河北省邯郸市武安市第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份河北省邯郸市武安市第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由虚部概念即可求解；
【详解】的虚部为，
故选：C
2. 对于物理量：①路程，②时间，③速度，④体积，⑤长度，⑥重力，以下说法正确的是（ ）
A. ①②④数量，③⑤⑥是向量B. ①④⑤是数量，②③⑥是向量
C. ①④是数量，②③⑤⑥是向量D. ①②④⑤是数量，③⑥是向量
【答案】D
【解析】
【分析】由向量的概念逐个判断即可；
【详解】路程，时间，体积，长度只有大小，没有方向，是数量；
速度，重力既有大小又有方向，是向量，
故选：D.
3. 在 中， ，则 的值为（ ）
A. 20B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用数量积定义直接计算得解.
【详解】依题意，.
故选：B
4. 已知，向量与向量的夹角为，与向量共线同向的单位向量为，则向量在向量方向上的投影向量等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据投影向量的公式计算即可.
【详解】．
故选：C.
5. 已知复数z满足，则的最大值为（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义求出最大值.
【详解】在复平面内，z与对应的点，关于x轴对称，
而满足条件的点的集合是以为圆心，2为半径的圆，该圆关于x轴对称，
因此，由复数的几何意义知表示点与点的距离，
又圆上的点到的距离最大值为5，
所以的最大值为5.
故选：B
6. 已知，向量，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用二倍角公式结合向量平行求解即可.
【详解】法1：根据题意得，则有，变形可得，解得或．又，则必有．故选：C．
法2：选项验证法！
观察选项，当时，，不符合题意；
当时，，，不符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意．
故选:C．
7. 某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为，，，，米，则该建筑的高度（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】设，由，结合余弦定理可得，求解即可.
【详解】设，则可得，
由，可得B是AC的中点，所以，
而，则，
，中，由余弦定理可得：，
解得：，所以该建筑的高度米.
故选：B.
8. 在复平面内，O为坐标原点，复数4i对应的向量为，将绕点O按逆时针方向旋转后，再将模变为原来的倍，得到向量，则对应的复数的实部是（ ）
A. 6B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的向量表示形式，结合复数的几何意义、复数实部定义进行求解即可.
【详解】因为复数4i对应的向量为，
所以 ，
绕点O逆时针方向旋转后变为，
再将模变为原来的倍，得，对应的复数的实部是，
故选：B
二、多选题
9. 已知平面向量满足，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 与的夹角为
C. D. 的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】由模长的计算可得A错误、C正确；由夹角的计算可得B正确；设，由模长的计算和可得D正确；
【详解】选项A：由得，又，所以，所以A错误；
选项B：设与的夹角为，则，因为，所以，所以B正确；
选项C：，所以，所以C正确；
选项D：设，则，
所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以当且仅当与反向共线时，取得最大值，且最大值为，所以D正确．
故选：BCD
10. 欧拉是科学史上最多才一位杰出的数学家，他发明的公式为，虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”（为自然对数的底数，为虚数单位），依据上述公式，则下列结论中正确的是（ ）
A. 复数为纯虚数
B. 复数对应的点位于第二象限
C. 复数的共轭复数为
D. 复数在复平面内对应的点的轨迹是半圆
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用欧拉公式将复数化为的形式，然后应用复数的相关知识判断即可.
【详解】对于A，，所以为纯虚数，故A正确；
对于B，，因为，所以，，所以复数对应的点位于第二象限，故B正确；
对于C，，复数的共轭复数为，故C错误；
对于D，，，复数在复平面内对应的点的轨迹是半径为1的半圆，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则动点的轨迹经过的内心
B. 若O为平面内任意一点，，则点为的重心
C. 若为的垂心，，则
D. 若为锐角的外心，且，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据三角形中中线的向量表示可判断A；根据向量的线性运算得到可判断B；根据，计算可判断C；设为中点，则根据题意得三点共线，且，进而得判断D.
【详解】对于A选项，设中点为，如图，
则，，
所以P点轨迹经过三角形的重心，故A不正确；
对于B选项，，
可得 ，即，所以点为的重心,故B正确；
对于C选项，因为，，又因为为的垂心，
所以，所以，故正确；
对于D选项，因为且，
所以，整理得：，即，
设为中点，则，所以三点共线，如图，
又因为，所以垂直平分，故，正确.
故选：BCD
三、填空题
12. 化简：________．
【答案】
【解析】
【分析】利用向量的线性运算求解即可.
【详解】.
故答案为：
13. 若复数是纯虚数，则实数__________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据纯虚数实部为0虚部不为0，计算即可.
【详解】 由题意得解得．
故答案为：2.
14. 如图，在中，已知是线段与的交点，若，则的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】设，将表示为，继而化为，利用三点共线求得，即可求得答案.
【详解】设，由得，
故
，
由得，
故,
由于三点共线，故，则，
又，故，
所以，
故答案为：
四、解答题
15. （1）若，求实数x，y的值；
（2）已知成立，求实数a的值．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】（1）根据复数相等的充要条件列方程组求解即可；
（2）先化简整理复数，然后根据复数为0的充要条件列方程组求解即可．
【详解】（1）由复数相等的充要条件，得，解得；
（2）因为，，
所以，
可得，解得，或，
所以．
16. 已知x为实数，复数．
（1）当x为何值时，复数z的模最小？
（2）当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z位于函数的图象上，其中，，求的最小值及取得最小值时m，n的值．
【答案】（1）
（2）的最小值为，，．
【解析】
【分析】(1) 利用复数的模的计算公式，结合二次函数的性质求最值.
(2) 先求出模最小时复数对应的点，代入函数得到关系式，再利用均值定理求最值.
【小问1详解】
，
当且仅当时，复数z的模最小，为．
【小问2详解】
当复数z的模最小时，．
又点Z位于函数的图象上，所以．
又，，所以，
当且仅当时等号成立．又，，，
所以，．所以的最小值为，
此时，．
17. 已知，，．
（1）求与的夹角；
（2）若，且，求及．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）利用向量数量积运算律和数量积定义即可求出；
（2）根据向量数量积运算律得，再平方计算即可.
【小问1详解】
，
所以，又，所以.
【小问2详解】
由题意知，
解得，，
，
所以．
18. 已知扇形半径为1，，弧上的点满足.
（1）求的最大值；
（2）求最小值.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）建立平面直角坐标系，设，，则，根据平面向量线性运算的坐标表示得到，再由辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；
（2）利用坐标法表示出，再由三角恒等变换公式化简，结合正弦函数的性质计算可得.
【小问1详解】
由题设，构建如下图示的直角坐标系，且，
设，，则，
所以，，，
由，得，
即，，解得，
所以，
所以当时，取得最大值，且.
【小问2详解】
由（1）可得，，
所以
，
因为，所以当，即当时，取得最小值是.
19. 在ΔABC中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且，设AB=，AC=

（1）试用，表示；
（2）若，求∠ARB的余弦值
（3）若H在BC上，且RH⊥BC设，若，求的范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
分析】（1）由，三点共线结合平面向量基本定理可得答案；（2）由（1）及题目条件，结合两向量夹角余弦公式可得答案.（3）设，结合及（1）可得，即可得答案.
【小问1详解】
因P,R,C共线，则存在使，
则，整理得.
由共线，则存在使，
则，整理得
根据平面向量基本定理，有，
则.
【小问2详解】
由（1），，，
则，，.
则；
【小问3详解】
由（1）知，则.
由共线，设.
又.
则
.
因，则，则.