山东省泰安市泰山区2025-2026学年上学期七年级 数学期末预测卷（五四学制）

这是一份山东省泰安市泰山区2025-2026学年上学期七年级 数学期末预测卷（五四学制），共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如图，，连接，若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．3C．D．9
2．如图，四个同学用不同的方式得到一个与相等的角．其中正确的（ ）
A．只有奇奇，思思B．只有奇奇，妙妙
C．只有奇奇，妙妙，想想D．有奇奇，思思，妙妙，想想
3．如图所示的的正方形网格中，的值是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在中，，分别垂直平分，垂足分别为E、G，且，则下列结论不正确的是（）
A． B．
C．的周长为40D．的周长为20
5．如图，要在一条笔直的路边上建一个燃气站，向路同侧的两个城镇P，Q铺设燃气管道．在两个城镇之间有一个生态保护区（长方形），燃气管道不能穿过该区域，下列四种铺设管道路径的方案：

其中铺设管道路径最短的方案是（ ）
A．方案1B．方案2C．方案3D．方案4
6．下列各数，，，，，（每两个“2”之间依次多一个“1”），中，无理数的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．在中，，，的对边分别记为，，，则由下列条件：
①；②；③；④；⑤；⑥，能判定为直角三角形的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
8．如图，在中，，垂直平分交于点D，若的周长为14，且，则的长为（ ）
A．8B．9C．10D．12
9．如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为，则水深是（ ）
A．35B．40C．50D．45
10．若、互为相反数，、互为倒数，的平方为4，求的值为（ ）
A．1B．5C．1或D．1或5
11．下列说法不正确的是（ ）
A．点在第一象限
B．点到轴的距离为3
C．已知点，点，则轴
D．若，则点一定在轴上
12．已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，，则下列关于一次函数的说法，错误的是（ ）
A．函数图象经过第一、二、四象限B．y随x的增大而减小
C．函数图象经过点D．函数图象与x轴的交点坐标为
13．如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角，角的两边与x轴、y轴分别交于A，B两点，则等于（ ）
A．2B．3C．4D．5
14．、两地相距千米，慢车从地到地，快车从地到地，慢车的速度为千米/小时，快车的速度为千米/小时，两车同时出发．设两车的行驶时间为（小时），两车之间的路程为（千米）．则能大致表示与之间函数关系的图象是（ ）
A．B．
C．D．
15．如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象为（ ）
A．B．
C．D．
16．甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离A城的距离与行驶时间的函数图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙两车同时出发
B．乙车的速度为
C．乙车出发时，追上了甲车
D．当乙车到达B城时，甲、乙两车相距
二、填空题
17．一个正数的平方根是和，则这个正数是 ．
18．如图， 厘米，， 点 M 在线段上以 3 厘米/秒的速度自 C 向 B 运动，同时，点 N 在射线上以 1.2 厘米/秒的速度自 C 向 Q 运动，它们运动的时间为 t 秒（当点 M 运动停止时，点 N 也随之停止）．当点 M， N 运动到某处时，在射线上取一点 A ，连接，使得与全等，则的长度为 厘米．
19．如图，在中，于点，点为上一点，，若的面积是，则的长是 ．
20．如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点在边上，．若一只蚂蚁从点开始经过个侧面爬行一圈到达点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 ．
21．如图，在平面直角坐标系中点和．点P是坐标轴上一动点，连接，，，当为直角三角形时，P点的坐标是 ．
22．如图，已知直线与轴、轴分别交于点和点，是线段上一点，将沿直线折叠，点恰好落在轴上的点处，则直线的函数解析式是 ．
三、解答题
23．如图，在和中，．
(1)求证：．
(2)若，分别与，交于点，，求的度数．
24．在如图所示的方格纸中，的三个顶点都在格点上．
(1)画出关于直线n成轴对称的；
(2)求的面积；
(3)请用尺规在直线m上找出一点P，使得的周长最小．
25．在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图甲，小明据此构造出该岛的一个数学模型（如图乙四边形），是四边形岛屿上的一条小溪流，其中，千米，千米，千米，千米．
(1)求小溪流的长．
(2)求四边形的面积．
26．在平面直角坐标系中，给出如下定义：当点到x轴、轴的距离不相等时，点到轴，轴距离的较小值称为点的“短距”，例如点的“短距”为2；当点到轴，轴的距离相等时，称点为“完美点”，例如点为“完美点”．
(1)已知点的“短距”为6，求的值；
(2)若点为“完美点”，求点的“短距”．
27．综合与实践
生活中的数学：如何确定单肩包的最佳背带长度？
素材1：如图1是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短．总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计．
素材2：对该款单肩包的背带长度进行测量，设双层部分的长度是，单层部分的长度是，得到几组数据如下表所示．
素材3：单肩包的最佳背带总长度与身高的比为．
素材4：小明爸爸准备购买此款单肩包．爸爸自然站立，将该单肩包的背带调节到最短提在手上（背带的倾斜忽略不计），背带的悬挂点离地面的高度为；如图2，已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为，头顶到肩膀的垂直高度为身高的．
请根据以上素材，解答下列问题：
(1)如图3，在平面直角坐标系中，以所测得数据中的x为横坐标，y为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接；根据图象思考y与x之间的函数表达式，并直接写出x的取值范围；
(2)设人的身高为h，当单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时人的身高h与这款单肩包背带的双层部分的长度x之间的函数表达式，直接写出x的取值范围；
(3)当小明爸爸的单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时双层部分的长度．
28．如图，在平面直角坐标系中，已知直线：与x轴交于点A；直线与x轴交于点C，与y轴交于点，与直线交于点．
(1)点A的坐标为 ；
(2)求直线的表达式；
(3)直线上是否存在动点P，使得的面积等于面积的倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
方案：过点作于点，连接，，则铺设管道路径是．
方案：连接并延长交于点，连接，则铺设管道路径是．
AI 方案：作点关于的对称点，连接交于点，连接，，则铺设管道路径是．
AI 方案：作点关于的对称点，连接交于点，连接，，则铺设管道路径是．
双层部分的长度
2
6
10
…
单层部分的长度
116
108
100
…
参考答案
1．C
【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质，得到，，进而得到，分割法求出阴影部分的面积即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故选C
2．D
【分析】本题考查了尺规作图，作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等以及对顶角相等，正确理解题意是解题的关键．
分别利用尺规作图，作一个角等于已知角，同角的余角相等以及对顶角相等进行判断即可．
【详解】解：奇奇：连接，
由作法可知，，，
∴，
∴，故正确；
思思： 同奇奇作法可证，故正确；
妙妙：根据同角的余角相等可知，故正确；
想想：根据对顶角相等可知，故正确，
故选：D．
3．B
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键，根据全等三角形的判定与性质得到，则有，同理可证，，，从而得到答案．
【详解】解：由题可得：如图：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理可证：，，
∴，
故选：B．
4．C
【分析】本题考查三角形的内角和，垂直平分线的性质，等边对等角，掌握知识点是解题的关键．
根据三角形的内角和，得到，求出，，推导出，得到，则，， 从已知条件无法求出的周长，即可解答．
【详解】解：∵，，，
∴，
解得，故A正确；
∴，
∵分别垂直平分，垂足分别为E、G，
∴，，
∴，
∴，故B正确；
∴，故D正确，
从已知条件无法求出的周长，故C错误．
故选C．
5．C
【分析】本题考查了作图-应用与设计作图、轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
作点关于直线的对称点，连接交直线于点，即可求解．
【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点，
则点为所求燃气站的位置．
故选：C；
6．B
【分析】本题考查的是无理数的定义，即无理数是无限不循环小数，解答此题时要注意是无理数．整数和分数统称为有理数，无理数即无限不循环小数，据此即可得出答案．
【详解】解：在实数，，，，，（每两个“2”之间依次多一个“1”），中，无理数有，（每两个“2”之间依次多一个“1”，共2个．
故选：B．
7．D
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．
利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答．
【详解】解：∵，，
∴
∴，
∴，
∴为直角三角形，故①符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为直角三角形，故②符合题意；
∵，
∴，
∴为直角三角形，故③符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴为直角三角形，故④符合题意；
∵，，
∴，
∴为直角三角形，故⑤符合题意；
∵，
∴，
∴，
无法判断的形状，故⑥不符合题意；
综上可知：能判定为直角三角形，共5个，
故选：．
8．C
【分析】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握以上性质．
根据线段垂直平分线的性质得出相等边，然后根据比值假设，则，利用面积列出方程求解，最后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
假设，则，
∴，
∴，
解得，
∴，
由勾股定理得,
故选：C．
9．D
【分析】本题考查正确运用勾股定理，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．仔细分析该题，可画出草图，关键是水深、红莲移动的水平距离及红莲的高度构成一直角三角形，进一步求解即可．
【详解】解：红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即为红莲的长．
设水深，由题意得：
中，，，
由勾股定理得：，
即，
解得：．
即：水深是
故选：D．
10．C
【分析】本题考查相反数、倒数、乘方的性质，涉及的知识点是“互为相反数的两数和为0”“互为倒数的两数积为”“平方为的数有两个”．解题方法是先根据定义求出、、的值，再分情况代入式子计算；解题关键是注意的取值有两个，需分情况讨论．易错点是忽略的正负两种情况，导致漏解．解题思路为：先利用相反数、倒数、乘方的性质得到、、，再分和两种情况代入式子计算结果．
【详解】∵互为相反数，
∴．
∵互为倒数，
．
，
或．
当时，=．
当时，=．
故选C．
11．D
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征、点到坐标轴的距离、平行于坐标轴的直线条件等基础知识．通过逐一分析各选项，判断其正确性即可．
【详解】解：A、点的横坐标，纵坐标，则点在第一象限，正确，不符合题意；
B、点到y轴的距离，正确，不符合题意；
C、点和点的纵坐标均为3，
∴轴，正确，不符合题意；
D、由，得或，点可能在x轴上或y轴上或原点，
∴ 不一定在x轴上，错误，符合题意．
故选：D．
12．D
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，解题的关键是先求出一次函数的解析式，再根据解析式分析其图象特征、增减性及经过的点等．将已知点代入解析式求出、的值，得到函数表达式；再依次分析各选项的正确性．
【详解】解：∵图象过，
∴；
将代入得：，解得，
∴一次函数解析式为．
A、∵，，
∴函数图象经过第一、二、四象限，此选项不符合题意；
B、∵，
∴随的增大而减小，此选项不符合题意；
C、当时，，
∴函数图象经过点，此选项不符合题意；
D、令，则，解得，
∴函数图象与轴的交点坐标为，不是，此选项符合题意．
故选：．
13．C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形综合，由条件可知，求出点P的坐标为，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，由点P的坐标知，，证明，得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解:由条件可知，
解得：，
则点P的坐标为，
过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，如图，
则，
∴，
∵，
∴，
由点P的坐标知，，
∴，
∴，
∴．
答案：C．
14．C
【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意，确定分段函数的解析式，并根据函数解析式确定函数图象是解题关键．分别求出慢车到达地、快车到达地、两车相遇时间，然后分、、三段求出函数关系式，再结合函数图象即可求解．
【详解】解：根据题意得：慢车从地到地所用时间为（小时），
快车从地到地所用时间为（小时），
两车同时出发，相遇时慢车所用时间为（小时）．
当时，﹔
当时，；
当时，快车已到地，；
故选：C．
15．C
【分析】本题考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键，根据流程图推导出函数表达式，并根据函数表达式的特征判断对应的图象即可．
【详解】解：根据流程图可得：，
∵，，
∴函数图象过一、二、四象限，
故选：C．
16．C
【分析】本题考查了根据函数图象获取信息和一次函数的应用，由图象得乙车比甲车晚出发，故可判断A；由图象得全程，乙车行完全程用3小时，得速度为，可判断B；分别求出甲乙两车行驶路程函数解析式，求其交点坐标即可判断C；求出甲车行驶速度，根据图象得乙车比甲车早到1小时，求出甲、乙两车相距可判断D．
【详解】解：由图象知，乙车比甲车晚出发2小时，故选项A错误；
由图象得全程，乙车行完全程用，平均速度为，故选项B错误；
设甲车行驶的图象为，把代入得：，解得，
所以，，
设乙车行驶的图象为，把代入得：，解得，
所以，，
联立，
解得，
∴乙车出发时，追上了甲车，故选项C正确；
由图象得A，B两地的距离为
甲车速度为，
所以，当乙车到达B城时，甲、乙两车相距，故选项D错误；
故选：C．
17．121
【分析】本题考查了平方根的性质．
根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，由此列出方程求出a的值，再代入求出一个平方根，进而求出这个正数．
【详解】解：由题意，得，
解得．
则一个平方根为，
所以这个正数为．
故答案为：121．
18．5 或
【分析】本题考查了全等三角形的性质，分类讨论是解答本题的关键．根据题意分两种全等情况：①，②，然后利用全等的性质求解即可．
【详解】解：①若，
，
，
解得：；
②若，
，
，
解得：；
则的长度为5 或厘米，
故答案为：5 或．
19．3
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识．过点分别作，，根据，，可得垂直平分，推出，，结合，可得，根据等腰三角形的性质可得，，结合，推出、分别平分、，得到，最后根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：过点分别作，，
，，
垂直平分，
，，
，
，
，，
，，
，即，
，
，即、分别平分、，
，
，
，
解得：，
故答案为：3．
20．
【分析】本题考查了勾股定理的应用——求最短路径，先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，将长方体展开，连接，
∵长方体的底面边长分别为和，高为，，
∴，，
根据两点之间线段最短，，
故答案为：．
21．或或
【分析】本题考查了坐标与图形的性质，勾股定理．分三种情况讨论：当点在轴上，在原点，在轴上，根据勾股定理列出式计算即可求解．
【详解】解：①当点在轴上运动，时，连接．
∵，，
∴，，，
设点的坐标是，
∵，
∴，，
∴，即，
解得．
∴点的坐标是；
②当点在原点时，，
∴点的坐标为；
③当点在轴上运动，时，连接，
设点的坐标是，
∴，，
∴，即，
解得．
∴点的坐标是．
故答案为：或或．
22．
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、翻折变换、一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解题关键．
由解析式先求出点、坐标，利用勾股定理求出线段长，设，根据对称性质及勾股定理得到，求出坐标，利用待定系数法求出直线解析式即可．
【详解】解：直线与轴、轴分别交于点和点，
，，
在中，由勾股定理可知：，
由折叠性质可知，
，
设，则，
由勾股定理得：，解得，
，
设直线解析式为，代入点坐标得：，解得，
直线的函数解析式是．
故答案为：．
23．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定．
（1）根据已知条件先证明，进而证明，即可证明；
（2）由（1）可得，进而根据三角形的内角和进行求解即可得．
【详解】（1）证明：，
，
即．
在和中，
．
；
（2）解：由（1）知，
．
，
．
24．(1)见解析；
(2)3；
(3)见解析．
【分析】本题考查轴对称变换，三角形的面积，熟练掌握轴对称变换的性质是解题的关键．
（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可；
（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
（3）作点A关于直线m的对称点，连接交直线m于点P，连接，点P即为所求．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：
答：的面积为3；
（3）解：如图，点P即为所求：
25．(1)千米
(2)平方千米
【分析】本题考查的是勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，割补法求解图形面积，熟记勾股定理与勾股定理的逆定理是解本题的关键．
（1）根据勾股定理求解即可；
（2）将四边形分成两个三角形，求证为直角，四边形面积为两个直角三角形面积之和即可．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵，千米，千米，
∴（千米）；
（2）解：∵千米，千米，千米．
∴，，，
∴，
∴是直角三角形，则，
∴（平方千米）．
26．(1)或
(2)1或2
【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，正确理解“短距”和“完美点”的定义是解题关键．
（1）根据“短距”的定义和点到坐标轴的距离求解即可；
（2）先根据“完美点”的定义建立方程，解方程可得的值，再根据“短距”的定义求解即可得．
【详解】（1）解：∵点的“短距”为6，
∴，
解得：或．
（2）解：∵点为“完美点”，
∴，
即或，
解得或，
当时，，
∴点的坐标为，
∴点到轴的距离为，到轴的距离为，
∴点的“短距”为1；
当时，，
∴点的坐标为，
∴点到轴的距离为，到轴的距离为，
∴点的“短距”为2，
综上，点的“短距”为1或2．
27．(1)图见解析，；
(2)；
(3)此时双层部分的长度为．
【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意、利用待定系数法求函数关系式、求出小明爸爸的身高是本题的关键．
（1）直接描点并作图，利用待定系数法求出函数关系式，并求出的最大值和最小值；
（2）根据“背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和”和与之间的函数关系式，用含的代数式将背带的总长度表示出来，再由背带总长度与身高的比例关系列出等式，将表示为的函数的形式即可；
（3）当背包的背带调节到最短时都为双层部分，求出此时的值，从而求出手离地面的高度；设小明爸爸的身高为未知数，根据臂展与身高的关系及肩宽，将一条胳膊的长度用身高表示出来，头顶到肩膀的垂直高度、一条胳膊的长度、手离地面的高度之和为身高，利用此等量关系列方程求出身高，将其代入任务2中得到的函数关系式，求出对应的值即可．
【详解】（1）解：描点并作图如图所示：
根据图象可知，变量、满足一次函数关系．
设、为常数，且，
将，和，代入，
得，
解得，
．
当背带都为单层部分时，；
当背带都为双层部分时，，即，解得，
的取值范围是；
（2）解：∵背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和，
总长度为，
当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，得，
∴；
（3）解：由素材可知，当背包的背带调节到最短时都为双层部分，即，．
背包提在手上，且背包的悬挂点离地面高度为，
手到地面的距离为，即．
设小明爸爸的身高为 ．
臂展和身高一样，且肩宽为，
小明爸爸一条胳膊的长度为，
，解得，
根据任务2，得，解得，
此时双层部分的长度为．
28．(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查了一次函数与面积的综合问题，用待定系数法求一次函数的解析式，求一次函数与x轴的交点坐标，熟练掌握一次函数与面积的综合问题是解题的关键．
（1）令，得到方程，求解方程即得答案；
（2）用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（3）设点，当点P在射线上时，根据，得到，再根据三角形面积公式列方程求出点P的纵坐标，即可进一步得到答案；当点P在射线上时，可得，再根据三角形面积公式列方程求出点P的纵坐标，即可进一步得到答案．
【详解】（1）解：令，则，
解得，
点A的坐标为．
故答案为：．
（2）解：设直线的表达式为，
将，的坐标代入，得，
解得，
直线的表达式为；
（3）解：设点，
当点P在射线上时，即点在处，
，
，
，
解得，
，
解得，
；
当点P在射线上时，即点在处，
，
，
，
解得，
，
解得，
；
综上所述，存在动点P，使得的面积等于面积的倍，点P的坐标为或．