天津市武清区大良中学2025--2026学年高二上册12月阶段练习数学试题【附解析】

这是一份天津市武清区大良中学2025--2026学年高二上册12月阶段练习数学试题【附解析】，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线方程求出斜率，即可得出倾斜角.
【详解】由直线方程，可得，
所以，设直线的倾斜角为，则，
因为，所以.
故选：A.
2. 已知抛物线，则它的焦点到准线的距离为.
A. 4B. 8C. 16D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由抛物线的标准方程利用抛物线的简单性质可求得答案．
【详解】解：∵y2＝2px＝8x，
∴p＝4，
∴抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是4．
故选A．
【点睛】本题考查抛物线的标准方程与抛物线的简单性质，属于基础题．
3. 设，向量，，且，，则（ ）
A. B. 3C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由向量的关系列等式求解x，y的值，再运用向量加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果.
【详解】向量，且，
∴，解得，
∴，
∴，
故选：B
4. 如图，四面体S-ABC中，D为BC中点，点E在AD上，AD=3AE，则=（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由向量线性运算的几何含义知，，，，即可得与的线性关系式.
【详解】四面体S-ABC中，D为BC中点，点E在AD上，AD=3AE，
∴===+=.
故选：B
5. 过点且与圆相切的直线方程是（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】先求出圆的圆心和半径，再分别讨论切线的斜率不存在和存在两种情况求解.在斜率存在的情况下，先设切线方程为点斜式，整理成一般式，再利用圆心到直线的距离等于半径，列出斜率的等式，计算求出，从而得到切线方程.
【详解】，圆心，半径，
过点且与圆相切，
当此切线不存在斜率时，切线方程为，满足此直线与圆相切；
当此切线存在斜率时，设此切线方程为，
即，
则圆心到切线的距离，解得，
则切线方程为，即；
综上，所求的切线方程为或.
故选：D.
6. 设是等差数列的前项和，已知，，则等于（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：依题意有，解得，所以.
考点：等差数列的基本概念.
【易错点晴】本题主要考查等差数列的基本概念. 在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为和等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．
7. 如果向量，，共面，则实数的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设，由空间向量的坐标运算可得出方程组，即可解得的值.
【详解】由于向量，，共面，
设，可得，解得.
故选：B.
8. 已知数列的前n项和为，若，则（ ）
A. 16B. 32C. 54D. 162
【答案】C
【解析】
【分析】由题意确定该数列为等比数列，即可求得的值.
【详解】当时，，所以，即，
当时，，
所以数列是首项为2，公比为3的等比数列，
则.
故选：C.
9. 设分别是椭圆的左右焦点，点在椭圆上，线段的中点在轴上，若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据椭圆性质与焦点三角形的离心率公式求解即可.
【详解】由题,设线段的中点在轴上,且原点为的中点,故为边边的中线.故,故轴.又,
故离心率.
故选：A
【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率问题,需要根据题意找到焦点三角形三边的关系进行求解,属于中等题型.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分
10. 已知双曲线，则的右焦点的坐标为________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据双曲线方程，直接求焦点坐标.
【详解】由双曲线方程可知，，则，则，
并且焦点在轴，双曲线的右焦点的坐标为.
故答案为：
11. 数列的前项和，则数列的通项公式是_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用前项和与第的关系求出通项公式.
【详解】当时，，
当时，，不满足上式，
所以数列的通项公式是.
故答案为：
12. 圆的圆心与抛物线的焦点重合，为两曲线的交点，则原点到直线的距离为______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据圆的标准方程求出圆心的坐标，即可得到抛物线方程，联立圆和抛物线方程，求点坐标及直线的方程，利用点到直线的距离公式可得结果.
【详解】
∵圆的圆心为，∴，即，
∴抛物线方程为.
由得，解得或（舍），
∴，∴直线的斜率为，
∴，即，
∴原点到直线的距离为.
故答案为：.
13. 点到直线距离的最大值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】直线恒过点，根据几何关系可得，点到直线的距离为.
【详解】解：直线恒过点，
则点到直线的距离的最大值为点到点的距离，
∴点到直线距离的最大值为：
.
故答案为：.
14. 已知点，直线过原点，且直线的方向向量是向量，则点到直线的距离是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由点到直线的距离公式用向量法直接求即可.
【详解】由已知得，
又因为直线的方向向量是向量，设为，
所以由点到直线距离公式有
故答案为：
15. 已知椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据椭圆定义可将转化为，再根据可得的最小值为，结合两点间距离公式即得答案.
【详解】由为椭圆上任意一点，则
又为圆上任意一点，则（当且仅当M、N、E共线时取等号），
∴，
当且仅当M、N、E、共线时等号成立.
∵，，则，
∴的最小值为．
故答案为：．
三、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求通项公式；
（2）求，并求的最小值．
【答案】（1）；（2），最小值为–16．
【解析】
【分析】（1）方法一：根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式即得结果；
（2）方法二：根据等差数列前n项和公式得，根据二次函数的性质即可求出.
【详解】（1）[方法一]：【通性通法】【最优解】 公式法
设等差数列的公差为，由得，，解得：，所以．
[方法二]：函数+待定系数法
设等差数列通项公式为，易得，由，即，即，解得：，所以．
（2）[方法1]：邻项变号法
由可得．当，即，解得，所以的最小值为，
所以的最小值为．
[方法2]：函数法
由题意知，即，
所以的最小值为，所以的最小值为．
【整体点评】（1）方法一：直接根据基本量的计算，利用等差数列前n项和公式求出公差，即可得到通项公式，是该题的通性通法，也是最优解；
方法二：根据等差数列的通项公式的函数形式特征，以及等差数列前n项和的性质，用待定系数法解方程组求解；
（2）方法一：利用等差数列前n项和公式求，再利用邻项变号法求最值；
方法二：利用等差数列前n项和公式求，再根据二次函数性质求最值．
17. 求下列数列的通项公式
（1）已知数列满足，求；
（2）正项数列满足，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用累加法求得正确答案.
（2）利用累乘法求得正确答案.
【小问1详解】
依题意，，
所以
，
也符合上式，所以.
小问2详解】
依题意，，则，
所以
，
也符合上式，所以.
18. 已知圆C的圆心在直线上，且经过点和．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若过点直线l与圆C交于A，B两点，且，求直线l的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）点和的中垂线经过圆心，两直线联立方程得圆心坐标，再利用两点间距离公式求解半径.
（2）已知弦长，求解直线方程，分类讨论斜率是否存在.
【小问1详解】
点和的中点为，,所以中垂线的， 利用点斜式得方程为，联立方程 得圆心坐标为， 所以圆C的标准方程为.
【小问2详解】
当过点的直线l斜率不存在时，直线方程为，此时弦长，符合题意.
当过点的直线l斜率存在时,设直线方程为，化简得，弦心距，所以，解得，所以直线方程为.综上所述直线方程为或.
19. 如图，已知平面，，，，，，.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值；
（3）求点到直线的距离.
【答案】（1）证明见详解
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求平面法向量，证明，即可解决；
（2）写出平面的法向量，设平面与平面的夹角为，通过，即可求解；
（3）利用点到直线的距离公式即可求解.
【小问1详解】
以为原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
，，，
设平面的一个法向量为，则
，取，则，，
所以，
，
所以平面，且平面，
所以平面.
【小问2详解】
由题知，平面的法向量为，
设平面与平面的夹角为，则
，
即平面与平面的夹角的余弦值为.
【小问3详解】
，，
设点到直线的距离为，
则，
即点到直线的距离为.
20. 设椭圆(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为，点A的坐标为，且.
（I）求椭圆的方程；
（II）设直线l：与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q. 若(O为原点) ，求k的值.
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)或
【解析】
【详解】分析：（Ⅰ）由题意结合椭圆的性质可得a=3，b=2．则椭圆的方程为．
（Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）．由题意可得5y1=9y2．由方程组可得．由方程组可得．据此得到关于k的方程，解方程可得k的值为或
详解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，由已知有，
又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知可得，，，
由，可得ab=6，从而a=3，b=2．
所以，椭圆的方程为．
（Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）．
由已知有y1>y2>0，故．
又因为，而∠OAB=，故．
由，可得5y1=9y2．
由方程组消去x，可得．
易知直线AB的方程为x+y–2=0，
由方程组消去x，可得．
由5y1=9y2，可得5（k+1）=，
两边平方，整理得，
解得，或．
所以，k的值为或
点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．