天津市天华高级中学2025_2026学年高二上学期第二次阶段考试（12月月考）数学试题 [含答案]

这是一份天津市天华高级中学2025_2026学年高二上学期第二次阶段考试（12月月考）数学试题 [含答案]，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，，且，则x的值为（ ）
A．4B．C．5D．
3．已知直线与直线平行，则与之间的距离为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．已知双曲线为等轴双曲线，且焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
6．已知圆：，圆：，则两圆的公共弦所在直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知椭圆的左焦点在抛物线的准线上，且椭圆的短轴长为2，则椭圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
9．双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且，则的离心率为（ ）
A．B．2C．D．3
二、填空题
10．抛物线的焦点坐标是 .
11．直线：与：，若，则实数 .
12．已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为 ．（用“相交、外切、内切、外离、内含”填空）
13．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 .
14．已知直线与圆交于A､B两点，且，则 .
15．已知双曲线的右焦点为，两条渐近线分别为.直线过抛物线的焦点和双曲线的虚轴端点，且直线与的一条渐近线平行.（i） ；（ii）若以为直径的圆交于两点（为坐标原点），点在上，且，则双曲线的方程为 .
三、解答题
16．求满足下列条件的椭圆的标准方程.
（1），，焦点在坐标轴上；
（2）椭圆上一点P到其两焦点，的距离之和为10；
（3）两个焦点坐标分别是，，并且经过点.
17．如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，点E是的中点，．

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
18．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上．
（1）求圆的标准方程
（2）求过点的切线方程；
19．如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，，，.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为，若存在，求出点到平面的距离，若不存在，请说明理由.
20．已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆C的离心率为，且经过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点，，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
答案
1．【正确答案】A
【详解】由可得，，
则直线斜率为，设直线倾斜角为，则，
又，则.
故选A
2．【正确答案】A
【详解】由题意得，解得.
故选A
3．【正确答案】B
【详解】∵直线与平行，∴，解得.
∵的方程为，∴它们之间的距离.
故选B.
4．【正确答案】D
【详解】因为曲线为等轴双曲线，所以，则，
即焦点的坐标为，其渐近线方程为，
因为焦点到渐近线的距离为，所以，
则双曲线的标准方程为，即.
故选D
5．【正确答案】D
【详解】在直四棱柱中，四边形为正方形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、，
所以，，，
所以，，
因此，异面直线与所成角的余弦值为.
故选D.
6．【正确答案】B
【详解】圆：，圆：
两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为.
故选B
7．【正确答案】A
【详解】椭圆的左焦点在抛物线的准线上，且椭圆的短轴长为2，
则有，解得，
椭圆的方程是.
故选A
8．【正确答案】B
【详解】设点，因点为线段的中点，则（*）
又在椭圆（即）上，则 ①， ② ，
由，可得，
将（*）代入，化简得，即，可知直线的斜率为，
故直线的方程为：，即.
故选B.
9．【正确答案】D
【详解】如下图所示，双曲线的左焦点，渐近线的方程为，

由点到直线的距离公式可得，
由勾股定理得，
在中，，可知，
在中，则，，，
可得，
由余弦定理得，
整理得，即，
所以双曲线的离心率为.
故选D．
10．【正确答案】
【详解】因为抛物线标准方程为，
所以焦点坐标为.
11．【正确答案】
【详解】由题意得，解得或，
当时，重合，不合要求，
当时，平行，满足要求，
综上.
12．【正确答案】外切
【详解】由圆方程知：圆心，半径；由圆方程知：圆心，半径；
圆心距，，圆与圆外切.
13．【正确答案】
【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，
所以，解得.
14．【正确答案】
【详解】圆，即，圆心为，半径，
则圆心到直线的距离，
因为，即，可得，
即，解得，即.
15．【正确答案】2
【详解】的渐近线方程为，
双曲线的虚轴端点为，的焦点为
因此的斜率为，故，故,
设，则圆：，
不妨设直线，
联立与可得，故，
因此，
由于，故，故，
由于在，故，
结合，解得，
故双曲线方程为.
16．【正确答案】（1）或；
（2）；
（3）.
【详解】（1）因为，，所以.
若椭圆焦点在轴上，则椭圆方程为；
若椭圆焦点在轴上，则椭圆方程为.
（2）由题意，椭圆焦点在轴上，可设椭圆方程为，
且，，
所以，
所以椭圆方程为.
（3）由题意，椭圆焦点在轴上，可设椭圆方程为，且，
又，故所求椭圆方程为.
17．【正确答案】（1）见详解；
（2）.
【详解】（1）易知，又底面底面，，
故可以为中心，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，

设平面的一个法向量为
则．
取，则．
所以是平面的一个法向量．
因为，且平面，
所以平面．
（2）由（1）可知，
又因为平面，所以平面．
所以是平面的一个法向量．
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18．【正确答案】（1）；
（2）或.
【详解】（1）由圆心在直线上，设圆心，
由，得，解得，
因此圆心，半径，
所以圆的标准方程为.
（2）当切线斜率不存在时，圆心到直线的距离为3，则切线可以为直线；
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，
，解得，直线方程为，
所以切线方程为或.
19．【正确答案】（1）见详解；
（2）
（3）
【详解】（1）依题意，以D为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，可得,,,,,
.
依题意，,,
从而,
所以，即
（2）依题意，,,
设为平面ACF的法向量，
则，
不妨设可得，
因为,
设直线EC与平面ACF所成角为，则
，
所以直线EC与平面ACF所成角的正弦值为.
（3）假设线段DE上存在一点，使得直线BG与AD所成角的余弦值为，则.
依题意则，
，解得.
所有存在点满足条件，
所以可得,
由（2）可知平面ACF的一个法向量为，
所以点G到平面ACF的距离为
20．【正确答案】（1）（2）存在直线满足条件，其方程为
【详解】（1）设椭圆的方程为，
，且经过点，
，
解得，，，
故椭圆的方程为．
（2）若存在直线满足条件，由题意直线存在斜率，设直线的方程为，
由，得．
因为直线与椭圆相交于不同的两点，，
设，两点的坐标分别为，，，，
所以．
整理得．
解得，
又，
因为，即，
所以．
即．
所以，解得．
因为，所以．
于是存在直线满足条件，其方程为．