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    四川省绵阳市2024届高三数学上学期12月月考试题含解析

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    四川省绵阳市2024届高三数学上学期12月月考试题含解析

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    这是一份四川省绵阳市2024届高三数学上学期12月月考试题含解析,共22页。试卷主要包含了考试结束后,答题卡收回, 已知,或,则是的, 执行下面的程序框图,输出的, 已知,则, 直线与曲线, 已知两点,,以及圆C等内容,欢迎下载使用。
    2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.
    3.考试结束后,答题卡收回.
    一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1. 已知集合,,则()
    A. B.
    C. D. 或
    【答案】A
    【解析】
    【分析】解集合M中的不等式,求集合N中函数的值域,得到这两个集合,再求并集.
    【详解】不等式解得,则,
    由,得,则,
    所以.
    故选:A
    2. 设复数z满足(1+i)z=2i,则∣z∣=( )
    A. B.
    C. D. 2
    【答案】C
    【解析】
    【分析】求出即得解.
    【详解】解:由题意可得,所以,
    所以.
    故选:C
    3. 设为单位向量,且,则向量夹角的余弦值为()
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】根据平面向量的数量积定义,数量积的运算律及向量模的计算方法即可求解.
    【详解】由可得:,即.
    因为为单位向量
    所以.
    所以,解得:.
    故选:A
    4. 已知,或,则是的()
    A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
    C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
    【答案】A
    【解析】
    【分析】先由,得到,,由,的关系可推出,的关系.
    【详解】由题意,,且,
    当且时,成立,但当时,且不一定成立,
    故,,
    所以,,
    所以是的充分不必要条件.
    故选:A
    5. 执行下面的程序框图,输出的()
    A. 21B. 34C. 55D. 89
    【答案】B
    【解析】
    【分析】根据程序框图模拟运行,即可解出.
    【详解】当时,判断框条件满足,第一次执行循环体,,,;
    当时,判断框条件满足,第二次执行循环体,,,;
    当时,判断框条件满足,第三次执行循环体,,,;
    当时,判断框条件不满足,跳出循环体,输出.
    故选:B.
    6. 已知,则()
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】将改写成的形式,利用诱导公式和二倍角公式即可求得结果.
    【详解】由可得,

    由二倍角公式可得;

    故选:A
    7. 设e是椭圆的离心率,且e= ,则实数k的取值是( )
    A. B. C. 或D. 或
    【答案】D
    【解析】
    【分析】首先分类讨论:1.焦点在x轴;2焦点在y轴,根据离心率公式列出关于k的方程.
    【详解】(1)当焦点在x轴时,即k4 e== ,解得k=
    综上所述:k=或
    故选D
    【点睛】本题考查利用椭圆离心率求解椭圆方程和分类讨论思想;利用离心率公式求解椭圆方程需要分清楚“a”和“b”需要分类讨论.
    8. 直线与曲线(m,n为非零实数)在同一平面直角坐标系中的示意图可以是()
    A. B.
    C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】由,得,然后根据所给图形逐个分析即可
    【详解】解:由,得,
    对于A,若曲线的图像正确,则,所以直线过一、二、三象限,所以A错误;
    对于B,若曲线的图像正确,则,所以直线过一、三、四象限,所以B正确;
    对于C,若曲线的图像正确,则,所以直线过一、二、四象限,且由图可知两图在轴上有公共点,则可得,从而有,直线方程为,由,可得或,则交点应在第一象限,所以C错误;
    对于D,若曲线的图像正确,则,所以直线过一、二、四象限,所以D错误,
    故选:B
    9. 已知直线过抛物线的焦点F,且与抛物线交于A,B两点,与抛物线的准线交于C点,若,则等于()
    A. 2B. 3C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】过点作垂直于准线交准线于,过点作垂直于准线交准线于,根据相似得到,再利用抛物线的性质得到答案.
    【详解】如图所示:
    过点作垂直于准线交准线于,过点作垂直于准线交准线于,
    则,,,故,即.
    故选:B
    10. 已知两点,,以及圆C: ,若圆C上存在点P,满足,则r的取值范围是()
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】
    由知,即点在以为直径的圆上, 又点在圆C上,据此可得两圆必有公共点,根据圆心距和半径之间的关系,列不等式求解即可.
    【详解】因,所以,
    即点在以为直径的圆上,
    又因为点在圆C上,
    所以点为两圆的公共点,即两圆必有公共点,
    因为,,
    设以为直径的圆的圆心为,
    则圆的圆心为,半径为,
    因为圆C的圆心为,半径为,
    所以可得,,
    解得,.
    故选:B
    【点睛】本题考查圆与圆的位置关系及向量垂直的数量积表示;考查运算求解能力和转化与化归能力;把存在性问题转化为判断两圆的位置关系问题是求解本题的关键;属于中档题.
    11. 已知双曲线的左、右焦点分别为,,过作一条直线与双曲线右支交于两点,坐标原点为,若,,则该双曲线的离心率为()
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】
    由得,由双曲线定义得,在中应用勾股定理得,在中再应用勾股定理得的关系式,求得离心率.
    【详解】因为,所以,
    又,所以,又,
    由得,解得,
    所以由,得,解得.
    故选:B.
    【点睛】关键点点睛:本题考查求双曲线的离心率,解题关键是由得,然后结合双曲线的定义在中应用勾股定理求得,在中应用勾股定理建立的关系.
    12. 已知,则()
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】由结合三角函数的性质可得;构造函数,利用导数可得,即可得解.
    【详解】[方法一]:构造函数
    因为当
    故,故,所以;
    设,
    ,所以在单调递增,
    故,所以,
    所以,所以,故选A
    [方法二]:不等式放缩
    因为当,
    取得:,故
    ,其中,且
    当时,,及
    此时,
    故,故
    所以,所以,故选A
    [方法三]:泰勒展开
    设,则,,
    ,计算得,故选A.
    [方法四]:构造函数
    因为,因为当,所以,即,所以;设,,所以在单调递增,则,所以,所以,所以,
    故选:A.
    [方法五]:【最优解】不等式放缩
    因为,因为当,所以,即,所以;因为当,取得,故,所以.
    故选:A.
    【整体点评】方法4:利用函数的单调性比较大小,是常见思路,难点在于构造合适的函数,属于通性通法;
    方法5:利用二倍角公式以及不等式放缩,即可得出大小关系,属于最优解.
    二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
    13. 已知直线,,若,则实数_______.
    【答案】或
    【解析】
    【分析】根据两直线平行的充要条件列出方程求解即得.
    【详解】由可得:且,解得:或.
    故答案为:或.
    14. 设等比数列的前项和为,若,则______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】
    由题意公比不为1,利用等比数列的求和公式求解即可.
    【详解】,否则.
    ∴,
    ∴.
    ∴.
    故答案为:
    【点睛】本题主要考查了等比数列的求和公式,考查了计算能力,属于中档题.
    15. 若椭圆的弦恰好被点平分,则的直线方程为____________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】利用点差法解决中点弦问题.
    【详解】由题意,直线斜率存在,设,,则有,,
    在椭圆上,有,,
    两式相减,得,即,
    得,即直线的斜率为,
    则的直线方程为,即.
    故答案为:
    16. 已知抛物线,其焦点为点,点是拋物线上的动点,过点作直线的垂线,垂足为,则的最小值为___________.
    【答案】##
    【解析】
    【分析】通过确定直线过定点M,得到Q在以FM为直径的圆上,将P到Q的距离转化为到圆心的距离的问题,再利用抛物线的定义就可得到最小值.
    【详解】将已知直线化为,当时,可确定直线过定点,记为M点.
    ∵过点F做直线的垂线,垂足为Q,
    ∴直线,即,
    故Q点的轨迹是以FM为直径的圆,半径,其圆心为FM的中点,记为点H,∴,
    ∵P在抛物线上,其准线为,
    ∴等于P到准线的距离.
    过P作准线的垂线,垂足为R.要使取到最小,即最小,
    此时R、P、Q三点共线,且三点连线后直线RQ过圆心H.如图所示,
    此时.
    故答案为:
    三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17—21题为必考题,每个考生都必须作答;22—23题为选考题,考生根据要求作答.
    (一)必考题:共60分.
    17. 已知函数.
    (1)求的最小正周期;
    (2)在中,分别是角的对边,若,,且的面积为,求外接圆的半径.
    【答案】(1)
    (2)2
    【解析】
    【分析】(1)利用降幂公式及两角和正弦公式化简得,根据最小正周期公式即得.
    (2)由(1)得,利用正弦面积公式与余弦定理得到,再借助正弦定理得结果.
    【小问1详解】

    的最小正周期;
    【小问2详解】
    由,可得,又,
    ,,,
    由,得,
    由余弦定理得:,得,
    由正弦定理得外接圆的半径.
    18. 已知数列的前项和为,且
    (1)求的通项公式;
    (2)求数列的前项和
    【答案】(1)
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)由与的关系和等比数列的定义进行求解即可;
    (2)由错位相减法进行求解即可.
    【小问1详解】
    由已知,当时,,即,∴.
    当时,∵,
    ∴,
    两式相减,得,即,∴(),
    ∴由等比数列的定义知,数列是首项,公比的等比数列,
    ∴数列的通项公式为.
    【小问2详解】
    由第(1)问,,
    ∴,①
    ①,得,
    ,②
    ∴①②,得

    ∴.
    19. 已知线段的端点为,端点在圆上运动,是线段的中点.
    (1)求点的轨迹方程;
    (2)记(1)中所求轨迹为曲线,过定点的直线与曲线交于,两点,曲线的中心记为点,求当面积最大时直线的方程.
    【答案】(1)
    (2)或
    【解析】
    【分析】(1)设点,可得,又在圆上,将坐标代入圆的方程可以求解整理可得轨迹;
    (2)分直线的斜率存在不存在两种情况讨论,设出直线方程,表示出面积,利用三角函数求最值.
    小问1详解】
    设,,,是线段的中点,
    则即
    点在圆上运动,
    点的轨迹方程为;
    【小问2详解】
    过定点的直线与曲线交于,两点,则直线的斜率一定存在且不为,
    设直线,即,设,
    ,当时,的面积最大,
    此时为等腰直角三角形,设圆心到直线的距离为,
    由勾股定理有,又到直线距离也为,所以:
    ,解之得或,
    此时的方程为或.
    20. 已知椭圆的左、右焦点为,,若上任意一点到两焦点的距离之和为,且点在上.
    (1)求椭圆的方程;
    (2)在(1)的条件下,若点,在上,且(为坐标原点),分别延长,交于,两点,则四边形的面积是否为定值?若为定值,求四边形的面积,若不为定值,请说明理由.
    【答案】(1)
    (2)四边形的面积为定值,理由见解析.
    【解析】
    【分析】(1)根据定义可求出,利用点在椭圆上列方程即可求出,进而得到椭圆方程;
    (2)设直线的方程,,,联立直线与椭圆方程,利用韦达定理结合,得到与的关系,由弦长公式和点到直线距离公式即可得到,根据图象对称性即可计算四边形的面积.
    【小问1详解】
    因为上任意一点到两焦点距离之和为,
    所以,即.
    又因为点在上,
    所以,则,
    故椭圆的方程为.
    【小问2详解】
    四边形的面积为定值,理由如下:
    当直线斜率为0时,因为,
    不妨设,则,
    则,,
    此时四边形的面积为为定值;
    当直线斜率不为0时,设,且,.
    联立,得.
    由,得,
    则,,


    因为,
    所以,即,即,
    则,
    又原点到的距离,
    所以四边形的面积

    综上,所以四边形的面积为定值.
    .
    【点睛】方法点睛:利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下:
    (1)设直线方程,设交点坐标为;
    (2)联立直线与圆锥曲线的方程,得到关于(或)的一元二次方程,必要时计算;
    (3)列出韦达定理;
    (4)将所求问题或题中的关系转化为、(或、)的形式;
    (5)代入韦达定理求解.
    21. 已知函数.
    (1)当时,求曲线在点处的切线方程;
    (2)若函数在上单调递增,求a的取值范围.
    【答案】(1);
    (2).
    【解析】
    【分析】(1)把代入,求出的导数,再利用导数的几何意义求出切线方程即可.
    (2)由单调性可得在区间上恒成立,利用导数结合分类讨论的思想求解恒成立问题而得实数的取值范围.
    【小问1详解】
    当时,,求导得,
    则,而,于是,
    所以曲线在处的切线方程为.
    【小问2详解】
    函数,求导得,
    由函数在上单调递增,得在区间上恒成立,
    而,
    令,依题意,在区间上恒成立,
    求导得,
    当时,而,则,在区间上单调递减,
    此时,不合题意;
    令,则,
    当,时,由于,则在区间上单调递增,
    即在区间上单调递增,
    于是,在区间上单调递增,,满足题意;
    当时,由,得,
    当时,在区间上单调递减,即单调递减,
    则当时,,单调递减,
    因此当时,,不合题意,
    所以实数得取值范围是.
    【点睛】方法点睛:由函数的单调性求参数的取值范围的方法:
    ①函数在区间上单调,实际上就是在该区间上(或)恒成立.
    ②函数在区间上存在单调区间,实际上就是(或)在该区间上存在解集.
    (二)选考题:共10分.请在22—23题中任选一题作答,若多做,则按所做第一题计分.
    22. 在平面直角坐标系xOy中,直线的参数方程为(t为参数,),曲线的参数方程为(β为参数),以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
    (1)求曲线的极坐标方程;
    (2)若点,直线与曲线所在抛物线交于A,B两点,且,求直线的普通方程.
    【答案】(1),
    (2)或.
    【解析】
    【分析】(1)由将曲线的参数方程化为普通方程,再根据极坐标和直角坐标的转化公式即可得出答案;
    (2)将直线的参数方程代入曲线的普通方程,可得根与系数的关系式,结合根与系数的关系式化简可求得的值,即可求出直线的斜率,再由点斜式即可得出答案.
    【小问1详解】
    因,
    由,
    所以曲线的普通方程为,,
    ,,所以,即.
    所以曲线的极坐标方程为,.
    【小问2详解】
    设A,B两点对应的参数分别为,
    将代入得,
    由题知,

    所以,.
    因为,所以,
    又,所以,故.
    当时,代入得,
    此时的普通方程为,即.
    当时,代入得,
    此时的普通方程为,即,
    联立可得,即,
    解得:或,
    所以直线的普通方程为或.
    23. 已知函数.
    (1)求不等式的解集;
    (2)若恒成立,求实数m的取值范围.
    【答案】(1)或
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)分,,三种情况,去掉绝对值求解即可得出答案;
    (2)先根据(1),得出函数解析式,分,,三种情况,分别根据函数单调性,得出函数的最小值.进而推得,求解即可得出答案.
    【小问1详解】
    当时,,
    由可得,,解得.
    又,所以解为;
    当时,,
    由可得,,解得.
    又,所以无解;
    当时,,
    由可得,,解得.
    又,所以解为.
    综上所述,不等式的解集或.
    【小问2详解】
    由(1)可知,.
    当时,单调递减,此时有;
    当时,单调递减,此时有;
    当时,单调递增,此时有.
    综上所述,在处有最小值为.
    由已知恒成立,
    只需,即,

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