四川省绵阳市2024届高三数学上学期12月月考试题含解析
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这是一份四川省绵阳市2024届高三数学上学期12月月考试题含解析,共22页。试卷主要包含了考试结束后,答题卡收回, 已知,或,则是的, 执行下面的程序框图,输出的, 已知,则, 直线与曲线, 已知两点,,以及圆C等内容,欢迎下载使用。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.
3.考试结束后,答题卡收回.
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合,,则()
A. B.
C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】解集合M中的不等式,求集合N中函数的值域,得到这两个集合,再求并集.
【详解】不等式解得,则,
由,得,则,
所以.
故选:A
2. 设复数z满足(1+i)z=2i,则∣z∣=( )
A. B.
C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】求出即得解.
【详解】解:由题意可得,所以,
所以.
故选:C
3. 设为单位向量,且,则向量夹角的余弦值为()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面向量的数量积定义,数量积的运算律及向量模的计算方法即可求解.
【详解】由可得:,即.
因为为单位向量
所以.
所以,解得:.
故选:A
4. 已知,或,则是的()
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先由,得到,,由,的关系可推出,的关系.
【详解】由题意,,且,
当且时,成立,但当时,且不一定成立,
故,,
所以,,
所以是的充分不必要条件.
故选:A
5. 执行下面的程序框图,输出的()
A. 21B. 34C. 55D. 89
【答案】B
【解析】
【分析】根据程序框图模拟运行,即可解出.
【详解】当时,判断框条件满足,第一次执行循环体,,,;
当时,判断框条件满足,第二次执行循环体,,,;
当时,判断框条件满足,第三次执行循环体,,,;
当时,判断框条件不满足,跳出循环体,输出.
故选:B.
6. 已知,则()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将改写成的形式,利用诱导公式和二倍角公式即可求得结果.
【详解】由可得,
,
由二倍角公式可得;
即
故选:A
7. 设e是椭圆的离心率,且e= ,则实数k的取值是( )
A. B. C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】首先分类讨论:1.焦点在x轴;2焦点在y轴,根据离心率公式列出关于k的方程.
【详解】(1)当焦点在x轴时,即k4 e== ,解得k=
综上所述:k=或
故选D
【点睛】本题考查利用椭圆离心率求解椭圆方程和分类讨论思想;利用离心率公式求解椭圆方程需要分清楚“a”和“b”需要分类讨论.
8. 直线与曲线(m,n为非零实数)在同一平面直角坐标系中的示意图可以是()
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由,得,然后根据所给图形逐个分析即可
【详解】解:由,得,
对于A,若曲线的图像正确,则,所以直线过一、二、三象限,所以A错误;
对于B,若曲线的图像正确,则,所以直线过一、三、四象限,所以B正确;
对于C,若曲线的图像正确,则,所以直线过一、二、四象限,且由图可知两图在轴上有公共点,则可得,从而有,直线方程为,由,可得或,则交点应在第一象限,所以C错误;
对于D,若曲线的图像正确,则,所以直线过一、二、四象限,所以D错误,
故选:B
9. 已知直线过抛物线的焦点F,且与抛物线交于A,B两点,与抛物线的准线交于C点,若,则等于()
A. 2B. 3C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点作垂直于准线交准线于,过点作垂直于准线交准线于,根据相似得到,再利用抛物线的性质得到答案.
【详解】如图所示:
过点作垂直于准线交准线于,过点作垂直于准线交准线于,
则,,,故,即.
故选:B
10. 已知两点,,以及圆C: ,若圆C上存在点P,满足,则r的取值范围是()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由知,即点在以为直径的圆上, 又点在圆C上,据此可得两圆必有公共点,根据圆心距和半径之间的关系,列不等式求解即可.
【详解】因,所以,
即点在以为直径的圆上,
又因为点在圆C上,
所以点为两圆的公共点,即两圆必有公共点,
因为,,
设以为直径的圆的圆心为,
则圆的圆心为,半径为,
因为圆C的圆心为,半径为,
所以可得,,
解得,.
故选:B
【点睛】本题考查圆与圆的位置关系及向量垂直的数量积表示;考查运算求解能力和转化与化归能力;把存在性问题转化为判断两圆的位置关系问题是求解本题的关键;属于中档题.
11. 已知双曲线的左、右焦点分别为,,过作一条直线与双曲线右支交于两点,坐标原点为,若,,则该双曲线的离心率为()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由得,由双曲线定义得,在中应用勾股定理得,在中再应用勾股定理得的关系式,求得离心率.
【详解】因为,所以,
又,所以,又,
由得,解得,
所以由,得,解得.
故选:B.
【点睛】关键点点睛:本题考查求双曲线的离心率,解题关键是由得,然后结合双曲线的定义在中应用勾股定理求得,在中应用勾股定理建立的关系.
12. 已知,则()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由结合三角函数的性质可得;构造函数,利用导数可得,即可得解.
【详解】[方法一]:构造函数
因为当
故,故,所以;
设,
,所以在单调递增,
故,所以,
所以,所以,故选A
[方法二]:不等式放缩
因为当,
取得:,故
,其中,且
当时,,及
此时,
故,故
所以,所以,故选A
[方法三]:泰勒展开
设,则,,
,计算得,故选A.
[方法四]:构造函数
因为,因为当,所以,即,所以;设,,所以在单调递增,则,所以,所以,所以,
故选:A.
[方法五]:【最优解】不等式放缩
因为,因为当,所以,即,所以;因为当,取得,故,所以.
故选:A.
【整体点评】方法4:利用函数的单调性比较大小,是常见思路,难点在于构造合适的函数,属于通性通法;
方法5:利用二倍角公式以及不等式放缩,即可得出大小关系,属于最优解.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 已知直线,,若,则实数_______.
【答案】或
【解析】
【分析】根据两直线平行的充要条件列出方程求解即得.
【详解】由可得:且,解得:或.
故答案为:或.
14. 设等比数列的前项和为,若,则______.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意公比不为1,利用等比数列的求和公式求解即可.
【详解】,否则.
∴,
∴.
∴.
故答案为:
【点睛】本题主要考查了等比数列的求和公式,考查了计算能力,属于中档题.
15. 若椭圆的弦恰好被点平分,则的直线方程为____________.
【答案】
【解析】
【分析】利用点差法解决中点弦问题.
【详解】由题意,直线斜率存在,设,,则有,,
在椭圆上,有,,
两式相减,得,即,
得,即直线的斜率为,
则的直线方程为,即.
故答案为:
16. 已知抛物线,其焦点为点,点是拋物线上的动点,过点作直线的垂线,垂足为,则的最小值为___________.
【答案】##
【解析】
【分析】通过确定直线过定点M,得到Q在以FM为直径的圆上,将P到Q的距离转化为到圆心的距离的问题,再利用抛物线的定义就可得到最小值.
【详解】将已知直线化为,当时,可确定直线过定点,记为M点.
∵过点F做直线的垂线,垂足为Q,
∴直线,即,
故Q点的轨迹是以FM为直径的圆,半径,其圆心为FM的中点,记为点H,∴,
∵P在抛物线上,其准线为,
∴等于P到准线的距离.
过P作准线的垂线,垂足为R.要使取到最小,即最小,
此时R、P、Q三点共线,且三点连线后直线RQ过圆心H.如图所示,
此时.
故答案为:
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17—21题为必考题,每个考生都必须作答;22—23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
17. 已知函数.
(1)求的最小正周期;
(2)在中,分别是角的对边,若,,且的面积为,求外接圆的半径.
【答案】(1)
(2)2
【解析】
【分析】(1)利用降幂公式及两角和正弦公式化简得,根据最小正周期公式即得.
(2)由(1)得,利用正弦面积公式与余弦定理得到,再借助正弦定理得结果.
【小问1详解】
,
的最小正周期;
【小问2详解】
由,可得,又,
,,,
由,得,
由余弦定理得:,得,
由正弦定理得外接圆的半径.
18. 已知数列的前项和为,且
(1)求的通项公式;
(2)求数列的前项和
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)由与的关系和等比数列的定义进行求解即可;
(2)由错位相减法进行求解即可.
【小问1详解】
由已知,当时,,即,∴.
当时,∵,
∴,
两式相减,得,即,∴(),
∴由等比数列的定义知,数列是首项,公比的等比数列,
∴数列的通项公式为.
【小问2详解】
由第(1)问,,
∴,①
①,得,
,②
∴①②,得
,
∴.
19. 已知线段的端点为,端点在圆上运动,是线段的中点.
(1)求点的轨迹方程;
(2)记(1)中所求轨迹为曲线,过定点的直线与曲线交于,两点,曲线的中心记为点,求当面积最大时直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【解析】
【分析】(1)设点,可得,又在圆上,将坐标代入圆的方程可以求解整理可得轨迹;
(2)分直线的斜率存在不存在两种情况讨论,设出直线方程,表示出面积,利用三角函数求最值.
小问1详解】
设,,,是线段的中点,
则即
点在圆上运动,
点的轨迹方程为;
【小问2详解】
过定点的直线与曲线交于,两点,则直线的斜率一定存在且不为,
设直线,即,设,
,当时,的面积最大,
此时为等腰直角三角形,设圆心到直线的距离为,
由勾股定理有,又到直线距离也为,所以:
,解之得或,
此时的方程为或.
20. 已知椭圆的左、右焦点为,,若上任意一点到两焦点的距离之和为,且点在上.
(1)求椭圆的方程;
(2)在(1)的条件下,若点,在上,且(为坐标原点),分别延长,交于,两点,则四边形的面积是否为定值?若为定值,求四边形的面积,若不为定值,请说明理由.
【答案】(1)
(2)四边形的面积为定值,理由见解析.
【解析】
【分析】(1)根据定义可求出,利用点在椭圆上列方程即可求出,进而得到椭圆方程;
(2)设直线的方程,,,联立直线与椭圆方程,利用韦达定理结合,得到与的关系,由弦长公式和点到直线距离公式即可得到,根据图象对称性即可计算四边形的面积.
【小问1详解】
因为上任意一点到两焦点距离之和为,
所以,即.
又因为点在上,
所以,则,
故椭圆的方程为.
【小问2详解】
四边形的面积为定值,理由如下:
当直线斜率为0时,因为,
不妨设,则,
则,,
此时四边形的面积为为定值;
当直线斜率不为0时,设,且,.
联立,得.
由,得,
则,,
则
,
因为,
所以,即,即,
则,
又原点到的距离,
所以四边形的面积
,
综上,所以四边形的面积为定值.
.
【点睛】方法点睛:利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下:
(1)设直线方程,设交点坐标为;
(2)联立直线与圆锥曲线的方程,得到关于(或)的一元二次方程,必要时计算;
(3)列出韦达定理;
(4)将所求问题或题中的关系转化为、(或、)的形式;
(5)代入韦达定理求解.
21. 已知函数.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)若函数在上单调递增,求a的取值范围.
【答案】(1);
(2).
【解析】
【分析】(1)把代入,求出的导数,再利用导数的几何意义求出切线方程即可.
(2)由单调性可得在区间上恒成立,利用导数结合分类讨论的思想求解恒成立问题而得实数的取值范围.
【小问1详解】
当时,,求导得,
则,而,于是,
所以曲线在处的切线方程为.
【小问2详解】
函数,求导得,
由函数在上单调递增,得在区间上恒成立,
而,
令,依题意,在区间上恒成立,
求导得,
当时,而,则,在区间上单调递减,
此时,不合题意;
令,则,
当,时,由于,则在区间上单调递增,
即在区间上单调递增,
于是,在区间上单调递增,,满足题意;
当时,由,得,
当时,在区间上单调递减,即单调递减,
则当时,,单调递减,
因此当时,,不合题意,
所以实数得取值范围是.
【点睛】方法点睛:由函数的单调性求参数的取值范围的方法:
①函数在区间上单调,实际上就是在该区间上(或)恒成立.
②函数在区间上存在单调区间,实际上就是(或)在该区间上存在解集.
(二)选考题:共10分.请在22—23题中任选一题作答,若多做,则按所做第一题计分.
22. 在平面直角坐标系xOy中,直线的参数方程为(t为参数,),曲线的参数方程为(β为参数),以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)若点,直线与曲线所在抛物线交于A,B两点,且,求直线的普通方程.
【答案】(1),
(2)或.
【解析】
【分析】(1)由将曲线的参数方程化为普通方程,再根据极坐标和直角坐标的转化公式即可得出答案;
(2)将直线的参数方程代入曲线的普通方程,可得根与系数的关系式,结合根与系数的关系式化简可求得的值,即可求出直线的斜率,再由点斜式即可得出答案.
【小问1详解】
因,
由,
所以曲线的普通方程为,,
,,所以,即.
所以曲线的极坐标方程为,.
【小问2详解】
设A,B两点对应的参数分别为,
将代入得,
由题知,
,
所以,.
因为,所以,
又,所以,故.
当时,代入得,
此时的普通方程为,即.
当时,代入得,
此时的普通方程为,即,
联立可得,即,
解得:或,
所以直线的普通方程为或.
23. 已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)若恒成立,求实数m的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【解析】
【分析】(1)分,,三种情况,去掉绝对值求解即可得出答案;
(2)先根据(1),得出函数解析式,分,,三种情况,分别根据函数单调性,得出函数的最小值.进而推得,求解即可得出答案.
【小问1详解】
当时,,
由可得,,解得.
又,所以解为;
当时,,
由可得,,解得.
又,所以无解;
当时,,
由可得,,解得.
又,所以解为.
综上所述,不等式的解集或.
【小问2详解】
由(1)可知,.
当时,单调递减,此时有;
当时,单调递减,此时有;
当时,单调递增,此时有.
综上所述,在处有最小值为.
由已知恒成立,
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这是一份2024-2025 学年四川省绵阳市 高三上学期 12 月月考数学综合测试试题(含解析),共16页。