山东省泰安市泰山区2023-2024学年七年级上学期期中数学试卷(五四制)
展开1.观察下列平面图形,其中是轴对称图形的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是( )
A.6cm,7cm,13cmB.3cm,3cm,5cm
C.4cm,4cm,10cmD.6cm,9cm,2cm
3.如图,AC与BD相交于点O,OA=OD,OB=OC,不添加辅助线,判定△ABO≌△DCO的依据是( )
A.SSSB.SASC.AASD.ASA
4.和三角形三个顶点的距离相等的点是( )
A.三条角平分线的交点
B.三边中线的交点
C.三边上高所在直线的交点
D.三边的垂直平分线的交点
5.如图,有两棵树,一棵高10米,另一棵树高4米,两树相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,问小鸟至少飞行( )
A.8米B.10米C.12米D.14米
6.在下列以线段a、b、c的长为边,能构成直角三角形的是( )
A.a=4,b=6,c=8B.a=5,b=6,c=7
C.a=7,b=24,c=25D.a=6,b=8,c=12
7.如图,直线l表示一条河,点A,B表示两个村庄,想在直线l上的某点P处修建一个水泵站向A,B两村庄供水.现有如图所示的四种铺设管道的方案(图中实线表示铺设的管道),则铺设的管道最短的是( )
A.B.
C.D.
8.如图,在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于点D,AE∥BD交CB的延长线于点E,若∠E=32°,则∠BAC的度数是( )
A.32°B.52°C.64°D.68°
9.如图,AE∥DF,AE=DF.添加下列条件中的一个:①AB=CD;②∠E=∠F;③EC=BF;④EC∥BF.其中可以得到△ACE≌△DBF的是( )
A.①②④B.①③④C.①②③D.②③④
10.如图,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B.下列结论中不一定成立的是( )
A.PA=PBB.PO平分∠APB
C.AB垂直平分OPD.∠OBA=∠OAB
11.我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示),如果大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边分别是a和b,那么ab的值为( )
A.49B.25C.12D.10
12.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,以点C为圆心,以BC为半径作弧交AC于点D,再分别以B,D为圆心,以大于的长为半径作弧,两弧相交于点P,作射线CP交AB于点E,连接DE.以下结论不正确的是( )
A.∠BCE=36°B.BC=AEC.∠BED=108°D.BE=AD
二、填空题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分。只要求填写最后结果)
13.等腰三角形的一个角是70°,则它的顶角是 .
14.如图字母B所代表的正方形的边长是 .
15.已知三角形的两边长分别为5cm和9cm,则第三边a的长的取值范围是 .
16.直角三角形的两边长分别是9和12,则斜边上的高为 .
17.如图,在△ABC中,AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E,∠B=∠ADB.若AB=10,则DC的长是 .
18.如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,AD、CE交于点H,已知EH=EB=3,AE=4,则CH的长是 .
19.AD是△ABC的中线,∠ADB=60°,BC=12,把△ABC沿直线AD折叠,使点B落在点E的位置,连接CE,则CE的长为 .
20.如图所示的网格是正方形网格,则∠PAB+∠PBA= °(点A,B,P是网格线交点).
三、解答题(本大题共7个小题,满分70分。解答应写出计算过程、文字说明或推演步骤)
21.如图,已知点E、C在线段BF上,BE=CF,AB∥ED,AB=DE.
求证:△ABC≌△DEF.
22.如图,在正方形网格中,△ABC是格点三角形.
(1)画出△A1B1C1,使得△A1B1C1和△ABC关于直线l对称;
(2)过点C作线段CD,使得CD∥AB,且CD=AB;
(3)求以A、B、C、D为顶点的四边形的面积.
23.如图,在△ABC中,AB=AC,AD为△ABC的角平分线.以点A圆心,AD长为半径画弧,与AB,AC分别交于点E,F,连接DE,DF.
(1)请说明:△ADE≌△ADF;
(2)若∠BAC=76°,求∠BDE的度数.
24.如图,已知∠1和线段a,尺规作直角三角形,使得∠1为其中的一个锐角,a为直角三角形的斜边.
25.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一,在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?“译成数学问题是:如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC+AB=1丈,BC=3尺,求AC的长为多少尺?(说明:1丈=10尺)
26.如图,上午8时,一条船从A处测得灯塔C在北偏西30°,该船以30海里时的速度向正北航行,9时30分到达B处,测得灯塔C在北偏西60°,若船继续向正北方向航行,求轮船何时到达灯塔C的正东方向D处.
27.(16分)如图1,△ABC的边BC在直线I上,AC⊥BC,且AC=BC;△EFP的边FP也在直线I上,边EF与边AC重合,且EF=FP.
(1)示例:在图1中,直接写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系;
(2)将△EFP沿直线I向左平移到图2的位置时,EP交AC于点Q,连接AP,BQ,直接写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系;
(3)将△EFP沿直线I向左平移到图3的位置时,EP的延长线交AC的延长线于点Q,连接AP、BQ.你认为(2)中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗?若成立,给出推理说明;若不成立,请说明理由.
参考答案
一、选择题(本大题共12小题,每小题4分,共48分。每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正确答案的字母代号选出来,填入下面答题栏中的对应位置)
1.观察下列平面图形,其中是轴对称图形的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴,据此判断即可.
解:左起第一、二、三个图形能找到这样的一条直线,使这些图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,所以是轴对称图形;
第四个不能找到这样的一条直线,使这个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,所以不是轴对称图形;
所以是轴对称图形的有3个.
故选:C.
【点评】本题考查了轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合.
2.下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是( )
A.6cm,7cm,13cmB.3cm,3cm,5cm
C.4cm,4cm,10cmD.6cm,9cm,2cm
【分析】根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可.
解:A、∵6+7=13,∴不能构成三角形,不符合题意;
B、∵3+3=6>5,∴能构成三角形,符合题意;
C、∵4+4=8<10,∴不能构成三角形,不符合题意;
D、∵6+2=8<9,∴不能构成三角形,不符合题意.
故选:B.
【点评】本题考查的是三角形的三边关系,熟知三角形两边之和大于第三边;三角形的两边差小于第三边是解题的关键.
3.如图,AC与BD相交于点O,OA=OD,OB=OC,不添加辅助线,判定△ABO≌△DCO的依据是( )
A.SSSB.SASC.AASD.ASA
【分析】根据全等三角形的判定定理SAS求解即可.
解:在△ABO和△DCO中,
,
∴△ABO≌△DCO(SAS),
故选:B.
【点评】此题考查了全等三角形的判定,熟记全等三角形的判定定理是解题的关键.
4.和三角形三个顶点的距离相等的点是( )
A.三条角平分线的交点
B.三边中线的交点
C.三边上高所在直线的交点
D.三边的垂直平分线的交点
【分析】三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.
解:根据线段垂直平分线的性质可得:三角形三个顶点的距离相等的点是三边的垂直平分线的交点.
故选:D.
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质(三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.此点称为外心,也是这个三角形外接圆的圆心.),难度一般.
5.如图,有两棵树,一棵高10米,另一棵树高4米,两树相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,问小鸟至少飞行( )
A.8米B.10米C.12米D.14米
【分析】根据“两点之间线段最短”可知:小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行,所行的路程最短,运用勾股定理可将两点之间的距离求出.
解:如图,设大树高为AB=10m,
小树高为CD=4m,
过C点作CE⊥AB于E,则EBDC是矩形,
连接AC,
∴EB=4m,EC=8m,AE=AB﹣EB=10﹣4=6m,
在Rt△AEC中,AC==10(m),
故小鸟至少飞行10m.
故选:B.
【点评】本题考查正确运用勾股定理.善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键.
6.在下列以线段a、b、c的长为边,能构成直角三角形的是( )
A.a=4,b=6,c=8B.a=5,b=6,c=7
C.a=7,b=24,c=25D.a=6,b=8,c=12
【分析】由勾股定理的逆定理,判定是否是直角三角形.
解:A、42+62≠82,故不符合勾股定理的逆定理,不能组成直角三角形,故不符合题意;
B、52+62≠72,故不符合勾股定理的逆定理,不能组成直角三角形,故不符合题意;
C、72+242=252,故符合勾股定理的逆定理,能组成直角三角形,故符合题意;
D、62+82≠122,故不符合勾股定理的逆定理,不能组成直角三角形,故不符合题意;
故选:C.
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形,已知三角形三边的长,只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.
7.如图,直线l表示一条河,点A,B表示两个村庄,想在直线l上的某点P处修建一个水泵站向A,B两村庄供水.现有如图所示的四种铺设管道的方案(图中实线表示铺设的管道),则铺设的管道最短的是( )
A.B.
C.D.
【分析】依据轴对称的性质,通过等线段代换,将所求路线长转化为两点之间的距离即可.
解:作点A关于直线l的对称点A′,连接BA′交直线l于P.
根据两点之间,线段最短,可知选项D铺设的管道最短.
故选:D.
【点评】本题考查了最短路线问题,这类问题的解答依据是“两点之间,线段最短”.凡是涉及最短距离的问题,一般要考虑线段的性质定理,结合轴对称变换来解决,多数情况要作点关于某直线的对称点.
8.如图,在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于点D,AE∥BD交CB的延长线于点E,若∠E=32°,则∠BAC的度数是( )
A.32°B.52°C.64°D.68°
【分析】先利用平行线的性质可得∠CBD=∠E=32°,再利用角平分线的定义可得∠ABC=64°,然后利用等腰三角形的性质可得∠ABC=∠C=64°,从而利用三角形内角和定理进行计算,即可解答.
解:∵AE∥BD,
∴∠CBD=∠E=32°,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABC=2∠CBD=64°,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C=64°,
∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠C=52°,
故选:B.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质,平行线的性质,三角形内角和定理,根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键.
9.如图,AE∥DF,AE=DF.添加下列条件中的一个:①AB=CD;②∠E=∠F;③EC=BF;④EC∥BF.其中可以得到△ACE≌△DBF的是( )
A.①②④B.①③④C.①②③D.②③④
【分析】根据全等三角形的判定方法一一判断即可.
解:∵AE∥DF,
∴∠A=∠D,
∵AB=CD,
∴AB+BC=CD+BC,即AC=DB,
∵AE=DF,
∴△ACE≌△DBF(SAS),
故①能证明△ACE≌△DBF;
∵AE∥DF,
∴∠A=∠D,
∵∠E=∠F,
∴△ACE≌△DBF(ASA),
故②能证明△ACE≌△DBF;
∵AE∥DF,
∴∠A=∠D,
∵AE=DF,EC=FB,
而:SSA不能判定三角形全等,故③不能;
∵AE∥DF,
∴∠A=∠D,
∵EC∥BF,
∴∠ECA=∠FBD,
∴△ACE≌△DBF(AAS),
故④能证明△ACE≌△DBF;
故选:A.
【点评】本题考查全等三角形的判定,解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法,属于中考常考题型.
10.如图,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B.下列结论中不一定成立的是( )
A.PA=PBB.PO平分∠APB
C.AB垂直平分OPD.∠OBA=∠OAB
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PA=PB,再利用“HL”证明△AOP和△BOP全等,根据全等三角形对应角相等可得∠AOP=∠BOP,全等三角形对应边相等可得OA=OB.
解:∵OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,
∴PA=PB,故A选项正确;
在△AOP和△BOP中,
,
∴△AOP≌△BOP(HL),
∴∠AOP=∠BOP,OA=OB,故B选项正确;
由等腰三角形三线合一的性质,OP垂直平分AB,AB不一定垂直平分OP,
即不一定成立的是选项C;
∵OA=OB,
∴∠OBA=∠OAB,故选项D正确;
故选:C.
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,全等三角形的判定与性质,熟记性质并求出两三角形全等是解题的关键.
11.我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示),如果大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边分别是a和b,那么ab的值为( )
A.49B.25C.12D.10
【分析】根据大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,可得直角三角形的面积,即可求得ab的值.
解:如图,∵大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,
∴直角三角形的面积是(25﹣1)÷4=6,
又∵直角三角形的面积是ab=6,
∴ab=12.
故选:C.
【点评】本题考查了勾股定理,还要注意图形的面积和a,b之间的关系.
12.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,以点C为圆心,以BC为半径作弧交AC于点D,再分别以B,D为圆心,以大于的长为半径作弧,两弧相交于点P,作射线CP交AB于点E,连接DE.以下结论不正确的是( )
A.∠BCE=36°B.BC=AEC.∠BED=108°D.BE=AD
【分析】由作图可得,BC=CD,CP为∠ACB的平分线,则∠ACE=∠BCE=∠ACB=36°,进而可得∠ACE=∠BAC,即AE=CE,由∠ABC=∠BEC,可得BC=CE,即可得BC=AE.证明△BCE≌△DCE,可得∠DEC=∠BEC=72°,BE=DE,则∠BED=∠BEC+∠DEC=144°,可得∠AED=∠BAC=36°,则AD=DE,即BE=AD.
解:由作图可得,BC=CD,CP为∠ACB的平分线,
∴∠ACE=∠BCE,
∵AB=AC,∠BAC=36°,
∴∠ABC=∠ACB=72°,
∴∠ACE=∠BCE=∠ACB=36°,
故A选项正确,不符合题意;
∵∠ACE=36°,∠BAC=36°,
∴∠ACE=∠BAC,
∴AE=CE,
∵∠BEC=180°﹣∠ABC﹣∠BCE=72°,
∴∠ABC=∠BEC,
∴BC=CE,
∴BC=AE.
故B选项正确,不符合题意;
在△BCE和△DCE中,
,
∴△BCE≌△DCE(SAS),
∴∠DEC=∠BEC=72°,
∴∠BED=∠BEC+∠DEC=144°.
故C选项不正确,符合题意;
∵∠AED=180°﹣∠BED=36°,
∴∠AED=∠BAC,
∴AD=DE,
∵△BCE≌△DCE,
∴BE=DE,
∴BE=AD.
故D选项正确,不符合题意.
故选:C.
【点评】本题考查作图﹣基本作图、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质,熟练掌握等腰三角形的性质以及作图方法、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键.
二、填空题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分。只要求填写最后结果)
13.等腰三角形的一个角是70°,则它的顶角是 40°或70° .
【分析】因为题中没有指明该角是顶角还是底角,所以要分两种情况进行分析.
解:①70°是底角,则顶角为:180°﹣70°×2=40°;
②70°为顶角;
综上所述,顶角的度数为40°或70°.
故答案为:40°或70°.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理;若题目中没有明确顶角或底角的度数,做题时要注意分情况进行讨论,这是十分重要的,也是解答问题的关键.
14.如图字母B所代表的正方形的边长是 12 .
【分析】根据勾股定理求出字母B所代表的正方形的面积,根据正方形的性质计算,得到答案.
解:由勾股定理得字母B所代表的正方形的边长=12,
故答案为:12.
【点评】本题考查的是勾股定理的,正方形的面积,熟知如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2是解决问题的关键.
15.已知三角形的两边长分别为5cm和9cm,则第三边a的长的取值范围是 4<a<14 .
【分析】根据三角形的三边关系解答即可.
解:∵三角形的两边长分别为5cm和9cm,
∴9﹣5<a<9+5,即4<a<14.
故答案为:4<a<14.
【点评】本题考查的是三角形的三边关系,熟知三角形两边之和大于第三边;三角形的两边差小于第三边是解题的关键.
16.直角三角形的两边长分别是9和12,则斜边上的高为 或 .
【分析】分两种情况,当9和12都是直角边时,用勾股定理求出斜边长,然后再根据直角三角形面积的两种公式求解,当12是斜边时,用勾股定理求出另一直角边长,然后再根据直角三角形面积的两种公式求解即可.
解:当9和12都是直角边时,
设斜边长为c,斜边上的高为h,
由勾股定理可得:=15,
由,
可得:h=.
当12是斜边时,
设另一直角边长为a,斜边上的高为h1,
由勾股定理可得:=3,
由S==×12h1,
可得:h1=.
综上,斜边上的高为或.
故答案为:或.
【点评】本题考查勾股定理及直角三角形面积公式的综合运用,熟知在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键.
17.如图,在△ABC中,AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E,∠B=∠ADB.若AB=10,则DC的长是 10 .
【分析】根据等角对等边可得AB=AD=10,根据线段垂直平分线的性质可得DA=DC=10,即可解答.
解:∵∠B=∠ADB,
∴AB=AD=10,
∵DE是AC的垂直平分线,
∴DA=DC=10.
故答案为:10.
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质,等腰三角形的判定,熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键.
18.如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,AD、CE交于点H,已知EH=EB=3,AE=4,则CH的长是 1 .
【分析】根据AD⊥BC,CE⊥AB,得出∠ADB=∠AEH=90°,再根据∠BAD=∠BCE,利用AAS得到△HEA≌△BEC,由全等三角形的对应边相等得到AE=EC,由HC=EC﹣EH代入计算即可.
解:∵AD⊥BC,CE⊥AB,
∴∠ADB=∠AEH=90°,
∵∠AHE=∠CHD,
∴∠BAD=∠BCE,
∵在△HEA和△BEC中,
,
∴△HEA≌△BEC(AAS),
∴AE=EC=4,
则CH=EC﹣EH=AE﹣EH=4﹣3=1.
故答案为:1.
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质,用到的知识点是全等三角形的判定与性质,解题的关键是找出图中的全等三角形,并进行证明.
19.AD是△ABC的中线,∠ADB=60°,BC=12,把△ABC沿直线AD折叠,使点B落在点E的位置,连接CE,则CE的长为 6 .
【分析】由中线可得BD=CD,折叠可得BD=DE,∠ADB﹣∠ADE=60°,所以∠CDE=60°,易得△ECD是等边三角形,即可求得CE的长.
解:由翻折可知,DB=DE,∠ADB=∠ADE=60°,BC=12,
∴∠EDC=180°﹣2×60°=60°,BD=DC==6,
∴DE=DC,
∴△EDC是等边三角形,
∴CE=CD=6,
故答案为:6.
【点评】此题主要考查折叠的性质,综合利用了中线的定义、等边三角形的判定等知识点,
20.如图所示的网格是正方形网格,则∠PAB+∠PBA= 45 °(点A,B,P是网格线交点).
【分析】根据图形,可知∠CPA=45°,∠CPA=∠PAB+∠PBA,从而可以得到∠PAB+∠PBA的值.
解:延长BP,点C为BP延长线上一点,如图所示,
∵∠CPA=45°,∠CPA=∠PAB+∠PBA,
∴∠PAB+∠PBA=45°,
故答案为:45.
【点评】本题考查三角形的内角和外角的关系,解答本题的关键是明确题意,知道三角形的一个外角等于和它不相邻两个内角的和.
三、解答题(本大题共7个小题,满分70分。解答应写出计算过程、文字说明或推演步骤)
21.如图,已知点E、C在线段BF上,BE=CF,AB∥ED,AB=DE.
求证:△ABC≌△DEF.
【分析】根据平行线的性质可知由∠B=∠DEF,根据SAS定理可知△ABC≌△DEF.
【解答】证明:∵AB∥ED,
∴∠B=∠DEF.
∵BE=CF,
∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF.
在△ABC和△DEF中,
,
∴△ABC≌△DEF(SAS).
【点评】本题考查全等三角形的判定,平行线的性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件,属于中考常考题型.
22.如图,在正方形网格中,△ABC是格点三角形.
(1)画出△A1B1C1,使得△A1B1C1和△ABC关于直线l对称;
(2)过点C作线段CD,使得CD∥AB,且CD=AB;
(3)求以A、B、C、D为顶点的四边形的面积.
【分析】(1)分别作出A,B,C的对应点A1,B1,C1即可.
(2)根据要求作出图形即可(有两种情形).
(3)利用分割法求解即可.
解:(1)如图,△A1B1C1即为所求作.
(2)如图,线段CD或线段CD′即为所求作.
(3)以A、B、C、D为顶点的四边形的面积=3×4﹣2××2×2﹣2××1×2=6.
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换,平行线的性质,四边形的面积等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
23.如图,在△ABC中,AB=AC,AD为△ABC的角平分线.以点A圆心,AD长为半径画弧,与AB,AC分别交于点E,F,连接DE,DF.
(1)请说明:△ADE≌△ADF;
(2)若∠BAC=76°,求∠BDE的度数.
【分析】(1)由角平分线定义得出∠BAD=∠CAD.由作图知:AE=AF.由SAS可证明△ADE≌△ADF;
(2)由作图知:AE=AD.得出∠AED=∠ADE,由等腰三角形的性质求出∠ADE=71°,则可得出答案.
【解答】(1)证明:∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠BAD=∠CAD.
由作图知:AE=AF.
在△ADE和△ADF中,
,
∴△ADE≌△ADF(SAS);
(2)解:∵∠BAC=76°,AD为△ABC的角平分线,
∴∠EAD=∠BAC=38°,
由作图知:AE=AD.
∴∠AED=∠ADE,
∴∠ADE=×(180°﹣38°)=71°,
∵AB=AC,AD为△ABC的角平分线,
∴AD⊥BC.
∴∠BDE=90°﹣∠ADE=19°.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,等腰三角形的性质,熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键.
24.如图,已知∠1和线段a,尺规作直角三角形,使得∠1为其中的一个锐角,a为直角三角形的斜边.
【分析】首先在射线BE上截取BC=a,接下来过点C作射段BD的垂线,交BD于点A,据此作图.
解:作法,如图,
(1)在射线BE上截取BC=a;
(2)过点C作射线BD的垂线,交BD于点A,Rt△ACB即为所求.
【点评】本题主要考查尺规作图,掌握过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图是解题的关键.
25.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一,在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?“译成数学问题是:如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC+AB=1丈,BC=3尺,求AC的长为多少尺?(说明:1丈=10尺)
【分析】设AC=x,可知AB=10﹣x,再根据勾股定理即可得出结论.
解:1丈=10尺,
设AC=x,
∵AC+AB=10,
∴AB=10﹣x.
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,
∴AC2+BC2=AB2,即x2+32=(10﹣x)2.
解得:x=4.55,
即AC=4.55尺.
【点评】本题考查的是勾股定理的应用,在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法,关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型,画出准确的示意图.领会数形结合的思想的应用.
26.如图,上午8时,一条船从A处测得灯塔C在北偏西30°,该船以30海里时的速度向正北航行,9时30分到达B处,测得灯塔C在北偏西60°,若船继续向正北方向航行,求轮船何时到达灯塔C的正东方向D处.
【分析】根据题意可得:AB=45海里,CD⊥AD,∠DBC=60°,∠BAC=30°,再利用三角形的外角性质可得∠ACB=∠BAC=30°,从而可得AB=BC=45海里,然后在Rt△BCD中,利用锐角三角函数的定义求出BD的长,从而进行计算即可解答.
解:由题意得:AB=1.5×30=45(海里),CD⊥AD,∠DBC=60°,∠BAC=30°,
∵∠DBC是△ABC的一个外角,
∴∠ACB=∠DBC﹣∠BAC=30°,
∴∠ACB=∠BAC=30°,
∴AB=BC=45海里,
在Rt△BCD中,BD=BC•cs60°=45×=(海里),
∴÷30=(时)=45(分钟),
∴9时30分+45分=10时15分,
∴轮船10时15分到达灯塔C的正东方向D处.
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题,等腰三角形的判定与性质,熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.
27.(16分)如图1,△ABC的边BC在直线I上,AC⊥BC,且AC=BC;△EFP的边FP也在直线I上,边EF与边AC重合,且EF=FP.
(1)示例:在图1中,直接写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系;
(2)将△EFP沿直线I向左平移到图2的位置时,EP交AC于点Q,连接AP,BQ,直接写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系;
(3)将△EFP沿直线I向左平移到图3的位置时,EP的延长线交AC的延长线于点Q,连接AP、BQ.你认为(2)中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗?若成立,给出推理说明;若不成立,请说明理由.
【分析】(1)由题意可得△ABC与△EFP是全等的等腰直角三角形,可得∠BAC=∠CAP=45°,AB=AP,可得AP=AB,AP⊥AB;
(2)求出CQ=CP,根据SAS证△BCQ≌△ACP,推出AP=BQ,∠CBQ=∠PAC,根据三角形内角和定理求出∠CBQ+∠BQC=90°,推出∠PAC+∠AQG=90°,求出∠AGQ=90°即可;
(3)证明相等时思路同(1),证明垂直时,延长QB交AP于点N,则∠PBN=∠CBQ,借助全等得到的角相等,得出∠APC+∠PBN=90°,进一步可得出结论.
解:(1)AP=AB,AP⊥AB,理由如下:
∵AC⊥BC,且AC=BC,边EF与边AC重合,且EF=FP.
∴△ABC与△EFP是全等的等腰直角三角形,
∴∠BAC=∠CAP=45°,AB=AP,
∴∠BAP=90°,
∴AP=AB,AP⊥AB;
(2)BQ与AP所满足的数量关系是AP=BQ,位置关系是AP⊥BQ,理由如下:
如图2,延长BQ交AP于G,
由(1)知,∠EPF=45°,∠ACP=90°,
∴∠PQC=45°=∠QPC,
∴CQ=CP,
在△BCQ和△ACP中,
,
∴△BCQ≌△ACP(SAS),
∴AP=BQ,∠CBQ=∠PAC,
∵∠ACB=90°,
∴∠CBQ+∠BQC=90°,
∵∠CQB=∠AQG,
∴∠AQG+∠PAC=90°,
∴∠AGQ=180°﹣90°=90°,
∴AP⊥BQ;
(3)成立,理由如下:
∵∠EPF=45°,
∴∠CPQ=45°,
又∵AC⊥BC,
∴∠CQP=∠CPQ=45°,
∴CQ=CP,
在△BCQ和△ACP中,
,
∴△BCQ≌△ACP(SAS),
∴BQ=AP,
如图3,延长QB交AP于点N,
则∠PBN=∠CBQ,
∵Rt△BCQ≌Rt△ACP,
∴∠BQC=∠APC,
在Rt△BCQ中,∠BQC+∠CBQ=90°,
∴∠APC+∠PBN=90°,
∴∠PNB=90°,
∴QB⊥AP.
【点评】本题是几何变换综合题,考查了等腰直角三角形性质和全等三角形的性质和判定,三角形的内角和定理等知识点,主要考查了学生的推理能力和猜想能力,题目比较好.
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