河北省邯郸市武安市第一中学2024-2025学年高一上学期9月月考数学试题 Word版含解析

这是一份河北省邯郸市武安市第一中学2024-2025学年高一上学期9月月考数学试题 Word版含解析，共11页。试卷主要包含了 下列各组对象不能构成集合的是， 下列应用乘法公式正确是， 若，则下列结论正确的是， ，下列不等式恒成立的是， 若，且，则的最小值为， 定义集合的一种运算， 已知，，且，则等内容，欢迎下载使用。
一､单选题
1. 下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A. 上课迟到的学生B. 2020年高考数学难题
C. 所有有理数D. 小于的正整数
【答案】B
【解析】
【分析】由集合元素的确定性即可判断.
【详解】2020年高考数学难题，无法界定故错误；其它三个都是明确可知，故正确.
故选:B
2. 下列应用乘法公式正确是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平方差公式以及完全平方公式运算求解.
【详解】对于选项A：，故A错误；
对于选项B：，故B错误；
对于选项C：，故C错误；
对于选项D：，则D正确；
故选：D.
3. 若，则下列结论正确的是（ ）
A. 等式从左到右的变形是乘法公式，
B. 等式从左到右的变形是因式分解，
C. 等式从左到右的变形是乘法公式，
D. 等式从左到右的变形是因式分解，
【答案】D
【解析】
【分析】对等式右边变形，对照系数，得到，并根据因式分解和乘法公式的定义作出判断.
详解】，
,
则，
原等式从左到右的变形是因式分解，从右到左的变形是乘法公式.
故选：D
4. 已知不等式成立的充分条件是，则实数m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意知，根据子集关系列式即可求得实数取值范围.
【详解】由题意得，
所以，解得，
所以实数的取值范围是．
故选：B.
5. ，下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的性质可判断AB的正误，根据特例可判断CD的正误.
【详解】对于A，若，则，选项不成立，故A错误；
对于B，因，故，故B成立，
对于C、D，若，则选项不成立，故C、D错误；
故选：B.
6. 若，且，则的最小值为（ ）
A. 20B. 12C. 16D. 25
【答案】D
【解析】
【分析】利用，结合基本不等式可求和的最小值.
【详解】因为，所以，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故选：D.
7. 定义集合的一种运算：，若，则中的元素个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】计算可求得，可得结论.
【详解】因为，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以，
故中的元素个数为3.
故选：C.
8. 已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题命题“，”为真命题，进而分和两种情况讨论求解即可.
【详解】因为命题“，”为假命题，
所以，命题“，”为真命题，
因为集合，集合，
所以，当时，即时，成立，
当时，
由“，”得，解得，
综上，实数的取值范围为.
故选：A.
二､多选题
9. 集合A中含有三个元素2，4，6，若，且，那么为（ ）
A. 2B. －2
C. 4D. 0
【答案】AC
【解析】
【分析】根据，且逐个分析判断即可.
【详解】对于A，当时，，且，所以A正确，
对于B，当时，，所以B错误，
对于C，当时，，且，所以C正确，
对于D，当时，，所以D错误.
故选：AC
10. 已知，，且，则（）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据基本不等式逐一判断即可.
【详解】对于,因为,且,
所以，即,
当且仅当时等号成立，故错误；
对于,根据选项中可知,
当且仅当时等号成立，故正确;
对于C，,
当且仅当时等号成立,故C错误;
对于D，，
当且仅当时等号成立，故D正确.
故选：BD.
11. 数形结合是数学解题中常用思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化，生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质.在学习整式运算乘法公式的过程中，每个公式的推导教材编写者都安排了运用图形面积来加以验证.下列图形中，能借助图形面积验证正确性的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】选项A中的图形的面积可以看做两个正方形的差，因此；选项B中的图形的面积可以看做两个正方形的差，得到；选项C中的图形的面积可以看做一个正方形的面积，也可以看作两个正方形和两个长方形的面积和，得到；选项D中的图形的面积可以看做两个正方形的面积差，也可以看作四个梯形的面积和，得到.
【详解】解：选项A中的图形的面积可以看做两个正方形的差，即，也可以看作两个长方形的面积和，即，因此，选项A符合题意；
选项B中的图形的面积可以看做两个正方形的差，即，也可以看作三个梯形的面积和，即，因此，选项B符合题意；
选项C中的图形的面积可以看做一个正方形的面积，即，也可以看作两个正方形和两个长方形的面积和，即，因此，选项C不符合题意；
选项D中的图形的面积可以看做两个正方形的面积差，即，也可以看作四个梯形的面积和，即，因此，选项D符合题意.
故选：ABD.
三､填空题
12. 计算时用到的乘法公式为：______.（用表示）
【答案】
【解析】
【分析】根据完全平方公式分析判断.
【详解】计算时用到的乘法公式为.
故答案为：.
13. 命题“，使成立”的否定命题是______.
【答案】“，”
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定形式可得.
【详解】命题“，使成立”的否定命题是“，”
故答案为：，
14. 已知，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】先设出，求出，再结合不等式的性质解出即可；
【详解】设，
所以，解得，
所以，
又，所以，
又
所以上述两不等式相加可得，
即，
所以的取值范围是，
故答案为：.
四､解答题
15. 设集合，求，.
【答案】，，.
【解析】
【分析】根据给定条件，利用交集、并集、补集的定义求解即得.
【详解】集合，
所以，，
或，则.
16. 设集合．
（1），求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围．
【答案】（1）或
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据 集合的补集定义以及集合的交集运算，即可求得答案；
（2）依题意可得，讨论集合是否为空集，列出相应的不等式，即可求得结果.
【小问1详解】
当时，可得，
故可得或，而，
所以或
【小问2详解】
由“”是“”的充分不必要条件可得；
当时，，解得，符合题意；
当时，需满足，且和中的等号不能同时取得，
解得；
综上可得，m的取值范围为或.
17. 已知，．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】利用不等式的性质求证即可.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
即，
即
18. 【教材呈现】人教版八年级上册数学教材121页有“阅读与思考”：根据多项式的乘法法则，可知.那么，反过来，也有这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式.例如，因式分解.这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，符合类型，于是有这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.这样，我们也可以得到.利用上面的方法，因式分解以下题目：
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）两次利用材料中的方法将原式分解即可；
（2）原式利用分组分解法即可．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
．
19. （1）如图是不等式第一节课我们抽象出来的在北京召开第24届国际数学家大会的会标，你还记得我们得出什么样的结论吗？

（2）现在我们讨论一种特别的情况，如果，，我们用，分别替换上式中的a，b，能得到什么样的结论？
（3）问题2中得的结论是否对所有的，都能成立？请给出证明．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；
【解析】
【分析】（1）根据正方形和直角三角形面积得出不等关系；
（2）用，分别替换上式中的a，b可得到；
（3）应用做差法或几何法证明结论.
【详解】（1） 正方形的边长，故正方形的面积为，而四个直角三角形的面积为2ab，故有，当且仅当时，等号成立．实际上该不等式对任意的实数a，b都能成立．
（2）用，分别替换上式中的a，b可得到，当且仅当时，等号成立．我们习惯表示成．
（3） 方法一 （作差法）
，
即，当且仅当时，等号成立．
方法二 （几何法）如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，，，过点C作垂直于AB的弦DE，
连接AD，BD，故有，故，由于CD小于或等于圆的半径，故用不等式表示为，
由此也可以得出圆的半径不小于半弦．