四川省绵阳市三台中学2026届高三上学期12月月考数学试卷（Word版含解析）

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注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 对于平面内两个非零向量 和 ， ， 和 的夹角为锐角，则 是 的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知平面向量 是两个单位向量， 在 上的投影向量为 ，则 （ ）
A. 1 B. C. D.
5. 设 ， 为两个平面，m、n 为两条直线且 .以下为假命题的是（ ）
A. 若 ，则 且 B. 若 ，则 n 平行于平面 内的无数条直线
C. 若 且 ，则 D. 若 n 在平面 外，则 m 与 n 平行或异面或相交
6. 已知某圆锥的侧面展开图是面积为 的半圆，则该圆锥的体积为（ ）
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A. B. C. D.
7. 已知 a，b，c 分别是 三个内角 A，B，C 的对边，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若 是锐角三角形，则
B. 若 是边长为 1 的正三角形，则
C. 若 ， ， ，则 有一解
D. 若 ，则 是等腰直角三角形
8. 已知函数 （ 且 ）为奇函数，若方程 有两个不同的实数解，则
m 的取值范围为（ ）
A B.
C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项.符
合要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知向量 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 当 取得最大值时，
D. 的最大值为
10. 如图，在棱长为 2 的正方体 中，Q 为线段 的中点，P 为线段 上的动点（含
端点），则下列结论正确的是（ ）
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A. 三棱锥 的体积为定值
B. 直线 DP 与直线 所成角 取值范围为
C. 的最小值为
D. P 为线段 的中点时，过 D，P，Q 三点的平面截正方体 所得的截面的面积为
11. 已知函数 ，则下列说法不正确的是（ ）
A. 是 一个周期 B. 是 图象的一条对称轴
C. 是 图象的一个对称中心 D. 在区间 内单调递减
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知复数 满足 ，则 _________.
13. 已知函数 ，若 的图象关于直线 对称，则 的值域为_____.
14. 中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子提出介于两个平行平面之间的两个几何体，被任一
平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.一个上底面边长为
1，下底面边长为2，高为3的正四棱台与一个不规则几何体如图所示，则该不规则几何体的体积为_________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.请应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ， ，
.
（1）求 ；
（2）若 ， 的面积为 ，求 的周长.
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16. 如图，在 中，已知 边上的两条中线 AM，BN 相交于点
．
（1）求中线 AM 长；
（2）求 的余弦值；
（3）求 面积．
17. 记 为数列 的前 n 项和.已知 .
（1）证明： 是等差数列；
（2）若 ， ， 成等比数列，令 ，且 的前 n 项和为 ，若 恒
成立，求实数 的取值范围.
18. 在 中，角 A，B，C 所对 边分别为 a，b，c，且 ．
（1）求角 A；
（2）D 为 BC 上一点， ．
（i）若 ，求 的值；
（ii）若 ，求 面积的最大值．
19. 已知函数 ．
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若 恒成立，求 的取值范围；
（3）若数列 满足 ，记 为数列 的前 项和．证明： ．
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