四川省绵阳市三台县2026届高三数学上学期二诊适应性考试第四次月考试题含解析

这是一份四川省绵阳市三台县2026届高三数学上学期二诊适应性考试第四次月考试题含解析，共20页。试卷主要包含了 已知 ，则 的最小值为， 在空间中，下列命题正确的是， 不等式 的解集为， 已知函数 ，下列说法正确的有， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试
卷上无效．
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单选题：本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据并集 定义运算即可.
【详解】因为 ， ，
所以 .
故选：D
2. 在复平面内，复数 对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】应用复数的除法化简，并确定其对应点所在的象限，即可得.
【详解】由 ，对应点为 在第四象限.
故选：D
3. 双曲线 的离心率为（ ）
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A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查双曲线的标准方程与离心率，核心是通过将双曲线方程化为标准形式，结合双曲线的基
本关系 ，离心率公式 ，计算离心率.
【详解】将双曲线方程 化为标准形式： ，
这是焦点在 轴上的双曲线，标准形式为 ，因此 ， .
根据双曲线的离心率公式 ，其中 满足 .
代入 ， ，得 ，即 .
又 ，因此 .
综上，双曲线的离心率为 .
故选：C
4. 已知 ，则 的最小值为（ ）
A. 3 B. 2 C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本不等式求得 ，再根据对数的运算即可求得最小值.
【详解】因为 ， ，所以 ， ，当且仅当
时取等号，
.
故选：D
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5. “ ”是“直线 与直线 互相垂直”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合两直线垂直的性质分析判断.
【详解】∵直线 与直线 互相垂直
∴ ，∴ 或 ，
而“ ”是“ 或 ”的充分不必要条件
∴“ ”是“直线 与直线 互相垂直”的充分不必要条件，
故选：A.
6. 在空间中，下列命题正确的是（ ）
A. 垂直于同一直线的两条直线平行
B. 平行于同一直线的两个平面平行
C. 若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直
D. 若一个平面内有三个不共线的点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间中直线、平面的位置关系，结合平面的基本性质判断 A、B，由面面垂直的判定定理判断
C，利用长方体举反例判断 D.
【详解】A：空间中垂直于同一直线的两条直线，可能平行、相交或异面，错，
B：空间中平行于同一直线的两个平面，可能平行或相交，错，
C：若一个平面经过另一个平面的一条垂线，根据面面垂直的判定定理知这两个平面互相垂直，对，
D：在长方体 中， 三点到平面 的距离都相等，但平面 与平面
并不平行，错.
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故选：C
7. 已知向量 是空间的一个基底，向量 是空间的另一个基底，一向量 在基底
下的坐标为 ，则向量 在基底 下的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间向量的基本定理和坐标表示即得结果.
【详解】设 在基底 下的坐标为 ，
则 ，
所以 ，
解得 ，
故 在基底 下的坐标为 .
故选：B.
8. 不等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
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【答案】B
【解析】
【分析】令 ， ，转化不等式为 ，进而分 、 两种情况讨论求解即可.
【详解】令 ， ，
由 ，则 ，
当 时，不等式为 ，即 ，
解得 或 ，由于 ，则不等式无解；
当 时，不等式为 ，即 ，
解得 或 ，由于 ，则 ，
即 ，则 .
综上所述，不等式 的解集为 .
故选：B
二、多选题：本题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分．
9. 已知函数 ，下列说法正确的有（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的值域为
C. 在 上单调递增
D. 将函数 的图象向右平移 个单位长度后可以得到函数 的图象
【答案】ABD
【解析】
【分析】应用辅助角公式化简函数式，结合正弦型函数的性质依次判断 A、B、C，由图象平移写出解析式
判断 D.
【详解】由 ，其最小正周期为 ，A 对，
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由 ，则 的值域为 ，B 对，
由 ，则 ，显然 不单调，C 错，
函数 的图象向右平移 个单位长度，
则 ，D 对.
故选：ABD
10. 下列说法正确的是（ ）
A. “ ”是“直线 与直线 互相平行”的充要条件
B. 已知点 ， ，直线 过 且与线段 相交，则其倾斜角的范围是
C. 圆 ： 与 ： 恰有四条公切线，则
D. 圆 上有且仅有 2 个点到直线 ： 的距离等于
【答案】BC
【解析】
【分析】根据直线平行、冲要条件、直线与线段的交点、圆与圆的位置关系、圆和直线的位置关系对选项
进行分析可得结果.
【详解】选项 A：由 ，得 ，
当 时，两直线 ，两直线平行，
当 时，两直线 ，即 ，两直线平行，
所以“ ”是“直线 与直线 互相平行”的充分不必要条件，故 A 错误.
选项 B：因为 ，所以直线 的倾斜角为 ，
因为 ，所以直线 的倾斜角为 ，
所以直线 倾斜角的范围是 ，故 B 正确；
选项 C：圆 ： ，即 ，圆心 ，半径 ，
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： ，即 ，
要表示圆则 ，此时圆心 ，半径 ，
两圆有四条公切线，所以两圆外离，即 ，所以 ，
解得 ，故 C 正确；
选项 D：圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆心到直线 的距离为 ，
所以圆 上有且仅有个 3 点到直线 的距离都等于 ，
故 D 错误，
故选：BC.
11. 已知函数 是定义在 上的奇函数， 是偶函数，当 时， ，则下列
说法中正确的有（ ）
A. 函数 关于直线 对称
B.
C. 时，
D. 若关于 x 的方程 至少有 2 个不同的实根，则实数 a 的取值范围是
【答案】AC
【解析】
【分析】对 A：由 是偶函数计算即可得；对 B：由题意计算可得 以 为周期，结合
时 解析式计算即可得；对 C：结合 A 中所得计算即可得；对 D：结合函数性质可画出函数 图象，
结合对数函数性质计算即可得.
【详解】对 A：因为 是偶函数，所以 ，
所以 关于直线 对称，故 A 正确；
对 B：由 是定义在 上的奇函数，则 ，
又 ，则 ，
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故 ，则 ，
故函数 以 为周期，则 ，
，
所以 ，故 B 错误；
对 C：当 时， ，又 ，
则 ，故 C 正确；
对 D：因为 时， ，且 关于直线 对称，
所以根据对称性可以作出 上的图象，
又因为 是定义在 上的奇函数， 的周期 ，
所以作出 的图象如图，所以 ．
要使 的图象与 的图象至少有 2 个交点，
则 ，所以 ，又 ，所以 ，故 D 错误.
故选：AC．
三、填空题：本题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知向量 与 共线，则 _______．
【答案】
【解析】
【分析】利用向量共线的坐标表示即可求解.
【详解】因 向量 与 共线，
所以 ，故 ．
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故答案为： .
13. 已知点 在焦点为 的抛物线 上，若 ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，利用抛物线的定义，得到 ，求得 ，进而求得 的值，得到答案.
【详解】由抛物线 ，可得焦点为 ，准线方程为 ，
因为点 在抛物线 上，且 ，
根据抛物线的定义，可得 ，解得 ，所以 .
故答案为： .
14. 在三棱锥 中， 底面 ，侧面 侧面 ，且 ， 的面积为 4.若
三棱锥 的各个顶点都在球 的球面上，则球 表面积的最小值为_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据题设，结合面面垂直的性质有 侧面 ，进而有 ， ， ，
将三棱锥补全为长方体且 ，则球 是长方体的外接球，结合基本不等式求外接球表面积的最小
值.
【详解】由 底面 ， 平面 ，则平面 底面 ，
又侧面 侧面 ，底面 侧面 ，则 侧面 ，
由 底面 ，则 ， ，
由 侧面 ，则 ，故 ，即 ，
所以 两两垂直，则三棱锥 可补全为如下长方体，
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三棱锥 的各个顶点都在球 的球面上，则球 为三棱锥 的外接球，
所以球 为上述长方体的外接球，则其表面积
，
当且仅当 时取等号，故球 表面积的最小值为 .
故答案为：
四、解答题：本题共 5 个小题，共 77 分．
15. 已知函数 在 和 处取得极值，且经过点（0，1）.
（1）求函数 的解析式；
（2）当 时，若函数 有且仅有两个零点，求 k 的取值范围
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，根据在 和 处取得极值，可得 ，解之即可得解；
（2）函数零点个数转化为两个函数图象交点的个数，利用导数求出函数的单调区间及极值，由此结合题意
列出不等式，从而可得出答案.
【小问 1 详解】
因为函数 在 和 处取得极值，
所以 和 是方程 的两个根，
则 ，解得 ，经检验符合已知条件，
函数经过点 得 .
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所以函数 的解析式为 ；
【小问 2 详解】
当 时，函数 有且仅有两个零点，
令 ，可得 ，
则问题转化为 与 的图象在 上有且仅有两个交点.
，令 ，即 ，即得 或 .
当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增；
所以 ；
结合 与 的图象在 上有且仅有两个交点，
可得 或 ，解得 或 ；
所以 k 的取值范围
16. 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
（1）求 ；
（2）若 ， 边上的中线长为 2，点 在 上，且 为 的平分线，求 的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将边化角后，再利用两角和的正弦公式及 ，得到
，再得出 的值；
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（2）由余弦定理得 ①，又 平方可得 ②，由①②得：
，故 ，根据 和面积公式可得 .
【小问 1 详解】
因为 ，
由正弦定理可得 ，
则 ，又
所以 ，
因为在 中， ，所以 .
【小问 2 详解】
由余弦定理得： ，即有 ①；
设 为 的中点，即 ，又因为 ，
所以 ，即 ②，
由①，②得： ，
所以 ，所以 ．
因为 为 的平分线，所以 ，
则 ，
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即 ．
17. 如图，在斜三棱锥 中， ， ， ， 是 的
中点．
（1）求证：平面 平面 ：
（2）若 底面 ，且直线 与底面 所成角为 ， 是棱 的中点，求平面 与
平面 夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接 ， ，由题意可证 ， ，进而可证 平面 ，然后
利用面面垂直 判定定理可证结论；
（2）建立空间直角坐标系，求得平面 的一个法向量和平面 的一个法向量，利用向量法可求平
面 与平面 夹角的余弦值．
【小问 1 详解】
连接 ， ，因为 ， 是 的中点，所以 ，
又因为 ， ， ，
所以 与 全等，所以 ，
又 是 的中点，所以 ，又 ， 、 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
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所以平面 平面 ；
【小问 2 详解】
由题意可得 ， ，则 ， ，
若 底面 ，又 底面 ，所以 ，
因为 底面 ，所以 是直线 在平面 内的射影，
所以 为直线 与底面 所成的角，所以 ，
所以 ，所以 ，
以 为坐标原点， ， ， 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ，
所以 ， ， ，
所以 ，
，
设平面 的一个法向量为 ，
，令 ，则 ， ，
所以平面 的一个法向量为 ，
因为 底面 ，所以平面 的一个法向量为 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
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所以 ，
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为
18. 已知数列 为无穷数列，前 项和为 .
（1）若 ， ，求 的通项公式；
（2）是否存在等差数列 ，使 ？若存在，请写出一个满足条件的通项公式，若不存在，请说明
理由；
（3）若数列 为等比数列，公比为 ，且满足 ，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）不存在，理由见解析
（3）当 时， ；当 时， 或
【解析】
【分析】（1）根据 与 的关系，推得通项公式；
（2）写出等差数列的基本公式，代入不等式整理，结合二次函数性质分析即可说明；
（3）根据不等式关系，分类讨论得到结果.
【小问 1 详解】
已知 ，则当 时， ；
当 时， ，即 ，化简可得 ，
因此，数列 从第二项起是首项为 ，公比为 的等比数列，通项公式为：
【小问 2 详解】
不存在等差数列 ，使 .
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理由：设等差数列 的公差为 ，则 ，
代入不等式 得： ，
化简整理得 ,
令 ，
若 ， ，二次函数开口向上，当 趋近于正无穷时， ，
无法满足 恒成立；
若 ， ，当 ，当 ，
此时由 的值决定，所以不满足不等式.
当 ， ，二次函数开口向下，当 趋近于正无穷时， ，
当 ， ，无法满足 恒成立；
综上，不存在等差数列 ，使 .
【小问 3 详解】
设等比数列首项 ，公比 ．则 ．
则 即 ．
由 可先判断符号， ．
因此若 ，则 ；若 ，则 ．
情形一： ，此时可直接除以正数 ，得 ．
等价于 ．
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若 ，则 ，恒成立；
若 ，则 ， 必存在某个 使 不成立，
故该情形要求 ；
情形二： ，此时除以负数 需改变不等号方向即 ．
又由 ，可化为 ．
若 ，则 ，且 ，
所以有 ，故恒成立；
若 ，令 ，则当 为奇数时， 恒成立；
当 为偶数时，取 ．即 ．
函数 在 上单调递增，
且 ，故 ．即 ；
综上，当 时， ；当 时， 或 ；．
19. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ．且椭圆 过点 ，
椭圆的下顶点为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过右焦点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点（点 在点 的上方），与 轴交于点 （点 在点 的
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下方），点 为点 关于原点的对称点， 交 轴于点 ，设 的面积分别为
．
①若直线 l 的斜率为 2，求 的值；
②是否存在直线 ，使 ， ， ， 四点共圆？若存在，试判断直线 的条数；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）① ，②存在直线 ，条数为 1 条.
【解析】
【分析】（1）利用椭圆的定义可求得 的值，利用焦点求出 ，再由椭圆 关系即可求出椭圆方程；
（2）①写出直线 的方程与椭圆方程联立，结合韦达定理代入 运算得
解；②设直线 的方程为 与椭圆方程联立得 ，延长 交 轴于点 ，若
四点共圆，则 ，得 ，又 ，代入运算
得 ，令 ， ，利用导数判断
的零点个数即可.
【小问 1 详解】
因为椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，
且过点 ，
，
， ，
可得椭圆方程为 .
【小问 2 详解】
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①直线 的方程为 ，设 ， ，
联立 ，消去 ，得 ，
则 ， ，又 ， ，
所以 ，
②假设存在直线 ，设直线 的方程为 ，
联立 ，消去 ，得 ， ，
所以 ， ，
，
如图，延长 交 轴于点 ，若 四点共圆，
所以 ，而 ，
所以 ，
， ，
又 ，
所以 ，
第 19页/共 20页
由 ， ，
所以 ，
，
，即 ，
由点 在点 的下方得 ，即 ，
记 ， ，
，
所以函数 在 上单调递增，又 ， ，
所以函数 在 上只有唯一零点，即存在唯一 ，
使得 成立，
所以存在直线 ，条数为 1 条.
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