四川省绵阳市三台县2026届高三数学上学期12月月考试题含解析

这是一份四川省绵阳市三台县2026届高三数学上学期12月月考试题含解析，共20页。
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由 且 ，确定 ，再由交集运算即可求解.
【详解】 且 ，
得到 ，
所以 .
故选：D.
2. 对于平面内两个非零向量 和 ， ， 和 的夹角为锐角，则 是 的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
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【分析】求出命题 的等价条件，再利用充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】设非零向量 和 的夹角为 ，则 .
由 ，得 ，则 ，即 ， ，
， ，因此， 是 的必要不充分条件.
故选：C
【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，同时也考查了向量夹角与数量积的关系，考查推理能力，属于
基础题.
3. 曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案.
【详解】由 得 ，
故曲线 在点 处的切线斜率为 ，而 ，
故曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
故选：A
4. 已知平面向量 是两个单位向量， 在 上的投影向量为 ，则 （ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义及数量积的运算律求解.
【详解】由 在 上的投影向量为 ，得 ，则 ，而 是单位向量，
因此 ，又 是单位向量，所以 .
故选：B
5. 设 ， 为两个平面，m、n 为两条直线且 .以下为假命题的是（ ）
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A. 若 ，则 且 B. 若 ，则 n 平行于平面 内的无数条直线
C. 若 且 ，则 D. 若 n 在平面 外，则 m 与 n 平行或异面或相交
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于选项 A，若 ，则 且 或 或 ，故 A 错误；
对于选项 B，若 ， ，因为 ，过直线 可以有无数个平面与 相交，
则交线与直线 平行，故 B 正确；
对选项 C，过直线 分别作两平面与 分别相交于直线 和直线 ，
因为 ，过直线 的平面与平面 的交线为直线 ，
则根据线面平行的性质定理知 ，
同理可得 ，则 ，因为 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
因为 平面 ， ，则 ，又因为 ，则 ，故 C 正确；
对于选项 D，若 n 在平面 外，则 或 与 相交，
当则 时， 或 异面，
当 与 相交时， 相交或 异面，故 D 正确；
故选：A.
6. 已知某圆锥的侧面展开图是面积为 的半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，由题意结合圆锥的特征计算可得 ， ，再由圆锥体
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积公式计算即可求解.
【详解】设圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，
则 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以圆锥的高为 ，
则该圆锥的体积为 ，
故选：D.
7. 已知 a，b，c 分别是 三个内角 A，B，C 的对边，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若 是锐角三角形，则
B. 若 是边长为 1 的正三角形，则
C. 若 ， ， ，则 有一解
D. 若 ，则 是等腰直角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】借助余弦函数的单调性和诱导公式可判定选项 A；由数量积的定义计算可判定选项 B；由正弦定理
及三角形大边对大角可判断选项 C；利用正弦定理边化角，利用二倍角化简可判断 D.
【详解】对于 A：若 是锐角三角形，则 ，且 ，
即 ，则 ，
所以 ，故 A 正确；
对于 B：由题设 ，故 B 错误；
对于 C：若 ， ， ，
由正弦定理得， ，即 ，故 ，
因为 ，所以 ，故 为锐角或钝角， 有两解，故 C 错误；
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对于 D：若 ，则 ，
即 ，因为 ，则 ，所以 或 ，
即 或 ，所以 为等腰三角形或直角三角形，故 D 错误；
故选：A.
8. 已知函数 （ 且 ）为奇函数，若方程 有两个不同的实数解，则
m 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由 ，取得 ，转化为 有两个不同的实数解，令 ，得到
在 有两个不同的实数解，进而转化为 和 的图象有两个不同的交
点，结合基本不等式，作出函数的图象，结合图象，即可求解.
【详解】由函数 是定义在 上的奇函数，则 ，解得 ，
当 时，函数 ，则 ，
所以 ，则 ，即 ，
因为方程 有两个不同的实数解，
即 有两个不同的实数解，
令 ，则 ，可得 ，
即 在 有两个不同的实数解，
所以函数 和 的图象在 上有两个不同的交点，
又因为 ，当且仅当 时，即 时，等号成立，
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当 时， ，且 时， ，
画出函数 的图象，如图所示，
结合图象，可得 ，
即方程 有两个不同的实数解，实数 的取值范围为 .
故选：D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项.符
合要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知向量 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A 若 ，则
B. 若 ，则
C. 当 取得最大值时，
D. 的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据向量的平行和垂直的坐标运算即可判断 AB；利用辅助角公式可判断 CD.
【详解】对于 A， 若 ，则 ，所以 ，故 A 正确；
对于 B， 若 ，则 ，所以 ，故 B 错误；
对于 C， ，
其中 且 ，当 取得最大值 时 ，
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则 ，所以
，
故 C 正确；
对于 D， ，
其中 且 ，当 时， 取得最大值为
，此时 ，故 D 正确.
故选：ACD.
10. 如图，在棱长为 2 的正方体 中，Q 为线段 的中点，P 为线段 上的动点（含
端点），则下列结论正确的是（ ）
A. 三棱锥 的体积为定值
B. 直线 DP 与直线 所成角的取值范围为
C. 的最小值为
D. P 为线段 的中点时，过 D，P，Q 三点的平面截正方体 所得的截面的面积为
【答案】AB
【解析】
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【分析】利用等体积转化为求三棱锥 可判断 A 选项；B 选项过点 作 ，转化为求直线
与直线 所成角；将侧面 和侧面 展开至同一平面可判断 C 选项；D 选项作出截面，
求截面面积.
【详解】 ， 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
则点 到平面 的距离 为定值 ，故
为定值，故 A 正确；
如图，过点 作 ，则直线 DP 与直线 所成角与直线 与直线 所成角相等，当点 运动
至点 时，角最大为 ，点 运动至点 时，角最小为 ，故 B 正确；
如图，将侧面 和侧面 展开至同一平面，当 三点共线时， 取最小值
，故 C 错误；
如图，过点 三点的平面截正方体所得截面为等腰梯形 ，
其中上底 ，下底 ，腰为 ，则梯形高为 ，所以等腰梯形 的面积为
，故 D 错误.
故选：AB.
11. 已知函数 ，则下列说法不正确的是（ ）
A. 是 的一个周期 B. 是 图象的一条对称轴
C. 是 图象的一个对称中心 D. 在区间 内单调递减
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【答案】ACD
【解析】
【分析】根据周期性的定义可判断 A；根据对称性的定义判断 BC；利用导数判断在区间 内单调性，
进而判断 D.
【详解】对于 A，
，所以 不是 的一个周期，故 A 错误；
对于 B，
，所以 是 图象的一条对称轴，故 B 正确；
对于 C，
，可得 ，
所以 不是 图象的一个对称中心，故 C 错误；
对于 D，
，
当 时， ，此时， ，
当 时， ，此时， ，
当 时， ，此时， ，
可知 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在区间 内不单调递减，故 D 错误.
故选：ACD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
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12. 已知复数 满足 ，则 _________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得 ，结合共轭复数的概念，即可求解.
【详解】由复数 满足 ，可得 ，则 .
故答案为： .
13. 已知函数 ，若 的图象关于直线 对称，则 的值域为_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的对称性可求出 ，然后利用基本不等式即可求出函数值域.
【详解】 的图象关于直线 对称，则 ，即 ，解得
，
，当且仅当 ，即 时等号成立.
故答案为： .
14. 中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子提出介于两个平行平面之间的两个几何体，被任一
平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.一个上底面边长为
1，下底面边长为2，高为3的正四棱台与一个不规则几何体如图所示，则该不规则几何体的体积为_________.
【答案】7
【解析】
【分析】利用台体的体积公式求正四棱台的体积，再根据祖暅原理即可得结果.
【详解】由题意可知：正四棱台的体积为 ，
根据祖暅原理可知该不规则几何体的体积为 7.
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故答案为：7.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.请应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ， ，
.
（1）求 ；
（2）若 ， 的面积为 ，求 的周长.
【答案】（1）
（2） 的周长为
【解析】
【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示列式，结合正弦定理进行边角互化，根据三角恒等变换可得解；
（2）根据三角形的面积公式，结合余弦定理化简可得解.
小问 1 详解】
， ，且 ，
则 ，
在 中，由正弦定理可得 ，
，
又在 中， ，
则 ，
所以 ，即 ，
又 ，所以 ，即 ，
又 ，则 ；
【小问 2 详解】
， ，
又 ，
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， ，
故 的周长为 .
16. 如图，在 中，已知 边上的两条中线 AM，BN 相交于点
．
（1）求中线 AM 的长；
（2）求 的余弦值；
（3）求 面积．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）运用中线长的向量表达式，结合数量积定义可解；
（2）转化为向量夹角余弦值可解；
（3）运用重心的性质，结合面积公式可解.
【小问 1 详解】
因为 为 BC 的中点， ，
，
.
【小问 2 详解】
因为
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,
，
.
【小问 3 详解】
为中线的交点， 为 重心，
，
， ，
.
17. 记 为数列 的前 n 项和.已知 .
（1）证明： 是等差数列；
（2）若 ， ， 成等比数列，令 ，且 的前 n 项和为 ，若 恒
成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据 的关系即可作差求解，
（2）根据裂项求和可得 的表达式，进而利用单调性求解 的取值，即可求解.
【小问 1 详解】
由 可得 ，
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当 时， ，
故 ，
化简可得 ，
由于 ，故 ，即 常数，
因此 为等差数列，
【小问 2 详解】
由（1）知 为等差数列，且公差为 ，
又 ， ， 成等比数列，故 ，解得 ，
故 ，
故 ，
故 ，
单调递减，故 单调递增，因此 ，
恒成立，故 ，解得 ，
18. 在 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 ．
（1）求角 A；
（2）D 为 BC 上一点， ．
（i）若 ，求 的值；
（ii）若 ，求 面积的最大值．
【答案】（1） ；
（2）（i） ；（ii） .
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式化简求解.
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（2）（i）利用正弦定理，结合和角的正弦公式求解；（ii）利用向量数量积的运算律及基本不等式求出 最
大值，再利用三角形面积公式求解.
【小问 1 详解】
在 中，由 及正弦定理，得 ，
则 ，即 ，
整理得 ，而 ，所以 .
【小问 2 详解】
（i）由 ，得 ， ，
在 中，由正弦定理得 ， ，
在 中，由正弦定理得 ，
所以 .
（ii）由 得，得 ，则 ，
因此 ，即 ，
当且仅当 时取等号，则 ， ，
所以当 时， 的面积取得最大值 .
19. 已知函数 ．
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若 恒成立，求 的取值范围；
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（3）若数列 满足 ，记 为数列 的前 项和．证明： ．
【答案】（1） 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．
（2） ．
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导，即可根据导函数的正负即可求解，
（2）根据题意可得 ，即可由导数结合分类讨论求解最值，进一步将问题转化为
，构造函数 ，求导即可求解最值求解，
（ 3） 根 据 （ 2） 的 求 解 可 得 不 等 式 和 ， 即 可 根 据 ， 得
，由累加法以及裂项求和即可求证.
【小问 1 详解】
当 时， ，
故当 单调递减；
当 单调递增．
综上， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．
【小问 2 详解】
由题意， ．
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①当 时， 在 单调递减，
由 ，不合题意；
②当 时， 在 单调递减， 单调递增．
由 恒成立，得 ．
即 ．
令 ，
恒成立，
所以 在 单调递减，且 ．
故当 ，符合题意，
当 ，不合题意．
综上， 的取值范围为 ．
【小问 3 详解】
由 ，
得 ，且 ．
由（2）可知，令 ，有 可得 ，
令 可得 即 ．
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由 得 即 ．
两边取对数得 ，由上述不等式得
于是 ，
所以 ．
当 时， ，不等式成立；
当 时，
．即当 时，不等式成立．
综上， 得证．
【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
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3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数
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