的画出的图形不一样，也就是三角形不唯一，而各选项中只有C选项符合ASA，是满足题目要求的，于是答案可得．
【解答】解：A、因为AB+BC＜AC，所以这三边不能构成三角形；
B、因为∠A不是已知两边的夹角，无法确定其他角的度数与边的长度；
C、已知两角可得到第三个角的度数，已知一边，则可以根据ASA来画一个三角形；
D、只有一个角和一个边无法根据此作出一个三角形．
故选：C．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定及三角形的作图方法等知识点；能画出唯一三角形的条件一定要满足三角形全等的判定方法，不符合判定方法的画出的三角形不确定，当然不唯一．
9．数字0.0000036用科学记数法表示为（ ）
A．3.6×10﹣5B．3.6×10﹣6C．36×10﹣6D．0.36×10﹣5
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000036=3.6×10﹣6，
故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
10．关于x的分式方程=2的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣1B．m≠1C．m＞1且m≠﹣1D．m＞﹣1且m≠1
【分析】先去分母，用含m的代数式表示出x，根据解为正数求出m的范围即可．
【解答】解：两边都乘以x﹣1，得：m﹣1=2（x﹣1），
解得：x=，
因为分式方程的解为正数，
所以＞0且≠1，
解得：m＞﹣1且m≠1，
故选：D．
【点评】本题考查了分式方程的解法和分式方程的解以及一元一次不等式．确定m的取值范围时，容易忽略x不等于1的条件．
11．如图，将一张长方形纸片沿EF折叠后，点A、B分别落在A′、B′的位置，如果∠1=56°，那么∠2的度数是（ ）
A．56°B．58°C．66°D．68°
【分析】首先根据根据折叠可得∠1=∠EFB′=56°，再求出∠B′FC的度数，然后根据平行线的性质可得∠2=∠B′FC=68°．
【解答】解：根据折叠可得∠1=∠EFB′，
∵∠1=56°，
∴∠EFB′=56°，
∴∠B′FC=180°﹣56°﹣56°=68°，
∵AD∥BC，
∴∠2=∠B′FC=68°，
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．
12．已知a+b=﹣5，ab=﹣4，则a2﹣ab+b2=（ ）
A．29B．37C．21D．33
【分析】把a+b=5两边平方，利用完全平方公式化简，把ab的值代入计算即可求出a2+b2的值；原式结合后，把各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：把a+b=5两边平方得：（a+b）2=a2+b2+2ab=25，
将ab=﹣4代入得：a2+b2=33，
则a2﹣ab+b2=33﹣（﹣4）=37．
故选：B．
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
13．如图，MN是等边三角形ABC的一条对称轴，D为AC的中点，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD的度数是（ ）
A．30°B．15°C．20°D．35°
【分析】由于点C关于直线MN的对称点是B，所以当B、P、D三点在同一直线上时，PC+PD的值最小
【解答】解：连接PB．
由题意知，∵B、C关于直线MN对称，
∴PB=PC，
∴PC+PD=PB+PD，
当B、P、D三点位于同一直线时，PC+PD取最小值，
连接BD交MN于P，
∵△ABC是等边三角形，D为AC的中点，
∴BD⊥AC，
∴PA=PC，
∴∠PCD=∠PAD=30°
故选：A．
【点评】此题考查了线路最短的问题、等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
14．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，连接EF交AP于点G，给出以下五个结论：
①∠B=∠C=45°；
②AE=CF，
③AP=EF，
④△EPF是等腰直角三角形，
⑤四边形AEPF的面积是△ABC面积的一半．
其中正确的结论是（ ）
A．只有①B．①②④C．①②③④D．①②④⑤
【分析】根据等腰直角三角形的性质得：∠B=∠C=45°，AP⊥BC，AP=BC，AP平分∠BAC．所以可证∠C=∠EAP；∠FPC=∠EPA；AP=PC．即证得△APE与△CPF全等．根据全等三角形性质判断结论是否正确，根据全等三角形的面积相等可得△APE的面积等于△CPF的面积相等，然后求出四边形AEPF的面积等于△ABC的面积的一半．
【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，
∴①∠B=∠C=×（180°﹣90°）=45°，AP⊥BC，AP=BC=PC，∠BAP=∠CAP=45°=∠C，
∵∠APF+∠FPC=90°，∠APF+∠APE=90°，
∴∠FPC=∠EPA．
∴△APE≌△CPF（ASA），
∴②AE=CF；④EP=PF，即△EPF是等腰直角三角形；同理可证得△APF≌△BPE，
∴⑤四边形AEPF的面积是△ABC面积的一半，
∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中点，
∴AP=BC，
∵EF不是△ABC的中位线，
∴EF≠AP，故③错误；
④∵∠AGF=∠EGP=180°﹣∠APE﹣∠PEF=180°﹣∠APE﹣45°，
∠AEP=180°﹣∠APE﹣∠EAP=180°﹣∠APE﹣45°，
∴∠AEP=∠AGF．
故正确的有①、②、④、⑤，共四个．
因此选D．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，中位线的性质的运用，等腰直角三角形的判定定理的运用，三角形面积公式的运用，解答时灵活运用等腰直角三角形的性质求解是关键．
三、解答题（共9小题，共70分）
15．（8分）计算：
（1）2（x+1）（x﹣1）﹣x（2x﹣1）
（2）[（x+y）（x﹣y）+2y（x﹣y）﹣（x﹣y）2]÷（2y）
【分析】（1）先算乘法，再合并同类项即可；
（2）先算括号内的乘法，再合并同类项，最后算除法即可．
【解答】解：（1）原式=2x2﹣2﹣2x2+x
=x﹣2；
（2）原式=[x2﹣y2+2xy﹣2y2﹣x2+2xy﹣y2]÷2y
=[﹣4y2+4xy]÷2y
=﹣2y+2x．
【点评】本题考查了整式的混合运算，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
16．（8分）解方程：
（1）﹣=1
（2）=+
【分析】解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．依此即可求解．
【解答】解：（1）﹣=1，
去分母，得2+3x=x﹣2，
移项合并，得2x=﹣4，
解得x=﹣2，
经检验，x=﹣2是增根，
故原分式方程无解．
（2）=+
去分母，得42x=12（x+8）+10x，
去括号，得20x=96，
解得x=4.8，
经检验，x=4.8是原分式方程的解．
【点评】考查了解分式方程，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程时，一定要检验．
17．（5分）（1）计算并观察下列各式：
（x﹣1）（x+1）= x2﹣1 ；
（x﹣1）（x2+x+1）= x3﹣1 ；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）= x4﹣1 ．
（2）从上面的算式及计算结果，你发现了什么？请根据你发现的规律直接填空．（x﹣1）（ x5+x4+x3+x2+x+1 ）=x6﹣1
（3）利用你发现的规律计算：（x﹣1）（xm+xm﹣1+xm﹣2+xm﹣3+…+x+1）的结果为 xm+1﹣1 ．
【分析】（1）利用平方差公式计算（x﹣1）（x+1），利用立方差公式计算（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；利用上面两等式的变化规律计算（x﹣1）（x3+x2+x+1）；
（2）利用（1）中三个等式的变化规律求解；
（3）利用（1）中三个等式的变化规律求解．
【解答】解：（1）（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1；
（2）（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）=x6﹣1；
（3）（x﹣1）（xm+xm﹣1+xm﹣2+xm﹣3+…+x+1）=xm+1﹣1．
故答案为x2﹣1；x3﹣1；x4﹣1；（x5+x4+x3+x2+x+1）=xm+1﹣1．
【点评】本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．也考查了规律型问题的解决方法．
18．（6分）已知：如图，AE=CF，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，AB=CD，求证：DE=BF．
【分析】欲证明DE=BF，只要证明△ABF≌△CDE（HL）即可．
【解答】证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEC=∠BFA=90°，
∵AE=CF，
∴AF=CE，
在Rt△ABF和△Rt△CDE中
，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），
∴DE=BF．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．
19．（7分）先化简，再求值：（ +1）÷，其中x是满足不等式组的最小整数．
【分析】先解不等组求出x的范围，然后求出合适的x值，
【解答】解：∵
∴﹣2＜x≤1
∴由题意可知：x=﹣1
∴原式=÷
=
=
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．
（1）若∠A=40°，求∠DBC的度数；
（2）若AE=6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．
【分析】（1）由在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，利用等腰三角形的性质，即可求得∠ABC的度数，然后由AB的垂直平分线MN交AC于点D，根据线段垂直平分线的性质，可求得AD=BD，继而求得∠ABD的度数，则可求得∠DBC的度数．
（2）由△CBD的周长为20，推出AC+BC=20，根据AB=2AE=12，由此即可解决问题．
【解答】解：（1）解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=70°，
∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=40°，
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=30°．
（2）∵MN垂直平分AB，
∴DA=DB，
∵BC+BD+DC=20，
∴AD+DC+BC=20，
∴AC+BC=20，
∵AB=2AE=12，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=12+20=32
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
21．（7分）为了继续美化城市，计划在路旁栽树1200棵，由于志愿者的参加，实际每天栽树的棵树比原计划多20%，结果提前4天完成，求实际每天栽树多少棵？
【分析】设原计划每天栽树x棵，则实际每天栽树1.2x棵，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合提前4天完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论．
【解答】解：设原计划每天栽树x棵，则实际每天栽树1.2x棵，
根据题意得：﹣=4，
解得：x=50，
经检验，x=50是原分式方程的解．
答：实际每天栽树50棵．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22．（9分）如图，过∠AOB的平分线上一点C作CD∥OB交OA于点D，E是线段OC的中点，过点E作直线分别交线段CD和射线OB于点M、N，探究线段OD、ON、DM之间的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）当点M在线段CD上时，线段OD、ON、DM之间的数量关系是：OD=DM+ON．首先根据OC是∠AOB的平分线，CD∥OB，判断出∠DOC=∠DCO，所以OD=CD=DM+CM；然后根据E是线段OC的中点，CD∥OB，推得CM=ON，即可判断出OD=DM+ON，据此解答即可．
（2）当点M在线段CD延长线上时，线段OD、ON、DM之间的数量关系是：OD=ON﹣DM．由（1），可得OD=DC=CM﹣DM，再根据CM=ON，推得OD=ON﹣DM即可．
【解答】解：（1）当点M在线段CD上时，线段OD、ON、DM之间的数量关系是：OD=DM+ON．
证明：如图1，，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠DOC=∠COB，
又∵CD∥OB，
∴∠DCO=∠COB，
∴∠DOC=∠DCO，
∴OD=CD=DM+CM，
∵E是线段OC的中点，
∴CE=OE，
∵CD∥OB，
∴，
∴CM=ON，
又∵OD=DM+CM，
∴OD=DM+ON．
（2）当点M在线段CD延长线上时，线段OD、ON、DM之间的数量关系是：OD=ON﹣DM．
证明：如图2，，
由（1），可得
OD=DC=CM﹣DM，
又∵CM=ON，
∴OD=DC=CM﹣DM=ON﹣DM，
即OD=ON﹣DM．
【点评】（1）此题主要考查了平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．②定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．③定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
（2）此题还考查了等腰三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①等腰三角形的两腰相等．②等腰三角形的两个底角相等．③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
23．（12分）如图（1）AB=9cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=7cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由；
（2）在（1）的前提条件下，判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，并证明；
（3）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=50°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用SAS定理证明△ACP≌△BPQ；
（2）根据全等三角形的性质判断线段PC和线段PQ的位置关系；
（3）分△ACP≌△BPQ，△ACP≌△BQP两种情况，根据全等三角形的性质列式计算．
【解答】解：（1）△ACP与△BPQ全等，
理由如下：当t=1时，AP=BQ=2，
则BP=9﹣2=7，
∴BP=AC，
又∵∠A=∠B=90°，
在△ACP和△BPQ中，
，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）；
（2）PC⊥PQ，
证明：∵△ACP≌△BPQ，
∴∠ACP=∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．
∴∠CPQ=90°，
即线段PC与线段PQ垂直；
（3）①若△ACP≌△BPQ，
则AC=BP，AP=BQ，
∴9﹣2t=7，
解得，t=1（s），则x=2（cm/s）；
②若△ACP≌△BQP，
则AC=BQ，AP=BP，
则2t=×9，
解得，t=（s），则x=7÷=（cm/s），
故当t=1s，x=2cm/s或t=s，x=cm/s时，△ACP与△BPQ全等．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、注意分类讨论思想的灵活运用是解题的关键．
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