2025年各省市中考数学试卷分类汇编知识点18 二次函数几何方面的应用（Word版附解析）

这是一份2025年各省市中考数学试卷分类汇编知识点18 二次函数几何方面的应用（Word版附解析），共45页。试卷主要包含了5°，等内容，欢迎下载使用。
1.【2025•天津12题】四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝10cm，BC＝16cm．动点M从点B出发，以2cm/s的速度沿边BA、边AD向终点D运动；动点N从点C同时出发，以1cm/s的速度沿边CB向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t s．当t＝2s时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：
①当t＝6s时，CN＝DM；
②当1≤t≤2时，△BMN的最大面积为26cm2；
③t有两个不同的值满足△BMN的面积为39cm2．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】根据题意得：点M在AB上的运动时间为82=4s点M在AD上的运动时间为102=5s，点N在CB上的运动时间为16s，
①当t＝6s时，点M在AD上，此时AM＝2×6﹣8＝4cm，CN＝6cm，
∴DM＝AD﹣AM＝6cm，∴CN＝DM，故①正确；
②当1≤t≤2时，点M在AB上，此时BM＝2t cm，CN＝t cm，
∴BN＝（16﹣t）cm，
∴S△BMN=12BM×BN=12×2t（16﹣t）＝﹣t2+16t＝﹣（t﹣8）2+64，
∵﹣1＜0，∴当t＜8时，S△BMN随t的增大而增大，
∴当t＝2时，S△BMN取得最大值，最大值为﹣（2﹣8）2+64＝28，
即当1≤t≤2时，△BMN的最大面积为28cm2，故②错误；
③当点M在AB上时，
∵△BMN的面积为39cm2，
∴S△BMN=12BM×BN=12×2t(16-t)=-t2+16t=39，
解得：t1＝3，t2＝13（舍去），∴当t＝3时，△BMN的面积为39cm2；
当点M在AD上时，
∵AD∥BC，∠B＝90°，∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，即AB⊥AD，
此时S△BMN=12AB×BN=12×8(16-t)=64-4t=39．
解得：t=254，
∴当t=254时，△BMN的面积为39cm2；
∴t有两个不同的值满足△BMN的面积为39cm2，故③正确．
四川省
1.【2025•眉山】如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，CD=2，动点P在Rt△ABC的边上沿C→B→A方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为t秒，正方形DPEF的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．在3个时刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形DPEF的面积均相等．下列4个结论：①当t＝1时，S＝3；②点P在线段BA上时S＝2t2﹣16t+34；③AD＝42；④t1+t2＝4．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解析】在Rt△PCD中CD=2，PC＝t，则S＝PD2＝t2+2，
当S＝6时，即t2+2＝6，解得：t＝2（负值已舍去），即BC＝2，
当t＝1时，S＝t2+2＝3，故①正确；
由图象可知抛物线顶点为（4，2），且过点（2，6），
则抛物线的表达式为：S＝a（t﹣4）2+2，
将（2，6）代入上式得：6＝a（2﹣4）2+2，解得：a＝1，
则抛物线的表达式为：S＝（t﹣4）2+2＝t2﹣8t+18（2≤x≤8），故②错误；
当S＝18时，则t2﹣8t+18＝18，解得：t＝0（舍去）或8，则AB＝8﹣2＝6，
∴AC=AB2-BC2=62-22=42，∴AD＝42-2=32，故③错误；
画出S＝t2+2（0≤t≤2），如图：
从两个函数表达式看，两个函数a相同，都为1，
若存在3个时刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形DPEF的面积均相等，
从图象看，t1、t2关于t＝2对称，则12（t1+t2）＝2，即t1+t2＝4，故④正确．
山东省
1.【2025•烟台】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD是角平分线．点E从点A出发，沿AB方向向点B运动，连接CE，点F在BC上，且∠CEF＝45°．设AE＝x，FD＝y，若y关于x的函数图象过点（0，2-2），则该图象上最低点的坐标为（ ）
A．（12，32-2）B．（22，32-2）
C．（12，3﹣22）D．（22，3﹣22）
【答案】B
【解析】∵∠ACB＝90°，AC＝BC，AD是角平分线，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∠CAD＝∠BAD＝22.5°，
设AC＝BC＝m，∴AB=AC2+BC2=2m，
如图，在AC上取点Q，使AQ＝DQ，∴∠QAD＝∠QDA＝22.5°，
∴∠CQD＝45°＝∠CDQ，CQ＝CD=22QD=22AQ’，
∴2CQ+CQ=m，
解得：CD=CQ=(2-1)m，
∠CEF＝45°＝∠CAB，∠CEF+∠BEF＝∠ACE+∠CAE，
∴∠BEF＝∠ACE，
∴△ACE∽△BEF，ACBE=AEBFm2m-x=xBFBF=(2m-x)xm，
∴DF=y=m-(2-1)m-(2m-x)xm=(2-2)m-(2m-x)xm，
∵y关于x的函数图象过点(0，2-2)，
∴(2-2)m=2-2，解得：m＝1，
∴y=2-2-(2-x)x=x2-2x+2-2，
当x=--22=22时，y=32-2，∴该图象上最低点的坐标为(22，32-2)；
故选：B．
二、填空题
湖北省
1.
三、解答题
黑龙江省
1.【2025•齐齐哈尔】综合与探究
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0），C（6，0），与y轴交于点B，连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线BC下方抛物线上的点，连接PB，PC，当S△PBC＝24时，求点P的坐标；
（3）点G是第四象限内抛物线上的一点，连接BG，若∠CBG＝45°，则点G的坐标为 ；
（4）如图2，作点B关于x轴的对称点D，过点D作x轴的平行线l，过点C作CE⊥l，垂足为点E，动点M，N分别从点O，E同时出发，动点M以每秒1个单位长度的速度沿射线OC方向匀速运动，动点N以每秒2个单位长度的速度沿射线ED方向匀速运动（当点N到达点D时，点M，N都停止运动），连接MN，过点D作MN的垂线，垂足为点F，连接CF，则CF的取值范围是 ．
解：（1）解：将A（﹣1，0），B（6，0）代入抛物线的解析式y＝ax2+bx+3，
得a-b+3=036a+6b+3=0，解得a=-12b=52，
∴抛物线的解析式为y=-12x2+52x+3．
（2）解：过点P作PQ∥BC交y轴于点Q，连接CQ，如图a所示，
则S△QBC＝S△PBC＝24，
∴12BQ⋅CO=24，
∵点C（6，0），则CO＝6，∴BQ＝8，
又∵B（0，3），∴点Q（0，﹣5），
∵B（0，3），C（6，0），∴直线BC的解析式为y=-12x+3，
∵PQ∥BC，∴直线PQ的表达式为y=-12x﹣5，
联立y=-12x﹣5与y=-12x2+52x+3，可解得x＝﹣2或8，
故P1（﹣2，﹣4），P2（8，﹣9）．
（3）将RT△CBO绕点C逆时针旋转90°得到RT△CRS，则△BCR为等腰直角三角形．
从而∠CBR＝45°，如图b所示：
又∵点G是第四象限内抛物线上的一点，∠CBG＝45°，
∴点G为BR延长线与抛物线的交点．
由旋转可知∠BOC＝∠RSC＝90°，BO＝RS＝3，OC＝SC＝6，
故点R坐标为（3，﹣6），
由待定系数法可知直线BR的表达式为y＝﹣3x+3，
联立y＝﹣3x+3与y=-12x2+52x+3，整理可得x2﹣11x＝0，
解得x＝11或0（舍去），故点G坐标为（11，﹣30）．
（4）由题意知四边形OCED为矩形，OD＝BO＝3，DE＝OC＝6．
连接OE，交MN于点G，如图c所示，
故OE=DE2+OD2=36+9=35，
∵OM∥EN，∴△OMG∽△ENG，∴OGEG=OMEN=12，EGOE=23．
作GH⊥DE于点H，如图c所示，
∵GH∥OD，∴△GHE∽△ODE，∴EGEO=GHOD=HEDE=23，
∴GH=23OD＝2，HE=23DE＝4，DH＝6﹣4＝2，故DG=22．
取DG中点J，连接FJ、CJ，
∵∠DFG＝90°，∴根据斜边中线定理可得FJ=12DG=2，
故CF≥CJ﹣FJ，当且仅当J、F、C共线时取等号．
易知点J坐标为（1，﹣2），C（6，0），
故CJ=52+22=29，则CF≥CJ﹣FJ=29-2．
当点N与点D重合时，点F与点D重合，此时CF最大，即CF＝OE=35，
综上所述，CF的取值范围为29-2≤CF≤35．
吉林省
1.【2025•吉林22题】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝x2+bx﹣1经过点（2，﹣1）．点P在此抛物线上．其横坐标为m；连接PO并延长至点Q，使OQ＝2PO．当点P不在坐标轴上时，过点P作x轴的垂线，过点Q作y轴的垂线，这两条垂线交于点M．
（1）求此抛物线对应的函数解析式．
（2）△PQM被y轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变，如果不变，直接写出这个面积比；如果变化，说明理由．
（3）当△PQM的边MQ经过此抛物线的最低点时，求点Q的坐标．
（4）当此抛物线在△PQM内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
解：（1）将（2，﹣1）代入y＝x2+bx﹣得，﹣1＝4+2b﹣1，解得b＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣1；
（2）如图所示，面积比保持不变为54，理由如下：
根据题意可得，∠M＝∠ODQ＝90°，∠Q＝∠Q，∴△QOD∽△QPM，
∴OPOQ=12OQPQ=23，∴S△QODS△QPM=(23)2=49，
则S四边形ODMPS△QOD=9-44=54；
（3）如图所示，QM经过最低点，即经过顶点，
该抛物线的顶点横坐标为--22=1，纵坐标为4×(-1)-(-2)24=-2，
该抛物线的顶点坐标为（1，﹣2），
∵∠PNO＝∠ODQ＝90°，∠NPO＝∠DOQ，
∴△PON∽△OQD，且相似比为OPOQ=12，
根据顶点纵坐标可得，OD＝2，则PNOD=12，即m2-2m-12=12，
解得m=1±3，
①当m=1-3时，即为如图所示，
此时|xQ|=2|xP|=23-2，
点Q在第四象限，故Q(23-2，-2)；
②如图所示，
当m=1+3时，此时点P在第一象限，点Q在第三象限，此时|xQ|=2|xP|=23+2，
故Q(-23-2，-2)；
综上，Q(23-2，-2)或Q(-23-2，-2)；
（4）①当PQ经过顶点T时，过点T作TE⊥x轴，交x轴于点E，
由∠PNO＝∠TEO＝90°，∠PON＝∠TOE得，△PON∽△TOE，
∴PNON=TEOE，即m2-2m-1-m=21，解得m＝1（舍去），或m＝﹣1，
∴当点P向左运动时，满足题意，∴m≤﹣1；
②如图所示，当点Q在抛物线上时，过点Q作QE⊥x，交x轴于点E，
同理，△PON∽△QOE，相似比仍为12 此时，Q[﹣2m，﹣2（m2﹣2m﹣1）]，代入抛物线解析式得，﹣2（m2﹣2m﹣1）＝（﹣2m）2+4m﹣1，解得m=22（舍去），或m=-22，
此时，当P点向下一直移动，直至到x轴时，都符合题意，
当x2﹣2x﹣1＝0时，解得x1=1-2，x2＝1+2，
∴当-22≤m≤1-2时，符合题意；
③图所示，当点Q在抛物线上时，点Q在第二象限，点P在第四象限，
思路同②，此时Q[﹣2m，﹣2（m2﹣2m﹣1）]，代入抛物线解析式得，﹣2（m2﹣2m﹣1）＝（﹣2m）2+4m﹣1，解得m=-22（舍去），或m=22
此时，当P点向右一直移动，直至到x轴时，都符合题意，
∴当22≤m≤1+2时，符合题意；
综上，当m≤﹣1或-22≤m≤1-2或22≤m≤1+2时，符合题意．
甘肃省
1.【2025•甘肃27题】如图1，抛物线y＝a（x+52）（x﹣4）（a≠0）分别与x轴，y轴交于A，B（0，﹣4）两点，M为OA的中点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接AB，过点M作OA的垂线，交AB于点C，交抛物线于点D，连接BD，求△BCD的面积；
（3）点E为线段AB上一动点（点A除外），将线段OE绕点O顺时针旋转90°得到OF．
①当AE=2时，请在图2中画出线段OF后，求点F的坐标，并判断点F是否在抛物线上，说明理由；
②如图3，点P是第四象限的一动点，∠OPA＝90°，连接PF，当点E运动时，求PF的最小值．
解：（1）把B（0，﹣4），代入y＝a（x+52）（x﹣4）（a≠0），得﹣10a＝﹣4，
解得：a=25，∴y=25(x+52)(x-4)=25x2-35x-4；
（2）当y=25(x+52)(x-4)=0时，则x1=-52，x2＝4，∴A（4，0），
∵M是OA的中点，∴M（2，0），∴OM＝2，
∵B（0，﹣4），
∴设直线AB的解析式为：y＝kx﹣4，把A（4，0），代入，得k＝1，
∴y＝x﹣4，
∵点M作OA的垂线，交AB于点C，交抛物线于点D，∴C（2，﹣2），D（2，-185），
∴CD=-2+185=85，∴△BCD的面积=12CD⋅OM=12×2×85=85；
（3）①由题意，作图如下：
连接BF，作FQ⊥OB于点Q，
由（2）可知：OA＝OB＝4，∴∠OAB＝∠OBA＝45°
∵将线段OE绕点O顺时针旋转90°得到OF，∴OE＝OF，∠EOF＝90°＝∠BOA，
∴∠AOE＝∠BOF，
又∵OA＝OB，OE＝OF，∴△AOE≌△BOF（SAS），
∴∠OBF＝∠OAE＝45°，BF=AE=2，
∵FQ⊥OB，∴△FQB为等腰直角三角形，∴FQ=BQ=22BF=1，
∴OQ＝OB﹣BQ＝3，∴F（﹣1，﹣3），
对于y=25x2-35x-4，
当x＝﹣1时，y=25+35-4=-3，∴点F在抛物线上；
②连接BF并延长，交x轴于点G，连接PM，MF，作MH⊥BG于点H，如图，
∵∠OPA＝90°，M为OA的中点，∴PM=12OA=2，
∵PF≥MF﹣PM，∴当M，P，F三点共线时，PF最小，
同①可得，∠OBF＝∠OAE＝45°，
∴点F在射线BG上运动，
∴当MF⊥BG时，即F与点H重合时，MF最小，此时PF最小为MH﹣PM，
∵∠OBG＝45°，∴△OBG为等腰直角三角形，
∴OG＝OB＝4，∠BGO＝45°
∴MG＝OG+OM＝6，△MHG为等腰直角三角形，
∴MH=22MG=32，
∴PF的最小值为MH-PM=32-2．
四川省
1.【2025•成都】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx过点（﹣1，3），且对称轴为直线x＝1，直线y＝kx﹣k与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当k＝1时，直线AB与y轴交于点D，与直线x＝2交于点E．若抛物线y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE有公共点，求h的取值范围；
（3）过点C与AB垂直的直线交抛物线于P，Q两点，M，N分别是AB，PQ的中点．试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得TC总是平分∠MTN？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx过点（﹣1，3），且对称轴为直线x＝1，
∴-b2a=1a-b=3，解得a=1b=-2，则该抛物线解析式为：y＝x2﹣2x；
（2）当k＝1时，则y＝x﹣1，
∴当x＝0，y＝﹣1，当x＝2时，y＝1，
∴D（0，﹣1），E（2，1），
∵y＝（x﹣h）2﹣1，∴顶点坐标在直线y＝﹣1上移动，
∵y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE有公共点，
∴联立y=(x-h)2-1y=x-1，整理，得x2﹣（2h+1）x+h2＝0，
∴当Δ＝（2h+1）2﹣4h2＝0，即h=-14时，满足题意，
将y=(x-h)2-1从h=-14开始向右移动，直至抛物线与线段DE只有一个交点为E（2，1）时，y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE均有公共点，
∴当y＝（x﹣h）2﹣1过点E（2，1）时，（2﹣h）2﹣1＝1，
解得：h=2-2或h=2+2，
∴当-14≤h≤2+2时，抛物线y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE有公共点；
（3）存在，
∵y＝kx﹣k，∴当y＝0时，x＝1，
∴C（1，0），抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴点C在抛物线的对称轴上，
∵PQ过点C，且与直线AB垂直，
∴直线PQ的解析式为：y=-1k(x-1)，即：y=-1kx+1k，
联立y=kx-ky=x2-2x，整理，得x2﹣（k+2）x+k＝0，
∴xA+xB＝k+2，yA+yB=kxA-k+kxB-k=k(xA+xB)-2k=k2，
∵M为AB的中点，∴M(k+22，k22)，
联立y=-1kx+1ky=x2-2x，
同理可得：N(1-12k，12k2)，
作MH⊥CT，NF⊥CT，
∵TC 平分∠MTN，∴∠NTF＝∠MTH，
∴tan∠NTF＝tan∠MTH，∴MHTH=NFTF，
设T（1，t），则k+22-1t-k22=1-1+12kt-12k2，解得：t=-12，
∴抛物线的对称轴上存在T(1，-12)，使得TC 总是平分∠MTN．
2．【2025•自贡】如图，在△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，连接DE，CE，BD交于点G．
（1）若BD⊥CE，BD＝1，CE=12，则四边形BCDE的面积为 14 ；
（2）若BD+CE=32，△ABC的最大面积为S．设BD＝x，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值；
（3）若（2）问中x取任意实数，将函数S的图象依次向右、向上平移1个单位长度，得到函数y的图象．直线y＝k1x﹣k1交该图象于点F，H（F点在H点左边），过点H的直线l：y＝k2x+b交该图象于另一点Q，过点F，Q的直线与直线x＝1交于点K．若S△HFK＝S△HKQ，试问直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
解：（1）∵BD⊥CE，BD＝1，CE=12，
∴四边形BCDE的面积＝S△BCE+S△DCE=12⋅CE⋅BG+12⋅CE⋅DG =12⋅CE⋅(BG+DG) =12⋅CE⋅BD =12×12×1 =14；
（2）∵△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，∴DE是△ABC的中位数，
∴DE∥BC，DE=12BC，∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADE：S△ABC=(DEBC)2=14，∴S△ADE=14S△ABC，
∴S四边形DCBE=34S△ABC，∴S△ABC=43S四边形DCBE，
当四边形BCDE的面积最大时，△ABC的面积最大，
如图，过点B作BM⊥CE，过点D作DN⊥CE，则BM≤BG，DN≤DG，
∵四边形BCDE的面积＝S△BCE+S△DCE=12⋅CE⋅BM+12⋅CE⋅DN ≤12⋅CE⋅(BG+DG) =12CE•BD，
∴四边形BCDE的面积最大=12CE•BD，
∵BD+CE=32，BD＝x，∴CE=32-x，
∴S=43×12x(32-x)=-23x2+x=-23(x-34)2+38，∴当x=34时，S最大为38；
（3）直线l是过定点．
由（2）知：S=-23(x-34)2+38，
∴y=-23(x-34-1)2+38+1=-23(x-74)2+118，∴y=-23x2+73x-23，
设xF＝m，∵S△HFK＝S△HKQ，∴K为F，Q的中点，
过点F，Q的直线与直线x＝l交于点K，
∴xK＝1，∴xQ＝2＝m，
∴Q(2-m，-23(2-m)2+73(2-m)-23)．
设H(n，-23n2+73n-23)，
∴k2=yQ-yHxQ-xH=-23(n-m)+1，∴直线l：y﹣yH＝k2（x﹣xH），
即y=[-23(n-m)+1](x-n)+(-23n2+73n-23)
=[-23(n-m)+1]x+23(n-m)+1
=-23（n﹣m）（x﹣1）+x+1，
∵n﹣m≠0，∴当x﹣1＝0，即x＝1时，y＝1+1＝2，∴直线l过定点（1，2）．
3．【2025•南充】抛物线y＝ax2+2ax-154（a≠0）与x轴交于A（3，0），B两点，N是抛物线顶点．
（1）求抛物线的解析式及点B的坐标；
（2）如图1，抛物线上两点P（m，y1），Q（m+2，y2），若PQ∥BN，求m的值；
（3）如图2，点M（﹣1，﹣5），如果不垂直于y轴的直线l与抛物线交于点G，H，满足∠GMN＝∠HMN．探究直线l是否过定点？若直线l过定点；求定点坐标；若不过定点，请说明理由．
解：（1）把A（3，0）代入y=ax2+2ax-154，∴a=14，
∴抛物线的解析式为y=14x2+12x-154，
令y＝0，则14x2+12x-154=0，解得x1＝﹣5，x2＝3，∴B（﹣5，0）；
（2）∵y=14(x+1)2-4，N是抛物线顶点，∴N（﹣1，﹣4），
设直线BN的解析式为y＝k1x+b1，
∵B（﹣5，0），N（﹣1，﹣4），
∴-5k1+b1=0-k1+b1=-4，解得：k1=-1b1=-5，
∴直线BN的解析式为y＝﹣x﹣5，
∵PQ∥BN，可设直线PQ为y＝﹣x+n，
设点P(m，14m2+12m-154)，Q(m+2，14(m+2)2+12(m+2)-154)，
∴14m2+12m-154=-m+n且14(m+2)2+12(m+2)-154=-(m+2)+n，解得：m＝﹣4；
（3）存在定点T满足条件．
设直线l解析式y＝kx+b，直线l与抛物线相交于点G（x3，y3），H（x4，y4），
∴y=14x2+12x-154y=kx+b，∴x2+（2﹣4k）x﹣15﹣4b＝0，∴Δ＞0，x3+x4＝4k﹣2，x3x4＝﹣15﹣4b，
作GC⊥MN，HD⊥MN，GC＝﹣1﹣x3，MC＝y3+5，HD＝x4+1，MD＝y4+5，
∵∠GMN＝∠HMN，∴tan∠GMN＝tan∠HMN．即GCMC=HDMD，
∴-1-x3y3+5=x4+1y4+5，∴（x3+1）（y4+5）+（x4+1）（y3+5）＝0，
∴（x3+1）（kx4+b+5）+（x4+1）（kx3+b+5）＝0．
∴2kx3x4+（k+b+5）（x3+x4）+2b+10＝0．
∴2k（﹣15﹣4b）+（k+b+5）（4k﹣2）+2b+10＝0．∴﹣4k（b﹣k+3）＝0，
∵直线l不垂直于y轴，∴k≠0，∴b﹣k+3＝0，
∴b＝k﹣3，∴直线l解析式y＝k（x+1）﹣3，
∵无论k为何值，x＝﹣1，y＝﹣3，∴l过定点T（﹣1，﹣3），故存在定点T（﹣1，﹣3）．
4．【2025•遂宁】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c（b、c为常数）的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x＝1．
（1）求二次函数关系式．
（2）连结AC、BC，抛物线上是否存在点P，使∠CBP+∠ACO＝45°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．
（3）在x轴上方的抛物线上找一点Q，作射线AQ，使∠BAQ＝2∠ACO，点M是线段AQ上的一动点，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，连结BM，求BM+MN的最小值．
解：（1）∵对称轴为直线x＝1，且二次函数y＝x2+bx+c（b、c为常数）的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，∴B（3，0），∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3；
（2）由y＝x2﹣2x﹣3可知C（0，﹣3），
∴OB＝OC＝3，即∠OCB＝∠OBC＝45°，
第一种情况：当点P在直线BC上方时，
如图，记BP与y轴交于点K，
则∠OPB+∠CBP＝∠OBC＝45°，
又∵∠CBP+∠ACO＝45°，∴∠OBP＝∠ACO，
∴tan∠OBP＝tan∠ACO，即OKOB=OAOC=13，∴OK=13OB＝1，
由B（3，0），K（0，﹣1）可得直线BP解析式为y=13x﹣1，
联立y=13x-1y=x2-2x-3，解得x=3y=0（与B点重合）或x=-23y=-119，
∴P（-23，-119）；
第二种情况：当点P在直线BC下方时，
方法一：如图，作点A关于y轴对称点K，连接CL，则∠ACO＝∠LCO，L（1，0），
∵∠CBP+∠ACO＝45°，∠LCO+∠BCL＝45°，∴∠CBP＝∠BCL，∴BP∥CL，
由C（0，﹣3），L（1，0）可得直线CL的解析式为y＝3x﹣3，∴设直线BP：y＝3x+n，
将B（3，0）代入得n＝﹣9，∴直线BP：y＝3x﹣9，
联立y=3x-9y=x2-2x-3，解得x=3y=0（与B点重合）或x=2y=-3，
∴P（2，﹣3）；
方法二：作K关于直线BC对称点G，连接KG交BC于点H，
此时∠CBK＝∠CBP，满足∠CBP+∠ACO＝45°，
∵K（0，﹣1），C（0，﹣3），∴CK＝2，
∵∠BCO＝45°，∴△CHK为等腰直角三角形，
∴H（1，﹣2）∴G（2，﹣3）
∵点G（2，﹣3）也在抛物线上，∴点P与点G重合，即P（2，﹣3）；
（备注：此时如果没有发现点P和点G重合，也可以求出BG解析式，联立二次函数求交点P坐标）．
综上，点P的坐标为（-23，-119）或（2，﹣3）；
（3）如图，在OC上取点D，使AD＝CD，则∠ADO＝2∠ACO，
∵∠BAQ＝2∠ACO，∴∠BAQ＝∠ADO，
设OD＝m，则CD＝AD＝3﹣m，
在Rt△AOD中，OA2+OD2＝AD2，
∴1+m2＝（3﹣m）2，解得m=53，∴OD=43，AD=53，
作点B关于直线AQ对称点E，连接BE交AQ于点F，过E作EG⊥x轴于点G，
则BM＝EM，BF＝EF，∴BM+MN＝EM+MN≥EG，
当且仅当E、M、G三点共线时，（BM+MN）min＝EG；
∵∠BAQ＝∠ADO，∴sin∠BAQ＝sin∠ADO，
即BFAB=OAAD=35，∴BF=35AB=125，∴BE＝2BF=245，
∵∠AGE＝∠AFE＝90°，∴∠BEG＝∠BAF＝∠ADO，
∴cs∠BEG＝cs∠ADO，即EGBE=ODAD=45，
∴EG=45BE=9625，∴（BM+MN）min=9625．
5．【2025•眉山】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c关于直线x＝﹣3对称，与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线对称轴上一点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转90°，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标；
（3）在线段OC上是否存在点Q，使2AQ+2CQ存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c关于直线x＝﹣3对称，与x轴交于A（﹣1，0），
∴-b2=-31-b+c=0，解得b=6c=5，
∴抛物线的解析式为y＝x2+6x+5；
（2）由抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，设P（﹣3，t），
过P作KT∥x轴，过B作BK⊥KT于K，过D作DT⊥KT于T，如图：
在y＝x2+6x+5中，令y＝0得0＝x2+6x+5，解得x＝﹣1或x＝﹣5，
∴B（﹣5，0），∴KP＝﹣3﹣（﹣5）＝2，
∵将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到DP，
∴∠BPD＝90°，BP＝DP，
∴∠BPK＝90°﹣∠DPT＝∠PDT，
∵∠K＝∠T＝90°，∴△BPK≌△PDT（AAS），
∴BK＝PT＝|t|，KP＝DT＝2，∴D（﹣3+t，t﹣2），
把D（﹣3+t，t﹣2）代入y＝x2+6x+5得：t﹣2＝（﹣3+t）2+6（﹣3+t）+5，
解得t＝﹣1或t＝2，
∴P的坐标为（﹣3，﹣1）或（﹣3，2）；
（3）在线段OC上存在点Q，使2AQ+2CQ存在最小值，理由如下：
过C在y轴右侧作射线CM，使∠OCM＝45°，过A作AH⊥CM于H，AH交y轴于Q，如图：
∵∠OCM＝45°，∠QHC＝90°，∴△QCH是等腰直角三角形，
∴QH=22CQ，∠CQH＝45°，
∴2AQ+2CQ＝2（AQ+22CQ）＝2（AQ+QH）＝2AH，
由垂线段最短可知，此时2AQ+2CQ最小，最小值为2AH，
∵∠AQO＝∠CQH＝45°，∠AOQ＝90°，∴△AQO是等腰直角三角形，
∴OQ＝OA＝1，AQ=2OA=2，∴Q（0，1），
在y＝x2+6x+5中，令x＝0得y＝5，∴C（0，5），
∴CQ＝OC﹣OQ＝5﹣1＝4，∴QH=22CQ＝22，
∴AH＝AQ+QH＝32，∴2AQ+2CQ的最小值为62．
6．【2025•凉山州】如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在直线AC下方的抛物线上运动，求点P到直线AC的最大距离；
（3）动点Q在抛物线的对称轴上，作射线QA，若射线QA绕点Q逆时针旋转90°与抛物线交于点D，是否存在点Q使AQ＝QD？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）三点，
∴9a-3b+c=0a+b+c=0c=-3，∴a=1b=2c=-3，
∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b1（k≠0），
∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴-3k+b1=0b1=-3，∴k=-1b1=-3，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3；
如图所示，过点P作PE∥y轴交AC于E，连接AP，CP，
设P（p，p2+2p﹣3）（﹣3＜p＜0），则E（p，﹣p﹣3），
∴PE=-p-3-(p2+2p-3)=-p2-3p=-(p+32)2+94；
∵S△ACP＝S△APE+S△CPE，
∴S△ACP=12PE⋅(xE-xA)+12PE⋅(xC-xE)=12PE⋅(xC-xA)=12PE⋅[0-(-3)]=32PE，
∴当PE有最大值时，S△ACP有最大值，
∵PE=-(p+32)2+94，﹣1＜0，﹣3＜p＜0，
∴当p+32=0，即p=-32时，PE有最大值，最大值为94，
∴S△ACP的最大值为32×94=278，
∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），∴OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，
∴AC=OA2+OC2=32；
设点P到直线AC的距离为h，
∴S△ACP=12AC⋅h=322h，∴h=23S△ACP，
∵当S△ACP有最大值时，h有最大值，∴h的最大值为23×278=928，
∴点P到直线AC的最大距离为928；
（3）如图所示，当点Q在x轴下方时，设抛物线对称轴交x轴于H，过点D作DG⊥QH交直线QH于G，
∵抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
∴H（﹣1，0），∴OH＝1；
∵A（﹣3，0），∴AH＝﹣1﹣（﹣3）＝2；
设点Q的坐标为（﹣1，q），则QH＝﹣q；
由旋转的性质可得∠AQD＝90°，
又∵∠AHQ＝∠QGD＝90°，∴∠HAQ+∠HQA＝∠HQA+∠GQD＝90°，
∴∠HAQ＝∠GQD，
又∵AQ＝QD，∴△HAQ≌△GQD（AAS），
∴DG＝QH＝﹣q，QG＝AH＝2，
∴HG＝QH+QG＝2﹣q，
∴点D的横坐标为﹣1﹣（﹣q）＝﹣1+q，纵坐标为﹣（2﹣q）＝q﹣2，
∴D（﹣1+q，q﹣2），
∵点D在抛物线上，∴（﹣1+q）2+2（﹣1+q）﹣3＝q﹣2，
∴q2﹣2q+1﹣2+2q﹣3＝q﹣2，∴q2﹣q﹣2＝0，解得q＝﹣1或q＝2（舍去），
∴此时点Q的坐标为（﹣1，﹣1）；
如图所示，当点Q在x轴上方时，过点Q作RS∥x轴，分别过点A，点D作直线RS的垂线，垂足分别为R、S，设点Q的坐标为（﹣1，q），
∴∠R＝∠S＝90°；
由旋转的性质可得∠AQD＝90°，∴∠RAQ+∠RQA＝∠RQA+∠SQD＝90°，
∴∠RAQ＝∠SQD，
又∵AQ＝QD，∴△RAQ≌△SQB（AAS），
∴QS＝AR＝q，DS＝QR＝﹣1﹣（﹣3）＝2，
∴点D的横坐标为﹣1+q，纵坐标为q﹣2，∴D（﹣1+q，q﹣2），
∵点D在抛物线上，∴（﹣1+q）2+2（﹣1+q）﹣3＝q﹣2，
∴q2﹣2q+1﹣2+2q﹣3＝q﹣2，∴q2﹣q﹣2＝0，解得q＝2或q＝﹣1（舍去），
∴此时点Q的坐标为（﹣1，2）；
综上所述，存在点Q使AQ＝QD，此时点Q的坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，2）．
7．【2025·达州】如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于C点，B的坐标为（3，0），C的坐标为（0，3），顶点为M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BC，过第四象限内抛物线上一点作BC的平行线．交x轴于点E，交y轴于点F．
①连接AF，当∠AFE＝90°时，求Rt△AFE内切圆半径r与外接圆半径R的比值；
②连接CA，CE，当点F在△AEC的内角平分线上，BC上的动点P满足MP+22BP的值最小时，求△BPE的面积．
解：（1）把B的坐标（3，0），C的坐标（0，3）代入抛物线的解析式，
得-9+3b+c=0c=3，解得b=2c=3，
∴抛物线的解析式是y＝﹣x2+2x+3；
（2）①令y＝﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），
∵B（3，0），C（0，3），∴OB＝OC＝3，
∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠OBC＝45°，
∵EF∥BC，∴∠FEA＝∠CBO＝45°，
∴当∠AFE＝90°时，△AEF是等腰直角三角形，且FA＝FE，
∴EO＝AO＝FO＝1，
∴△AEF的外接圆直径是 AE＝2，
∴则其外接圆的半径 R＝1，
∵AE=EF=AE⋅sin45°=22×2=2，
∴12AF⋅r+12EF⋅r+12AE⋅r=12AE⋅FO，即(2+2+2)⋅r=2，
解得：r=2-1，∴rR=2-1；
②∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
抛物线的对称轴是直线x＝1，顶点M的坐标是（1，4），
∴直线x＝1与x轴的交点T的坐标是（1，0），
作PQ⊥x轴于点P，
则在直角三角形BPQ中，PQ=BP⋅sin45°=22BP，
∴MP+22BP=MP+PQ，
∴当M、P、Q三点共线且MQ⊥x轴时，MP+22BP的值最小，此时Q、T重合，
当点F在△AEC的内角∠ACE的平分线上即∠ACO＝∠ECO时，如图，
∵∠COA＝∠COE＝90°，CO＝CO，∴△ACO≌△ECO，
∴AO＝EO＝1，∴E、T重合，
∵B（3，0），C（0，3），∴直线BC的解析式是y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝2，∴点P的坐标是（1，2），
∴BE＝PE＝2，∴S△BPE=12×2×2=2，
当点F在△AEC的内角∠CAE的平分线上时，
如图，作FK⊥AC于点K，则OF＝KF，
设OF＝KF＝a，则CF＝3﹣a，
∵sir∠ACO=FKCF=OAAC，且AC=12+32=10，
∴a3-a=110，解得a=10-13，
∴OF=10-13，
∵EF∥BC，∴∠OEF＝∠OBC＝45°，
∴OE=OF=10-13，
∴BE=3-OE=3-10-13=10-103，
∴S△BPE=12×10-103×2=10-103，
由于∠OEF＝45°，∠OEC＜90°，
∴点F不可能在△AEC 的内角∠AEC 的平分线上，
当点E，F重合于点O时，此时OF平分∠AEC即点F在∠AEC的平分线上，
符合题意，则BE＝BO＝3，
∴S△BPE=12×3×2=3，
综上：△BPE 的面积为2或3或10-103．
8．【2025•德阳】如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图2，连接BC，过点C作CD⊥BC与抛物线相交于另一点D．
①求点D的坐标；
②如图3，点E，F为线段BC上两个动点（点E在点F的右侧），且EF=2，连接OF，DE．求OF+DE的最小值．
解：（1）∵A（﹣1，0），B（3，0），
在二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象上，
设该二次函数为y＝﹣（x﹣x1）（x﹣x2），
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3），∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）①把x＝0代入y＝﹣x2+2x+3，得y＝3，∴C（0，3），
如图，延长DC与x轴相交于点G，
∵B（3，0），C（0，3），∴OB＝OC＝3，
∵∠COB＝90°，∴∠CBO＝45°，
∵∠DCB＝90°＝∠BCG，∴∠CGB＝90°﹣∠CBO＝90°﹣45°＝45°，
∴∠GCO＝180°﹣∠COG﹣∠CGB＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∴OG＝OC＝3，∴G（﹣3，0），
设直线CG的解析式为：y＝kx+m（k≠0），
把C（0，3），G（﹣3，0）代入，
得3=m0=-3k+m，解得k=1m=3，
∴直线CG的解析式为：y＝x+3，
∵点D是直线CG与二次函数的交点，
∴联立解析式y=x+3y=-x2+2x+3，解得x=0y=3或x=1y=4，
∴D（1，4）；
②如图，过点O作OH∥EF，且OH=EF=2，连接HE，DH，设DH交x轴为点G，
∵OH∥EF，且OH＝EF，
∴四边形OFEH是平行四边形，∴OF＝EH，
∵∠CBO＝45°，∴∠BOH＝45°，
∴△OGH为等腰直角三角形，∴OG＝GH，
∵OH=EF=2，OG2+GH2＝OH2，∴OG＝GH＝1，∴H（1，﹣1），
∵DE+EH≥DH，∴当DE+EH＝DH时，DE+EH最小，
∵D（1，4），H（1，﹣1），∴DH＝5．此时D、E、H三点共线且DH⊥x轴，
∴点F的坐标为（0，3）与点C重合，满足EF在线段BC上，
∴DE+OF的最小值为5．
重庆
1.【2025•重庆】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（6，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线x=52．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是射线BC下方抛物线上的一动点，连接OP与射线BC交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且DE＝4，连接BD，PE．当PQOQ取得最大值时，求点P的坐标及BD+PE的最小值；
（3）在（2）中PQOQ取得最大值的条件下，将抛物线y＝x2+bx+c沿射线BC方向平移22个单位长度得到抛物线y′，点M为点P的对应点，点N为抛物线y′上的一动点．若∠NAB＝∠OPM﹣45°，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
解：（1）设抛物线的解析式为y=(x-52)2+k，
把（6，0）代入得494+k=0，解得k=-494，∴y=(x-52)2-494=x2-5x-6；
（2）令x＝0，则y＝﹣6，∴点C的坐标为（0，﹣6），
设直线BC的解析式为y＝mx+n，
把（6，0）和（0，﹣6）代入得6m+n=0n=6，解得m=1n=-6，∴y＝x﹣6，
设点P的坐标为（x，x2﹣5x﹣6），过点P作PH∥y轴交BC于点F，交x轴于点H，如图，
则点F的坐标为（x，x﹣6），
∴PF＝x﹣6﹣（x2﹣5x﹣6）＝﹣x2+6x，
∵PF∥y轴，∴∠PFQ＝∠OCQ，∠FPQ＝∠COQ，∴△QPF∽△QOC，
∴QPQO=PFOC=16(-x2+6x)=-16(x-3)2+32，
∴当x＝3时，QPQO取得最大值为32，这时点P的坐标为（3，﹣12），
把点P向上平移4个单位长度得到点G，点G的坐标为（3，﹣8），连接GD，
则四边形DEPG是平行四边形，
∴DG＝PE，即BD+PE＝BD+DG，
由A，B关于x=52对称性可得点A的坐标为（﹣1，0），
连接AG，则BD+PE＝BD+DG的最小值为AG长，
即AG=AH2+HG2=42+82=45，
即BD+PE的最小值为45；
（3）∵AB＝AC＝6，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵将抛物线y＝x2+bx+c沿射线BC方向平移22个单位长度，即为向左平移两个单位长度，向下平移两个单位长度得到抛物线y′，
即y'=(x-52+2)2-494-2=x2-x-14，
过点P作PQ⊥y轴于点Q，过点N作NK⊥x轴于点K，连接PM，
设点N的坐标为（a，a2﹣a﹣14），
由平移得∠QPM＝45°，
∴∠NAB＝∠OPM﹣45°＝∠OPQ+∠QPM﹣45°＝∠OPQ＝∠POB，
如图1，
∵tan∠NAB＝tan∠OPQ，即123=-(a2-a-14)a-(-1)，解得a＝﹣5（舍去）或a＝2，
∴点N的坐标为（2，﹣12）；
如图2，
∵tan∠NAB＝tan∠OPQ，即123=a2-a-14a-(-1)，
解得a=5+972或a=5-972（舍去），
∴点N的坐标为(5+972，14+297)；
综上所述，点N的坐标为（2，﹣12）或(5+972，14+297)．
山东省
1.【2025•烟台】如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，OA＝2，OB＝6，D是直线BC上方抛物线上一动点，作DF⊥AB交BC于点E，垂足为点F，连接CD．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设点D的横坐标为t，
①用含有t的代数式表示线段DE的长度；
②是否存在点D，使△CDE是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接OE，将线段OE绕点O按顺时针方向旋转90°得到线段OG，连接AG，请直接写出线段AG长度的最小值．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，OA＝2，OB＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），
∴4a-2b+3=036a+6b+3=0，解得：a=-14b=1，
∴抛物线表达式为y=-14x2+x+3；
（2）①对于抛物线表达式y=-14x2+x+3，
当x＝0，y＝3，∴C（0，3），
设直线BC表达式为：y＝kx+b，则6k+b=0b=3，解得：k=-12b=3，
∴直线BC：y=-12x+3，
∵DE⊥AB，∴D（t，-14t2+t+3），E(t，-12t+3)，
∴DE=-14t2+t+3-(-12t+3)=-14t2+32t，
∴DE=-14t2+32t(0＜t＜6)；
②存在，
CD=t2+(-14t2+t+3-3)2=t2+(-14t2+t)2，而CE=t2+(-12t+3-3)2=52t，
当DE＝CE时，-14t2+32t=52t，
解得：t=6-25或t＝0（舍），
∴-14t2+t+3=-14×(6-25)2+6-25+3=45-5，
∴D(6-25，45-5)，
当CD＝DE时，t2+(-14t2+t)2=(-14t2+32t)2，
整理得：t2（﹣t+1）＝0，解得：t＝1或t＝0（舍），
∴-14t2+t+3=-14×12+1+3=154，∴D(1，154)，
当CD＝CE时，t2+(-14t2+t)2=(52t)2，
整理得：t2(116t2-12t+34)=0，
解得：t＝2或t＝6（舍）或t＝0（舍），
∴-14t2+t+3=-14×22+2+3=4，∴D（2，4），
综上：△CDE是等腰三角形时，D（2，4）或D(1，154)或D(6-25，45-5)；
（3）在y轴负半轴取点N（0，﹣6），连接NG并延长交x轴于点M，连接AN，
由旋转得：OE＝OG，∠EOG＝90°，
∵B（6，0），∴OB＝ON，∴∠BON＝90°，
∴∠EOM＝∠GON＝90°﹣∠MOG，
∴△BOE≌△NOG（SAS），∴∠CBO＝∠MNO，
∴点G在线段MN上运动（不包括端点），
∴当AG⊥MN时，AG最小，
∵∠CBO＝∠MNO，OB＝ON，∠COB＝∠MON，∴△COB≌△MON（ASA），
∴OM＝OC＝3，∴MN=OM2+ON2=35，
∴当AG⊥MN时，S△AMN=12AM⋅ON=12MN⋅AG
∴12×5×6=12×35×AG，
∴AG=25，∴线段AG长度的最小值25．
2．【2025•威海】已知抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），点B，交y轴于点C．点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在抛物线y＝ax2+bx﹣3上．点E为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的表达式及顶点E的坐标；
（2）连接BC，点M是线段BC上一动点，连接OM，作射线CD．
①在射线CD上取一点F，使CF＝CO，连接FM．当OM+FM的值最小时，求点M的坐标；
②点N是射线CD上一动点，且满足CN＝CM．作射线CE，在射线CE上取一点G，使CG＝CO．连接GN，BN．求OM+BN的最小值；
（3）点P在抛物线y＝ax2+bx﹣3的对称轴上，若∠OAP+∠OCA＝45°，则点P的坐标为 ．
解：（1）由题意得，C（0，﹣3），D（2，﹣3），
∴a-b-3=0a⋅22+2b-3=-3，∴a=1b=-2，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴E（1，﹣4）；
（2）①∵C（0，﹣3），D（2，﹣3），∴CD⊥OC，
∵CF＝CO＝3，∴OF＝32，
∴OM+FM≥OF＝32，
当O、M、F共线时，OM+FM最小，
由x2﹣2x﹣3＝0得，x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0），∴BF⊥OB，
∵∠BOC＝90°，∴四边形BOCF是矩形，
∴矩形BOCF是正方形，∴M（32，-32）；
②如图1，
连接NG，作EH⊥EN于H，
∵E（1，﹣4），C（0，﹣3），∴EH＝CH＝1，
∴∠ECH＝∠CEH＝45°，
由①知，四边形BOCF是正方形，
∴∠BCO＝45°，∴∠BCO＝∠ECH，
∵CG＝OC，CM＝CN，
∴△OCM≌△GCN（SAS），∴NG＝OM，
∴OM+BN＝NG+BN≥BG，
∴当B、N、G共线时，OM+BN最小，
∵∠BCG＝90°，BC＝32，CG＝3，
∴BG=(32)2+32=33，∴（OM+BN）最小＝33；
（3）如图2，
设EP交AB于F，作FW⊥BC于W，
∵E（1，﹣4），∴F（1，0），
∵A（﹣1，0），∴OA＝OF，
∵OC⊥AF，∴AC＝FC，
∴∠FCO＝∠OCA，
∵∠OCB＝45°，∴∠FCO+∠BCF＝45°，
∵∠OAP+∠OCA＝45°，∴∠OAP＝∠BCF，
∵BF＝OB﹣OF＝2，∠OBC＝45°，∴FW＝BW=2，
∵BC＝32，∴CW＝BC﹣BW＝22，
∴tan∠OAP＝tan∠BCF=FWCW=12，∴PFAF=12，
∴PF=12AF=1，∴P（1，1）或（1，﹣1）．
3．【2025•东营】已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C（0，5）．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标；
（3）如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标．
解：（1）∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，
设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5），
把C（0，5）代入解析式，得5＝a（0+1）×（0﹣5），解得：a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣5），即y＝﹣x2+4x+5；
（2）∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴抛物线图象的对称轴为直线x＝2，
设D（x，﹣x2+4x+5）（2＜x＜5），
∵DE∥x轴，∴E（4﹣x，﹣x2+4x+5），
过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，
∴四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG的周长＝2DG+2DE＝2（﹣x2+4x+5）+2[x﹣（4﹣x）]＝﹣2x2+12x+2＝﹣2（x﹣3）2+20，
∵﹣2＜0，∴当x＝3时，四边形DEFG的周长最大，则﹣32+4×3+5＝8，
∴当四边形DEFG的周长最大时，点D的坐标为（3，8）；
（3）过C作CH垂直抛物线对称轴于H，过N作NK⊥y轴于K，
∴∠NKC＝∠MHC＝90°，
由翻折得CN＝CM，∠BCN＝∠BCM，
∵B（5，0），C（0，5）．∴OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∵CH⊥对称轴于H，∴CH∥x轴，
∴∠BCH＝∠OBC＝45°，∴∠BCH＝∠OCB＝45°，
∴∠BCN﹣∠OCB＝∠BCM﹣∠BCH，即∠NCK＝∠MCH，
∴△MCH≌△NCK（AAS），∴NK＝MH，CK＝CH，
∵抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+9，
∴对称轴为直线x＝3，M（2，9），
∴MH＝9﹣5＝4，CH＝2，
∴NK＝MH＝4，CK＝CH＝2，
∴OK＝OC﹣CK＝3，∴N（﹣4，3），
设直线BN的解析式为y＝k'x+b'，
∴-4k'+b'=35k'+b'=0，解得：k'=-13b'=53，
∴直线BN的解析式为：y=-13x+53，
将x＝0代入y=-13x+53，则y=53，∴Q(0，53)，
设P（2，p），
∴PQ2=22+(p-53)2=p2-103p+619，BP2＝（5﹣2）2+p2＝9+p2，BQ2=52+(53)2=25+259=2509，
分两种情况：
①当∠BQP＝90°时，BP2＝PQ2+BQ2，
∴9+p2=p2-103p+619+2509，解得：p=233，
∴P(2，233)；
②当∠QBP＝90°时，P'Q2＝BP'2+BQ2，
∴p2-103p+619=9+p2+2509，解得：p＝﹣9，
∴点P'的坐标为（2，﹣9）；
综上，所有符合条件的点P的坐标为(2，233)或（2，﹣9）．